CC BY
25
ОЦЕНКА ВАРИАЦИОННОГО РАЗМАХА ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВРЕМЕННОЙ ДИНАМИКИ ГРАВИТАЦИОННОГО КОЛЛАПСА В МЕТРИКЕ ШВАРЦШИЛЬДА
Кулаичев А.П. ®
К.ф.-м.н., Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Аннотация
В работе рассмотрена базовая модель центрально-симметричного невозмущенного коллапса. Показано, что образование черной дыры является крайне скоротечным процессом длительностью 1.42-2.45 c для звезд допустимого диапазона масс 3-450M®. Вследствие квантового ограничения на расстояние до горизонта событий r-rg>lP коллапс завершается практически одновременно по часам удаленного и сопутствующего наблюдателей, различие между ними составляет 0.008^0.858 с. Длительность релятивистской стадии коллапса, присущей только образованию черной дыры, но не нейтронной звезды, когда координатное время начинает возрастать линейно в зависимости от ln(r-rg) при (r-rg)/rg<0.1, составляет 0.0013-0.175 с. Образование горизонта событий является не моментальным явлением, а процессом увеличения гравитационного радиуса от квантовых размеров до окончательной величины rg, протекающим спустя 0.78-1.34 с после начала коллапса и длительностью 0.641.1 с. При попадании на черную дыру любой элементарной частицы горизонт событий увеличивается настолько, что для удаленного наблюдателя частица оказывается внутри него. Для черных дыр размером rg>3 мкм увеличение массы за счет поглощения реликтового излучения превышает потерю массы вследствие излучения Хокинга, для черных дыр звездного происхождения поглощение превышает излучение более чем в 1030 раз.
Ключевые слова: гравитационный коллапс, черные дыры, нейтронные звезды, координатная и сопутствующая системы отсчета, излучение Хокинга
Keywords: gravitational collapse, black holes, neutron stars, coordinate and associated reference systems, Hawking radiation
1. ВВЕДЕНИЕ
В теории гравитационного коллапса есть малоосвещенный, но практически важный вопрос, касающийся различия временной длительности этого процесса в разных координатных системах и для звезд различной массы. В фундаментальных источниках на основе теоретического рассмотрения вопроса делаются выводы чисто описательного, качественного характера: «приближение к гравитационному радиусу требует бесконечного времени по часам удаленного наблюдателя» [1, С. 401], «Итак, по часам далекого неподвижного наблюдателя время достижения rg всегда равно бесконечности» [2, С. 119], и там же далее: «То, что бесконечно во времени внешнего наблюдателя, конечно по часам падающего. Можно ли привести более наглядную иллюстрацию относительности понятия временной бесконечности?». Эти заключения переносятся авторами-теоретиками в свои произведения, рассчитанные на более широкую аудиторию [3, С. 25]: «Для него (внешнего наблюдателя) поверхность звезды лишь за бесконечно долгое время приближается к сфере Шварцшильда, как бы застывая на гравитационном радиусе». В еще более популярных источниках [4, С. 5] эти выводы иллюстрируются упрощенными, безразмерными и схематизированными графиками.
® Кулаичев А.П., 2017 г.
Рис. 1. Скорость коллапса. Удаленный наблюдатель видит, что скорость коллапса замедляется до нуля по мере того, как оно приближается к горизонту событий.
Рис.2. Наблюдаемое и собственное время коллапса в зависимости от расстояния до горизонта событий и центра черной дыры
Подобные выводы воспроизводятся и в большинстве последующих фундаментальных монографий, например [6-9], где приводятся иллюстрации, подобные рис.2, но с масштабированной осью ординат 0-3г^ Здесь остаются непроясненными важные моменты: 1) какова детальная динамика коллапса во временном и пространственном измерениях; 2) насколько эта динамика различается для звезд разных масс; 3) является ли образование горизонта событий моментальным событием или же процессом, протяженным во времени; 4) существуют ли физические ограничения на теоретическую временную бесконечность коллапса.
