CC BY
5Механика
УДК 539.3
ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ НАЧАЛЬНОЙ СТАДИИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НА СВОЙСТВА КРИВЫХ РЕЛАКСАЦИИ, ПОРОЖДАЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫМ СООТНОШЕНИЕМ РАБОТНОВА ДЛЯ ВЯЗКОУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ
А. В. Хохлов1
Выведено и аналитически исследовано уравнение семейства кривых релаксации напряжения с произвольными программами деформирования на начальной стадии, порождаемого физически нелинейным определяющим соотношением Работнова с двумя произвольными материальными функциями. Изучено влияние длительности и формы начальной стадии на свойства кривых релаксации, получены эффективные оценки их отклонения друг от друга и от кривых релаксации при мгновенном нагружении через материальные функции и нормы программ деформирования, доказана сходимость отклонений к нулю при стремлении времени к бесконечности или длительности начальной стадии к нулю.
Ключевые слова: вязкоу пру гость, физическая нелинейность, влияние начальной стадии, оценки для кривых релаксации, асимптотика, сходимость, затухание памяти.
The general equation of stress relaxation curves family generated by the Rabotnov nonlinear constitutive equation (with two arbitrary material functions) under arbitrary strain histories at initial stage of deformation up to a given strain level is derived and studied analytically. The effect of the initial stage duration and shape on the properties of the relaxation curves is examined. Effective general bounds are obtained for differences of relaxation curves with different initial programs of deformation up to a given level and for their deviation from the relaxation curve under step loading via material functions and initial programs norms. As the rise time tends to zero, the convergence of the relaxation curves family (with a fixed strain level and initial stage shape) to the relaxation curve under step loading is proved.
Key words: viscoelasticity, physical nonlinearity, effect of initial stage of deformation, bounds for relaxation curves, asymptotics, convergence, memory fading.
1. Введение. Нелинейным определяющим соотношением (ОС) Работнова [1-7]
t t
p(e(t)) = Jn(t - r) da(r), a(t) = j R(t - r)р' (e(t)) de(r), t> 0, (1)
0 0
описываются одномерные изотермические процессы деформирования нестареющих вязкоупругопла-стичных материалов. Здесь a(t) и e(t) — истории изменения напряжения и деформации в точке тела; n(t), R(t) — функции ползучести и релаксации; р(u) — дополнительная материальная функция, введенная Ю.Н. Работновым [1]. ОС (1) обобщает одноосное линейное ОС вязкоупругости:
t t e(t) = jn(t - т) da(r), a(t) = J R(t - r) de(r), t> 0. (2)
00
В англоязычных работах ОС (1) именуется уравнением квазилинейной вязкоупругости (QLV), а его автором считается Я.Ч. Фанг (Y.C. Fung) [8-12]. Подробные обзоры литературы и областей приложения ОС (1) приведены в работах [13-18].
Настоящая статья продолжает цикл работ [13-18] по качественному анализу нелинейного ОС (1) с произвольными материальными функциями R и р и его обобщений на трехмерный случай [18], цель которого — определение комплекса моделируемых этим ОС реологических эффектов и границ
1 Хохлов Андрей Владимирович — канд. техн. наук, вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: andrey-khokhlovQya.ru.
его области применимости, сфер влияния его материальных функций и феноменологических ограничений на них, разработка способов идентификации, верификации и настройки. Ее задача — вывод уравнения и анализ свойств семейства теоретических кривых релаксации напряжения (КР) с произвольными монотонными стадиями деформирования (длительности t* > 0) до заданного постоянного уровня деформации ё > 0, т.е. откликов ОС (1) на программы вида
e(t) = ё/(t/t*), t € [0; t*], e(t) = ё = const, t > t*, (3)
где /(x) — непрерывная неубывающая кусочно-гладкая функция на [0; 1], такая, что
/(0) = 0, /(1) = 1, 0 </(x) < 1, x € (0; 1) (4)
(например, /(x) = x для стадий деформирования с постоянными скоростями a = ё/t*).
