CC BY
35
Вестник Челябинского государственного университета. 2012. № 30 (284). Физика. Вып. 14. С. 42-50.
АСТРОФИЗИКА
О. В. Еретнова, М. А. Эбель
ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ОТКРЫТИЯ КОНТАКТНЫХ ТЕСНЫХ ДВОЙНЫХ ЗВЕЗД ТИПА W иМа В СЛУЧАЕ ПОЛНОГО ПОТЕМНЕНИЯ ДИСКА ЗВЕЗДЫ К КРАЮ
Вычислены вероятности открытия контактных тесных двойных звезд типа Ж иМа как затмен-ных переменных в зависимости от массы главной компоненты, отношения масс и угла наклона орбиты. Рассматривается случай полного потемнения диска звезды к краю (гипотеза «О»), Проведено сравнение с результатами, полученными ранее для равномерно ярких дисков звезд (гипотеза «и»), Отличие оказалось невелико,
Ключевые слова: тесные двойные звезды, вероятность открытия.
Контактные тесные двойные звезды — это системы, где обе компоненты близки по размерам к соответствующим внутренним критическим поверхностям (ВКП), Согласно классификации М, А, Свечникова [1], к этому типу тесных двойных относятся две физически различные группы звезд:
1, Контактные звезды ранних спектральных классов (КР), у которых спектр главной (более массивной) компоненты ранее, чем ~ ^0, период превышает, как правило, 0^,5 ; спектр более массивной компоненты является обычно более ранним, чем спектр спутника,
2, Контактные звезды типа Ж иМа (КЖ) с периодом короче 0^,5 и спектрами компонент более поздними, чем ~ ^0; главная компонента имеет обычно несколько более поздний спектральный класс, чем спутник; на диаграмме Герцшпрунга—Рессела спутники, как правило, располагаются несколько ниже главной последовательности,
В [2] было показано, что вероятности открытия контактных тесных двойных звезд (ТДЗ) типа КР как затменных переменных в случае полного потемнения диска звезды к краю (гипотеза «О») больше, чем для случая равномерно ярких дисков звезд (гипотеза «и»), но отличие не слишком велико, В данной статье исследуется влияние закона потемнения диска к краю на вероятности открытия контактных ТДЗ типа Ж иМа,
Так как обе компоненты систем КЖ сравнительно близки к соответствующим ВКП, величина большой полуоси орбиты А для них однозначно определяется значениями массы главной компоненты М1 и отношением масс q , В результате вероятность открытия их как затмен-
ных переменных будет зависеть от трех параметров: M1, q и угла наклона орбиты i.
В случае гипотезы «D» закон потемнения диска звезды к краю
I = I0 (1 + cosю), (1)
где I0 — яркость в центре диска; ю — угол между направлением из центра звезды на Землю и направлением из центра звезды на выбранный элемент ее поверхности [3].
Большинство затменных переменных звезд, приведенных в Общем каталоге переменных звезд [4], открыто при массовых фотографических наблюдениях путем сравнения небольшого числа (3-4) пар фотографических пластинок. Полная вероятность открытия ТДЗ как затмен-ной переменной при сравнении двух фотографических пластинок, полученных в произвольные моменты времени t1 и t2, равна W = W1- W2. Здесь W — геометрическая вероятность открытия затменной переменной, т. е. вероятность того, что плоскость орбиты ТДЗ будет ориентирована по отношению к наблюдателю таким образом, чтобы имели место затмения глубиной, большей, чем «порог обнаружения» Ammin при фотографических наблюдениях; W2 — вероятность обнаружения при сравнении двух фотографических пластинок переменности блеска двойной звезды с амплитудой главного минимума A1 > Ammin при произвольном распределении фаз, соответствующих моментам t1 и t2.
