CC BY
33
Оценка временного и энергетических параметров низкочастотного случайного импульса с произвольной модулирующей функцией
Ключевые слова: низкочастотный случайный импульс, модулирующая функция, методы статистического моделирования.
Выполнен синтез и анализ одноканального квазиоптимального алгоритма оценки времени прихода, математического ожидания и дисперсии низкочастотного гауссовского случайного импульсного сигнала с произвольной модулирующей функцией на фоне белого шума. Методами статистического моделирования определена эффективность предложенного измерителя и установлены границы применимости асимптотически точных формул для его характеристик
Свидченко С.С.,
аспирант М ТУСИ
Под низкочастотным случайным импульсным сигналом с произвольной модулирующей функцией будем понимать мультипликативную комбинацию вида 11 и др.]
1, |х|<1/2,
1(х)= ' (1)
[О, |х|> 1/2.
Здесь А0 - время прихода, т - длительность, Г(() - детерминированная модулирующая функция, нормированная так что тах Г([)= 1, а ^0) — реализация стационарного центрированного гауссовского случайного процесса с математическим ожиданием (МО) (4(0) = ао и спектральной плотностью
0(и)=(2л00/П)1(со/П). (2)
В (2) обозначено: Г2 - ширина полосы частот, а 1)0 -дисперсия процесса 4(0-
Будем считать, что длительность импульса т и характерное время изменения Д[ функции Г(() существенно превышают время корреляции процесса 4(0 (флуктуации 4(0 являются “быстрыми”), т.е. выполняются условия
т» 2п/П, Д1» 2л/П . (3)
В [1] рассмотрена задача оценки времени прихода Х0е[А„Л2] сигнала (1), наблюдаемого на фоне гауссовского белого шума п(0 с односторонней спектральной плотностью N0, при условии, что все остальные параметры импульса априори известны. Однако в ряде практических задач МО а0 и дисперсия 1)0 процесса £,({) могут быть неизвестны. В этой связи представляет интерес найти структуру и характеристики измерителя временного и энергетических параметров сигнала (1).
При синтезе алгоритма оценки воспользуемся методом максимального правдоподобия [2]. Согласно этому методу необходимо формировать решающую статистику — логарифм функционала отношения правдоподобия (ФОП) ЦА.,а, О) - как функцию текущих значений X, а, I) неизвестных параметров л.0, а0, О0. При выполнении (3) согласно 11) имеем
ЦХ,а, Р)-Л-7 Г^'-у1у2(11,ДиГ
Ы" Х-./2 І + ЧИО-*-)/*] К0 Х-т/2
/: ф-Х)/т]х(0
т/2 • +Я*'2[(»
(П-
1п[|+чГ2(1)Ь,,
N0 _^21+чГ2(1) и.,]2 1 4 УИ
(4)
где ц = 0/Ем, ц = тП/4л, Ем=Ы0П/4гс - средняя мощность шума 11(1) в полосе частот процесса 4(0’ а
УМ- г, х^')^ —1')&' - отклик фильтра, передаточная функция Н(со) которого удовлетворяет условию |Н(со)|' = 1(со/П), на реализацию наблюдаемых данных
х(0=«(0+п(0-
Тогда оценки максимального правдоподобия (ОМП) лт, ат и 1)т времени прихода Х0, МО а0 и дисперсии О0 случайного импульса (1) определятся как положение наибольшего максимума решающей статистики Цл,а, I)):
Хт = ашвир ЦХ,ат,От),
А.е[Л|,Л2 ]
(ат.От)= а^вир Ь(Хт,а,0). (5)
ае(-ос,ж).ОгО
Нетрудно видеть, что измеритель (5) имеет многоканальную структуру, причем для точной его реализации необходимо бесконечно большое число каналов, что вряд ли возможно на практике. В этой связи представляется целесообразным поиск одноканальных квазиоптимальных алгоритмов оценивания временного и энергетического параметров сигнала (1), близких по своим точностным характеристикам к оптимальному (5).