Мгновенные нагружение и деформирование неосуществимы в испытаниях материалов. Наличие начальной стадии нагружения (до заданного постоянного уровня напряжения или деформации) и влияние ее длительности и других характеристик следует учитывать при обработке и интерпретации экспериментальных кривых релаксации и ползучести и при определении материальных функций и параметров, в частности при оценке влияния отклонений от заданной идеальной программы на результаты испытаний и идентификации [11, 19-22]. Для этого необходимо системное аналитическое изучение общих свойств теоретических кривых релаксации и ползучести с произвольной начальной стадией нагружения, которые порождает применяемое ОС (например, линейное ОС вязкоупругости (2) или нелинейное ОС (1)) с произвольными материальными функциями (а не только численный расчет КР для простейших конкретных материальных функций, как это принято в литературе) [21-23], и получение эффективных оценок их отклонения друг от друга, от КР при мгновенном деформировании и от КР с постоянной скоростью деформирования на начальной стадии (при ramp-деформировании). Такой анализ до сих пор не был выполнен для ОС (1) и даже (в общей постановке и в полном объеме) для линейного ОС (2) (обзор состояния вопроса и библиографию см. в [15, 21-23]), хотя он весьма полезен для уточнения арсеналов возможностей и области (не)применимости ОС и выявления индикаторов нелинейности поведения материалов по результатам испытаний.
Анализ сотен работ показывает, что даже для линейного ОС (2) многие общие свойства КР
/(x) = x
свойства в частных случаях простейших функций релаксации или обнаруживают их в численных расчетах, нередко допуская неточности и необоснованные обобщения. Например, в работе [24] авто-
/(x) = x
ни одного общего свойства КР, задают R = a + (b — a)(1+ t/c)_n с конкретными значениями четырех параметров, подсчитывают на компьютере отклонение соответствующей (единственной) КР при t* = 1 от идеальной КР и отмечают, что в точке t = t* отклонение достигает 10%, а при t > 10t* не превышает 1,5%. На этой "основе" предлагается схема определения функции релаксации путем численного дифференцирования экспериментальной КР. Авторы статьи [25] используют простейшие формулы численного интегрирования и дифференцирования для определения R при t < t*, они тестируют свою методику и пытаются подтвердить ее работоспособность лишь несколькими вычислительными экспериментами. В статье [26] рассматривается уравнение КР, порождаемых линейным ОС (2) при ramp-деформировании в частном случае степенной функции R = At_a, а € (0; 1), под-считываются на компьютере их отклонения от кривой релаксации при мгновенном деформировании и подчеркиваются большие отклонения и сильное влияние учета начальной стадии на результат идентификации.
2. Ограничения на материальные функции. Линейное ОС вязкоупругости (2) получается из ОС (1) при p(u) = u, а функции ползучести и релаксации связаны интегральным уравнением, выражающим условие взаимной обратности операторов (2). Поэтому из трех материальных функций n(t), R(t), p(u) в ОС (1) лишь две независимы. На функции ползучести и релаксации в ОС (1) наложим те же минимальные ограничения, что и в линейной теории: функции n(t) и R(t) предполагаются положительными и дифференцируемыми на (0, n(t) — возрастающей и выпуклой вверх [23], a R(t) — убывающей и выпуклой вниз на (0, функция релаксации может иметь интегрируемую особенность или ¿-сингулярность в точке t = 0 (слагаемое И3 этих условий следует существование пределов R(+to) = inf R(t) ^ 0 R(0+) = sup R(t) > 0 (R(0+) = то, если R(t) не ограничена) и П(0+) = inf n(t) ^ 0.
На функцию р в ОС (1) наложим следующие минимадьные требования [ 13-15]: р(и) непрерывно дифференцируема и строго возрастает на (w_;0)U(0; w+) (где ш_ш+ < 0), причем р(0—) =
р(0+) = 0 (иначе входному процессу a(t) = 0 соответствовал бы ненулевой отклик e(t))- Из возрастания р(и) следует существование обратной функции Ф = р~1 на промежутке Иф = (ж; ж), где ж = inf р(и), ж = supср(м), и обратимость ОС (1). Величины ж и ж (и их конечность или бесконечность) — важные характеристики функций р и Ф, существенно влияющие на поведение теоретических кривых ОС (1) [13-17]. Для материалов с одинаковым поведением при растяжении и сжатии функция р(и) нечетна, ш- = —
3. Кривые релаксации ОС (1) при мгновенном деформировании. При мгновенном деформировании e(t) = ëh(t) до уровня ё € (ш-; w+) (h(t) — функции Хевисайда) ОС (1) порождает КР вида
a(t,e) = <p(ë)R(t), t> 0 (5)
(для краткости будем называть их идеальными КР). Так как функция R(t) убывает и выпукла вниз, а р(и) возрастает, К Р с ё > 0 убывают и выпуклы в низ по t и возрастают по ё , т.е. ОС (1) отражает основные качественные свойства типичных КР вязкоупругопластичных материалов. При t ^ +о КР стремится к горизонтальной асимптоте а = p(ë)R(<x), поскольку убывающая положительная функция R имеет предел R(+o) ^ 0. КР (5) подобны и имеют точно такую же форму, как и v линейного ОС (2), но зависимость КР от ё уже не линейна, а задается материальной функцией р. Существенно, что р не влияет на форму КР и на время (спектр, скорость) релаксации. Подобие теоретических КР (5) — важный индикатор применимости ОС (1), который легко проверить по КР
ё
ё
наблюдается их подобие): при фиксированном ё можно найти R(t) = a(t,ë)/р(ё), а зафиксировав (достаточно большое) значение t, можно найти р(ё) = a(t,£)/R(t). Однако при таком способе не учитывается влияние начальной стадии деформирования на экспериментальные КР.
