Оценка вероятностных характеристик поляризационных параметров негауссовских сигналов при наличии помех Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.391

ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ НЕГАУССОВСКИХ СИГНАЛОВ ПРИ НАЛИЧИИ ПОМЕХ

Н.С. Акиншин, В. Л. Румянцев, А.В. Хомяков, М.В. Осыко, Э.В. Амнинов

Выполнена оценка поляризационных параметров радиолокационных негауссовых сигналов при наличии помех.

Ключевые слова: статистические характеристики, радиолокационный сигнал, негауссовское распределение, поляризационные параметры.

Известно, что важнейшей задачей при разработке радиолокационных систем является решение проблемы эффективной обработки полученной информации. Наиболее часто при обработке радиолокационных сигналов применяется считающийся классическим нормальный (Гауссов) закон распределения случайной величины.

В данной статье в отличие от Гауссова закон рассматриваются задачи оценки вероятностных характеристик поляризационных параметров негауссовых сигналов при наличии помех. При синтезе и анализе алгоритмов обнаружения и распознавания частично поляризованных сигналов на фоне помех применяются основные параметры законов распределения модуля поляризационного фазора и характеристик его выбросов, а также коэффициента эллиптичности и параметров Стокса.

Целью статьи является исследование модуля поляризационного фа-зора сигнала, а также характеристик коэффициента эллиптичности и параметров Стокса при наличии негауссовых помех.

1. Модуль поляризационного фазора сигнала при наличии негауссовых помех

Предположим, что на вход антенны РЛС поступает аддитивная смесь полезного сигнала и помехи. Требуется определить вероятностные характеристики поляризационных параметров смеси огибающих ортогонально поляризованных компонентов негауссовых сигналов и помех.

В качестве поляризационных параметров рассмотрим модуль поляризационного фазора Р, коэффициент эллиптичности r и параметры Стокса

I, Q, U и V. Статистическому описанию этих параметров в данной постановке вопроса посвящены работы [1,2].

В соответствии с ними при изучении вопросов разнесенного приема, двулучевого распространения радиоволн, поляризационной структуры и контрастности отраженных сигналов, необходимо знание статистических характеристик отношения смесей полезного сигнала и помехи Е2/Е1. Учитывая, что модуль фазора можно записать как Р = Е2/Е1, воспользуемся со-

отношением [3,4]

¥

^с+п(Р)= /^(ЕьЕ2 = РЕ1 )|Е\dE-i. (1)

0

Полагая, что Е1 и Е2 независимы для Жс+П(Е1), Жс+П(Е2), будет справедливо выражение с параметрами ас1, Рс1, ус1, аи1, Ри1 и ас2, Ьс2, ус2, аи2, ри2

[5]

^0+0 (Я ) =

2

\ап-1

Г(а п)

Р

п

п ) V 2 У

Я 2а п-1

1 + с-1 Ус

ехр

+ вп Я 2

X

X £ Л* 1Ґ1

к=0

ас + к, ап

’2(1 + С)

(2)

где С = Ьс / Р«; Л* = — у2/2вс і + С 1 )| ; 1^1( •) -вырожденная гипергео-

к!

метрическая функция.

После соответствующей подстановки (2) в (1) и вычислений [5] получим ПРВ модуля фазора при наличии частично поляризованной помехи. Выражение для смеси частично поляризованного сигнала и помехи представлено выражением

Ґ 2 2 1С2 , 1С2

2И 2ап2 р2а"2-1 ехр

^о+п (Р)

+

рС1 РС 2

-1 \аС1^ -1 \аС2 і ,2 2 \а«1 +ап2

1 + С1^ 1 + с-1) 1 + И 2р 2)

X

х £ А А Г(Р)В 1 (а«1 ’ а«2 + Р)

X £ Л* Л«-т-г---

к ,п, р=0 Р! В(аС 2 + « Р )

22 И р

(1 + С2 )(1 + И2 р 2) 22

х2^ЦаС1 + *>а«1 +ап2 + р;ап1;11(1 + С1)(1 + И р

X

(3)

где

сі Ра/р«і,

сю

Вероятностные кривые, рассчитанные на основе (3), представлены на рис. 1, где а! = ус1/рс1, а2 = ус2/Рс2. Видно, что трансформация кривых Жс+п(Р) существенно зависит от параметров сигнала и помехи. На основе (3) могут быть определены интегральная функция распределения модуля поляризационного фазора и п-е начальные моменты.

