CC BY
21
УДК 368.03:343.535(477)
О.В. Жум1к, Ю.А. Стадник
ОЦ1НКА ЙМОВ1РНОСТ1 БАНКРУТСТВА УКРАШСЬКИХ СТРАХОВИХ
КОМПАН1Й
В статт1 розглядаеться модель банкрутства страховой компани на основ1 знаходження ймов1рност1 банкрутства в класичнт модел1 ризику. Ощнюеться ймов1рн1сть банкрутства украшських страховик1в, яка розраховуеться виходячи з поргвняння апроксимацт отриманих за допомогою р1зних математико-статистичних п1дход1в. Також в робот1 виконуеться визначення м1н1мально необх1дного розм1ру страхового капталу при певному р1вн1 ризику, що вважаеться безпечним з точки зору страховой компани.
Клю^о^^ слова: страхова компатя, страховий тариф, актуарт розрахунки, ймов1рн1сть банкрутства, класична модель ризику.
Постановка проблеми. Найважлившим завданням втизняного страхового бiзнесу е визначення оптимально! величини страхового тарифу, яка, з одного боку, повинна забезпечувати страховш компани не тшьки захист вщ збитюв, а й хороший прибуток, з шшого - конкурувати з тарифами шших страхових компанш.
Украшсью страховики переважно не визначають страховi тарифи самостшно, а використовують тарифи страхового ринку шших кра!н, ситуащя на якому може значно вiдрiзнятися вщ ситуацп на втизняному ринку. Намаганням украшських страховиюв зробити власну ощнку страхових тарифiв перешкоджають вщсутшсть статистичних даних, яю б реально описували стан украшського страхового ринку, та нестабшьшсть законодавчо! бази в галузi страхування, що спричиняе ринковi коливання.
Наслщком тако! ситуащ! е некоректне формування страхових тарифiв, а, вiдповiдно, неефективна страхова дiяльнiсть, що призводить до значних фшансових збиткiв i, навт до банкрутства страхових компанiй.
Виконати фахову ощнку стану страхового ринку, перспектив дiяльностi страхово! компани та ймовiрностi !! банкрутства й встановити ращональш страховi тарифи допомагае актуарна математика, що включае систему математичних i статистичних методiв прийняття ршень у страховiй дiяльностi. Методологiя актуарних розрахунюв грунтуеться на застосуваннi теори ймовiрностей, демографiчноi статистики та довгострокових фшансових обчислень швестицшного доходу страховика.
Анал1з останн1х досл1джень 1 публжацш. Виконанi в Укра!ш в останне десятил^я дослiдження у сферi застосування актуарних розрахунюв у дiяльностi втизняних страхових компанiй мають фрагментарний характер. Основний внесок у розвиток цього напрямку дослщжень здшснили В.Д. Базилевич, В.В. Волошин, О.В.Козьменко, С.М.Лаптев, А.Я. Оленко, С.С. Осадець, О.Ф. Фшонюк. Однак головною рисою сучасного стану актуарно! науки в нашш державi можна вважати величезний розрив, що юнуе мiж теорiею й практикою. Незначна кшьюсть таких робiт, де теоретичш розробки були б доведет до практично! реалiзацii; навiть демонстраци застосування актуарних розрахункiв у дiяльностi украшських страховикiв одиничнi, не говорячи про систематичне використання.
Тому в данш робот зосередимось саме на практичнiй реалiзацii методiв актуарно! математики на основi статистичних даних про дiяльнiсть украшських страхових компанш.
Мета 1 завдання статть Метою дано! статп е виконати практичну реалiзацiю моделi банкрутства страхово! компани на основi статистичних даних украшського страхового ринку та ощнити ймовiрностi банкрутства украшських страховиюв.
