CC BY
32
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Д. Н. Колесов, Н. В. Хованов, М. С. Юдаева
ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТЕЙ ВАРИАНТОВ РАЗВИТИЯ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ* Введение
При описании процессов, происходящих внутри сложных систем различной природы и назначения, широко используются методы, основанные на изучении так называемых «деревьев событий» (event trees)1, представляющих собой графы, вершины которых соответствуют событиям, происходящим в изучаемых системах, а направленные ребра (дуги) - переходам от одних событий к другим. Знание условных вероятностей перехода от одних вершин дерева к вершинам, непосредственно следующим за ними, позволяет вычислить вероятности всех событий, интересующих исследователя. Необходимые для этого вычислительные формулы даются в начале настоящей статьи.
При попытке применить хорошо разработанный аппарат деревьев событий с заданными условными вероятностями переходов для описания и прогнозирования поведения сложных социально-политических и финансово-экономических систем и процессов различного масштаба (от реализации проектов развития отдельных фирм до описания поведения мировых финансов в целом) возникает проблема неопределенности задания указанных переходных вероятностей, имеющая своей причиной дефицит как статистической, так и экспертной информации2.
* Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проект № 06-06-80271).
Дмитрий Николаевич КОЛЕСОВ — канд. экон. наук, доцент, заведующий кафедрой экономической кибернетики СПбГУ. Область научных интересов - экономико-математические модели рынков ценных бумаг.
Николай Васильевич ХОВАНОВ — доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры экономической кибернетики экономического факультета СПбГУ. Область научных интересов - стохастические модели риска и неопределенности, теория и методы принятия решений в условиях дефицита информации.
Мария Сергеевна ЮДАЕВА — ассистент кафедры экономической кибернетики СПбГУ. Область научных интересов - методы принятия решений в условиях неопределенности, системы планирования ресурсов предприятия (БЯР-системы).
© Д. Н. Колесов, Н. В. Хованов, М. С. Юдаева, 2007
Для решения проблемы неопределенности переходных вероятностей нами разработан новый метод, опирающийся на восходящую еще к Томасу Байесу3 концепцию рандомизации неопределенности, возникающей при использовании нечисловой, неточной и неполной информации, получаемой исследователем из источников различной надежности и значимости4. В результате применения этого метода рандомизации неопределенности исследователь получает дерево событий со случайными (т. е. рандомизированными) переходными вероятностями. В статье выводятся формулы, позволяющие оценить вероятности всех событий и измерить точность полученных оценок. Различные варианты разработанного метода, основанного на представлении сложного процесса в виде дерева событий с рандомизированными переходными вероятностями (ДСРПВ), были апробированы нами при решении различных задачах прогнозирования сложных финансово-экономических процессов5.
В статье представлен иллюстративный пример использования концепции дерева событий со случайными переходными вероятностями для описания теоретико-игровой модели динамики финансовой системы некоторой страны. Строится соответствующее дерево событий с рандомизированными переходными вероятностями и дается оценка вероятности возникновения кризиса на финансовом рынке рассматриваемой страны.
В заключительной части статьи кратко обсуждается методологическая основа предложенной концепции ДСРПВ, связанная с вариантом теории вероятностей, разработанной Дж. М. Кейнсом для нужд описания экономических явлений в условиях неопределенности.
Дерево событий с переходными вероятностями
Для дальнейших рассуждений нам необходимо построить дерево событий общего вида. Начало такого формального построения начнем с задания простейшего ориентированного корневого дерева Т0,1>={Л(0>:Л(1>^], }, представляющего собой ориентированный
граф, состоящий из корня Л(0>, соединенного г(1> дугами (Л(0>, Л(1>[11]>,11=1,...,т(1>, начинающимися в этом корне, с вершинами Л(1>[1],...,Л(1>[11],..., Л(1>[г(1>].
Далее, используя каждую вершину A(1)[i1] в качестве корня, пристроим к графу T(0,1) еще г(1> элементарных деревьев Т1-2>(11>={Л(1>[11]:Л(2>[11,12],12=1,...У2>(11>}. Каждое из деревьев имеет т(2>(11> вершин, соединенных с корнем дугами (Л(1>[1~]:Л(2>[11,12]>, [=1,...,Г1\ 1=1,...,г(2>(11>. В результате получаем двухуровневое дерево Т( 0-1-2>={Л( 0>:(Л( 1>[11],Л(2>[11,12]>, 11=1,...,г(1>,12=1,...,г(2>(11>}, имеющее кореньЛ(0> и Г2>(1>+—+Г2>(11>+...+т(2>(г(1>> конечных вершин Л(2>[1,1],...,Л(2>[^2],..., Л(2>[ Г1>,Г2>(г(1>>].