Рис. 1. Зависимость ПРВ Wc+n(Р) от параметров сигнала и помехи

На рис. 2 представлены соответственно зависимости среднего значения тр, дисперсии ор, коэффициента вариаций КВ и эксцесса КЭ поляризационного фазора, рассчитанные по известным [3] выражениям:

Ор = тр2 - тр, Кв -

(4)

О р т р

(3) К 'р

К А ---------

т

тр

КЭ —р-

4трт(р)

+ 6тр2 т р

- 3трт(р) + 2

т

(3)

Ї

/2

3т

р

4

(4)

[о р Г

- 3.

Отметим, что на основе полученных базовых выражений могут быть получены многочисленные частные случаи при различных сочетаниях параметров смесей сигнала и помехи ортогонально поляризованных компонентов.

Наряду с вероятностными характеристиками, рассмотренными выше, для решения ряда практических задач возникает необходимость определения статистических характеристик выбросов модуля поляризационного фазора сигнала при наличии негауссовой помехи. Рассмотрим среднее число выбросов модуля фазора Р в единицу времени (среднее число пересечений некоторого уровня Р0 с заданным знаком производной).

т.

0,8

0,6

0,4

0,2

ср 1=0,3

>%5 ЪЛ/

2^

3^

0,5 1

К,

в

(Хс2

а

б

Ч/ «(|=3,С

2^

о/?—

0,5

0,5 1

<ЗСс2

2

Рис. 2. Зависимость характеристик тР, КВ, ар и КЭ от параметров

2

сигнала и помехи: а - ап1=ап2=1, с1=с2=1, Н =1, а1=а2=0;

2

б - ап1=ас1=2, ап2=ас2=5, Н =1, а1=а2=0

Считаем, что смеси ортогонально поляризованных компонентов сигналов и помех являются узкополосными стационарными, дифференцируемыми в среднеквадратическом, процессами. Тогда для определения среднего числа выбросов модуля фазора Р = Е2Е над фиксированным уровнем Р0 в единицу времени воспользуемся формулой [3]

Мр )= |Р ж (Ро, Р^Р

о

где Р - производная отношения Р.

Исходным выражением является совместная плотность распределения огибающих Е1, Е2 и их производных ¿1, Е 2 в совпадающий момент времени. Для перехода от Ж4 (¿¡, ¿2, Е&\, Е2) к двумерной ПРВ Ж (Р, Р) произведем переменных Р = Е2/Е1 и Р = (Е2 - РЕ&1 )/Е^.

Тогда

оо оо

Ж (р, Р )= |1Ж (е1, Е2 = РЕ1, Еь Е2 = РЕ1 + РЕ1 )EldE1dE'2

(6)

00

Подставляя (3) в (6) и затем в (5), можно определить выражение для среднего числа выбросов А(Р0).

Указанная задача была решена для двух случаев: детерминированного (полностью поляризованного) сигнала при наличии негауссовой помехи и частично поляризованного негауссового сигнала при наличии частично поляризованной негауссовой помехи. Во втором случае огибающие Е1 и Е2 подчиняются распределению Же+п(Е;), где I = 1, 2, описываемому выражением (2), а в первом случае огибающие Е1 и Е2 представляют собой огибающие смеси ортогонально поляризованных компонентов негауссово-го сигнала и негауссовой помехи при ус1 = ус2 = 0 .

При этом полагалось, что производные огибающих ¿1 и Е 2 не зависят от Е1 и Е2 и являются нормальными со средним значением равным нулю и дисперсиями о2. Полученные результаты для первого случая представлены соотношением

Nс+„ (Р0)

и^ап2 р Аап2 ^0

р'а2-у1+н2 р

(1+л2 р2)

22 0

ап1+ап 2-0,5

22 а + а ^01^ 02

Р

1 к=0

Г(ап1 +ап2 + к - 0,5)

к !Г( к + ап1)

(7)

2 к

а01 2 ^

2 (1 + к2 р\)

а

-к,-(к + а) +1; ап 2а Л Р

а01

22

22

г

2

где Н2 =4, а„,=4рЛ,. 2 = °-. Л =Ь

°2 Рп1 Рп1

Отметим, что если ортогонально поляризованные компоненты сигнала и помехи являются эргодическими процессами, можно определить среднее значение длительности выбросов Ае+п(Рдл) и среднюю длительность интервалов между выбросами Ае+п(РИ). Для этого достаточно подставить в соотношения [3]

Ас+п (РИ0 )=[1 - ^е+п (Р0)]/Nс+ п (Р0) и Ас+П (Рс )= ^+п (Р0 )/ Ас+п (Р0)

выражение для интегральной функции и соответствующее выражение для среднего числа выбросов. Отметим, что число частных случаев можно расширить, выбирая требуемое сочетание параметров ас, Рс, ус - сигнала и

210

Управление, вычислительная техника и информационные технологии ат р„ - помехи.