2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ
Здесь мы ограничимся базовой моделью центрально-симметричного гравитационного поля, описываемого метрикой Шварцшильда1:
ds2 = — g00c 2dt2 + g 220в2 + g33dj2 + gndr2 =
= —(1—^ )c 2dt2 + r 2(dq2 + sin2 в- dj2). (1)
rr r 1—^
r
Отсюда соотношения временных dt интервалов и линейных dx интервалов в радиальном направлении в системе отсчета, находящейся в гравитационном поле, и их измерений dr, dt из бесконечно удаленной системы отсчета имеют вид:
dr = dxkg, dt = dt/kg, (2)
где к£=л]g00 = 1/д/g11 = ^ 1 - г& / г — коэффициент гравитационного изменения масштабов, к% ®0 при т®т%.
В метрике (1) выводимы следующие выражения, описывающие динамику гравитационного коллапса:
а) координатное время коллапса (формула 102.5, [1]):
I гГг0 dr
ф - О = , 1 ]7-Л ,-. (3)
r0 r
1 - —
r
r r
g g
V ' ^ r r0
где: г — текущее расстояние условной поверхности звезды до центра гравитационного поля в момент времени I ;
г0 — радиус условной поверхности звезды в момент начала коллапса ^; 2МО
г = —2— — гравитационный радиус или горизонт событий, МО — произведение массы & с
звезды на гравитационную постоянную;
с — скорость света; б) собственное время коллапса (формула 102.8, [1]):
г 0 (Гг
с(т-то) = ; (4)
g__g_
г г0
в) координатная скорость падения (формула 3.5.1, [2]):
V = Гг = (1 - % 1 - ; (5)
Г г 1 1 - г,
I го
г) собственная скорость падения (формула 3.5.2, [2]:
(Гх _йг 1
П = (Гт Ж 1 - г^ • (6)
г
Соотношения СТО и ОТО. Здесь полезно обратиться ко второй космической скорости ^ или скорости убегания, необходимой для выхода за пределы гравитационного поля в бесконечность (она же скорость свободного падения тела из бесконечности на гравитирующий объект), которая определяется выражением: V2 = V2ОМ / г . Отсюда легко показать взаимную эквивалентность пространственно-временных преобразований СТО и
ОТО: -^1 -V22 /с2 = л/1 -2ОМ /с2 /г = .^1 - г& / г . Тем самым, несмотря на математическую
сложность уравнений ОТО гравитационное искривление пространства-времени определяется простыми уравнениями Лоренца относительно V2, которая интегрально характеризует воздействие гравитации на материальные объекты и является прямой метрологической оценкой этого воздействия.
Однако в гравитационном поле две системы отсчета не эквивалентны, в отличие от эквивалентности двух инерционных систем в СТО. Если для удаленного наблюдателя время в сопутствующей системе замедляется, то для сопутствующего наблюдателя время в удаленной Вселенной ускоряется, и при достижении им горизонта событий Вселенная за бесконечное время перестанет существовать.
Приливные силы. При приближении к горизонту событий чудовищно возрастает градиент напряженности гравитационного поля, и любое тело будет разорвано на атомы приливными силами. Путь имеется небольшая черная дыра звездного происхождения с гё=104 м, к которой на расстояние 1 м приблизилось тело, размером с человека 1.5 м, когда голова находится на расстоянии 2.5 м от г%. Ускорение свободного падения в гравитационном поле определяется выражением:
2
ОМ гс
& =- - '
2 / 2GM „ г
г Y - 2GM 2г Y -
Подставляя сюда значения г = 10001 и 10002.5 м, получаем чудовищную разность
14 2
ускорений, действующих на ноги и голову: Dg=1.654 10 м/с , и столь же чудовищную разрывную силу. По этой причине популярный миф о путешествиях через кротовые норы в другие Вселенные не имеет оснований.
г
Вернемся теперь к вопросам, поставленным во введении. Для ответа необходимо детально рассчитать динамику коллапса: как изменяются его скорость, длительность и другие характеристики при т®т% с точки зрения двух систем отсчета.
3. РАСЧЕТ ДИНАМИКИ КОЛЛАПСА
Для вычислений показателей динамики коллапса допустимо использовать формулы (3-6), хотя они и выведены для свободно падающей в вакууме частицы, поскольку, цитируем по [2, С. 409]: «после сколь-нибудь заметного отхода (звезды) от состояния равновесия силы тяготения уже на конечную величину превышают силы давления и ускорение сжатия составляет конечную долю ускорения свободного падения. Таким образом, очень быстро после «срыва» звезда сжимается практически с ускорением свободного падения, и силы давления не играют существенной роли в динамике коллапса».