Как и в [2; 5], геометрическая вероятность открытия определялась следующим образом:
W =6ip = (R + R • Ргр) / A = r1 +r2 - Ргр,
где 5гр — граничное относительное расстояние между проекциями центров компонент на кар-
тинную плоскость, при котором глубина главного минимума будет равна Аттш = 0т ,25 ; р^ — соответствующая геометрическая глубина зат-
мения; —1
—2 и г =—, г2 = —- — абсолютные 21 А 2 А
и относительные радиусы компонент соответственно (рис, 1),
Смысл геометрической глубины затмения р таков: если затмевается малая звезда, то р равно отношению расстояния от центра затмеваемой звезды до ближайшей точки затмевающей звезды к радиусу затмеваемой звезды [3],
Главные компоненты КЖ заполняют свои ВКП, поэтому, согласно [6], радиус главной компоненты
-0,2084
•А,
—1 = 0,378^
Размеры спутников несколько меньше ВКП, для них
—2 » 0,85—2кр = 0,32д0,2743 •А,
Следовательно, геометрическая вероятность открытия для КЖ-систем
Ж1 = 0,378^-°,2084 + р , • 0,32^°,2743,
(2)
Геометрическая глубина затмения ргр является функцией от отношения радиусов компонент к и фотометрической фазы затмения а: ргр = р(к,агр), Отношение радиусов компонент
к = —2 = 0,846д0’4827,
—1
Фотометрической фазой затмения а называют отношение потери блеска в данный момент ЬО к потере блеска в момент внутреннего касания дисков Ь0а [3],
КЖ-системы отличаются от КР тем, что в главном минимуме возможно затмение не только типа М ^ Б (малая звезда затмевает большую), но и Б ^ М (большая звезда затмевает малую),
Фотометрическая фаза затмения вычисляется следующим образом:
а
= = а
ЦI (ю)й а 10 Ц со8 ю й а
ЬОА ЦI (ю)й а 10 Ц со8 ю й а
(3)
«1
«1
где О — область интегрирования, соответствующая затемненной части большой звезды при данном расстоянии между центрами 5, т, е, при данных р и к ; О1 — область интегрирования, распространенная по поверхности диска большой звезды, закрытой малой; I — яркость единицы поверхности диска звезды, а ю — угол между направлением из центра звезды на Землю и направлением из центра звезды на выбранный элемент ее поверхности йо,
Рассмотрим затмение М ^ Б, Обозначим наибольшую возможную фотометрическую фазу затмения при данном значении к через аМ (аМ > 1), Она осуществляется при совпадении центров дисков звезд, Если мы обозначим через ЬОМ соответствующую этому расположению потерю блеска, а через ЬОА — потерю блеска в момент внутреннего касания, то
Деля (3) на (4), получим
а
а
Ь,
(4)
(5)
где Ь — блеск большой звезды,
Как упоминалось ранее, Атт1П = 0т ,25. Соответствующий этому граничному значению блеск системы Ь™
-2,5 • 1е Ьгр = 0,т 25.
Тогда
Ь0 = 1 -Ьгр = 1 -10 д = 0,2057.
(6)
Потеря блеска при совпадении центров дисков звезд ЬОМ выражается интегралом в числителе (3), Переходя к вычислению этого интеграла в полярных координатах, начало которых находится в совпадающем центре дисков звезд, имеем
Ьом = 3п10Гі2 (1 - (1 - к2)32
(7)
Блеск большой звезды Ц определяется следующим образом:
«1
где Ц — область интегрирования, распространенная по всей поверхности диска большой звезды. Интеграл без труда вычисляется в полярных координатах, начало которых находится в центре диска большой звезды:
Ц = 3 п 10 Г12.
(8)
Отношение
равно
_Ц_
Ьвы
как нетрудно убедиться,
1
1 - (1 - к 2)
т 3/ 2\/2
Так как аМ = 1 + А(к), где А (к) — функция, зависящая только от отношения радиусов звезд и табулированная для различных значений к в работе В, П, Цесевича [3], то, подставляя эти выражения в (5), получим
аг
0,2057
1
т 3/ 2\/2
1 + А(к) Ц 1 _ (1 _ к2)
Окончательное выражение для фотометрической фазы затмения примет следующий вид:
0,2057(1 + А(к))
агр =-
А(1 - (1 - к У2)
(9)
Для случая Б ^ М в момент внутреннего касания дисков происходит потеря блеска малой звезды, значит,
а =
ЬЮЛ Ь2
Таким образом, при Лттш = 0т, 25, согласно (6), фотометрическая фаза затмения
0,2057
а = -
(10)
Величины Ц и Ь2 можно вычислить исходя из следующих соображений, Отношение поверхностных яркостей J1 и J2 компонент (считая их излучение чернотельным) равно
У-
где Т1, Т2 — эффективные температуры компонент ТДЗ; X — длина волны, на которой наблюдается звезда (5400 А); с2 = Не / к = 1,43883 гр^ад, Главные компоненты КЖ-систем приближенно удовлетворяют эмпирическому соотношению «масса (М) — эффективная температура (Тэф )» для звезд главной последовательности, Согласно [7],
[1,504• 1еГф -5,6; 1еМ >-0,2;
^ М = •! эф (11)
ё [8,2• 1еТэф -29,4; ^М <-0,2, 1 '
откуда
Т =
-Мэф
15289 • М10,665; ^М >-0,2; [3846 • М10,122; ^М <-0,2.