В статп виконуються завдання застосування кшькох математико-статистичних методiв для апроксимацп ймовiрностi банкрутства страхових компанiй i порiвняння отриманих результатiв; розрахунку оцiнки ймовiрностi банкрутства вiтчизняних страховикiв; визначення мшмально розмiру страхового капiталу компанiй необхщного для збезпечення !х фiнансовоi стабшьносп та запобiгання банкрутству.
Виклад основного матер1алу. Елементарною складовою ризику страхово'1' компанп е iндивiдуальний позов. Залежно вщ ситуацп iнодi пiд шдивщуальним позовом розумiють будь-який конкретний позов, а iнодi - декiлька позовiв, породжених однiею страховою угодою.
У межах теорп iндивiдуального ризику щкавляться лише розмiром iндивiдуального позову X, вимiряного в певних грошових одиницях.
1ндивщуальш позови становлять iнтерес не самi по собi, а передуам з позицп !х наслiдкiв для фшансового стану компанп. Якщо у деякий момент часу I надходить позов величиною X та каттал компанп в цей момент ы( бiльший або дорiвнюе X, то компашя успiшно виконае сво'1 зобов'язання. Якщо ж X > и( то компашя не зможе сплатити позов; у такому випадку йдеться про банкрутство компанп (хоча на практищ компашя може позичити суму, яко'1 не вистачае, X — и(, та сплатити позов). Ймовiрнiсть банкрутства становить фундаментальний штерес для компанп та е основою для прийняття найважливших ршень.
Модель шдивщуального ризику може бути використана у якосп моделi функщонування страхово'1 компанп, яка призначена для розрахунку ймовiрностi банкрутства. Вона базуеться на таких припущеннях:
1) аналiзуеться фасований вiдносно короткий промiжок часу (такий, що можна знехтувати iнфляцiею та не враховувати дохщ вiд швестування) — зазвичай один рiк;
2) кшьюсть угод страхування N фшсована та невипадкова;
3) плата за страховку повшстю вноситься на початку перюду, що аналiзуеться; нiяких надходжень протягом цього перюду немае;
4) ми спостер^аемо кожну окрему угоду страхування та знаемо статистичш властивосп пов'язаного з ним шдивщуального позову X (оскшьки не вс угоди призводять до позову, деяю з випадкових величин Х1,...,Хд,, де — позов вщ — угоди, можуть дорiвнювати нулю).
У межах ща моделi банкрутство визначаеться сумарним позовом $ = Х1 +... + Хм до страхово!' компанп. Якщо цей сумарний позов бшьший за каттал компанп, остання не зможе виконати вс сво'1 зобов'язання та збанкрутуе. Тому ймовiрнiсть банкрутства компанп дорiвнюе
Я = Р(Х! + ... + Хк > и). (1)
У моделi припускаеться, що випадковi величини Х1, ..., Хд, — незалежш (таким чином, ми виключаемо катастрофiчнi нещаснi випадки, що призводять до позовiв одразу за декiлькома угодами).
Фактично явну формулу для ймовiрностi банкрутства у/(и) в класичнш моделi
ризику, що розглядаеться у робот^ можна вказати лише для того випадку, коли виплати страховоi компанп розподшеш за експоненцiальним законом. Але ця ситуащя досить рщко трапляеться у практичнiй дiяльностi страхових компанш, до того ж вона е досить складною для обчислень. На практищ використовують наближеш формули для обчислення функцп у/(и), що е ймовiрнiстю банкрутства компанп при початковому капiталi и. .
Апроксимащя Беекмана—Боверса для (и) [1]. Нехай
Н(и) = Р{Ы 0 < —и: 1иГ 0 < 0}. (2)
Тодi
звiдки
Н (и) = 1 - (1 + 0Ми),
¥(и)
1 -р(0) 1
(1 - Н (и)).
(3)
(4)
1 + 0
Апроксимацгя де Вгльдера [1]. 1дея ще'1 оцiнки така: ми апроксимуемо процес виплат у загальнiй класичнш моделi ризику процесом, у якого виплати мають експонецiальний розподiл так, щоб
= (I) при к = 1,2,3.