С другой стороны, при использовании формул (3, 4) или (5, 6) расчет может проводиться методом численного интегрирования с кусочно-линейной аппроксимацией и пропорциональным уменьшением шага Лт в области возрастания нелинейности подынтегральных выражений. Однако, как показали наши расчеты, это неизбежно приводит к накоплению погрешности вычислений, доходящей до 2% и более. Поэтому предпочтительнее получить и использовать выражения интегралов (3,4) в явном виде:
1
г - и =-
+-
То -1.
Тг
(
-1 + (2т + То)ат^.
т
то -1
т
+
(7)
(
\\
1п !± +то- - 2 - 1п
V т V тя т тя V я У У
с (?-?о) = То
,м
1 - .1 +
т То
—ат^. т„
^ -1
(8)
Начиная с 70-х годов в фундаментальных монографиях стали появляться явные выражения для координатного и собственного времени падения в черную дыру [6-9], которые существенно различаются между собой в связи с использованием собственных обозначений вспомогательных переменных, затрудняющих их восприятие и независимое использование. В частности, в уравнениях из упомянутых источников «для удобства интегрирования» без необходимых формальных и содержательных оснований вводится угловой «циклоидный» параметр ], который в сопоставлении с выражением (7) определяется как (]/2) = у!т0/ т -1) . Наряду с этим встречаются и явно ошибочные выражения для
координатного и собственного времени коллапса [5]. Подобные недосказанности и вариации стимулирует исследователей самостоятельно выводить новые выражения подобного типа вплоть до настоящего времени, например в [10] приводится выражение для координатного времени, на первый взгляд совершенно отличное от формулы (7) и формул из [6-9].
То, что подобные формулы не были известны ранее и их видовое разнообразие иллюстрирует показательная цитата из [9, С. 333]: «Даже для случая радиального движения интегрировать здесь нелегко, как это видно из полученного сложного выражения [приводится ссылка на неопубликованные расчеты К.КЬип, 1957 г.]». Тем не менее, наши аналитические выкладки показали, что большинство подобных формул совпадает с выражениями (7,8) с точностью до преобразований. Это подтверждают и результаты наших числовых расчетов по различным формулам.
Более того, ни одна из упомянутых формул не использована авторами для расчета основных динамических характеристик коллапса и границ их вариабельности в зависимости от массы коллапсара.
4. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
с
т
я
с
т
т
Возьмем в качестве начальных условий минимально подходящую для коллапса звезду массой в три солнечных на завершающей стадии ее эволюции. В образовании нейтронной звезды или черной дыры участвует преимущественно область ядра, а внешняя оболочка рассеивается в пространстве в результате мощных пульсаций звезды или сверхвзрыва. Положим, что ядро на этой стадии имеет размер не более белого карлика, что отвечает начальным значениям г0»9000 км (с учетом г0=6371 км белого карлика в случае Солнца) и гё» 10 км. Избранные результаты расчетов приведены в табл.1, где использованы следующие обозначения:
к=(г-гё)/гё — относительная высота условной поверхности звезды над горизонтом событий в единицах гё;
V=dг/dt — наблюдаемая (координатная) скорость коллапса;
п=Гг/Гт— собственная скорость коллапса;
Лt о — наблюдаемая длительность коллапса;
Лт=т-т0 — собственная длительность коллапса.
Таблица 1
Изменение показателей гравитационного коллапса
к V [км/с] V [км/с] ЛТ [с] Лt [с] Л^ЛТ [с]
800 3537.49972977 3533.07785511 0.588695930983 0.589048869055 0.00035293807125 0.999374804565
500 8949.24509465 8931.34660446 1.1039684861 1.10481563341 0.000847147304117 0.998999499499
100 28141.9451096 27863.3119897 1.39035164135 1.39204230614 0.0016906647899 0.99503719021
50 40823.4933958 40023.0327409 1.40548114691 1.40736863915 0.00188749224687 0.990147542977
10 89948.9186619 81771.7442381 1.41290297131 1.41505683797 0.00215386665237 0.953462589246
5 122133.426919 101777.855766 1.41338943994 1.41560927132 0.0022198313807 0.912870929175
2 173012.309322 115341.539548 1.41360110838 1.41588376728 0.00228265889897 0.816496580928
1 212014.019307 106007.009653 1.41365379823 1.41597250594 0.00231870771172 0.707106781187
0.01 298509.496818 2955.53957246 1.41369413013 1.41618124287 0.00248711274551 0.099503719021
10-5 299998.498343 2.99995498388 1.41369446415 1.4164120017 0.00271753754722 0.0031622618489
10-10 299999.999985 2.99999996997-10-5 1.41369446448 1.41679576638 0.0031013018964 9.99999995021-10-6
10-15 »300000 2.99973262376-10-9 1.41369446448 1.41710278088 0.00340831639788 9.999554363-10-8
10-18 »300000 3.41523684333-10-13 1.41369446448 1.41740847352 0.00371400903643 1.06696404865-10-9
На рис. 3 по этим данным приведены графики изменения собственной и координатной скорости коллапса. Как можно заметить, эти графики никоим образом не напоминают их популярную интерпретацию на рис. 1. Собственная скорость коллапса V начинает приближаться к скорости света при к<1. Здесь же начинают заметно сказываться и эффекты гравитационного изменения масштабов (рис. 4) кё=0.707.