Спутники КЖ-систем, у которых 1gМ2 < 0,0, обладают избытками светимости по сравнению со звездами главной последовательности той же массы, Для них можно воспользоваться статистической зависимостью Тнабл / Тт-5р от М2, полученной по данным каталога [8]:
= 0,1095 -0,249 • ^2- (12)
Тт-8р
Используя (11), (12), можно получить Т2 эф = = 4949• М2-0127 при ^М2 <-0,2 и 22эф =
= 6806• М2’416 при -0,2 < 1gМ2 < 0,0, В случае
1gМ2 > 0,0 спутник не обладает существенным избытком светимости и Т> эф = 5289 • М2№5,
Зная у, легко найдем Ц из соотношения = _Х_
Ь2 к2
и Ь1 + Ь2 = 1 при различных значениях М1 и М2:
у
у + к
22
к2
у + к
Теперь найдем агр по формулам (9), (10) и затем по таблицам В. П. Цесевича [3] определим Ррр = р(к,агр). В итоге, используя (2), определим геометрическую вероятность для КЖ-систем.
Фотометрическая вероятность Ж2 при сравнении одной пары пластинок, полученных в произвольные моменты t1 и і2 (которым соответствуют фазовые углы 01 и 02), определяется формулой
0, Ат < 0т ,25,
-0,04 + 0,5Ат, 0т ,25 <Ат < 1т ,7, (13)
- 0,83, Ат > 1т,7.
полученной Плаутом [9], где Ат =
= |т(01) -т(02)|— разность звездных величин двойной системы в моменты времени ^ и ^, Величина Лт при данных значениях 01 и 02 определяется формой кривой блеска и глубинами минимумов; зависит от физических параметров компонент системы и угла наклона орбиты: Лт =Лт(М1, д,/'), Лт определяется следующим образом:
т = -2,5^ Ь + т0,
где Ь — блеск системы в данный момент времени,
Блеск системы Ь в случае затмения типа Б ^ М выражается формулой
Ь = 1 -аЬ2 = 1 -а(1 - ЬД
Прежде всего рассмотрим частные фазы полного затмения, т, е, когда закрывается малая звезда, заходя за большую, Воспользуемся формулой (3) для нахождения а,
Интеграл в знаменателе (3) вычисляется аналогично (8), только начало координат находится в центре диска малой звезды:
т = 2 п I г 2
3 ;и0'2 •
Из рис, 2 видно, что нахождение ЬО сводится к определению интеграла:
г2 ^-(*-8)2
ьо = 2Io | I ,||
2 2 Х +,У йхйу.
2
В работе В. П. Цесевича [3] приведен оконча-
тельный результат вычисления
пГ2
+
+ І
п
п
•[> *(ф2)- Т *(ф1>]
+
п
+[ Е *(ф2) - Е *(ф1) ]• Т
■-^1= |[и 53 + V 52 + Ж8 + X ] • [753 + 2 8} Е
п
2
2
п
2
(14)
а в случае затмения типа М ^ Б
где
Ь = 1 - Ьв = 1-
а
1 + Л(к)
1 -(-к'-)
Далее нам необходимо осуществить моделирование кривой блеска звезды, Различные участки кривой блеска соответствуют определенным типам затмений, Всего их может быть четыре: 1
1, Полное затмение (а = 1,----< р <-1),
к
2, Частные фазы полного затмения (0 < а< 1,
1 < р < 1).
1
3. Кольцевое затмение (а>1,-------< р <-1).
к
4. Частные фазы кольцевого затмения (0 < а< 1, -1 < р < 1).
Основная проблема опять же заключается в нахождении фотометрической фазы. Остановимся на этом подробнее.