Процес Q) визначаеться трьома параметрами (Л,С,л) або (Л,0,Д). для яких можна встановити таю рiвностi:
Л =
¡3
0, 0 =
Отже,
3 ¡2
¥(и) = ¥ву (и)
2ЛЛз 3Л22
1
0, Л =
М
2Л22
Л.
и0 ¡(1+0)
1 + 0
(5)
(6)
за самою побудовою апроксимаци у випадку експонещального розподiлу виплат ¥(и) = Упу (и).
Експоненцгальна апроксимацгя [1]. Позначимо через ¡Л1 моменти функцп Р(у) розподiлу виплат Ук так, що
л= МЛ, I = 1,2,3,....
Тодi мае мюце експоненцiальна апроксимацiя, запропонована Ф. де Вшьдером:
2лхви
¥ь(и) = е
¡2
1 +
0
¡2 2Л
2
40Л12Лз
3 л
(7)
2
Апроксимацгя Лундберга [1].. Використавши ощнку Ове Лундберга, можна отримати таку апроксимацiю ймовiрностi банкрутства:
2Луди С с
¥ь(и) = е
¡2
1 +
0и -
¡2 2Л.
4 0Л 12 Л 3
3 л
(8)
2
Апроксимацгя Рем [2]. Використовуючи теорему А.Ренi [1], можна отримати апроксимащю Ренi
¥к(и) =
1
1 + 0
2л10и "¡2(1+0)
(9)
е
3
3
Досить важливим е питання, яка з наведених ощнок дае найточшший результат для ймовiрностi банкрутства залежно вщ рiзних значень параметрiв функци (и). Пiсля розгляду рiзних апроксимацш стае зрозумiлим, що у кожному конкретному випадку реально'1' страхово'1' компанп, використовуючи статистичнi данi за попередш перiоди, необхiдно встановлювати iмовiрнiсний розподш, який найточнiше характеризуе процес виплат компанп, обчислювати для ще'1" компанп декшька оцiнок ймовiрностi банкрутства залежно вщ п стартового капiталу, а потсм, порiвнюючи отриманi результати, робити висновок про реальний стан страхово'1' компанп.
В1СНИК МАР1УПОЛЬСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ
_СЕР1Я: ЕКОНОМ1КА, 2014, Вип. 8
У практичних застосуваннях класично! моделi ризику штенсивтсть надходження страхових позовiв Л та функщя розподiлу !х величин Г(7) (або !! першi три моменти ,
/и2, ¡!ъ) е параметрами модел^ а вщносна страхова надбавка та власний каттал компанп и е змiнними, що впливають на мiру ризику. На практищ страховi компанп можуть збшьшувати або зменшувати розмiр параметрiв 0 та и для того, щоб iмовiрнiсть банкрутства не перевищувала певного безпечного (з погляду компанп) рiвня р0. Можна визначити величину стартового катталу компанп так, щоб ймовiрнiсть !! банкрутства у/(и) залишалася на рiвнi р0. Коли виплати компанп мають експоненщальний розподiл, рiвень стартового катталу визначаеться за формулою [3]
и = _(1+0)мн + 0)), (10)
де р0 — критичний рiвень ймовiрностi банкрутства. Показник мiнiмального стартового
катталу, розрахований за формулою (10), дае змогу кожнш страховш компанп визначити, нижче якого рiвня небезпечно знижувати обсяг свого власного катталу (якщо ймовiрнiсть банкрутства була нижча за необхщну) або на яку величину треба збшьшити розмiр власного катталу чи вщносну страхову надбавку (а отже, i загальний обсяг страхових платежiв), щоб перебувати на безпечному (з погляду компанп) рiвнi. Так, використовуючи дифузшну апроксимацiю, ми отримаемо
и =_ПР> (£ +02). (11)
2^0
Використовуючи апроксимацiю де Вiльдера, матимемо
1пр0 _ 1п(1 + 0)
и =-^ -^(1 + 0)]й. (12)
в
Використовуючи експоненцiальну апроксимащю, одержимо
_ (1 + 1п р0)4 £ + (4/3)в^1^2 + М2 пол и =-5--(13)
2Ц00
Використовуючи апроксимащю Рет, отримаемо
г1_у2(1 + 0)ц р0(1 + 0)) (14) _ 2^0 ' У випадку апроксимацii Беекмана-Боверса маемо:
и = Гобр(1 _ Ро(1 + 0)), (15)
2
де Гоб — функцiя обернена до гамма-розподшу з параметрами ¡ик i <тй.
