CC BY
29
Оценка временного и энергетических параметров низкочастотного случайного импульса с произвольной модулирующей функцией
Свидченко С.С.,
аспирант МТУСИ
(1)
Под низкочастотным случайным импульсным сигналом с произвольной модулирующей функцией будем понимать мультипликативную комбинацию вида [1 и др.]
Здесь Х0 - время прихода, т - длительность, f(t) - детерминированная модулирующая функция, нормированная так что maxf(t)=l, а ¡j(t) - реализация стационарного центрированного гауссовского случайного процесса с математическим ожиданием (МО) ^(t)) = a0 и спектральной плотностью
G(to)=(2jtD0/n)l(<o/n). (2)
В (2) обозначено: П - ширина полосы частот, а D0 - дисперсия процесса i|(t).
Будем считать, что длительность импульса фи характерное время изменения At функции f(t) существенно превышают время корреляции процесса ¡j(t) (флуктуации £(t) являются "быстрыми"), т.е. выполняются условия т»2я/П/ At»2я/П • (3)
В [1] рассмотрена задача оценки времени прихода Xq б[Л|,Д2] сигнала (1), наблюдаемого на фоне гауссовского белого шума n(t) с односторонней спектральной плотностью N0< при условии, что все остальные параметры импульса априори известны. Однако в ряде практических задач МО а0 и дисперсия D0 процесса £(t) могут быть неизвестны. В этой связи представляет интерес найти структуру и характеристики измерителя временного и энергетических параметров сигнала (1).
При синтезе алгоритма оценки воспользуемся методом максимального правдоподобия [2]. Согласно этому методу необходимо формировать решающую статистику - логарифм функционала отношения правдоподобия (ФОП) L(X,a,D) - как функцию текущих значений X, а, D неизвестных параметров Х0< a0« D0- При выполнении (3) согласно [ 1]имеем
t-X)/x]y2(t)dt , 2a у f[(t-X)/x]x(t) dt -qf2[(t-X)/T] N0 J/2l + qr2[(t-X.)/t]
Выполнен синтез и анализ одноканального квазиоптимального алгоритма оценки времени прихода, математического ожидания и дисперсии низкочастотного гауссовского случайного импульсного сигнала с произвольной модулирующей функцией на фоне белого шума. Методами статистического моделирования определена эффективность предложенного измерителя и установлены границы применимости асимптотически точных формул для его характеристик
где q = D/En , ц = тП/4л, EN = N0Q/4n - средняя мощность шума n(t) в полосе частот процесса ç(t), а у(0= x(t')h(t — t')dt' — отклик фильтра, передаточная функция н(со) которого удовлетворяет условию |Н(со)|2 = l(co/iî)< на реализацию наблюдаемых данных x(t) = s(t)+n(t).
Тогда оценки максимального правдоподобия (ОМП) Xm, ат и Dm времени прихода \0, МО а„ и дисперсии D0 случайного импульса ( 1 ) определятся как положение наибольшего максимума решающей статистики L(X,a, D):
Xm = argsup L(X,am,Dm)' (am,Dm)= argsup L(\m,a,D)-i5)
Я.+Т/2 r2l(. L(X,a.D) = -B- f il1 N° X-t/2 1 + 4
2 1/2 Г
~Ñ7 J
f2(0 » -i/2>+qf2(t)
1/2
dl + |i
I ln[l + qf2(t)]dt,
-1/2
>.є[Л],Л2] ає(-я(а)і020
Нетрудно видеть, что измеритель (5) имеет многоканальную структуру, причем для точной его реализации необходимо бесконечно большое число каналов, что вряд ли возможно на практике. В этой связи представляется целесообразным поиск одноканальных квазиоптимальных алгоритмов оценивания временного и энергетического параметров сигнала (1), близких по своим точностным характеристикам к оптимальному (5).
Аналогично [2] можно показать, что ОМП Хт ->Я.0 в среднеквадратическом, когда ц —> ао. Тогда согласно [3] характеристики ОМП а,„ и (5) асимптотически (с ростом м) совпадают с характеристиками оценок
(ато.От0)= аге^Р ЦХ0,а,О)- I6)
аб(-ос.оо).