Аналогично [2] можно показать, что ОМП Хт -»Х0 в среднеквадратическом, когда |д —»сю. Тогда согласно [3] характеристики ОМП ат и 1)т (5) асимптотически (с ростом ц) совпадают с характеристиками оценок
(атО.°то)= а^ир Ь(Х0,а,П). (6)
а«=(-х,х ). 020
Измеритель (6) также в общем случае допускает лишь многоканальную реализацию. При этом минимальные рассеяния Уа и Уц оценок ат0 и От0 (6), рассчитываемые по формуле Крамера-Рао [2], имеют вид
уат!„ =-1/(с12Фо.а.Оо)^а2)| = Е*/4цС21, (7)
/ ' '1а=а0
у»,_ =-|/(^:МЛ,.Оо.£>)/^)|о^ =ЕЦ[гцоп+{с1г-гаиса)с\\
Здесь Стп = 8тв(0л. 8тп(1)= Гт0)/[1 + ЧоГ2(1)]" , а
Яо=00/Ем. Как отмечено в [2], рассеяния ОМП ат0 и От0 (6) асимптотически (с ростом выходного отношения сигнал/шум (ОСШ)) совпадают с (7).
Рассмотрим вместо ОМП ат0 и 13т0 (6) квазиоптималь-
ные оценки (КОО) ач0 и Оц0 МО а0 и дисперсии О0 случайного импульса (1). Синтез КОО ач0 и Г)(|0 будем проводить, исходя из критерия близости их рассеяний к минимальным (7) при условии возможности технической реализации получаемого квазиоптимального измерителя в виде одноканальных устройств. Кроме того, в некоторых предельных случаях КОО а „ и по1| должны переходить в ОМП аП10 и
цо
[Зт1) (6). В результате приходим к оценкам вида
Оч0 = шах[ 0; (Ь, (*0 )/т - Е м )/2С 20 - (Ь2 (Я0 )/2тС 10 )2 ]. (8)
где Ь,(Х.)= £_+^У2(0А, Ь2(Х)= £'^х(1)с11, а Е>, и
у(1) определяются так же, как в (4).
Выполняя в (8) усреднение по реализациям наблюдаемых данных х(1), для условных смещении ь(ач0|а0),
ь(оч0|и0) и рассеяний У(ач0|а0), У(0ЧО|0„) КОО ач0 и Оц0 получаем
ь(ачо|ао)=0. ^(аяо|ао)= (1 + 2ц0О20)/8цО^0 ,
ь(эч0100 )= - Е „ (I + 2Ч 0С 20 )/8цС Го . (9)
3(1
I 1
,пи4 « .ж
}, 2С„
Здесь г|2 = 2ао/Е>) , а ц0 определяется так же, как в (7).
Согласно (7), (9) рассеяния оценок ач0 и Оч0 (8) для широкого класса модулирующих функций Г(I) при выполнении (3) отличаются от предельно достижимых не более чем на 5 %. Если же ц1)з 1, то рассеяния (7) и (9) совпадают, т.е. по мере приближения формы модулирующей функции {’([) к прямоугольной КОО (8) сходятся к ОМП (6). Это позволяет рекомендовать для измерения МО и дисперсии импульсного сигнала (1) в практических приложениях одноканальный алгоритм (8) вместо более сложного многоканального (6) без существенной потери в точности выносимых оценок.
При неизвестном параметре а0 из (8) получаем оценки вида
ач = ^2(^-4 )/2тО,0 ,
Эч = шах[о;(Ь|(х.())/т- Ем)/2020 - (ь2(хч )/2тС 10^ ], (10) где я, = аг§вир 1(я.,ач.Оч) - оценка времени прихода им-
Хе[Л| ,Л2 ]
пульса (1). Подставляя (10) в (4) и выполняя оптимизацию алгоритма оценивания, следуя [4], приходим к оценке времени прихода вида
>.ч = а^ир Ц(А.),
Хе[Л|,Л2]
Ц(>.)=ц{ь|(Х)/тЕ1, - 1п[(ь,(Я.)-Г2(1/2)е|(Х)/тУтЕм ]-1 |
(II)
Оценки (10), (11) также будем называть КОО. Действительно, если Г(() = 1, то оценки (10), (11) переходят в соответствующие ОМП МО, дисперсии и времени прихода низкочастотного случайного импульса (1) прямоугольной формы [5].