в =—,
т/ 10 2
V =--------г ,
^ 8 2 3 14 3
Ж = — г2 г + --------г ,
3 21 2 3
X = -г24 + 4г22г12 - г23г1 - 2^4,
7 = --г ,
7 16 2 28 3
2 = — г2 г--------------------Г
3 2 1 3 1
0
в
Г
2
и
Ф, , Ф,
Т*(ф,) = I I 2 ¥ 9^; £ (ф-) = И1-Х2 ®1П2(¥)йV
! 0 V1 -%23!П2(У) % 10
й у
П = |^ 1 - К 28Ш2(у)й у,
К2 = 1 -х2,
Т*(ф,) — эллиптический интеграл 1-го рода, Е*(ф,) — эллиптический интеграл 2-го рода, Решение эллиптических интегралов 1-го и 2-го рода ищется в виде ряда по степеням % (X2 < 1) [10], Чтобы найти углы ф1 и ф2, необходимо решить относительно них следующее:
81п2(ф]) =
25
5 + г1 + г2
81П
(ф2) =
2г
5 + г1 + г2
Параметр %2, или, что то же самое, 8т2 0, опре-
деляется из формулы
X2 = 1 - К2 = 8Ш2 0 =
(5 + Г1)2
4г15
Таким образом, задача нахождения функций а = а(р, к) для частных фотометрических фаз полного затмения полностью решена,
Задачу вычисления фотометрических фаз кольцеобразного затмения мы вынуждены разделить на две задачи, Отдельно рассматриваем частные фазы затмения и его кольцевые фазы,
Как и раньше, мы определяем фотометрическую фазу затмения как отношение потери блеска в настоящий момент к той потере блеска, какую имела бы система в момент внутреннего касания дисков звезд, В данном случае этот момент знаменует конец частной фазы затмения и начало кольцеобразной его фазы,
Обозначим по-прежнему через ЬО потерю блеска в данный момент, а через ЬОА — потерю блеска в момент второго контакта, Хотя обозначения остаются прежними, формулы, определяющие величины ЬО и ЬОА , а также их смысл изменяются, Из формулы (14) можно получить необходимое нам выражение для определения ЬО, если заменить во всей совокупности формул величину г1 величиной г2, и наоборот,
Величина ЬОА имеет совершенно отличный от прежнего вид, Потеря блеска ЬОА равна блеску той части большой, затмевающейся звезды, которая закрыта диском малой звезды, при условии внутреннего касания дисков звезд, Данная величина выражается двойным интегралом, распространенным по затемненной части диска большой звезды, Задача решается в прямоугольных координатах, начало которых помещено в центре большой, затмевающейся звезды,
Отсюда,
Ь
=Л,1 -
х2 + у2
йхйу,
а
В последнем интеграле область интегрирования определяется следующими условиями: по переменной у интегрирование ведется от
Ус =-Г2 -(х -5)2 до у1 =+ г2 -(х -5)2
и по
Рис. 2. Частная фаза полного затмения
х от х = Г -2г2 до х = г1. Замечая, что 8 = г1 -г2, получаем у0 = -(2г2 -г1 + х)(г1 - х) и у1 =
= + (2г2 -Г +х)(г1 -х). Итак,
г1 4(2гг -Г1 + х)(г -х)
Г1 -
1 Г1 -2 /2
І | д/г12 - х2 - у2 йхйу.