4. Свойства кривых релаксации с монотонной начальной стадией деформирования. Любой процесс деформирования вида (3) ОС (1) отображает в напряжение
t
t й <r(t) = j R(t- T)<p'(ëf(t/U))f'(t/U) dr = ë j R(t — Ux)p'(ëf(x))f'(x) dx, t^U] (6) 0 0 1
a(t) =e J R(t- t*x)p'(ëf (x)) f'(x) dx, t>t*. (7)
0
Далее для краткости будем называть отклик (6), (7) кривой релаксации и будем опускать указание зависимости а(Ь,ё^*) от ё , t* и функции f.
Поведение КР (6) при t € [0; t* ] сильно зависит от поведения f 'и р': начальный участок КР (6) (даже для f = ж) может иметь точку максимума и интервал убывания [16], но если р''(и) ^ 0 при u € (0, ё) и f ''(ж) ^ 0, то напряжение (6) возрастает по t и убывает по t*. Можно указать лишь два общих свойства (для любой f), если R несингулярна: 1) а(0+,ё, t*) = 0 и à(0+,ë, t*) = —ёt-1R(0)р'(0)f'(0);
2) в точке t = t* все КР (6), (7) непрерывны. Свойства КР (7) на втором участке, наоборот, от f практически не зависят и совпадают со свойствами идеальной КР (5), влияние начальной стадии затухает с течением времени, и КР (7) сливаются с КР (5) как при t ^ <х, так и при t ^ t*. Докажем это.
Теорема 1. Пусть ^^^^^^^ релаксацмм R(t) положительна, дважды, дифференцируема, убывает, строго выпукла вниз на (0; оо) и интеграл, от, нее по отрезку [0; 1] сходится; 2) функция р(и) непрерывно дифференцируема на интервале (ш-,ш+) (с ш-ш+ < 0^ р' > 0 и р(0) = 0;
3) функция формы начальной стадии деформирования f (ж) непрерывна, кусочно-дифференцируем,а,, удовлетворяет условиям (4) и f '(ж) ^ 0 на [0; 1].
Тогда, все кривые релаксации (7), порождаемые ОС (1) при деформировании по программам (3) ё, t* > 0 t > t*
1) (7) t (t* , о )
2) При t ^ о a(t) ^ р(ë)R(о), т.е. все КР (7) имеют общую горизонтальную асимптоту а = р(ë)R(о), не зависящую от t* и функции f и совпадающую с асимптотой идеальной, КР (5); если R(o) = 0 т'о a(t) ^ 0 при всех р, f, t*, ё.
3) Для, КР (7) с любыми f,t*, ё > 0 и для ее отклонения от идеальной, КР (5)
A(t,t*) := a(t, t*) — a(t, 0), t > t*,
(8)
справедливы двусторонние оценки через идеальную КР (5) и ее сдвиг вправо:
p(ë)R(t) <a(t,t*) <p^)R(t - t*), 0 < Д(М*) <p^)[R(t - t*) - R(t))] (9)
КР (7) лежат в полосе между КР (5) и ее сдвигом, на, t* впра,во по оси времени).
4) Для любы,х f t*; ё отклонение (8) стремится к нулю при t ^ то.