Измеритель (6) также в общем случае допускает лишь многоканальную реализацию. При этом минимальные рассеяния
и Vn
оценок а„
(4)
/ » (6), рассчитываемые по
-мни - ими
формуле Крамера-Рао [2], имеют вид
Vam¡„ =-j/(d2L(X0,a,D0)/da:!)[ = Еы/4цС21 » (7)
VDm¡„ =-l/(d:L(>.0,a0,D)/dD2)| =E*/[2цС42 +(g22 -2G2iG63)/G^
/ ' 'ID=D0
Здесь Gm„ = £2 gm„(t)dt < gm„(t)=fm(t)/[l + q0f2(t)]\a
q0 =D0/En ■ Как отмечено в [2], рассеяния ОМП am0 и Dm0 (6) асимптотически (с ростом выходного отношения сигнал/ шум (OCLU)) совпадают с (7).
Рассмотрим вместо ОМП am0 и Dm0 (6) квазиопти-мальные оценки (КОО) aq0 и Dq0 МО а0 и дисперсии D0 случайного импульса (1). Синтез КОО aqü и Dql> будем проводить, исходя из критерия близости их рассеяний к минимальным (7) при условии возможности технической реализации получаемого квазиоптимального измерителя в виде одноканальных устройств. Кроме того, в некоторых предель-
ных случаях КОО aqll и Dq0 должны переходить в ОМП am0 и Dm0 (6). В результате приходим к оценкам вида
aq0 =L2(^o)/2tGlo '
Dq0 = max[0;(L,(X0)/t-En )/2G20 - (L2(X0)/2tG 10)2], (8)
где L.W-CJy2«*. L2M-£Jx(t)dt. а En и y(.)
определяются так же, как в (4).
Выполняя в (8) усреднение по реализациям наблюдаемых данных x(t), для условных смещений b(aq0|a0)> b(Dq0|D0)
и рассеяний v(aq0|a„), v(Dq0|D0) КОО aqU и Dl)0 получаем
b(aqo|ao)= 0< v(aq0|a0 )= EN(l + 2q0G20 )/8nGf0 <
b(Dq0|D0)= - EN(l + 2q0G20 )/8nGf0 .
£-2 Í . V2
(9)
10 -1/2
+ r
2GI0 _Ц2 1 1
I I Vf j-2 ¡ / 1 f(l)) J
2GX-2GW+<I°}/ (,){j2G70-2 G,J *
Здесь т|2 =2ao/BN , a q0 определяется так же, как в (7).
Согласно (7), (9) рассеяния оценок aq0 и Dq0 (8) для широкого класса модулирующих функций f(t) при выполнении (3) отличаются от предельно достижимых не более чем на 5 %. Если же f(t)=l, то рассеяния (7) и (9) совпадают, т.е. по мере приближения формы модулирующей функции f(t) к прямоугольной КОО (8) сходятся к ОМП (6). Это позволяет рекомендовать для измерения МО и дисперсии импульсного сигнала (1) в практических приложениях одноканальный алгоритм (8) вместо более сложного многоканального (6) без существенной потери в точности выносимых оценок.
При неизвестном параметре А-д из (8) получаем оценки вида
3q = L2(^q )/2tG|0 '
Dq=max[0;(L,(x.q)/T-EN)/2G2o-(L2(xq)/2TGlo)2], (10)
где ^ _ argsUp [(>,a £> ) - оценка времени прихода им-
Хе[Л|.Л2]
пульса (1). Подставляя (10) в (4) и выполняя оптимизацию алгоритма оценивания, следуя [4], приходим к оценке времени прихода вида
Я.ч = argsup Lq(A.)'
Хе[Л| ,Л2 ]
L4(A.)=M {l,(X)/xEn - ln[(u,(X)-f2(l/2)L22(^)/xVxEN ]-! }•
(П)
Оценки (10), (11) также будем называть КОО. Действительно, если f(t) = |, то оценки (10), (11) переходят в соответствующие ОМП МО, дисперсии и времени прихода низкочастотного случайного импульса (1) прямоугольной формы [5].