После интегрирования получим
Т = 2І0
-^Т,А --
—г1 аігаїп
1п у[к -
л/г1 - г2лА2
. (6г12 + 4г1г2 - 16г22)
(15)
Итак, мы теперь можем вычислить, зная величины Ьо и ЬОА , фотометрические фазы затмения а для частных фаз,
Для решения задачи о вычислении фаз а для кольцевых частей затмения вводят переменную д , связанную довольно простым соотношением с переменной величиной р :
к (1 + р) ' 1 - к '
Величина д во время кольцевых фаз затмения «пробегает», независимо от отношения радиусов звезд к , значения от нуля до единицы, При внутреннем касании дисков д равна нулю, в момент концентрического расположения дисков звезд она равна единице,
Обозначим через аМ = а(1, к) наибольшую фотометрическую фазу, которая возможна при данном к , Ее нетрудно вычислить, она равна отношению максимально возможной потери блеска ЬОМ (7) к потере блеска ЬОА (15),
Введем новую функцию X = X (д, к) при помощи выражения
X (д, к) = а(д'к) -1, а(1, к) -1
Отсюда находим функцию а(д, к):
а(д, к) = 1 + X (д, к) (1 -а(1, к)),
Функция X = X (д, к) табулирована в работе В, П, Цесевича [3], Таким образом, интерполируя таблицы Цесевича, можно вычислить частные фазы а для кольцевых частей затмения,
Как и КР-системы, контактные типа КЖ в силу приливного взаимодействия не являют-
ся шаровыми звездами, поэтому для них необходимо учитывать эффект эллипсоидальности компонент, Поскольку компоненты деформированы, возникает эффект гравитационного потемнения диска звезды, который следует учитывать совместно с краевым потемнением диска звезды, Блеск затменных систем с эллипсоидальными компонентами меняется и во время затмений, и в промежутках между затмениями, Это можно учесть, умножая ординату каждой точки кривой блеска затменной системы с шаровыми компонентами на фактор эллипсоидаль-ности компонент:
f = (1 - 2Гт'соэ20)^,
где = Ы2§еот — фотометрическая эллипсо-
идальность, так как совместное действие краевого и гравитационного потемнения диска звезды на кривую блеска вызывает тот же эффект, как если бы геометрическая эллипсоидальность компонент затменной системы была увеличена в N раз, Согласно [11], для гипотезы «О» коэффициент N = 3,6,
Геометрическая эллипсоидальность г т
1 а2 V У
Ь
= Є2 8ІП2 І, где Є =
а и Ь — малая
и большая полуоси звезд, — = 0,867 + 0,076д, соа
гласно [6], Фактор эллипсоидальности учитывался и в геометрической вероятности при вычислении фотометрической фазы (формулы (9) и (10)),
Найдя т(01) и т(02), вычисляем Т(Дт) = Т(01 02) по формуле (13), Затем определяем Ж2 (при сравнении одной пары фотопластинок) по формуле
л 2п 2п
Ж2 = — І І Т(01, 02)й01 й02.
(16)
0 0
Оценка Ж, выполнялась методом Монте-Карло. Для этого производилась выборка п независимых пар случайных чисел £ пі, равномерно распределенных в интервале [0; 2п]. Интеграл в (16) оценивался как
Ж2 = Т< &п) >=1Xр&,п).
Пі
Объем выборки определяет точность оценки и должен быть достаточно большим. В нашей работе п = 5000, что обеспечивает относительное стандартное отклонение меньше 5 %.
Переход от Ж2(1) (сравнение одной пары фотопластинок) к Ж2 (4) (сравнение четырех независимых пар фотопластинок) осуществлялся с помощью формулы
Ж(4) = 1 - [1 - Ж(1)]4.
Найдя Ж и Ж вычислим полную вероятность открытия тесных двойных систем типа КЖ как затменных переменных: Ж = Ж1- Ж2. Поскольку в данной работе искомая вероятность рассматривается как функция от массы главной компоненты (М1), отношения масс компонент (д ) и угла наклона орбиты (/), в качестве исходных данных использовались следующие величины:
1. Отношение масс компонент: д = 0,3, 0,5, ..., 0,9.
2. Логарифм массы главной компоненты:
\%Мг = -0,4, -0,3, ..., 0,2.
3. Угол наклона орбиты: I = 65°, 70°, ..., 90°.
Масса главной компоненты и большая полуось орбиты измеряются в солнечных единицах.
Полученные результаты представлены в виде таблицы. Как следует из таблицы, полные вероятности открытия КЖ-систем слабо зависят от отношения масс д .
Вероятности открытия для КЖ-систем достаточно сильно зависят от массы главной компоненты М1 (рис. 3).