Координатная скорость коллапса V достигает своего максимума при г=3гё/(1+2г§/г0)» 3гё, что следует из условия нулевого значения производной от функции (5) dV/dг=0. Для рассматриваемого случая максимальное значение V составляет V=115341.5 км/с, т.е. более трети от скорости света. Далее V начинает уменьшаться по закону, приближающемуся к линейному V=с/гg■(г-гg), что определено влиянием уменьшения к% (графики Vна рис.3 и к% на рис.4 имеют идентичную тенденцию при к<0.1). Однако значение V продолжает более чем 3 порядка превосходить расстояние, оставшееся до гравитационного радиуса (гёк). Иными словами, если бы V в любой момент перестало уменьшаться, то тело достигло бы г% за 1/1000 секунды.
-а
-12
V>
1 1 1 1 1 1 1 1
-20
-115
-12
— И
» 1ой(А)
Рис. 3. Собственная (черная кривая) и координатная (серая кривая) скорости коллапса в зависимости от нормированной высоты условной поверхности звезды над горизонтом событий (г-г^)/г% (масштабы по обеим осям логарифмические)
Рис.4. Значения коэффициента гравитационного изменения масштабов къ в зависимости от нормированной высоты над горизонтом событий к=(г-г?)1г% (масштабы по обеим осям
логарифмические)
4.1. Общая длительность коллапса
Рассмотрим далее динамику суммарной длительности коллапса. Если использовать натуральные масштабы по осям (рис. 5), то собственное и координатное время коллапса визуально не различается вплоть до к=(г-г^)1г%®0, что совершенно не соответствует популярной интерпретации этого процесса на рис. 2, причины чего мы рассмотрим позднее.
Рис.5. Изменение координатного (черная кривая) и собственного (круги) времени коллапса [с] в зависимости от h=(r-rg)/rg
Чтобы понять природу такого драматического несоответствия, построим график изменения разности между координатным и собственным временем коллапса Dt-Ат в зависимости от логарифма h (рис. 6). Из графика рис. 6 и табл.1 видно, что быстрый рост разности между собственным и координатным временем коллапса происходит на интервале до h=10 и составляет At-At=0.00215 секунды или порядка 0.15% от величины At При h<0.1 или r=1.1rg увеличение этой разности начинает подчиняться логарифмическому закону:
At-At = 0.002333 -7.679- 10'5log10(r-rg) (9)
с очень малым коэффициентом при логарифме от r-rg.
Рис. 6. Изменение разности между координатным и собственным временами коллапса At-Aт в зависимости от ^^((г-г^/г^)
Этот результат количественно уточняет достаточно абстрактное и отвлеченное заключение из [1, С. 401]: «интеграл (3) расходится при г®г% как -гё1п(г-гё) и конечная стадия
приближения коллапсирующего тела к гравитационному радиусу происходит по экспоненциальному закону с очень малым характерным временем ~тё/с». Отметим также, что последняя величина практически совпадает с приведенным в формуле (9) коэффициентом, полученным по линейной регрессионной модели, а именно: 10/3000007и(10)=-7.675 10-5.
4.2. Стадии коллапса
Тем самым во временной динамике коллапса можно выделить три стадии (рис. 6):
1) на первой ньютоновской стадии до й>10, £ё>0.95 сжатие звезды происходит в хорошем соответствии с классической теорией тяготения;
2) вторая стадия до й>0.1, £ё>0.09 является переходной;
3) на третьей релятивистской стадии ^<0.1, £ё<0.09 показатели временной динамики коллапса изменяются в соответствии с логарифмической зависимостью от (т-тё)/тё согласно уравнениям теории тяготения Эйнштейна.