Нойдем характеристики оценок (10), (1 1). С этой целью аналогично [2] все возможные КОО (11) разобьем на два класса: надежные и аномальные. Оценка /ч = Xq/t является
надежной, если она находится в пределах интервала rs-[/„-1,/0 +1 ]» /o=WT- Если же КОО / находится вне
интервала rs, т.е. /qSrN=r\rs, Г = [л,,л2], Л12 =Л|2/т»
то оценка и соответствующая ошибка оценивания называются аномальными [1,2,5]. Учет аномальных ошибок необхо-
дим, если приведенная длина [2] т = Л2-Л| априорного интервала Г возможных значений времени прихода /0 значительно больше протяженности интервала rs надежной оценки, т.е.
m » I. (12)
Согласно [2] при выполнении (12) условные смещение
btal'oM'q-'o) и Рассеяние v(/q|/0)=((/„-/о)2) КОО /„ с
учетом аномальных ошибок могут быть записаны в виде
b(/q|/„ )= P0b0(/q|/„ )+ 0 — Ро )[(л, + Л2 У2 - /0]. (13)
v(/q|/0 )= P0V0(/q|/0)+ (1 - Р0 )[(л2 + Л,Л, + Л2, Уз - /0(л, + Л2 )+ /02 ]
Здесь b0(/q|/0), V0(/q|/0), p(1 = p[|/q-/0|<l] - соответственно
условное смещение, условное рассеяние и вероятность надежной оценки /ч (11).
При нахождении b0(/q|/0), V0(/q|/0) и рц ограничимся условием высокой апостериорной точности, когда выходное ОСШ алгоритма (10), (11) достаточно велико. Также будем считать, что f(t) является четной функцией своего аргумента и не обращается в нуль в точках t=±l/2- Тогда на основе результатов работ [1,5] получаем
Р0 * ^~cxp|^y- + 4/z2 j |схр[- тф(^йТ2 ,I/f(l/2))] expf-jx
хф
—7=-z(v + l)
- exp
3 ц/2г2 í 2u
--------+ U/ZJ z---------=•
2 [ «Æ
-^=-z(2y + l) а^/ц
bo(/q|/o)=0-
du,
(14)
(15)
I, I. \ 13{[,+(qof2(V2))(l+(qo+n2)f2(V2)Í[2qol
,G,n + n2(G20-2Gfof2(V2)|2
ц2Г,^2)(2п2О,(/((/2)+(Ч0+л2/2)х ) 4г)2О|0Г 3(1/2)[0|оГ(У’2)-ь(1 -1-д0Г ;(У2))(О|0Г(У'2) 2д0О20 -I- П2(ого—20^рГ2(^2)))] )2 х[2ЧоС2о+П2(с2„-2СГоГ2(^2)1)4
Здесь
Н = 2Г(|/2)/^П720/2), г2=ц[с20(2Ч0+п2)-1п(1+д)]2А2<
\|/ = 2а А г(о|2 + о2),
А, =Г2(1/2){д(яо +п2/2)+2п2С ,0^1/2) }/(1 +0),
а" = {[I + 2я0О20 2(С20 -н »1*)] + 8г)"0О10 х
х {2(1/2ХОю + ЧоСзо) + 4П20?0Г*(1/2)(| + 2ЧоС20) }/(1 + О)2.
°? =[1+Яо^2(|/2)]{о2[1+(Чо +Л2)г2(|/2)]+4г|2Г3(^2)0|0[С1о^1,2)+0]}/(1+0)2 а| =[д2 +4л2СГ0Г4(1/2)]/(1+д)2 ,
д = 2ЧоС2о+п2[с2о-20ГоГ2(|/2)],
«ККу^фф+у2 -(у2 -^(^(у2-1)У10(ь2(г -1))]-1 }|«Иг -1|ех^-Ь2()г2+||
а 10(х), |,(х) - модифицированные функции Бесселя нулевого и первого порядков соответственно. Точность формул (15) возрастает с увеличением м и г, а формулы (14) - с увеличением т, м, г. Если Г(1)=], то из (14), (15) получаем известные выражения для вероятности и условных смещения и рассеяния надежной ОМП времени прихода случайного импульса (1) прямоугольной формы с неизвестными МО и дисперсией [5].
Найдем теперь характеристики оценок ац и (10).
Из формул (9) следует, что при =Х0 и выполнении (3)
рассеяния оценок (10) убывают не быстрее, чем ц'1. В то же
-2
время рассеяние (15) оценки / (11) пропорционально |Д .
Voi-V,
io'1
10
10 3
10
10'
10
' - 5^ >|
N X à4 41 )\
1 4 1 n n i U X
if- r, \
t 3 ? 2 1 • / ■
1 >
0,1 0,20,3 0,50,7 1 Рис. 1.
0,1 0,2 0,3 0,50,7 1 Рис. 2.
0,1 0,2 0,3 0,50,7 1 Рис. 3.
Поэтому, аналогично [3] можно показать, что при ц»1, z»l, когда Р0 «1, и оценка >.q является надежной, характеристики оценок aq и Dq (Ю) совпадают с характеристиками (9), найденными при известной величине параметра Х0. Точность формул (9) возрастает с увеличением м и z.