Продолжим описанный процесс достройки дерева событий вплоть до присоединения к каждой конечной вершине Л(к-1>[1...,1] построенного на предыдущем этапе графа Т0'-,к-1> элементарных ориентированных деревьев Тк-1,к>(1к1,1к>, имеющих структуру вида Тк1,к>(1к1,1>>= ={Л(k-1>[i1,—,ik1]:Л(k>[i1,—,ik],ik=1,—,r(k>(i1,—,ik1>}. Таким образом, получаем ^-уровневое ориентированное дерево, имеющее структуру вида T0'1'■-'k>={Л(0>:(Л(1>[i1],—,Л(k>[i1,—,ik]>,i1 = =1,—,r(1>,—,ik=1,—,r(k>(i1,—,ik1>}, имеющее кореньЛ(0>.
При использовании деревьев событий для моделирования сложных финансовоэкономических систем и процессов можно использовать различные содержательные интерпретации формального объекта - ориентированного дерева Т0,1'-к>. Например, корень Л(0> можно трактовать как некоторое начальное событие (скажем, резкое снижение объема платежных средств банка), из которого могут следовать события Л(1>[1],—, Л(1>[г(1>] (соответствующие, скажем, различным конфигурациям неплатежей по межбанковским кредитам), образующие полную группу попарно несовместных событий, т. е. группу подмножеств множества элементарных исходов О некоторого случайного испытания,
удовлетворяющих условиям: (1) Л(1>[i]n Л(1>[]]=0, если ^]=1,—,г(1>, (2) Л(1>[1]и...
и Л(1>[Г г>]= О.
При другой интерпретации все узлы графа Т0,1> соотносятся с состояниями некоторой системы (системы национальной экономики, например). Тогда корень Л(0> есть состояние системы в начальный момент времени 10, а вершины Л(1>[1],—, Л(1>[Г'1>] — суть альтернативные состояния, в которые система может прийти в следующий момент времени
Столь же естественной является теоретико-игровая интерпретация вершин Л(1>[1],—, Л(1>[Г'1>] дерева Т0,1> как возможных альтернативных действий одного игрока (скажем, инвесторов-нерезидентов на российском рынке ГКО в 1998 г.) на первом шаге игры, начало которой соотносится с корневым узлом Л(0>.
Аналогично интерпретируются в рамках трех вышеописанных трактовок и все остальные элементарные поддеревья Т}'1,>^. ^.>, ,.=1,—,к, ориентированного дерева общего вида
ТТ0,1—,к>. . .
При использовании ориентированных деревьев для описания реальных объектов и процессов зачастую оказывается целесообразным объединение некоторых групп конечных вершин Л(к>^р—^к] графа Т0'1—'к>, которые соответствуют эквивалентным для исследователя результатам (например, различные стратегии участников финансового рынка могут привести к одному и тому же результату - финансовому кризису). Такие составные (агрегированные) вершины дерева представляют собой объединения В—,В...,ВК вида В = у л (к)[/ (*) I (*)] попарно несовместных событий А^р^,...^®], i1(s)= 1,..., т<1,3),...,
8 =1
^!>= 1,—, г<к-!!^1(!!>,—^к1(!!>>.
На рис.1 приведена схема дерева Т0-1Л3> с агрегированными вершинами В, Вп, В
в^ти, ^ил(з>[^,1,1], Вп=Аз>пг1,гз>аг1>]и л^^циил^^и], п
В=Л(3>[1 Г2>(.1>, ^ Л(3>[Г(1>, 2,1]иЛ(3>[Г(1>, г<2>(г<1>>, Г3>(Г1>, Г2>(Г1>>>].
