CC BY
4
раздел МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА
УДК 517.538.2 +517.984.26+517.547 Б01: 10.33184/ЬиПейп-Ь5и-2022.2.1
ОЦЕНКИ ЦЕЛОЙ функции с нулевым множеством, БЛИЗКИМ К ЦЕЛОЧИСЛЕННОМУ
© Н. Ф. Абузярова*, К. И. Хасанова
Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
Тел.: +7 (927) 3261613.
*Етай: abnatf@gmail.com
В работе рассматривается задача, относящаяся к классической тематике теории целых функций, а именно, к вопросам о связи поведения целой функции с распределением ее нулевого множества. Изучается целая функция f с нулевым множеством Л, которое лежит на вещественной прямой и удовлетворяет условию: считающая функция последовательности Л отличается от функции на величину 0(1пк |£|). Получены двусторонние оценки логарифма модуля функции f, характеризующие ее рост вдоль вещественной прямой. Эти оценки выводятся при помощи разработанной нами ранее техники с использованием одной леммы С. Ю. Фаворова об интегральном представлении логарифма модуля целой функции через считающие функции ее нулей.
Ключевые слова:
интерполяции.
Введение
целая функция, нулевое множество, считающая функция, проблема
Целые функции, имеющие регулярное поведение вдоль вещественной оси, представляют интерес в связи с задачей интерполяции и разложения в ряды (см. [1-8] и др.). В указанных случаях множество узлов интерполяции и (или) показателей системы экспонент - это (под)множество нулей соответствующей целой функции с регулярным поведением. Поэтому важной задачей является изучение свойств нулевых (под)множеств таких функций.
Например, в работах [1-3] изучаются и используются функции типа синуса. Напомним, что целая функция экспоненциального типа называется функцией типа синуса, если для нее существуют постоянные с и С, такие, что выполняется двусторонняя оценка 0 < с < ^(2)|е-лг|/тг| < С < то. Хорошо известно, что если Л = {±Я„- нули четной функция типа синуса, то
Я„ = п + 0(1п п), п^то (1)
(см. [9]).
Также известно, что даже из условия Я„ = п + 0(1),п ^ то не следует, что Л = (+ЯП}"=1 - множество нулей функция типа синуса. (см. [10-11]). Тем не менее естественно ожидать некоторой регулярности поведения модуля целой функции f, нулевое множество которой есть последовательность Л = (±Я„}™=1; удовлетворяющая соотношению (1). Соответствующее исследование асимптотики | f | было проведено в [12] методами, разработанными нами в статьях [14-16].
Здесь мы используем аналогичную технику и обобщаем основной результат работы [12]. Мы изучаем поведение логарифма модуля целой функ-
ции f с нулями (±Я„}™=1, удовлетворяющими при некотором фиксированном к> 1 соотношению
Я„ = п + 0(1п* п),п ^ то.
(2)
Будет доказано, что из (2) следует оценка 1п|/(х)| = 0(1пй+1|х|), когда |х| ^ то по множеству всех вещественных значений х, удаленных от Л на конечное расстояние.
Нам понадобится лемма из статьи [13]: Лемма 1 (С. Ю. Фаворов [13]). Пусть последовательность {а„} с С\{0} удовлетворяет условиям:
1. существует предел
Ига ^ ,
0<|ап|<К
2. п(0, £) = 0(£), при £ ^ то,
3. 3. п(0,£ + 1) — п(0,£) = о(£) , при £ ^ то.
Тогда формула
= Нт
|я„|<К
корректно определяет целую функцию конечного экспоненциального типа, и для всех г 6 С
П
1 — -
1п|5(2)| = | [п(0,
о
п(г, 0] -йС.
Здесь символом п(г, £) обозначено число точек последовательности {а„} в круге
Основной результат
Пусть Л = {±Я1, ±Я2, ±Я3,...} — четная последовательность, 0 < < Я1 < Я2 < Я3 < —
Обозначим пЛ(х, £:) — число точек ±ЯЙ на отрезке [х — £; х + £], п+ (х, £) — число точек ±ЯЙ в промежутке (х; х + С],
п-(х, 0 — число точек ±ЯЙ на отрезке [х — С; х], для любых хеЕ, £ > 0.