2. Характеристики коэффициента эллиптичности сигнала при наличии негауссовых помех

Определение вероятностных характеристик коэффициента эллиптичности сигнала при наличии негауссовых помех проведем в круговом

поляризационном базисе X 01, X 02 . Использование этого базиса само по себе не дает существенных преимуществ при исследовании вероятностных свойств частично поляризованного сигнала, ибо он является частным случаем произвольного базиса ^1,X2 _|. Однако круговой базис оказывается более предпочтительным при изучении вероятностных свойств инвариантных к базису геометрических характеристик поляризационного зллипса, в частности коэффициента эллиптичности.

Действительно, при круговом поляризационном базисе соотношение между модулем поляризационного фазора Р и коэффициентом эллиптичности г определяется простым соотношением

г = (1 - Р)/(1 + Р), Р = Е2/Е 1, (8)

где Е2, Е1 - огибающие ортогонально поляризованных компонентов сигнала при наличии помехи в круговом базисе. Следовательно, для определения ПРВ коэффициента эллиптичности достаточно воспользоваться соотношением

W (г ) = W

1 + г

P =

1 - г

2

(1 - г )'

2

г є

(і;і), (9)

которое вытекает из правила преобразования ПРВ случайных величин [4].

Сохраняя обозначения, принятые в настоящем разделе, и помня, что параметры ПРВ W(Ei) - аш-, ]Зпі, а, (Зы и уы представлены в круговом базисе, в силу инвариантности структуры ПРВ W(P) преобразованию базиса определим вероятностные характеристики коэффициента эллиптичности для детерминированного (полностью поляризованного) сигнала при наличии негауссовой помехи и для более общего случая, когда сигнал и помеха являются частично поляризованными. К этим характеристикам отнесем

г

Жс+п(г), Fc+п (г )= | W (г ^г - интегральную функцию распределения коэф-

-1

фициента эллиптичности, а также среднее число выбросов коэффициента эллиптичности Щг0).

Так, в соответствии с соотношениями (8), (9) после достаточно громоздких преобразований ПРВ коэффициента эллиптичности будет иметь вид

^с+п (г ) =

4к 2ап2 (1 + г)2ап2-1 (1 - г)2апі-і ехр 1 2 ( 2 2 ^ ІС1 | 1С2 К Рс1 Рс 2 )

+ 1 + 21 о К» (1 - г)2 + к2 (1 + г)2 2 п а +1 п1 а

X

* X з кз п

к ,п=0

(1 + сг )-1(1 - г )2 (1 - г )2 + к 2 (1 + г )2

к

X

X

к 2 (1 + с2) 1(1 + г)2 (1 - г)2 + к2 (1 + г)2

п

В 1(ап1 + к, а п2 + п)-

(10)

Для определения И(т0) можно воспользоваться взаимными однозначными функциональными преобразованиями между модулем поляризационного фазора и коэффициентом эллиптичности в круговом базисе и их производными

2г

—2'

1 + г

Р =-----, Р

1 - г (1 - г)

Из (11) следует очевидный физический результат [1, 2]: всегда существует однозначное соответствие между пересечением модуля поляризационного фазора Р уровня Р0 и каждым пересечением коэффициента эллиптичности г уровня г0, то есть

N (го ) = N

Ро =

= 1 + г0 1 - г0

(12)

Среднее число выбросов ^с+пС^о) коэффициента эллиптичности над фиксированным уровнем г0 для полностью поляризованного сигнала при наличии негауссовой помехи определяется после подстановки (7) в (12) и соответствующих преобразований [6]:

N(го)= к2ап2 (1 + р)2гап2-1 (1 -р)2а"1-1 V(1--гр)2 + Н2(1 + р)2 *

4жО(1 -г0)2 + к (1 + г0)

ап1+ап2 0,5

X ехр

1 2 2 -7Т\а01 + а02

2

£ Г(п1+ап2 + к - 0,5 ) *

X

2

к=0 к!г(п1+к)

а21(1 - г0)2

(1 - г0 )2 + к2 (1 + г0 )2

X

к,-(ап1 + к) +1;ап2;а02І а21к2

1 + г0 1 - г0

(13)

сю

Базовые выражения для вероятностных характеристик коэффициента эллиптичности и основных частных случаев частично поляризованного и полностью поляризованного сигнала могут быть основой для получения других частных случаев, для чего необходимо выбрать соответствующее сочетание параметров сигнала и помехи и провести преобразование выражений (10) и (13) .