Далее мы будем одновременно интерпретировать все узлы построенного дерева Т0-1—-к> и как состояния некоторой системы, и как события, предполагая при этом, что для некоторых пар событий (Л°-1>[.1,—,.._1], Л(У>[.1,—,.]> определены условные вероятности Р1Я'>(1_1,1>=Р(Л0>[.1,—,1]//Л(Я>[.1,—,1_1]>, которые, в свою очередь, могут быть интерпретируемы как переходные вероятности, т. е. вероятности перехода (Л°~1>[.1,—,1_1] ^ Л°>[.1,—,.,]> из состояния Л0-1>[.1,—,.._1] в состояние Л(у>[.1,—,.].
Построение системы таких условных (переходных) вероятностей начнем с элементарного дерева Т(0'1>. Для вершин Л(1>[1],—,Л(1>[г(1>] этого дерева определены неотрицательные переходные вероятности р(0'1>(.1)=Р(Л(1>[.1]//Л(0>), р0-1>(1)+...+р0'1>(Г1>)=1, где р(0'1>(^1) есть вероятность того, что произойдет событие Л(1>[i1] при условии, что произошло начальное событие Л(0>, i1=1,—,r(1>.
На каждом следующем этапе i, к > i > 2 построения дерева Т0'1—'к>, когда появляются элементарные деревья Тн,>^ ¿.>, вводятся неотрицательные условные вероятности р(у1'у>(1р.. .¿.>=Р(Л°>[.р. . .¿.]//Л°-1>[.р. . .¿у1]>, где Р(-1'>(.р.,.> есть вероятность осуществления события Л(i>[ip..., .] при условии, что произошло событие Л°-1>[.р.., .], ..л=1,—,Г(-Г>(}1,—, .2>, 1=1,—,Г‘.>(.1,—,1 >. Полагая, что вероятностьр(~1'>^р...^>перехода (Л°-1>[.1,—,.,1]^Л°>[.1,—,.]> не зависит от вероятности р1у2-у1">(1р...^.1> перехода (Л°-2>[.1,—,12] ^ Л°-1>[.1,—,.._1]> (т. е., полагая, что события Л(0>, ..., Л°-1>[.р..., г ], Л°>[.р..., . образуют простую цепь Маркова), получаем формулу
р(0'1—.%,...,.>=Р(Л(1>[у//Л(0>> • Р(Л(2>[ ^2]//Л(1>[^]>-— ■Р^Щ,—,.]//
= р0'1^1Ур1'2^1, ^> ■—■р(-1'^1,...,. (1)
для вычисления вероятностир(0'1'-'>(.1,.....> осуществления перехода (Л(0>^... ^Л°>[.1,—,.,]> от начала Л(0> дерева Т0'1—'к> к его вершине Л(У>[.1,—,.,].
Вероятность Р(Вп>=р1(В> составного события Вп можно вычислить по формуле
р(В)= Р{Вп )= Р
1)Л(к),..., .«] = Ер и.!8 I.., ^), (2)
ч 8=1 у 8=1
где 8>= 1,—, Г1,8>,..., .<8>= 1,—, Гк'8>(.^8>,—,.к(8>>, п=1,—,№.
Очевидные модификации формул (1), (2) позволяют вычислить вероятности любых комбинаций событий, составляющих построенное дерево событий Т0'1—'к>.
Дерево событий с рандомизированными переходными вероятностями
Предположим теперь, что в распоряжении исследователя имеется экспертная информация относительно переходных вероятностейру1-у>(1р..,.>, . =1,—,Г:у>(}1,...,1_1>,]=1,—,к для к-уровневого дерева Т0'1—'к>.
Рассмотрим одно элементарное дерево событий Ту1,.>(. .> с корневым элементом Л°~1>р1,...,. ] и с Гу>(}1,—..1> непосредственно следующими событиями Ли>р1,..., 1._р1]..,Л(у>[.р.., 1_1,^.>(.1,—,1_1>]. Введем теперь упрощенные обозначения: число событий - г=г1У>(11,—,..1>, альтернативы - Л!=Л(У>[.р..., 1_р8], вероятности -р=р(у1'г>(11,...,.._1,$,>, 8=1,—, Г:у>(.1,—,.,1>.