ISSN 1998-4812
Вестник Башкирского университета. 2022. Т. 27. №2
247
Предположим, что выполнено условие: для некоторого к >1.
п+(0, ¿) = Ь + 0(1пк Ь ^ (3)
В этом случае последовательность Л удовлетворяет условиям леммы 1. Поэтому формула
«»- К П('-д(1+В
|Я„|<К п п
определяет целую функцию экспоненциального типа, и для всех г ЕС.
1п\Г(г)\ = £[пл(0, о - пА(х, 01 (4)
Теорема. Пусть считающая функция п+ (0,1) четной вещественной последовательности Л = {±Л1,+Л2,+Л3,...} удовлетворяет соотношению (3), и, дополнительно,
X.п+1 — Хп> 250 при некотором 80 > 0. (5) Тогда \1п \/(х)\\ = ООп^И), где \х\ ^т по множеству
{х Е Е: (Иб1(А, х) > 50}. Доказательство.
Используем метод из работы [12], приводя для полноты изложения все выкладки.
Без ограничения общности считаем, что й0 > 280. Так как Х1 > <10,Лп+1 — Ап > 280, то пА(0,1) = 0 при £ < 280 и пл(х, Ь) = 0 при £ < 280 на множестве {х Е Е: &б1(Л, х) > 50}. Рассмотрим подробно случай положительных х Для интеграла (4) напишем представление:
7 Пл(0,0 — Пл(х, ¡) = 7 Пл(0,0 — Пл(х, о =
0
Их
Пл(0, t) — Пл(Х, t)
t
dt +
Пл(0, t) -Пл(х, t) t
dt +
uc i
Mx
Пл(0, t) -пл(х, t) t
dt = l1 +12 + ¡3,
где М >тах{2, 80} - положительная постоянная. Заметим, что для £ и х в интеграле 11. будет пл(х, о = п(0, х + о —п(0, х — Ь) = = х + t + 0(1пй (Х + ^) — (х — Ь) — 0(1пй (Х — ^) = = 21 + 0(1П Х).
Поэтому
U =
пл(0, t) — пл(х, t)
dt =
2t + 0(lnk t) — 2t + 0(lnk x)
dt =
= 0 (т+Г \Т) + °(Ык х) 1П 1 \М§Х = °(Ык+1 х).
Для оценки интегралов 12,13 примем во внимание то, что в силу четности последовательности Л верно равенство
пл(0, ¿) —пл(х, I) = —п+(1, х) + п-(1, х). Напишем представление для 12:
г2
—п+&, х) + п-&, х)
12 =
-dt =
Г n+(t, х) Г
i-Г1 dt + i
(M-l)x
n+(t, x)
t + X
dt =
f ( 1 1\ f n+(t, x)
J n+(t,x)(—x—T)dt — i -T2dt+
+ i dt =
(M -1)x
+( , )
+
+ (ln ) + (ln )
d t —
( + ) + (ln )
d t +
dt = ¡21 + ¡22 + ¡23.
+
(М -1) х
Для первого слагаемого имеем
х2-х х2-х
Г 1 Г 0(lnkt)
i —z-rdt — X i —z-rdt.
( + ) ( + )
hi = При этом
X2 -X
—x2 i , 1 . dt = 0(1) — xln (1 + -1), ( + ) l ,
J dt = °(lnkx l(ln(1—D—ln(wh))
Оценим I22:
2
x + 0(lnk t)
= 0(\nkx ).
X / X
!22 = — Г Г = — пас — 0[ =
х2—х х2—х \х2 —X /
х2—х (1пк+1х2 1пк+1(х2 — х)
= х 1п-2--0[--------
х2 \к + 1 к + 1
= 0(1), \х\ ^ т. Далее для последнего слагаемого выводим оценку:
х + 0(1пк 0
lnfct
Их Их
, ... _ t) Г х 123 = I -^-J-dt = i -
23 J t + X J t + X
(M-l)x (M-l)x
Mx
dt +
Г 0(}пк I) / 1\ , „ ч
I ^ + ^ <И = х1п(1 + —) + 0(1пкх).