Отже, для того, щоб обчислити значення ймовiрностi банкрутства страхово! компанп потрiбно лише знати середнiй розмiр страхових виплат та вiдносну страхову надбавку. Слщ зазначити, що страховi компанii Укра!ни дуже вiдрiзняються одна вщ одно!
залежно вiд кшькосп та розмiру страхових виплат. Наприклад, за перше пiврiччя 2013 р. страхова компашя "Скарбниця" була лщером за сумами страхових виплат з добровшьних видiв страхування, виплативши сво!м клiентам понад 95 млн. грн. Ця сума розподiлена лише за 12-и страховими виплатами. Таким чином, середнш розмiр однiеi виплати компанп "Скарбниця" дорiвнюе близько 8 млн. грн. Схож1 показники мае "Злагода": понад 85 млн. грн. виплат за добровшьними видами страхування лише у 9-и страхових випадках (середнш розмiр одте! виплати становить близько 9,5 млн. грн.). Зазначимо, що обов'язковими видами страхування щ компанп практично не займаються. Очевидно, подiбнi показники важко пояснити класичною моделлю ризику.
Водночас, переважна бшьшють страхових компанш Укра!ни, що входять до першо! сотш за обсягом власного катталу, уклали за перше пiврiччя 2013 р. десятки тисяч
страхових угод. Кiлькiсть страхових позовiв до цих компанiй також порiвняно велика i коливаеться вiд 100-200 виплат ("Лемма", "Альянс", "Княжа") до декшькох десятюв тисяч позовiв (такi компанп, як "Оранта", "АСКА", „Ушка"). Таким чином, щоб порiвняти страховi компани з малою кшькютю позовiв та великими розмiрами виплат iз компанiями з великою юьюстю позовiв з порiвняно малими розмiрами виплат ми зробили певш припущення щодо середнього розмiру виплат компанп. У нашiй моделi пiд цим показником маеться на увазi не середнiй розмiр однiеi виплати, а середнiй розмiр виплати за певний промiжок часу, наприклад, за твмсяця. Вiдповiдно до середшх розмiрiв страхових виплат великих та середшх страхових компанш Украiни, ймовiрнiсть банкрутства було розраховано для середнього обсягу виплат у 50 000, 75 000, 100 000 та 200 000 грн. Вщносна страхова надбавка дорiвнюе 30 %, 40% .
Проведет розрахунки ймовiрностей банкрутства страхових компанш Украши на основi показникiв 2013 року показали, що для страхових компанiй, розмiр страхових резервiв яких перевищуе 25 млн. грн., iмовiрнiсть банкрутства перебувае на дуже низькому рiвнi, а саме не бшьше 0,01 %. Таким чином, можна стверджувати, що ймовiрнiсть банкрутства принаймш 50-и найбiльших страхових компанш Украши практично нульова. Тому в подальших розрахунках оцшок ймовiрностi банкрутства розглядалися середнi страховi компани Украши iз розмiром страхових резервiв вiд 1 млн. до 25 млн. грн., а це 40 страхових компанш Украши. У табл. 1 наведен результати розрахунюв для деяких страхових компанш Украши.
Таблиця 1.