Пусть каждый источник сведений предоставляет исследователю два вида информации относительно вероятностей р1,—,р: ординальная (нечисловая) информация 01, которая может быть формализована с помощью системы равенств и неравенств 01={р>ррри=ру; .,1,и,у=1,—,т}, и интервальная (неточная) информация II, которую можно описать с помощью системы интервалов [а.,Ъ.], 0 < а. < Ъ,,.=1,—,г, для вероятностейр1,—,рг. Вполне возможно, что экспертной информации I будет недостаточно, чтобы точно определить значения вероятностейр ,—,р, поэтому информацию I мы будем считать неполной. Таким образом, в распоряжении исследователя есть нечисловая, неточная и неполная информация 1=01и11 (ННН-информация), которую можно представить с помощью системы равенств и неравенств 1={р>р, р=р; а<< р<< Ъ; .,1,и,у,1=1,...,т} для вероятностей р1,—,рг альтернатив Л ,—,Л . Опыт работы с экспертами и специальные психометрические исследования показывают, что ННН-информация является, как правило, единственным видом надежной экспертной информации, доступной исследователю6.
Зафиксируем ННН-информацию I о вероятностях р ,—,р альтернатив Л1,—,Лг и рассмотрим множество Р(г^> всех допустимых (с точки зрения информации I) векторов вероятностей р=(р —,р >. Множество Р(г^> является подмножеством множества Р(г>={р=(р1,—,рг>еЯг:р.> 0, р1+—+рг =1} всех векторов вероятностей. Следуя основной идее Т. Байеса о рандомизации неопределенности, будем моделировать неопределенный выбор вектора р=(р —,р > из множества P(r;I> при помощи случайного выбора этого вектора. В результате получаем случайный вектор вероятностей, ~(I) = ((I)..., ~г(I)), р1(I)+... + (I) = \, равномерно распределенный на множестве P(r;I>. Построенную слу-
чайную величину р. (I) можно рассматривать как случайную оценку вероятности р. с точки зрения информации I. Естественной усредненной оценкой вероятности альтернативы Л. является математическое ожидание ^¡(/)=.Ер,(/) случайной вероятности
Р1 ()(. Стандартное отклонение будем интерпретировать как меру точ-
ности полученной оценки. Для дальнейших расчетов нам также потребуется рассчитать ковариацию соуф, (/), р] (/))= су (с ) случайных вероятностей
В более сложных ситуациях, когда информация поступает от нескольких экспертов, можно использовать механизм построения рандомизированных оценок вероятностей
альтернатив по ННН-информации, получаемой из источников различной надежности, достоверности и значимости7.
Возвращаясь к построенному к-уровневому дереву Т0'1'-*'1, предположим, что в распоряжении исследователя имеется ННН-информация I, которая формализована в виде системы равенств и неравенств для всех переходных вероятностей р'1-:Ц)(}р..,1), ¿1=1,—,Г1),—, 1=1,—,Г:1)(}1,—,1у1),]=1,—,к. В этом случае мы можем рассматривать случайную величину р(-11)(..,^; I) как рандомизированную оценку вероятностир01^,...,^ в соответствии с информацией I, математическое ожидание ^(У1^У)(11,.,1;1) - как усредненную оценку вероятности А°)[11,—,1.], стандартное отклонение Ы1-1,)(11,.,1.;1) - как меру точности полученной оценки. Таким образом, решается задача оценивания всех переходных вероятностей по ННН-информации I.
Подставляя в формулу (1) вместо вероятностей p<0'1)(i1), р1,2)<г1, г2), ... , рк-1^)(г1,.,гк) их рандомизированные оценки, получаем случайную оценку
р'0-1..к)(.....г,; I ) = Р'0^, I )• Лл; I )•...• р(‘-и >(^1..........г,; I) (3)
вероятности p<0'1'■■■'k)<i1,...,ik) перехода из начала А<0) дерева событий V0'1'-'k) к конечному событию А(к)[г,—,г].