5) При любом фиксированном, t семейство КР (7) возрастает по параметру t* на интервале t* € (0, t); m,.е. с уменьшениемЛ*КР (7) смещается вниз.
6) При t* ^ 0 семейство КР (7) равномерно сходится, к идеальной, КР (5) на, любом л,уче t ^ h с h > 0 ^(t* + 0, ё, t*) ^ R(0)p(ë) и <j(t* + 0, ё, t*) ^ £(0)p(ë).
t
1 1 à(t) = £ j Rit — t*x)<p'(ëf(x))f'(x) dx, à(t) = e J R(t - t*x)<p'(ëf(x))f'(x) dx 0 0
при t > t*. Поскольkv f' ^ 0 и p' > 0, из убывайия R следует, что <г < 0, а из R(t) > 0 следует, что <г > 0, и потому при любом t* КР (7) убывает и выпукла вниз на [t*, то).
2) Для интеграла (7) (в нем функция R(t — t*x) непрерывна на [0; 1], a p'(ëf(x))f'(x) не меняет знак) по теореме о среднем существует точка £ € (0, t*), такая, что
1
a(t, ё, U) = R(t - £)ё J <p'(ëf(x))f'(x) dx = <p(ë)R(t - £(i, E, t*)), t > t* (10)
0
(промежуточная точка £ зависит от t, ё, t* и от функций R, p, f ; R(t) ^ R(to) при t ^ то и R(t — £(t, ё, t*)) ^ R(to), так как £ € (0, t*) следовательно, a(t, ё, t*) ^ p^)R(to).
3) Поскольку функция релаксации убывает, то R(t) < R(t — £) < R(t — t*) и из (10) следует, что
ё > 0 f
4) Свойство следует из (9), так как существует предел R(to) и R(t — t*) — R(t) ^ 0 при t ^ то.
5) Дифференцируя (7) по получим da/dt* = —£f0 xÊ(t — i*x)p'(e/(x))//(x) dx > 0 при t > t*,
ибо R < 0 p' > 0 f ' ^ 0.
6) Свойство следует из (9) в силу оценки |R(t — t*) — R(t)| = |R(t — £)|t* < |R(t — t*)11* ^ |RR(h)11* при t ^ t* + h, вытекающей из теоремы Лагранжа и ограничения R > 0.
Замечания. 1. Все пункты теоремы справедливы и для неограниченных функций релаксации (с R(0+) = +то), имеющих интегрируемую особенность в нуле.
2. Утверждения теоремы справедливы и для моделей с сингулярными функциями релаксации R = n^(t) + Rr(t), где n > 0 Rr(t) регулярна. Наличие сингулярного слагаемого никак не влияет на КР (7) при t > t* (они полностью совпадают с КР для R = Rr(t)), а при t < t* к каждой КР добавляется слагаемое nët-"1p'(ëf (t/t*))f'(t/t*) и v КР (6), (7) появляются разрывы первого рода в точках t = 0 и t = t*.
1 t* ё > 0 (7) f = f1
и f = f2; выражается формулой
t»
^(t) — n(t) = J R(t — T)[p(ëf2(T/t*) — p(ëf1(r/t*))] dT, t > t*, (11)
0
m обладает, следующим,и, свойствами:
1) для любого t > t* разнос m, ь (11) допускает, оценки сверху через нормы функции f2 — f1 в банаховых пространствах C[0; 1] u L1[0; 1]:
k2 — = |R(t — t*) — R(t)| ||p(ëf2(x)) — p(ëf1(x))yc , (12)
k2 — 1 = |R(t — t*) — R(t)| ё ||f2 — f1|c max {p'(u)|u € [0,ё]} , (13)
к2 - < -R(t - t*)t* \\р(ё/2) - р(ё/i)||Ll < lR(t - t*)t* ё / - h\\Ll max{р'(u)} ; (14)
2) при всex / справедлива универсальная оценка,
W2(t) - ai(t)l < p(e)[R(t - t*) - R(t)], t > t*; (15)
3) la2(t, t*) - ai(t, t*)| — 0 при t — ж и при t* — 0 (равномерно на лучах t ^ h с h > 0);
4) есл,и {/n(x)} равномерно сходится к /0(x) на, [0;1], то последовательноеть КР an(t) (с фиксированными t* и ё) равномерно сходи тся к а0 (t) на, любом, л, уче t ^ t* + h с h > 0;
5) есл и f2(x) ^ /i(x) при x € (0; 1), то a2(t,e,t*) ^ ai (t,£,t*) при вс ex t > t*.