Оцшка ймов1рност1 банкрутства страхових компанiй УкраУни
(експоненщальний розподiл, вщносна страхова надбавка - 30%, точшсть - 104% ), %
Номер у рейтингу за страховыми резервами Страхова компашя OrpaxoBÍ резерви станом на 31.12.2012, тис. грн Середш виплати, грн
50000 75000 100000 200000
55 UTICO 21 304,0 0,0000 0,0000 0,0007 0,2353
56 CTpaxoBi гарантп 20 293,9 0,0000 0,0000 0,0009 0,2614
57 Кредо 20 063,9 0,0000 0,0000 0,0009 0,2618
58 Нафтогазстрах 19 018,8 0,0000 0,0000 0,0013 0,3191
59 Граве Украша 17 031,3 0,0000 0,0000 0,0014 0,3266
60 Злагода 16 684,5 0,0000 0,0000 0,0016 0,3467
61 Юшвес 16 558,7 0,0000 0,0000 0,0017 0,3634
62 Мотор-Гарант 16 490,0 0,0000 0,0001 0,0020 0,3875
63 страхування 15 413,1 0,0000 0,0001 0,0026 0,4506
64 Домшанта СО 15 160,2 0,0000 0,0001 0,0030 0,4784
65 Довiр'я Тарантя 14 019,0 0,0000 0,0002 0,0047 0,5985
66 Мега-Полiс 12 997,9 0,0000 0,0003 0,0065 0,7068
67 Теком 12 873,8 0,0000 0,0004 0,0086 0,8151
68 Крона 12 311,0 0,0000 0,0006 0,0108 0,9125
69 Аско-Медсервю 12 264,2 0,0000 0,0009 0,0156 1,0954
70 Гарант-Система 12 202,0 0,0000 0,0018 0,0259 1,4121
80 Мономах 6 541,8 0,0060 0,1408 0,6806 7,2358
81 Полiс-Центр 6 254,1 0,0152 0,2615 1,0828 9,1266
82 Мегаполiс СО 5 199,0 0,0161 0,2710 1,1122 9,2496
83 Юшсон-Гарант 4 476,5 0,1121 0,9890 2,9371 15,0310
84 Промислово-Страховий альянс 4 070,0 0,1177 1,0215 3,0091 15,2142
Авторами було розроблено електронну таблицю у пакет Microsoft Excel, яка дае змогу отримати точне значення ймовiрностi банкрутства страхових компанш при рiзних
204
piBrax страхових виплат i рiзних po3Mipax вiдносних страхових надбавок. Слiд ввести згадаш два параметри дiяльностi компанп до вщповщних клiтин таблицi замють зазначених там, i на перетиш стовпчика, що був змiнений, та рядка з назвою вщповщно!' страхово'1 компанп прочитати значення ймовipностi банкрутства.
Висновки. Зробимо висновки про те, як змша паpаметpiв моделi впливае на значення показника ймовipностi банкрутства страхово'1 компанп. Наприклад, ймовipнiсть банкрутства компанп «Скарбниця» (стартовий капiтал 7817,0 тис. грн.) приблизно у 10 pазiв бiльша за ймовipнiсть банкрутства компанп «Мега-Полю» (стартовий капiтал 12997,9 тис. грн.) за однакових середшх pозмipiв страхових виплат та вщносно!' страхово'1' надбавки 30%. Для вщносно!' страхово'1' надбавки у 40% чи 50% ймовipностi банкрутства цих компанш вiдpiзняються ще бiльше (у 20-30 pазiв).
У pазi збiльшення середнього pозмipу страхових виплат, скажiмо, з 75 тис. до 100 тис. грн. ймовipнiсть банкрутства зростае по^зному, залежно вщ pозмipу початкового капiталу. Так, для поpiвняно малих ймовipностей банкрутства (менше 1%) ймовipнiсть зростае у 5-10 pазiв (компанп «Злагода», «Кредо» тощо), а для сеpеднix значень (1-5%) зростання ймовipностi банкрутства вже не таке значне (у 2-3 рази, компанп «Крона», «Мономах» тощо).