Из формулы (3) можно вывести формулы для математического ожидания
Ер 0,1,...,к)(,..., г,; I ) = ц(0,1,...,к)(^,..., г,; I ) = г(; I )=П г1-1,1 ((.., О,I), (4)
1 =1
дисперсии
Вр (0,1,...,к )(,..., г,; I ) = П (г1 -1,1 (,...,11; I )2 + ^-1,1 (,..., ^; I )2 )-]Л г 1-1,1 (,...,¿1; I )2 (5)
1=1 1=1
и ковариации
еоу'р %,..., г1, г «,..., гк1); I) ,р (0,1,...,к )(г-1,..., г1, г (2),..., 42); I ))=
= 11 (гг -1,г (,..., о; I )2 + аг -1,г (,..., гг; I )2 )х х 0(1-1)-,..., г1 -1;1(1), -(2); I )+гг -1,г -1,..., (, г'^+1; I )г-1,г -1,..., -, Ц; I) (6)
X ГГ (-1,г(г\,...,(,г(,...,г();I)-1,г(¿1,...,(,Ц,...,г(2);I))-
-I!гг-1,г(г!,...,гг; I)2 п (-1,г(г1,...,(,(,...,г();I)(¿l,...,¿•j,i-2+i,...,42); I
г=1 г=1+1
случайной оценки вероятности p<0'1'-'k)<i1,—,ik), где |аlj-1■j)(i1,..,i;I) - математическое ожидание, s<yl'-)<i1,...,i-;I) - стандартное отклонение случайной оценки, c<j-1)<i1,...,ij1,j<1),j<2);I) —ковариа-
” П(1 -1,1(1))(г ) П(1-1,1(2))(г г )
ция случайных оценок переходных вероятностей р \г1,..., ), р 1г1,...,г1(2)/ .
Если необходимо агрегировать некоторые конечные вершины дерева событий Т^--^, то из формул (2), (4)-(6) можно вывести формулы для математических ожиданий
Ер(п И!)= Е
| р (,1,...,к)((),..., г!); I) = |Ер (0,1,...,к ^),..., i-s); I )= I (5); I) (7)
5 =1 5 =1 5=1
5 =1 з,г=1,
случайных оценок вероятностей р1(в>,—,р^в> агрегированных событий Б1,—,БМ соответственно.
Таким образом, в рамках построенной модели дерева событий с рандомизированными переходными вероятностями (ДСРПВ) выведены формулы (4)-(8), позволяющие вычислять оценки вероятностей любых комбинаций событий, составляющих дерево исследуемых событий Т°'1—к>.
Применение модели ДСРПВ для оценки вероятности финансового кризиса
В данном разделе мы приведем пример применения теоретико-игровой интерпретации разработанной модели ДСРПВ для оценки вероятностей альтернатив развития финансового рынка некоторой условной страны. Хотя страна, фигурирующая в нашем иллюстративном примере, является условной, моделирование динамики ее финансовой системы строится на вполне реальных данных. Эти данные изложены в рабочих материалах Национального бюро экономических исследований США8. В указанных материалах на примере Таиланда, Малайзии, Австралии, Южной Африки и других стран анализируется влияние крупных зарубежных инвестиционных фондов на стабильность курса национальной валюты и тем самым на стабильность финансового рынка в целом.
Рассмотрим простейший вариант теоретико-игровой модели динамики сложной системы «финансовый рынок страны», определяемый деревом событий, представленным на рис. 2.
Пусть первым игроком выступает правительство страны (далее — «правительство»), которое в начале игры (событие А(°>) может выбрать два варианта действий - допустить зарубежные инвестиционные фонды на национальный финансовый рынок (событие А(1>[1]) или не допустить (событие А(1>[2]).
С помощью различных «действий» второго игрока мы хотим отразить возможность разных состояний финансово-экономической конъюнктуры (курс национальной валюты, параметры денежной и фискальной политики, показатели дефицита / профицита бюджета, структура портфеля государственных займов, стоимость обслуживания государственного долга и т. д.9), влияющей на поведение крупных инвесторов на финансовом рынке рассматриваемой страны. Предположим, что такой условный игрок (далее, согласно принятой в теории игр терминологией, — «природа») может «выбрать» одно из двух своих состояний - благоприятствующее инвестициям зарубежных фондов в долгосрочные ценные бумаги рассматриваемой страны (события А(2>[11], 1=1,2) или не благоприятствующее (события А(2>[12], 1=1,2).
Пусть в качестве третьего игрока выступает совокупность крупных зарубежных инвестиционных фондов (далее — «инвестор»), работающих на финансовом рынке рассматриваемой страны и имеющих возможность выбрать одно из следующих действий. Во-первых, «инвестор» может вложить значительную часть своих денежных ресурсов в долгосрочные ценные бумаги (события А3>[1р12,1], 11=1,2), что, естественно, стабилизирует
Рис. 2. Теоретико-игровое дерево событий на финансовом рынке.