Найдем характеристики оценок (10), (11). С этой целью аналогично [2] все возможные КОО (11) разобьем на два класса: надежные и аномальные. Оценка /ч =Яч/т является
надежной, если она находится в пределах интервала Г8 з[/0-1,/0 +1 ], /0=Х0/т. Если же КОО /ц находится
вне интервала Г5, т.е. /чеГ,^=Г\Г5, Г = [Я|,Л2], д (, = Л | 2 /т > то оценка и соответствующая ошибка оценивания называются аномальными [1,2,5]. Учет аномальных ошибок необходим, если приведенная длина [2] т = Лч— Л| априорного интервала Г возможных значений
времени прихода /0 значительно больше протяженности интервала Г5 надежной оценки, т.е.
т »1. (12)
Согласно [2] при выполнении (12) условные смещение
Ь(/ч|/о)=(/ч - 'о) " рассеяние у(/ч|/0Ц(/ч -/о)2) КОО /ч с учетом аномальных ошибок могут быть записаны в виде
ь(/ч |/о )= Р0Ь0(/ч |/о)+ 0 - Р«)[(А. + Л2 )/2 - /0 ]. (13)
У^ч|/0)=РоУ0(/ч|/0)+(1-Р„)[(л1 +А.Л, +л2,Уз-/0(л, +Л,)+/0:] . Здесь ь0(/ч|/0), У0(/ч|/0), р0 = р[|/ч-/0|<|] - соответственно условное смещение, условное рассеяние и вероятность надежной оценки (11).
При нахождении Ь0(/ч|/0), У0(/ц |/0) и Р0 ограничимся
условием высокой апостериорной точности, когда выходное ОСШ алгоритма (10), (11) достаточно велико. Также будем считать, что является четной функцией своего аргумента и не обращается в нуль в точках \. = ±\/2. Тогда на основе результатов работ [1,5] получаем
+ ^ |ехр[-тф(Тй/2.1/Г(1/2))].
11 ( \ \\IZU
\ ехг
хФ и -г('|/ + |)
ь0(/ч|/0)=о.
-ехр
3 \jrz~
+ ц/г
2и
СТ^/ц
ф
-^=-г(2ф + 1) а-у/ц
с!и,
(14)
(15)
У«Ч
: ^ 13{ [ 1 +(Ч(11':(12))(| +(ч„ +п:)|'2(12|2ч„0;о+п:(о:()-2СГо|--(1/'2))]2 ч
° 8 ц:Г,(1'2){2П:а1^1'2)+(ч„+Т12/2)х
14п:С|/(12)[о„Л12)+(| +д„Г:(12))(о„Д12)^2д„02„ + п2(0:о-2аг/(12)|1Г х[2ч0См+П-(о20-2С;г,/:(^'2)1Г
Здесь
Н = 2Г(1/2)ДМ2(1/2), 22 =ц[с,20(2Ч0 + П2)-1п(1+0)]7°2 .
Ч> = 2стАх%/Й/г(стГ +а;),
Ах = Г2(1/2)(о(Чо + П2/2)+ 2Л2С|0Г(|/2) |/(| + О),
а2={о2[1 + 2ЧоС20+2(С20+Ч0С40)(Ч0+п2)]+8п2ОС10 х
х Г2(1/2Хо|0 + Я0С30)+ 4П2Сг0Г4(1/2)(1 + 2ЧоС20) 1/(1 + О)2 ,
=[|+9о/20/2)]х
х {<2-[ 1 + (<?„ + Г )/:(1/2)]+ 47-’/1(1/2)С|1, [ С10/( 1/2)+ ^? ] }/(1 + 0)2 ст5=[02+4П2Сг0Г4(1/2)]/(|+0)2,
О = 2Ч0С20 + П2[с20-2Ог0Г2(1/2)],
+Г2-(г -1)/,(л2(г -1))//о(л:(г -!))]-! )х>
х/0[й2(г2-1)]ехр[-Л2(г2+1)]
а 10(х), 11 (х) - модифицированные функции Бесселя нулевого и первого порядков соответственно. Точность формул (15) возрастает с увеличением ц и г, а формулы (14) - с увеличением ш, ц, г. Если 1"(1)=1. то из (14), (15) получаем известные выражения для вероятности и условных смещения и рассеяния надежной ОМП времени прихода случайного импульса (1) прямоугольной формы с неизвестными МО и дисперсией [5].