Доказательство. Формула (11) получена интегрированием (7) по частям с учетом (4).
1, 2. По теореме о среднем для интеграла (11) с любыми непрерывными f существует точка в € (0; 1), такая, что
t*
V2(t) - ai(t) = Ые/2(в)) - р(ё/i(в))] J R(t - r) dr = [р(ё Ь(в) - р(ё/i(e))][R(t) - R(t - t*)]
о
(так как R(t -т) не меняет знак, а функция y(r) = p(e/2(r/t*) - р(ё/i(r/t*)) непрерывна). Поэтому верны оценки (12) и (13) (по теореме Лагранжа, ибо р'(и) непрерывна на [0,ё]). В силу (4) из (12) следует более грубая оценка (15). Неравенства (14) вытекают из оценки
t*
W2(t) - ai(t)l Rt - т)M£h(r/t*)) - <p(E/i(r/t*))l dr = -R(t - £)t* \\р(ё/2) - <р(ё/i)\\li о
(точка £ € (0,t*) существует по теореме о среднем для интеграла (11)). В самом деле, lR(t - £)| ^ lR(t - t*)l (в силу убывания и выпуклости вниз функции R(t)), а по теореме Лагранжа для любого x € (0; 1) существует точка ( € (ёmin{/i(x)}, ёmax{/i(x)}) С (0,ё) (( зависит от x, ё и /¿), такая, ЧТО р(ё/2(x)) - p(£/i(x)) = р' (Z) ё [h(x) - /i (x)], И потому lp(£/2(x)) - p(£/i(x))l ^ £[/2(x) -/i(x)] max{р'(u)lu € [0,ё]} при x € [0;1].
3, 4. В силу (14) имеем la2(t,e,t*) - ai(t^,t*)l — 0 как при t — ж, так и ПРИ t* — 0. Равномерность сходимости при t* — 0 на луч ах t ^ h вытекает из оц енки lR(t - t*) - R(t)| = lR(t - £)|t* < lR(t - t*)11* ^ lR(h)lt* при t ^ t* + h. Точно так же из (13) следует, что равномерная сходимость /n(x) — /o(x) влечет равномерную сходимость КР an(t) — ао(t) (с фиксированными t* и ё) на любом луче t ^ t* + h (даже в случае R(0+) = ж).
5) Из (11) следует, что а2 - ai ^ 0 при t > t*, так как R < 0, а, р возрастает.
Замечания. 1) Если р" ^ 0 т0 в (13), (14) имеем max{р'(u)lu € [0,ё]} = р'(ё), а если р" ^ 0, то max{р'(u)lu € [0,ё]} = р'(0).
2) Из пунктов 4 и 6 теоремы 1 и п. 3 теоремы 2 следует, что для ОС (1) всегда имеет место затухание памяти при релаксации: модель забывает о любом воздействии (возмущении) ё(t) с финитным носителем по прошествии достаточно большого времени: разность откликов R[e(t) + e(t)] - R[e(t)] стремится к нулю при t/t* — ж или по некоторой норме, когда t* — 0. Отметим, что для затухания памяти при ползучести необходимо наложить на асимптотику функции ползучести при t — ж условие П(ж) = 0; для линейного ОС (2) оно будет и достаточным [24], а в случае ОС (1) нужны дополнительные ограничения: достаточно конечности предела П(ж) или условия inf {р'(u)lu > c} > 0 для некоторого c > 0 (оно не выполняется, например, в случае р'(ж) = 0) [13].
3) Уравнения КР (6), (7) и формулы для отклонений (8) и (11) остаются в силе и для немоно-
/(x)
t > t*
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 17-08-01146 а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Работное Ю.Н. Равновесие упругой среды с последействием // Прпкл. матем. и механ. 1948. 12, вып. 1.
53-62.
2. Наместников B.C., Работное Ю.Н. О наследственных теориях ползучести // Прикл. матем. и теор. физ. 1961. 2, № 4. 148-150.
3. Работное Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966.
4. Дергунов Н.Н., Наперник Л.Х., Работное Ю.Н. Анализ поведения графита на основе нелинейной наследственной теории // Прикл. матем. и теор. физ. 1971. 12, № 2. 76-82.
5. Работное Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977.