финансовый рынок страны и укрепит курс национальной валюты. Во-вторых, зарубежные инвестиционные фонды могут закупить весь спектр ценных бумаг (краткосрочных, среднесрочных и долгосрочных) в пропорциях, обеспечивающих status quo на финансовом рынке рассматриваемой страны (события A(3)[i1,i2,2], i1,i2=1,2). И, наконец, в-третьих, «инвестор» может полностью вложить все свои ресурсы в большое число краткосрочных ценных бумаг, быстро зафиксировать прибыль и немедленно вывести практически все свои капиталы с финансового рынка рассматриваемой страны (событияA(3)[i1,i2,3], i1,i2=1,2) с разрушительными для этого рынка последствиями (дефолт по государственным финансовым обязательствам, резкое падение курса национальной валюты и т. д.).
Предположим далее, что эксперт, ориентирующийся на указанные ранее рабочие материалы Национального бюро экономических исследований, фиксирует имеющуюся у него ННН-информацию обо всех переходных вероятностях на дереве событий в виде следующих систем равенств и неравенств:
I(0-1)={p(0-1)(1)>p0-1)(2)},
1(1'2>(1)={р(1'2>(1,2)> р(1'2>(1,1); р1'2>(1,2>> 0,6},
1(1'2>(2)={р(1'2>(2,2)> р1'2>(2,1>; р(1'2>(2,1) > 0,75},
1(2'3>(1,1)={р(2'3>(1,1,1)> р2'3>(1,1,2)> р2'3>(1,1,3); р2'3>(1,1,1) > 0.7; р(2'3)(1,1,3) < 0,1}, 1(2'3>(2,1)={р(2'3>(2,1,1)> р(2'3)(2,1,2)> р(2'3)(2,1,3); р(2'3)(2,1,1) > 0.5},
1(2'3>(1,2)={р(2'3>(1,2,3)> р2'3>(1,2,2)> р2'3>(1,2,1); р(2'3>(1,2,3) > 0.7; р(2'3>(1,2,1) < 0,1}, I(2'3>(2,2)={p(2'3>(2,2,1)< p(2'3>(2,2,3)}.
Используя экспертную ННН-информацию I в качестве входных данных для системы поддержки принятия решений (СППР) АСПИД-3'10, можно получить оценки и(0’1)(11), |а(1'2>(11,12>, ^(2'3>(11,12,13> переходных вероятностейр(0'1>(11),р(1'2>(11,12>,р(2'3>(11,12,13>, 1р1=1,2; 1=1,2,3. Эти оценки приведены в таблице вместе со значениями показателей точности, измеряемых стандартными отклонениями Ы0'1>(11), а<1'2>(1112>, &2'3>(111213) соответственно.
Далее, на основе формул (4)-(6) можно получить математические ожидания |а(1,1,1;1>
|а(2,2,3;1>, стандартные отклонения а(1 1 ’1;1),...,о(2’2’3;1) и ковариации случайных оценок вероятностейр(0'1'2'3>(1,1,1;1),.,р0'1'2'3>(2,2,3;1) перехода от начального состояния А(0> ко всем двенадцати конечным событиям А(3>[1,1,1],...,А(3>[2,2,3], соответствующим альтернативным исходам игры на финансовом рынке рассматриваемой страны. Эти исходы игры объединяются в три агрегированных события:
В = А(3>[1,1,1] и А(3)[1,2,1]и А(3)[2,1,1]и А(3>[2,2,1],
В = А(3>[1,1,2] и А(3)[1,2,2]и А(3)[2,1,2]и А(3>[2,2,2],
В = А(3>[1,1,3] и А(3)[1,2,3]и А(3)[2,1,3]и А(3>[2,2,3], каждое из которых соответствует определенному конечному состоянию финансового рынка рассматриваемой страны:
В1 - устойчивость финансового рынка возрастает;
В2 - устойчивость финансового рынка сохраняется;
В3 - наступает кризис финансового рынка.