Следует особо подчеркнуть, что зависимость рис.6 является универсальной, и для звезд различной массы изменения касаются только масштаба вертикальной оси.
Яркость излучения коллапсара I и его частота излучения ю изменяются как: 1=сотЬ ((т-т§)/г)4, ы=const■(r-rg)/r [4]. При ^<0.1 яркость излучения коллапсара составляет 4.67-10-9 от исходной, а частота излучения составляет 0.0083 от исходной, то есть задолго до релятивистской стадии коллапсар становится оптически не наблюдаемым.
По формуле (9) можно прогнозировать последующее развитие событий:
38
т-тё = /р=10" км (/р - Планковская длина), Д^Дт= 0.005251 с; т-т? =10-1000 /Р, Д^Дт= 0.07912 с;
= Ю-1000000-/р, д^дг= 76.79 с.
Г? =10 '/р,
Л-1000000 Тё =10 -/р,
Вернемся к вопросу о несоответствии рис.5 и рис. 2, который воспроизводится без принципиальных изменений и во многих фундаментальных монографиях и статьях [6-10]. Однако все подобные графики иллюстрируют не реальную динамику коллапса поверхности звезды, начинающегося с удаления т0»10 тё, а условный пример падения пробной частицы на черную дыру, начинающегося с т0=3тё .
Тем самым этот процесс, начинающийся там, где для нашего примера должно заканчиваться образование нейтронной звезды, протекает в области больших гравитационных искажений, так в диапазоне т=3+1.01тё коэффициент изменения масштабов к%.= 0.82^0.1. За счет этого графики собственного и координатного времени визуально расходятся и при т=1.01т? (т.е. к началу релятивистской стадии) разность составляет Д^Дт = 0.000555-0.000247 = 0.000308 с. Этот чисто визуальный эффект якобы подтверждает легенду о временной бесконечности коллапса для удаленного наблюдателя.
Однако и в данном случае при т-тё = /р получаем Дt =0.0033 с, Д^Дт= 0.00307 с, то есть имеет место не бесконечный, а практически моментальный по своей скоротечности процесс. Якобы быстро уходящий во временную бесконечность и теряющийся у оси времени хвост релятивистской стадии на рис.2 имеет тот же самый мизерный временной наклон -7.648-10-5 /о?10(т-т?).
4.3. Квантовые ограничения
Как нетрудно заметить, последние два прогноза в разделе 4.2 относятся к чисто математической абстракции, поскольку на расстояниях до горизонта событий, меньших Планковской длины /р, дальнейшее непрерывное движение невозможно. Материальная частица от своего текущего положения не может сместиться ни на какую часть от /р, а может только виртуально осциллировать в этих пределах. Действительно, будут лишены физического смысла утверждения, подобные следующему: падающее тело за 77 секунд проходит 0.999...(1 миллион девяток) часть от расстояния /р, оставшегося до горизонта событий, а движение в завершающей ю-1000000 части от /р занимает бесконечное время по часам удаленного наблюдателя.
Поскольку физические процессы коллапсирующего тела протекают в сопутствующей системе отсчета, то 1Р следует пересчитать в масштабе 8^, наблюдаемом из координатной
системы отсчета согласно выражению (2) решением уравнения 88г^ = Iр ^ 1 — rg l(rg + дrg ) ,
в результате чего получаем для рассмотренного примера 8^=1Р21^=10"77 км, тогда Д^Дт(8
^)=0.00837 с или 0.5% от Дt. Таким образом, физически коллапс заканчивается за Дt =1.664 с, а длительность релятивистской стадии составляет 0.006 с или 0.36% от Дt.
Одной из немногих теоретических работ, поднимающих подобные вопросы, является [11], где в § 9.1 рассматривается роль квантовых эффектов в физике черных дыр, цитируем: «Для сферической черной дыры с массой Мвеличина «дрожания» 8rg имеет следующий вид: drg~lP2lrg . Интересно отметить, что хотя эта величина мала для обсуждаемых нами черных дыр с М>>тР, само существование этого эффекта качественно меняет идеализированное классическое описание коллапса тела или падения частиц в черную дыру с точки зрения удаленного наблюдателя. Вместо формально бесконечного выражения: Д^
г0
J ^1 л^—для длительности этих процессов по часам удаленного наблюдателя следует
^
ожидать появления конечной величины ~г^1и(г^1р) в результате замены rg на ^+8^ в нижнем пределе интегрирования».