Поpiвнюючи значення ймовipностей банкрутства за piзниx вщносних страхових надбавок, можна зазначити, що у pазi збшьшення страхово' надбавки з 30 до 40 % та з 40% до 50% ймовipнiсть банкрутства знижуеться у 3-4 рази, причому для поpiвняно великих значень iмовipностi банкрутства (у 4-5%) зниження цього показника не таке ютотне, як для значень iмовipностi, менших за 1%.
Зазначимо, що обчислити мЫмальний pозмip страхових pезеpвiв компанп для будь-якого piвня ймовipностi банкрутства також можна за допомогою електронного аналога таблиць, розроблених авторами у пакет Microsoft Excel, замшивши у вщповщнш кштинщ таблицi значення ймовipностi банкрутства.
Список використано¥ л1тератури
1. В.Д.Базилевич, К.С.Базилевич, Страхова справа. - 5-те вид., стер. - Знання, 2006. - 351с
2. Оренко I. Аналiз розвитку страхового ринку та оцшка його перспектив / I. Оренко // Старова справа. - 2009. - № 3(35). - С. 23-25.
3. Гаманкова О. Фшанси страхових оргашзацш: навч. поабник / О. Гаманкова. -КНЕУ, 2007. - 326 с.
Стаття надшшла до редакцп 18.11.2014.
O. V. Zhumik, J. A. Stadnyk EVALUATION OF THE PROBABILITY OF UKRAINIAN INSURANCE COMPANIES
BANKRUPTCY
This work is devoted to analysis of the activity of Ukrainian insurance companies and to implementation of the estimation of the probability of their bankruptcy using mathematical and statistical methods. The model of bankruptcy of an insurance company on the basis of the probability of bankruptcy in the classical risk model is used in the article to research the probability of bankruptcy of national insurance companies.
For the purpose of approximation of the probability of bankruptcy of insurance companies we applied several different mathematical and statistical methods: the Beekman-Bovers approximation, the Wilder approximation, the exponential approximation, the Lundberg approximation and the Reni approximation. The approximations results which had been obtained using these mathematical and statistical approaches were compared with each other. There was determined in such way which of the approaches made it possible to obtain the most exact value of the probability of bankruptcy of the insurance company.
BICHHK MAPIYnOntCLKOrO ^EPMBHOTO YHIBEPCHTETY
CEPL3: EKOHOMIKA,2014, Bun. 8_
The method was tested on the base of the statistics concerning the activities of Ukrainian insurance companies. The statistics of the national insurers that were characterized by different values of the indicators of insurance reserves, the number of insurance claims and amounts of payments was used for the research. We have made some assumptions about the average size of payments to compare the insurance companies with a small number of insurance claims and amounts of payments with large size companies that had the big number of insurance claims and the comparatively small amounts of payments. We didn't mean the average size of a single payment by the indicator of the average size of payments in our model, but the average payment of an insurance company for a certain period of time.
The calculations of the probability of bankruptcy of the Ukrainian insurance companies have shown that the probability of bankruptcy for the big insurance companies which had the amount of insurance reserves more than 25 000 000 UAH, was almost zero (0.01%). Therefore, the more detailed analysis of the probability of bankruptcy was performed for forty Ukrainian insurers which had medium amount of insurance reserves from 1 000 000 UAH to 25 000 000 UAH. We presented in the article the results of evaluation of the probability of bankruptcy for these insurance companies and analyzed the impact of changes in the average size of insurance claims and the amounts of insurance premiums on the change in the probability of bankruptcy of the company.
We also performed the determination of the minimal required amount of insurance capital at a certain level of risk that is considered safe from the standpoint of the insurance company for these 40 Ukrainian insurers.