Формулы (7)-(8) позволяют найти оценки (математические ожидания и(0’1’2’3)(Вп)) вероятностейр0'1'2'3)(Вп) агрегированных исходов Вп, п=1,2,3, игры, соответствующей дереву
Оценки переходных вероятностей и значения показателей их точности
Вероятность Оценка Точность Вероятность Оценка Точность
р(0’1)(1) 0,750 0,144 р(0’1)(2) 0,400 0,041
р(1’2)(1’1) 0,250 0,144 1 (1) р( 0,155 0,066
р(1’2)(1’2) 0,800 0,129 3) 1 (1) (Л1 р( 0,805 0,072
р(1’2)(2’1) 0,125 0,085 р(2’3)(2 1’1) 0,665 0,120
Ж 0,875 0,085 1 СЛ1 р( 0,255 0,104
р(23)(1 1 1) 0,805 0,072 р(2’3)(2 1’3) 0,080 0,060
р(2’3)(1’1’2) 0,155 0,066 р(2’3)(2 ’ 21) 0,166 0,117
р(2’3)(1 1’3) 0,040 0,030 р( 2 2 2) 0,333 0,235
р(2’3)(1 2 1) 0,040 0,030 3) 2 (2,) р( 0,500 0,204
событий, представленному на рис. 2, и определить точность (стандартные отклонения g(o,i,2,3)(bj) этих оценок:
^(0j,2,3)(Bi)± d0-1-2-3)(B1)=0,202 ±0,079;
^(0j,2,3)(B2)± оі0-1-2-3)(В2)=0, 197 ±0,082;
^(01,2,3)(Вз)± g(0'1'2'3)(B3)=0,600 ±0,064.
Таким образом, построенное по объединенной экспертной ННН-информации дерево событий Т0,1'2'3) с рандомизированными переходными вероятностями р (l,2)(i1, i2), р (2,з)(, і2, i3), і ,і2=1,2; і3=1,2,3 позволяет обнаружить достаточно большие шансы (почти 6 против 4) наступления кризиса на финансовом рынке рассматриваемой страны.
Заключение
Нетрудно заметить, что разработанный метод оценки вероятностей альтернатив развития сложных систем на основе построения ДСРПВ предполагает выявление представлений эксперта о значениях вероятностей появления альтернатив. Иными словами, возможная интерпретация метода ДСРПВ лежит в рамках концепции «рационализации представлений», выдвинутой известным английским экономистом Дж. М. Кейнсом в его знаменитой работе 1921 г.11 и получившей строгое математическое обоснование в статьях Б. Купмана12. Указанный подход Кейнса к оценке «степени рациональной веры» (degree of rational believe) эксперта в осуществление тех или иных событий начинает в настоящее время привлекать внимание исследователей как адекватная схема для описания поведения субъектов финансово-экономической деятельности13. Согласно этому подходу, хотя и невозможно исключить субъективный элемент в экспертных оценках вероятности, обычно носящих к тому же нечисловой характер, но можно сделать эти оценки «рациональными» за счет адекватного учета всей имеющейся у эксперта информации и придания этой информации строгой логической формы14.
В рамках концепции «рационализации» субъективных оценок вероятностей вопрос о соответствии этих оценок «объективным» частотам появления альтернатив и не ставится, но косвенно сам факт рационализации представлений эксперта о возможных путях развития сложных финансово-экономических систем увеличивает, несомненно, степень обоснованности этих оценок. К тому же в ситуациях, когда требуется экспертное прогнозирование поведения таких систем на значительно удаленном горизонте времени, сомнительно само существование упомянутых «объективных» частот, так как в этом случае отсутствует стационарность процесса развития, являющаяся необходимым условием для возможности проверки соответствия вероятностей эмпирически наблюдаемым частотам.
1 Рябинин И. А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. СПб., 2000; Соложенцев Е. Д. Сценарное логико-вероятностное управление риском в бизнесе и технике. СПб., 2004; DuganJ., Sullivan K, Coppit D. Developing a high-quality software tool for fault tree analysis // Proc. IEEE Intern. Symposium on Software Reliability Engineering. Boca Raton (Florida), 1999. P. 222-231; FragoleJ., MinarikJ., RailsbackJ. Fault Tree Book. Washington, 2002; Sullivan K., Coppit D., DuganJ. The Galileo Fault Tree Analysis Tool // Proc. 29th Annual International Symposium on Fault-Tolerant Computing. Madison (Wisconsin), 1999. P. 232-235.