С целью проверки работоспособности синтезированного квазиоптимального алгоритма совместного оценивания (10), (11) времени прихода, МО и дисперсии случайного импульса (1), а также установления границ применимости асимптотически точных формул (9), (1 3)- (1 5) для его характеристик было выполнено статистическое моделирование измерителя
(10), (1 1) на ЭВМ.
Некоторые результаты статистического моделирования при /0=(д2+Л,)/2, Л, =1/2, Л2 = m +1/2, f(t) = exp(-12) и z\ =2aoi/N0 =10 показаны на рис. 1-3. Каждое экспериментальное значение получено при обработке не менее 104 реализаций наблюдаемых данных x(t)> При этом границы доверительных интервалов отклоняются от экспериментальных данных не более чем на 10...15% с вероятностью 0,9.
На рис. 1 сплошными линиями нанесены зависимости нормированного условного рассеяния V/(q0) = 12v(/q|/0)/т2
(13) оценки времени прихода / (1 1) с учетом аномальных
ошибок при т = 20. Здесь же штриховыми линиями показаны аналогичные зависимости нормированного условного рассеяния V0,(q0)=12V0(/q|/0)/m2 (15) надежной оценки /ч
(11). Кривые 1 рассчитаны для ц = 50; 2 -100; 3 -200. Экспериментальные значения рассеяния оценки с учетом
аномальных ошибок обозначены на рис. 1 квадратиками, крестиками и ромбиками, а рассеяния \0/ надежной оценки / - кружочками, треугольниками и звездочками для ц = 50,
100 и 200 соответственно.
На рис. 2, 3 изображены теоретические зависимости нормированных условных рассеяний Vn(q0) = 2v(aq|a0)/EN ,
Vq(qo)=v(Dq|D0)/E^ (9) оценок 3q, Dq (10). Экспериментальные значения рассеяний v,, у Vq ПРИ т = 2 (когда оценка
времени прихода является надежной) показаны плюсиками, кружочками, треугольниками, а при m = 20 (когда при оценивании времени прихода возможны аномальные ошибки) — квадратиками, крестиками и ромбиками. Остальные обозначения такие же, как на рис. 1.
Согласно рис. 1-3 теоретические зависимости (9), (13)-(15) для характеристик измерителя (10), (11) временного и энергетических параметров случайного импульса (1) удовлетворительно аппроксимируют соответствующие эксперимен-
тальные данные, по крайней мере, при ш>20, ц250,
z>0,5...2 и (fmax -fmin)/ц<4■ 10“3- Здесь fmin и fmax=l -минимальное и максимальное значения функции f(t). Таким образом, полученные результаты позволяют сделать обоснованный выбор между предложенным и другими алгоритмами оценки времени прихода, МО и дисперсии низкочастотных случайных импульсных сигналов с произвольной модулирующей функцией в зависимости от требований, предъявляемых к эффективности алгоритма и степени простоты его технической реализации.
Литература
1. Чернояров О.В., Рашитов М.Ф. Эффективность приема случайного импульсного сигнала произвольной формы с неизвестным временем прихода // Вестник Московского энергетического института, 2010, — №5.
2. Куликов Е.И., Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. - М.: Сов. радио, 1978. - 296 с.
3. Бассвиль М., Вилски А., Банвентист А. и др. Обнаружение изменений свойств сигналов и динамических систем / Под ред. Бассвиль М., Банвентиста А.М. - М.: Мир, 1989. - 278 с.
4. Захаров A.B. Оптимизация алгоритма обнаружения флуктуирующего радиоимпульса с неизвестным временем прихода // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика, 2005. - №1. - С. 46-56.
5. Трифонов А.П., Захаров A.B., Парфенов В.И. Эффективность приема случайного импульсного сигнала с неизвестными параметрами // Радиотехника и электроника, 1991. — Т.36. — №7. -С. 1300-1308.
Evalution of time and energy parameters of low-frequency random pulse with arbitrary modulating function
Svidchenko S.S.
Abstract
Synthesis and analysis of single-channel quasi-optimal algorithm for estimating the time of arrival, the expectation and variance of a Gaussian random low-frequency pulse signal with an arbitrary modulation function in white noise is made. The methods of statistical modeling efficiency of the meter is defined and established the limits of applicability of asymptotically exact formulas for its performance.