Спутники маломассивных КЖ-систем, как уже упоминалось, обладают избытками светимостей. Кроме того, у большинства КЖ-систем спектральный класс спутника является не-
Вероятность открытия КШ-систем, Ж (х10). Гипотеза «Б»
М, 1 = 65° 7 О о ° 7 8 О о ° 8 9 О о
д = 0,3
-0,4 2,3998 2,9091 3,1624 3,4619 3,5212 3,5719
-0,3 2,3497 2.8930 3,2063 3,4099 3,5561 3,5650
-0,2 2.3795 2,8133 3,2530 3,4295 3,4799 3,5110
-0,1 1,1258 1,3299 1,5170 1,5922 1,6618 1,6322
0,0 1,1325 1,3100 1,5336 1,5634 1,6175 1,6627
0,1 1,1276 1,3247 1,5364 1,5645 1,5933 1,6424
0,2 1,1289 1,3360 1,5139 1,6082 1,5781 1,6273
0,3 1,1239 1,3169 1,5541 1,5611 1,6038 1,6543
д = 0,5
-0,4 1,8022 2,2735 2,6287 2,9431 3,0196 3,0652
-0,3 1,7852 2,2951 2,6094 2,9298 3,0058 3,0155
-0,2 1,7504 2,2349 2,6585 2,9284 2,9396 2,9800
-0,1 1,5911 1,9296 2,2983 2,6035 2,6211 2,6803
0,0 0,6032 0,7253 0,8566 0,9459 0,9594 0,9726
0,1 0,6061 0,7410 0,8493 0,9191 0,9620 0,9908
0,2 0,5994 0,7202 0,8276 0,9388 0,9540 0,9890
0,3 0,6010 0,7256 0,8503 0,9426 0,9617 0,9744
д = 0,7
-0,4 1,4682 1,9190 2,4386 2,6447 2,7170 2,7674
-0,3 1,4140 1,8433 2,3671 2,5546 2,6912 2,6473
-0,2 1,3530 1,7739 2,0453 2,4410 2,6410 2,6569
-0,1 1,2535 1,6528 1,9673 2,2947 2,4352 2,4338
0,0 1,2154 1,5455 1,9356 2,1017 2,2672 2,3002
0,1 1,1760 1,4647 1,7651 2,0419 2,1752 2,1762
0,2 0,7408 0,8438 1,0829 1,2403 1,3482 1,3363
0,3 0,7439 0,9017 1,0884 1,2273 1,2928 1,2958
д = 0,9
-0,4 1,1074 1,4447 1,9911 2,2634 2,3719 2,3773
-0,3 1,0775 1,4367 1,9551 2,2753 2,4599 2,4232
-0,2 1,0374 1,3748 1,8603 2,1816 2,3912 2,4479
-0,1 0,9465 1,2850 1,6569 1,9790 2,2987 1,2769
0,0 0,9017 1,2327 1,5023 1,8708 2,1450 2,1183
0,1 0,5705 0,7471 0,9175 1,0359 1,1926 1,2289
0,2 0,5898 0,7042 0,8912 1,0395 1,1426 1,1836
0,3 0,5809 0,7401 0,8753 1,0423 1,1258 1,1616
2,5
1,5
0,5
0,0
90°
80°
70°
-0,4
-0,3
-0,2
0,0
0,1
0,2
-0,1 1о%Му
Рис. 3. Сравнение вероятностей Ж открытия КЖ-систем как затменных переменных в зависимости от массы главной компоненты и угла наклона орбиты при ц = 0,5 для гипотезы «Б» (пунктирная линия) и для гипотезы «и» (сплошная линия). Цифры у кривых указывают соответствующие углы наклона орбиты
сколько более ранним, чем у главной компоненты. Поэтому у маломассивных систем М1 <
< 0,0 + 0,1) в главном минимуме происходит затмение Б ^ М и глубина главного минимума при фиксированных ц и I будет больше при меньших массах. При увеличении М1 избытки светимости у спутника уменьшаются, поэтому глубина главного минимума и соответствующая вероятность открытия также будут уменьшаться. При ^ М1 > 0,0 + 0,1 спутники не обладают существенными избытками светимости и главная компонента становится поверхностно более яркой, чем спутник. В главном минимуме для этих систем происходит затмение М ^ Б, и при дальнейшем увеличении М1 будет расти глубина главного минимума, а значит, и вероятность открытия.
Зависимость вероятностей от угла наклона орбиты i представлена на рис. 4. С ростом 1 вероятности открытия увеличиваются, а при i > 80° становятся практически постоянными. Это можно объяснить тем, что при 1 > 80° затмения в главном минимуме становятся полными и дальнейшее увеличение 1 не может существенно повлиять на глубину главного минимума, а следовательно, и на вероятность открытия.