2 Катькало В. С. Теория стратегического управления: этапы развития и основные парадигмы. СПб., 2002; Cioffi-Revilla C. Politics and Uncertainty. Cambridge, 1998; Prahalad C., Hamel G. Strategy as a field of study // Strategic Management Journal. 1994. Vol. 15. N 1. P. 5-16; Williamson O. Strategy research: governance and competence perspectives // Strategic Management Journal. 1999. Vol. 20. N 12. P. 1087-1108.
3 Bayes T. An essay towards solving a problem in the doctrine of chances // Biometrika. 1958. Vol. 45. P. 296-315.
(Reprinted from Philosophical Transactions of London Royal Society, 1763).
4 Маркова Е. В., Маслак А. А. Рандомизация и статистический вывод. М., 1986; Хованов Н. В. 1) Анализ и синтез показателей при информационном дефиците. СПб., 1996; 2) Математические модели риска и неопределенности. СПб., 1998; 3) Три типа математических моделей неопределенности // Измерительная техника. 2005. № 9. С. 39-44.
5 Горшков А. С., Мясников А. В., Хованов Н. В. Прогнозирование эволюции сложных систем в условиях неопределенности // Материалы 6-й международной конференции «Анализ, прогнозирование и управление в сложных системах». Т. 2. СПб., 2005. С. 168-174; Колесников Г. И., Федотов Ю. В., Хованов Н. В. Оценка вероятностей альтернатив развития фондового рынка в условиях дефицита числовой информации // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2005. Сер. 10. Вып. 2. С. 151-160; Макаров А. В., Федотов Ю. В., Хованов Н. В. Байесовская модель оценки вероятностей альтернативных состояний финансово-экономической среды реализации инвестиционных проектов // Материалы Международной научной конференции «Экономическая наука: проблемы теории и методологии». Секции 5-10. СПб., 2002. С. 141-142; Хованов Н. В. Оценка сложных экономических объектов и процессов в условиях неопределенности: К 95-летию метода сводных показателей А. Н. Крылова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 5. Экономика. 2005. Вып. 1. С. 138-144; Хованов Н. В., Федотов Ю. В. Рациональная оценка вероятностей альтернатив состояния среды осуществления проектов - основа эффективного стратегического менеджмента // Материалы конференции «Концепции и инструменты эффективного менеджмента». СПб., 2005. С. 31-32.
6 Ларичев О.И., Мешковин Е.М. Качественные методы принятия решений. М., 1996; Biswas T. Decision-Making under Uncertainty. London, 1997; Hogarth R. Cognitive processes and the assessment of subjective probability distributions // Journal of American Statistical Association. 1975. Vol. 70. P. 271-289; Tversky A., Kahneman D. Judgment under uncertainty: heuristics and biases // Science. 1974. Vol. 46. P. 1124-1131.
7 Hovanov N. V., Yudaeva M. S., Kotov N. V. Alternatives probabilities estimation by means of non-numeric, nonexact and non-complete information obtained from sources of different reliability // Proceedings of the International Scientific School «Modeling and Analysis of Safety and Risk in Complex Systems». SPb., 2005. P. 271-277.
8 Corsetti G., Pesenti P., Roubini N. The role of large players in currency crises // NBER Working Paper. 2001. N 8303.
9 Davis E. Debt, Financial Fragility and Systemic Risk. Oxford, 1995; Summers H. S. International Financial Crises: Causes, Prevention and Cures // The American Economic Review. 2000. Vol. 90. P. 1-16.
10 Колесов Д. Н., Михайлов М. В., Хованов Н. В. Оценка сложных финансово-экономических объектов с использованием системы поддержки принятия решений АСПИД-3W. СПб., 1998.
11 Keynes J. A Treatise on Probability. London, 1921.
12 Koopman B. 1) The axioms and algebra of intuitive probability // Annals of Mathematics. 1940. Vol. 41. P. 269292; 2) The bases of probability // Bulletin of the American Mathematical Society. 1940. Vol. 46. P. 763-774.
13 Макашева Н. А. Вероятностная логика Дж. М. Кейнса и базисные понятия экономической теории // Материалы международной научной конференции «Актуальные проблемы экономической науки и хозяйственной практики». СПб., 2004. С. 192-194.
14 Кайберг Г. Вероятность и индуктивная логика. М., 1978.
Статья поступила в редакцию 2 ноября 2006 г.