3. Характеристики параметров Стокса при наличии негауссовых помех.

Рассмотрим вероятностные характеристики параметров Стокса, значения которых связаны с огибающими ортогонально поляризованных компонентов соотношениями [1]

I

Е2 + е|,

О

Ех1

Е\

',у 2, и = ^Х1 - 2-

где I представлен в произвольном, параметр Q - в линейном, параметр и -в линейном со сдвигом прямоугольной системы координат на угол р/4, а параметр V - в круговом поляризационном базисах.

Определим плотность распределения вероятностей первого параметра Стокса I в произвольном поляризационном базисе, когда сигнал полностью поляризован, а помеха является частично поляризованным негауссовым процессом. В этом случае огибающие ортогонально поляризованных компонентов аддитивной смеси сигнала и помехи описываются выражением вида

ЕІ1

Е\

V

Е02 + Е-2

пт;

(14)

^о+п (Е ):

РпЕ а П

Е а П -1 Е0

ехр

р

2

п (ео + Е2)

1 аП -1 (РпЕ0 Е )

(15)

^2

Е22

а квадраты огибающих ^1 = Е{ полученной на основе перехода от Е2 к 5

Л а п -1

могут быть описаны формулой,

^о+п (5 ) = рп

ехр

р

п

2

I

аП

и далее после определенных перестановок можно получить формулу преобразования в виде

Ж (I )= | Ж (51 )Ж (I - S1 )| ^1, (17)

0

где якобиан преобразования | J | = 1.

Проведя интегрирование по переменной 51, плотность распределения первого параметра Стокса

получим искомую

/ О Л ¥

х 1 а„1+а„2-1 ехр| -М11 £АкАп1 +пГ-1(аи1 +а„2 + к + п)х

V 2 )1г

V 2 /к ,п=0

Р п1

2

(18)

где

2п

, 5о- = -4, - = 1, 2.

Из (18) видно, что ПРВ первого параметра Стокса зависит от шести параметров: 50-, ап- и Рп-. Первые два характеризуют поляризационные свойства детерминированного сигнала, а последние четыре - поляризационные свойства негауссовой частично поляризованной помехи. Из выражения (18) нетрудно получить соответственно интегральную функцию

V

^с+п(1) и п-е моменты 1 с+п . Аналогичные вероятностные характеристики первого параметра Стокса аддитивной смеси негауссового частично поляризованного сигнала и негауссовой частично поляризованной помехи при необходимости могут быть получены при вариациях параметров аС-, рСЬ УСь ani, Рпг'.

Для определения вероятностных характеристик других параметров Стокса (0, и, V), представляющих собой разности квадратов огибающих ортогонально поляризованных компонентов аддитивной смеси сигнала и помехи в соответствующих поляризационных базисах, не нарушая общности задачи, воспользуемся круговым поляризационным базисом.

При этом обозначим V = Е2 - Е% = 51 - 52, где 5- = Е-, а индекс 1 соответствует ортогонально поляризованному компоненту левого направления вращения плоскости поляризации, а индекс 2 - правого.

Воспользовавшись правилом преобразования плотностей распределения вероятностей [3] и учитывая независимость 51 и 52, запишем

где модуль якобиана преобразования переменных и = 1. Анализ показывает, что интеграл (19) отличен от нуля при выполнении условий 51 > 0 и 51 -

V > 0. Поэтому выражение (19) можно представить в виде

¥

(19)

— ¥

}¥(¥)■

$ Ж(51 - УУ\(®1 при К > О,

V

оо

|)ж(5! - при К < 0.

(20)

Найдем плотность распределения вероятностей параметра Стокса V, когда сигнал и помеха являются негауссовыми частично поляризованными процессами, а квадрат огибающих смесей ортогонально поляризованных компонент описывается выражением (16). Тогда, подставляя полученное выражение в соотношение (20) и интегрируя по переменной ^ после преобразований получим

К.и(г) = мГ

X

хехр

К

Рп2±

Рп\ +Д

п 2

Ж

±Х+/и

к

Дл +д

п 2

(21)

где

М':

2

7к

Г^Г^)^"1)*1 (1 + с-1)6

-х

х

Дл + д

к+п

и2 /

к,п=0

Рп\ + Д

и2 /

где Ж±х^~ вырожденная гипергеометрическая функция Уитеккера, ^4« -определены в (18), А, = (ап\ - ап2 + к + п)!2, |1 = (1 - а„1 - аи2- А: + п)!2.

Если параметры асг = аиг= 1, усг = 0, то из (21) следует к+п

+ Ри)

]¥(¥) = МУ

ехр

IV.