4.4. Универсальность закономерностей
Рассмотренные закономерности приложимы к коллапсарам любой допустимой массы. Для нашего примера с начальными условиями г0»9000 км, ^»10 км получаем Дt (8^) = 1.422 с, Д^Дт(8^)=0.008246 с или 0.58% от Дt, длительность релятивистской стадии коллапса составляет 0.0013 с.
Для одной из самых массивных звезд ближнего галактического окружения, красного сверхгиганта Бетельгейзе при начальных условиях г0»16000 км, ^»45 км получаем Дt (8^) = 1.613 с, Дt—Д7(8rg)= 0.03315 с или 2.06% от Дt, длительность релятивистской стадии коллапса составляет 0.0265 с.
Для коллапсара максимально допустимой массы в 450 солнечных в предположении его начальной плотности, соответствующей средней плотности белого карлика, имеем начальные условия г0»50000 км, ^»1350 км, при которых получаем Дt (8^) = 2.449 с, Д^Д?(8 г^= 0.8584 с или 35% от Дt, длительность релятивистской стадии коллапса 0.1749 с.
Таким образом, в диапазоне допустимом для коллапсара масс от 3 до 450 солнечных основные временные показатели изменяются незначительно по величине = 1.422-
2.449 с, Д^Д?(8г^ = 0.008246-0.8584 с, длительность релятивистской стадии коллапса 0.0013-0.1749 с.
Рассмотрим теперь процесс падения на черную дыру ^=10 км материальной частицы с орбиты Земли г0»=150000000 км. В этом случае получаем = 3041834 с = 35.21 дней,
Дt—Д7(8rg)= 0.3101 с, длительность релятивистской стадии составляет 0.00138 с. Отсюда, в частности, следует, что все окружающей пространство очищается от частиц, не имеющих стабильных орбит, за мизерные по астрономическим масштабам сроки. Поскольку околозвездное пространство очищается также и в результате предшествующего взрыва сверхновой с мощнейшим световым давлением, то большинство черных дыр звездной массы, по-видимому, не имеют протяженных и плотных аккреционных дисков.
4.5. Динамика формирования черной дыры
Вместе с тем, реальная динамика в рамках рассматриваемой модели невозмущенного, ламинарного течения коллапса согласно выше цитируемому обоснованию из [2, 409] может быть сложнее рассмотренного идеализированного случая. Так само образование черной дыры является не одномоментным событием в завершение общего коллапса, что определено наличием градиента плотности в коллапсаре от периферии к центру. В связи с этим каждой
сферической области коллапсара начального радиуса г0л соответствует собственный гравитационный радиус гё(г0г) и собственное время его достижения А^го,). При этом время А увеличивается с увеличение объема или радиуса г0 сферической области. Поэтому более объемные области отстают по времени от нижерасположенных в достижении соответствующих им гё(г0г).
В качестве начального приближения положим, что начальная плотность в коллапсаре изменяется аналогично плотности в ядре Солнца. Согласно стандартной модели Солнца [12] изменение его плотности подчиняется уравнению:
р=519х4-1630х3+1844х2-889х+155 [г/см3], (11)
где х - расстояние от центра х=0 до поверхности х=1 звезды. При этом легко показать, что распределение плотности в ядре х=0-0.25 с высокой достоверностью (р<10-9) соответствует квадратичной регрессионной модели:
Г=153.6-830х+1268х2 (12).
Преобразуя зависимость (12) перенормировкой на ртах=1 и хтах=1 для концентрических сферических областей х=0-1 коллапсара массой в 3 солнечных произведем следующие последовательные вычисления:
1) изменение массы центральной сферической области в ядре т(х) как функции ее радиуса х =0-1;
2) изменение гравитационного радиуса гё (х) [км], соответствующего т(х);
3) изменение координатного времени А^х) достижения гё(х) для сферических областей при г0=9000х [км] по формуле (7) с учетом Ъгё »10-77 км.
Отметим, что в данном контексте свойства гравитационного радиуса гё (х) стандартные: напряженность гравитационного поля равна бесконечности, а падение внешней материи достигает скорости света. Тем самым последующие вычисления и выводы не связаны с вопросом о существовании и расположении горизонта видимости [11].