Найдем теперь характеристики оценок а„ и 0<. (10). Из формул (9) следует, что при \ = л() и выполнении (3) рас-
сеяния оценок (10) убывают не быстрее, чем ц4. В то же время рассеяние (15) оценки / (11) пропорционально (.Г2. Поэтому, аналогично [3] можно показать, что при ц »1, г »1, когда Р0 * 1, и оценка А.. является надежной, характеристики оценок ац и (10) совпадают с характеристиками (9), найденными при известной величине параметра Х0 . Точность формул (9) возрастает с увеличением ц и 7..
С целью проверки работоспособности синтезированного квазиоптимального алгоритма совместного оценивания (10), (11) времени прихода, МО и дисперсии случайного импульса (1), а также установления границ применимости асимптотически точных формул (9), (13)- (15) для его характеристик было выполнено статистическое моделирование измерителя (10), (11) на ЭВМ.
Некоторые результаты статистического моделирования при /0 = (а2 + А,)/2, Л, =1/2, Л2=т + 1/2, ('(1)= ехр(-I2) и = 2а(2т/м0 =10 показаны на рис. 1-3. Каждое экспериментальное значение получено при обработке не менее 104 реализаций наблюдаемых данных х^). При этом границы доверительных интервалов отклоняются от экспериментальных данных не более чем на 10... 15 % с вероятностью 0,9.
На рис. I сплошными линиями нанесены зависимости нормированного условного рассеяния У/^0)=12у(/ч|/0)/т2 (13) оценки времени прихода / (11) с учетом аномальных
ошибок при т = 20 . Здесь же штриховыми линиями показаны аналогичные зависимости нормированного условного рассеяния У0/(ц0)= 12У0(/ч|/0|/т: (15) надежной оценки / (11). Кривые 1 рассчитаны для ц = 50; 2 - 100; 3 — 200. Экспериментальные значения рассеяния V, оценки / с учетом аномальных ошибок обозначены на рис. 1 квадратиками, крестиками и ромбиками, а рассеяния У0/ надежной оценки /ц - кружочками, треугольниками и звездочками для (Д = 50, 100 и 200 соответственно.
На рис. 2, 3 изображены теоретические зависимости нормированных условных рассеяний
Уп(Ч0)=2у(ач|а0)/Е>4, Уч(Чо)= у(оч|о0)/е2 (9) оценок ац, 1)ц (10). Экспериментальные значения рассеяний Уп, Уч при т = 2 (когда оценка времени прихода является на-
дежной) показаны плюсиками, кружочками, треугольниками, а при т = 20 (когда при оценивании времени прихода возможны аномальные ошибки) — квадратиками, крестиками и ромбиками. Остальные обозначения такие же, как на рис. I.
Согласно рис. 1-3 теоретические зависимости (9), (13)-(15) для характеристик измерителя (10), (11) временного и энергетических параметров случайного импульса (1) удовлетворительно аппроксимируют соответствующие экспериментальные данные, по крайней мере, при т>20, ц>50,
z>0,5...2 и (fmax -fmin)/|д <4-10'3. Здесь fmin и fmax=l -минимальное и максимальное значения функции f(t). Таким образом, полученные результаты позволяют сделать обоснованный выбор между предложенным и другими алгоритмами оценки времени прихода, МО и дисперсии низкочастотных случайных импульсных сигналов с произвольной модулирующей функцией в зависимости от требований, предъявляемых к эффективности алгоритма и степени простоты его технической реализации.
Литература
1. Чсрпонров О.В., Рашитов М.Ф. Эффективность приема случайного импульсного сигнала произвольной формы с неизвестным временем прихода // Вестник Московского энергетического института. - 2010. -№ 5.
2. Куликов К.И., Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. - М.: Сов. радио, 1978. - 296 с.
3. Бассвиль М., Викки А., Банвентист А. и др. Обнаружение изменений свойств сигналов и динамических систем / Под ред. Бассвиль М., Банвентиста А.М.-М.: Мир, 1989.-278 с.
4. Захаров А.В. Оптимизация алгоритма обнаружения флуктуирующего радиоимпульса с неизвестным временем прихода // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2005. - № 1. - С. 46-56.
5. Трифонов А.П., Захаров А.В., Парфенов В.И. Эффективность приема случайного импульсного сигнала с неизвестными параметрами // Радиотехника и электроника. - 1991. - Т.36. - №7. -С. 1300-1308.