к+п (1+к+п)^г 2 ’ 2

(22)

где М =

1

4 (исг'^+с;

п.!

2 Д,и=0

Р

и

Р

п

п

к+п

(Р „)~

2(1 + СО] [2(1 + С2)

Напомним, что полученные выше выражения (21) и (22) для плотностей распределения параметра Стокса V и их частные случаи инвариантны для параметров <2 и II в соответствующих линейных поляризационных базисах.

Заключение

1. В качестве поляризационных параметров рассмотрены модуль поляризационного фазора, коэффициент эллиптичности и параметры Сто-

кса. Статистические характеристики перечисленных параметров получены для наиболее общих моделей сигнала и помехи.

Показано, что степень трансформации кривых плотности распределения вероятностей поляризационных параметров существенно зависит от физически измеряемых параметров сигнала и помехи.

2. Определены вероятностные характеристики коэффициента эллиптичности сигнала при наличии негауссовых помех в круговом поляризационном базисе. Использование указанного базиса является более предпочтительным при измерении вероятностных свойств инвариантных к базису геометрических характеристик поляризационного эллипса.

3. Показано, что плотность распределения вероятностей первого параметра Стокса зависит от шести параметров. При этом первые два характеризуют поляризационные свойства детерминированного сигнала, а последние четыре - поляризационные свойства негауссовой частично поляризованной помехи.

4. Знание законов распределения основных поляризационных параметров, полученных для наиболее общего случая негауссовых сигналов и помех, позволяет оценивать влияние негауссовского характера на степень трансформации кривых плотности распределения вероятностей. Указанное, в свою очередь, имеет важное значение при синтезе и анализе алгоритмов обнаружения и распознавания частично поляризованных сигналов на фоне помех.

Список литературы

1. Мелитицкий В. А., Поздняк С.И. Введение в статистическую теорию поляризации радиоволн. М.: Сов. радио, 1974. 479 с.

2. Миллиметровая радиолокация: методы обнаружения негауссовских сигналов / Н.С. Акиншин [и др.]; под ред. Быстрова Р.П. М.: Радиотехника, 2010. 528 с.

3. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. 623 с.

4. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники: в 3 кн. Кн. 1. М.: Сов. радио, 1976. 288 с.

5. Обобщенная модель радиолокационных стационарных негауссовских сигналов / Н.С. Акиншин [и др.] // Электромагнитные волны и электронные системы. 2009. Т.14. №1. С. 25-43.

6. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ГИФМЛ, 1962. 1097 с.

Акиншин Николай Степанович, д-р техн. наук, нач. отдела, Россия, Тула, ОАО «Центральное конструкторское бюро аппаратостроения»,

Румянцев Владимир Львович, д-р техн. наук, зам. нач. отдела, Россия, Тула, ОАО «Центральное конструкторское бюро аппаратостроения»,

Хомяков Александр Викторович, канд. техн. наук, первый заместитель ген. директора - главный конструктор РТС, Россия, Тула, ОАО «Центральное конструкторское бюро аппаратостроения»,

Осыко Михаил Владимирович, преподаватель, Россия, Голицыно, Голицынский пограничный институт,

Амнинов Эрдни Васильевич, ассист., Россия, Москва, Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики

PROBABILISTIC CHARACTERISTICS ASSESSING OF NON-GAUSSIAN SIGNALS

POLARIZA TION PARAMETERS IN THE PRESENCE OF INTEFERENCE

N.S. Akinshin, V.L. Rumyantsev, M.V. Osyko, E.V. Amninov

The estimation of probability description polarizing parameter non-gauss radars signals in presence of interferences.

Key words: statistical characteristics, a radar signal, non-Gaussian distribution, polarization parameters.

Akinshin Nikolai Stepanovich, doctor of engineering sciences, head of department, Russia, Tula, JSC “Central Design Bureau of Apparatus Engineering”,

Rumiantsev Vladimir Lvovich, doctor of engineering sciences, assistant head of department, Russia, Tula, JSC “Central Design Bureau of Apparatus Engineering”,

Khomyakov Alexandr Viktorovich, candidate of science {engineering}, deputy director - cheaf designer, Russia, Tula, JSC “CentralDesign Bureau of Apparatus Engineering”,

Osyko Mikhail Vladimirovich, lecturer, Russia, Golitsyno, Golitsynsky Frontier Troops Institute,

Amninov Erdnie Vasilyevich, assistant lecturer, Russia, Moscow, Moscow State Technical University of Radio Engineering, Electronics and Automatics