6. Суворова Ю.В. О нелинейно-наследственном уравнении Ю.Н. Работноваи его приложениях // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2004. № 1. 174-181.
7. Алексеева С.И., Фроня М.А., Викторова И.В. Анализ вязкоупругих свойств полимерных композитов с углеродными нанонаполнителями // Композиты и наноструктуры. 2011. № 2. 28-39.
8. Fung Y. С. Stress-strain history relations of soft tissues in simple elongation // Biomechanics, Its Foundations and Objectives / Ed. by Y.C. Fung et al. New Jersey: Prentice-Hall, 1972. 181-208.
9. Fung Y.C. Biomechanics. Mechanical Properties of Living Tissues. N.Y.: Springer-Verlag, 1993.
10. De Frate L.E., Li G. The prediction of stress-relaxation of ligaments and tendons using the quasi-linear viscoelastic model // Biomech. Model. Mechanobiol. 2007. 6, N 4. 245-251.
11. Lakes R.S. Viscoelastic Materials. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2009.
12. De Pascalis R., Abrahams I.D., Parnell W.J. On nonlinear viscoelastic deformations: a reappraisal of Fung's quasi-linear viscoelastic model // Proc. Roy. Soc. A. 2014. 470. 20140058. DOI: 10.1098/rspa.2014.0058.
13. Хохлов А.В. Асимптотика кривых ползучести, порожденных нелинейной теорией наследственности Ра-ботнова при кусочно-постоянных нагружениях, и условия затухания памяти // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 5. 26-31.
14. Хохлов А.В. Анализ общих свойств кривых ползучести при ступенчатом нагружении, порождаемых нелинейным соотношением Работнова для вязкоупругопластичных материалов // Вестн. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естеств. науки. 2017. № 3. 93-123. DOL/10.18698/1812-3368-2017-3-93-123.
15. Khokhlov A.V. Analysis of properties of ramp stress relaxation curves produced by the Rabotnov non-linear hereditary theory // Mech. Compos. Materials. 2018. 54, N 4. 473-486. DOI:/10.1007/sll029-018-9757-l.
16. Хохлов А.В. О способности нелинейного определяющего соотношения Работнова для вязкоупругопластичных материалов моделировать диаграммы деформирования с падающим участком // Пробл. прочности и пластичности. 2018. 80, № 4. 477-493.
17. Хохлов А.В. Свойства семейства диаграмм деформирования, порождаемых нелинейным соотношением Ю.Н. Работнова для вязкоупругопластичных материалов // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2019. № 2. 29-47. DOI:/10.1134/50572329919020077.
18. Хохлов А.В. Моделирование зависимости кривых ползучести при растяжении и коэффициента Пуассона реономных материалов от гидростатического давления с помощью нелинейно-наследственного соотношения Работнова // Механ. композиционных материалов и конструкций. 2018. 24, № 3. 407-436.
19. Адамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков Н.Н. Методы прикладной вязкоупругости. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2003.
20. Bergstrom J.S Mechanics of Solid Polymers. Theory and Computational Modeling. N.Y.: Elsevier, William Andrew, 2015.
21. Хохлов А.В. Идентификация нелинейной модели упруговязкопластичности типа Максвелла по кривым ползучести с начальной стадией нагружения. Часть 1. Математический фундамент // Деформация и разрушение материалов. 2017. № 9. 2-9.
22. Хохлов А.В. Двусторонние оценки для функции релаксации линейной теории наследственности через кривые релаксации при ramp-деформировании и методики ее идентификации // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2018. № 3. 81-104.
23. Хохлов А.В. Анализ свойств кривых ползучести с произвольной начальной стадией нагружения, порождаемых линейной теорией наследственности // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2018. № 1. 65-95. doi: 10.14498/vsgtul543.
24. Lee S., Knauss W.G. A note on the determination of relaxation and creep data from ramp tests // Mech. Time-Dependent Materials. 2000. 4, N 1. 1-7.
25. Sorvari J., Malinen M. Determination of the relaxation modulus of a linearly viscoelastic material // Mech. Time-Dependent Materials. 2006. 10, N 2. 125-133.
26. Di Paola M., Fiore V., Pinnola F., Valenza A. On the influence of the initial ramp for a correct definition of the parameters of fractional viscoelastic materials // Mech. Materials. 2014. 69, N 1. 63-70.
Поступила в редакцию 07.02.2018