(М-1)х
Для второго интеграла в (4) окончательно получаем
¡2 = ¡21 + ¡22 + ¡23 = 0(1) — X 1П (1 + ^) + 0{1пк X ) + 0(1) +
+ х 1п (1 + + 0(1пк х) = 0(1пк х). Рассмотрим последний интеграл в (4): С п+&, х) Г п+&, х)
¡3 = —I —^^ dt + I , сИ =
3 ] t ] ¡+х
X2 х2-х
X2 И
+( , ) 1 1 = 7 -Г+Т^—]п+а,х)(Т—=
2- 2
Г2 И
х + 0(1пк0 Г хп+(¿,х)
i
+
-dt —
i
dt =
( + ) " xO(lnkt)
d t =
= 0(1) — х 7 (^--1—) dt — 7 , .
] и t + xJ ] ^ + х)
2 2
= 0(1) — х 1п (1 +1) + 0 1П = 0(1),\х\ .
Из оценок интегралов 12, 13, с учетом представления (4), выводим требуемое соотношение для \ 1п\Г(х)\\.
Замечание. Нетрудно убедиться в том, что из условия (2) следует (3). Поэтому доказанная теорема справедлива для четной целой функции, нулевое множество которой есть последователь-
-
248
МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА
ность Л = {+Я1( +Я2, +Я3,...}, удовлетворяющая соотношениям (2) и (5).
Исследование выполнено в рамках Государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (код научной темы FZWU-2020-0027).
ЛИТЕРАТУРА
1. Левин Б. Я. Целые функции (курс лекций). М.: МГУ, 1971. 124 с.
2. Левин Б. Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа // Математическая физика и функциональный анализ. М.: ФТИНТ АН УССР, 1969. Вып. 1. С.136-146.
3. Левин Б. Я., Любарский Ю. И. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа и ее приложения к разложениям в ряды по экспонентам // Функциональный анализ и его приложения. 1975. Т. 8. №2. С. 85-86.
4. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956. 632 с.
5. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука, 1983. 176 с.
6. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536 с.
7. Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука, 1981.
8. Абузярова Н. Ф. Представление синтезируемых инвариантных относительно дифференцирования подпро-
странств в пространстве Шварца // Доклады РАН. 2021. Т. 498. №1. С. 5-9.
9. Левин Б. Я., Любарский Ю. И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент // Известия АН СССР. Сер. Ма-тем. 1975. Т. 39. №3. С. 657-702.
10. Левин Б. Я., Островский И. В. О малых возмущениях множества корней функций типа синуса // Известия АН СССР. Сер. Матем. 1979. Т. 43. №1. С. 87-110.
11. Хейфиц А. И. Характеристика нулей некоторых специальных классов целых функций конечной степени // Теор. функций, функцион. анализ и их прилож. 1969. Вып. 9. С. 3-13.
12. Абузярова Н. Ф., Хасанова К. И. Целые функции с регулярным поведением вдоль вещественной оси // Вестник Башкирского университета. 2020. Т. 25. №3. С. 464-467.
13. Фаворов С. Ю. Множества нулей целых функций экспоненциального типа с дополнительными условиями на вещественной прямой // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20. №1. С. 138-145.
14. Абузярова Н. Ф. Обратимые по Эренпрайсу функции в алгебре Шварца // Доклады РАН. 2019. Т. 484. №1. С. 7-11.
15. Абузярова Н. Ф., Шустов В. С. Об условиях обратимости по Эренпрайсу. // Вестник Башкирского университета. 2018. Т. 23. №3. С. 590-598.
16. Абузярова Н. Ф. О сдвигах целочисленной последовательности, порождающие функции, обратимые по Эрен-прайсу // Записки научных семинаров ПОМИ. 2019. Т. 480.С. 5-25.