В результате полученная зависимость Аt (х) с высокой достоверностью (р<10-9) соответствует квадратичной регрессионной модели:
Д^(х)=0.7777+0.3 508х +0.2847х2.
м
1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8
0.2 0.4 0.6 0.8 1 Х
Рис. 7. Изменение координатного времени Аt образования и роста черной дыры в
зависимости от относительного радиуса сферической области х=0-1 коллапсара
Отсюда процесс образования и роста черной дыры (рис.7) начнется (х»0) с
образования зародыша квантового размера спустя 0.7777 секунды после начала коллапса ядра звезды и завершается (x=1) через 0.6355 с образованием горизонта событий rg.=2GM/с . Для звезды максимальной массы 450M®. образование черной дыры начинается спустя 1.342 с после начала коллапса ядра звезды и завершается через 1.096 с. Тем самым и здесь диапазон изменения временных показателей одного порядка величины.
В процессе рассмотренного, распределенного во времени формирования черной дыры индивидуальные релятивистские стадии внутренних областей, накладываются на ньютоновские стадии областей большего размера, теряя тем самым свою физическую уникальность для внешнего наблюдателя. В плане астрофизических наблюдений важно отметить, что для звезд с начальной массой менее трех солнечных гравитационный коллапс может приводить к образованию нейтронной звезды с радиусом порядка 2-3 от гравитационного rg, то есть такой процесс заканчивается до достижения релятивистской стадии. Тем самым релятивистская стадия является единственным отличием этих двух видов коллапса, а ее скоротечность и наличие эффектов наложения во времени различных стадий делает проблематичным ее инструментальное обнаружение.
Здесь следует также отметить термин горизонт видимости (apparent horizon), появившейся и закрепившейся в публикациях с начала 80-х годов [11, 13, 15]. Он трактуется как динамический эквивалент (в процессе коллапса) горизонта событий, который, в свою очередь, обозначает статическое завершенное состояние черной дыры (поэтому вышерассмотренный процесс роста черной дыры можно было бы трактовать как образование и увеличение горизонта видимости). Однако из всех атрибутов горизонта событий в отношении горизонта видимости обычно выделяется только одно: падающие на него по касательной излучение начинает совершать круговое движение. В связи с накоплением такого излучения у горизонта видимости якобы образуется огненная стена (firewall).
Прежде всего, отметим, что в связи со скоротечностью коллапса (менее 3 с) разделение этих двух понятий теряет смысл, а firewall не успевает образоваться. С другой стороны, как показано ниже, за счет поглощения реликтового излучения процесс роста черной дыры никогда не прекращается, и в таком случае никогда не образуется завершенный горизонт событий. Далее, поскольку при приближении любого кванта излучения к rg на расстояние drg (как это также показано ниже) квант оказывается за горизонтом событий, то образование никакого firewall не возможно.
4.6. Рост черной дыры и излучение Хокинга
В продолжение раздела 4.3 выясним, какая дополнительная масса dm должна сосредоточиться на расстоянии drg от rg , чтобы rg увеличился на drg. Будем исходить из
2 27 74 48
соотношения rg=
2GM /с =1.483 -10' m м. Тогда для 8rg=10- м получаем dm » 6.8 -10- кг, что в 7.5 -1016 раз меньше массы электрона 9.1 -10-31 кг. Такой прирост массы соответствует падению на черную дыру одиночного фотона с энергией 1.3 -10-31 Дж, что по E=hc/X соответствует излучению с длиной волны 1=1.528 -104 м при длине волны максимума мощности реликтового радиоизлучения 1.9 мм.
Таким образом, при падении на черную дыру любой элементарной частицы или даже одного кванта реликтового радиоизлучения горизонт событий увеличивается настолько, что частица или квант для внешнего наблюдателя оказывается за горизонтом.