Также на рис. 4 приведено сравнение полной вероятности открытия КЖ-систем для гипотез «и» и «Б». Из рисунка следует, что полная вероятность открытия ТДЗ данного типа для ги-
потезы «Б» больше, чем для гипотезы «и», но отличие не слишком велико. Это объясняется следующими причинами:
1. Для наблюдения затмения необходимо, чтобы диски звезд перекрывались настолько, чтобы разность в блеске компонент была равна порогу обнаружения. В нашем случае диски звезд неравномерно яркие, причем изменение яркости диска звезды обусловлено двумя причинами. Во-первых, краевым потемнением, которое должно вести к уменьшению геометрической вероятности открытия, так как доля затмеваемой поверхности для достижения порога обнаружения в этом случае должна быть больше, чем в гипотезе «и». Но, с другой стороны, из-за наличия эффекта эллипсоидальности возникает гравитационное потемнение диска. На поверхности деформированной звезды сила тяжести больше у полюсов и меньше на экваторе. Поэтому на полюсах может не появиться потемнение, а повыситься яркость, что приведет к увеличению геометрической вероятности.
2. Фотометрическая вероятность определяется формой кривой блеска и разностью глубин минимумов, которые отличаются для гипотез «и» и «Б». В случае гипотезы «Б» после второго контакта блеск системы продолжит уменьшаться и глубина минимума будет больше, чем для гипотезы «и». А это ведет к увеличению фотометрической вероятности открытия.
3
2
2,5
1,5
0,5
0,0
- -0,2
0,0
65°
70°
75°
80°
85°
90°
Рис. 4. Сравнение вероятностей W открытия KW-систем как затменных переменных в зависимости от угла наклона орбиты и отношения масс q при logMt = 0,? для гипотезы «D» (пунктирная линия) и для гипотезы «U» (сплошная линия). Цифры у кривых указывают соответствующие отношения масс
Результаты данного исследования и работ [2; 5] позволяют сделать вывод, что учет потемнения диска звезды к краю не оказывает существенного влияния на величину вероятностей открытия ТДЗ различных типов как затменных переменных звезд. Также надо отметить, что метод оценки вероятности в случае гипотезы «и» менее трудоемок.
Список литературы
1. Свечников М. А. Каталог орбитальных элементов, масс и светимостей тесных двойных звезд. Свердловск, 1969. 177 с.
2. Еретнова О. В., Свечников М. А., Эбель М. А. Оценка вероятности открытия контактных ТДЗ в случае полного потемнения диска звезды к краю // Астрофизика. 2008. Т. 51, № 2. С. 285-294.
3. Цесевич В. П. Методы исследования затменных переменных звезд. М.; Л. : Гостехтеориздат, 1947. Т. 3. 657 с.
4. Холопов П. Н. [и др.]. Общий каталог переменных звезд. М. : Наука, 1985. Т. 1. 376 с.; Т. 2. 360 с.; Т. 3. 367 с.
5. Еретнова О. В., Свечников М. А. Оценка вероятности открытия контактных тесных двойных
звезд как затменных переменных // Астрономогеодезические исследования: переменные звезды и звездные системы : сб. науч. тр. Екатеринбург : УрГУ, 1995. 169 с.
6. Plavec, М. Tables for the Roche Model of Close Binaries / M. Plavec, P. Kratochvil // Bul. Astron. Inst. Czechoslovakia. 1964. Vol. 15. P. 165-170.
7. Горда С. Ю., Свечников М. А. Эмпирические зависимости L-M, R-M и М-Тэфф для звезд главной последовательности компонентов ТДС и звезд малых масс // Астроном. журн. 1999. Т. 76, № 8. С. 598-603.
8. Свечников М. А. Каталог орбитальных элементов, масс и светимостей тесных двойных звезд. Иркутск : Иркут. гос. ун-т, 1986. 226 с.
9. Pluat, L. Variable stars in a field centred at l = 0°, b = +29°. (Field 1 of the Palomar-Groningen Variable-Star Survey) / L. Pluat // Bul. Astron. Inst. Netherlands. Suppl. Ser. 1966. Vol. 1, № 3. P. 105-176.
10. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М. : Наука, 1983. 172 с.
11. Затменные переменные звезды / под ред. В. П. Цесевича. М. : Наука, 1971. 347 с.
2