Поступила в редакцию 18.03.2022 г.
ISSN 1998-4812
BecTHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2022. T. 27. №2
249
DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2022.2.1
ESTIMATES OF ENTIRE FUNCTION WITH ZERO SET CLOSE TO THE SET OF INTEGERS
© N. F. Abuzyarova*, K. I. Khasanova
Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
Phone: +7 (927) 3261613.
*Email: abnatf@gmail.com
In this paper, we consider the problem, which is one of the classical topics of the theory of entire functions. The problem is the connection between the growth of entire function and the distribution of its zero set. It is important to establish this connection for studying interpolation problems, expansions to the series of exponential monomials etc. As a rule, for the mentioned applications, one need to investigate Fourier-Laplace transform images of function spaces or spaces of distributions. These images form classes of entire functions of exponential type having some growth restrictions along the real axis. One of such classes is the class of sine-type functions. Zero sets of sine-type functions are close to the zero set of the function sin nz that is to Z. We study the behavior of the logarithm of modulus of entire function f which zero set equals A. We assume that A satisfies the following restrictions: A is a subset of the set of reals and the difference between the counting function of A and the function 2|t| is the quantity estimated by O(lnk |t|). Under these restrictions, we obtain two-sided estimates of the logarithm of f characterizing its growth along the real line. For this purpose, a lemma formed by S. Yu. Favorov is used. This lemma gives us the representation of the logarithm of the modulus of the entire function as an integral of counting functions of its zeros. We also apply the technique to estimate integrals over counting functions, which we have developed earlier.
Keywords: entire function, zero set, counting function, interpolation problem.
Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.
REFERENCES
1. Levin B. Ya. Tselye funktsii (kurs lektsii) [Entire functions (course of lectures)]. Moscow: MGU, 1971.
2. Levin B. Ya. Matematicheskaya fizika i funktsional'nyi analiz. Moscow: FTINT AN USSR, 1969. No. 1. Pp. 136-146.
3. Levin B. Ya., Lyubarskii Yu. I. Funktsional'nyi analiz i ego prilozheniya. 1975. Vol. 8. No. 2. Pp. 85-86.
4. Levin B. Ya. Raspredelenie kornei tselykh funktsii [Distribution of roots of entire functions]. Moscow: Gostekhizdat, 1956.
5. Leont'ev A. F. Tselye funktsii. Ryady eksponent [Entire functions. Exponential series]. Moscow: Nauka, 1983.
6. Leont'ev A. F. Ryady eksponent [Exponential series]. Moscow: Nauka, 1976.
7. Leont'ev A. F. Obobshcheniya ryadov eksponent [Generalizations of exponential series]. Moscow: Nauka, 1981.
8. Abuzyarova N. F. Doklady RAN. 2021. Vol. 498. No. 1. Pp. 5-9.
9. Levin B. Ya., Lyubarskii Yu. I. Izvestiya AN SSSR. Ser. Matem. 1975. Vol. 39. No. 3. Pp. 657-702.
10. Levin B. Ya., Ostrovskii I. V. Izvestiya AN SSSR. Ser. Matem. 1979. Vol. 43. No. 1. Pp. 87-110.
11. Kheifits A. I. Teor. funktsii, fonktsion. analiz i ikh prilozh. 1969. No. 9. Pp. 3-13.
12. Abuzyarova N. F., Khasanova K. I. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2020. Vol. 25. No. 3. Pp. 464-467.
13. Favorov S. Yu. Algebra i analiz. 2008. Vol. 20. No. 1. Pp. 138-145.
14. Abuzyarova N. F. Doklady RAN. 2019. Vol. 484. No. 1. Pp. 7-11.
15. Abuzyarova N. F., Shustov V. S. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2018. Vol. 23. No. 3. Pp. 590-598.
16. Abuzyarova N. F. Zapiski nauchnykh seminarov POMI. 2019. Vol. 480. Pp. 5-25.
Received 18.03.2022.