При плотности реликтового излучения р=4.005 -10-14 Дж/м3 в сфере радиуса с содержится Е=р4/3 - p- с3=1.13 -1026 Дж энергии. Поскольку это излучение распространяется во все стороны, то попадающий на расположенную в центре этой сферы поверхность черной дыры радиуса rg поток энергии или мощность составляет часть энергии Е в соотношении
2 2 2 5 2
поверхностей с радиусами rg и с, а именно Pcmb=E-rg /с =р-4/3 - p - с - rg =1.677 10- - rg Дж/с. Отсюда для черной дыры минимальной звездной массы rg=104 м поток энергии реликтового излучения составляет 1.677 10 Дж или в пересчете на увеличение массы черной дыры т=Е/с2=1.863 -10-14 кг/с, что эквивалентно поглощению 1.116 1013 атомов водорода в секунду
27 27
m(H)=1.6710" кг. Из соотношения rg=1.483 10" m м такая черная дыра увеличивает свой rg со скоростью 2.763-10-41 м/с. Для черной дыры, образовавшейся из звезды максимально допустимой массы в 450 солнечных с rg=1350 км, все приведенные оценки увеличиваются в 1.823 104 раз.
Открытие Хокинга. В 1973 году один из крупнейших современных физиков Стивен Хокинг посетил Москву, где Яков Зельдович и Алексей Старобинский продемонстрировали ему, что в соответствии с принципом неопределённости квантовой механики вращающиеся чёрные дыры должны порождать и излучать частицы (ранее такое предположение было высказано Владимиром Грибовым). Хокинг развил эту идею и в следующем году в журнале Nature опубликовал статью. Сущность этого явления состоит в следующем.
В квантовой теории поля физический вакуум наполнен постоянно рождающимися и исчезающими флуктуациями различных полей («виртуальными частицами»). В поле внешних сил динамика этих флуктуаций меняется, и если силы достаточно велики, прямо из вакуума могут рождаться пары частица-античастица. Такие процессы происходят и вблизи (но всё же снаружи) горизонта событий чёрной дыры. При этом возможно, что одна из частиц (не важно какая) падает внутрь чёрной дыры, а другая улетает и доступна для наблюдения. Из закона сохранения энергии следует, что такая «упавшая» за горизонт событий частица из рождённой виртуальной пары должна обладать отрицательной энергией, так как «улетевшая» частица, доступная для удалённого наблюдателя, обладает положительной энергией.
В дальнейшем это явления получило название «излучение Хокинга», и по его интерпретации все черные дыры должны постоянно испаряться вплоть до полного своего исчезновения. Однако при этом не учитывалось соотношение мощностей поглощения и излучения.
Температура излучения Хокинга, уносящего энергию из черной дыры определяется
hc3 hc 23
выражением rHwk=-=-, где £=1.38-10" Дж/°К - постоянная Больцмана. Чтобы
8pKGM 2Krg
благодаря этому эффекту черная дыра в целом теряла энергию и, соответственно, массу, rHwk должно превосходить среднюю температуру реликтового излучения 2.725°К. Из этого
-3
условия можно найти максимальный радиус такой черной дыры rg<2.643-10" м и ее массу
24 22
m<1.782-10 кг, что сопоставимо с массой Луны 7.348-10 кг.
Таким образом, черные дыры размером rg>3 мм только за счет поглощения реликтового излучения постоянно увеличивают свою массу и объем, и к этой категории относятся все объекты звездного происхождения.
С другой стороны, гипотетические первичные черные дыры с массами в диапазоне 1014^1023 кг [14] должны с различной скоростью испаряться вследствие излучения Хокинга. В частности, для первичных черных дыр небольшой массы влиянием поглощения реликтового излучения в сравнении с излучением Хокинга можно пренебречь, и время их
5120pG 2M2 hc4
Вселенной.
Однако у приведенных расчетов есть существенный недостаток. Соотношение поглощаемого и испускаемого излучения зависит не только от соотношения их температур, но и от соотношения мощностей. Так, мощность излучения Хокинга равна hc6 15360pG2 M
жизни составляет =--- с. что дает оценки, значительно превосходящие возраст
PHwk=^—2 . Подставляя значения констант и переходя от массы к гравитационному
28 2
радиусу, получаем Рн™к=7.875 -10" /тё Дж/с. Для состояния равновесия эту мощность следует приравнять вышеприведенной мощности поглощаемого реликтового излучения
5 2
РешЪ=1.677-10" г Дж/с. Отсюда можно найти равновесное значение гравитационного
радиуса гй=2.6110"6 м, что соответствует массе черной дыры т=1.805 -1021 кг, сопоставимой с массой крупного астероида. Тем самым мы получили оценки в 1000 раз более низкие, чем вышеприведенные.
Отметим также, что черные дыры поглощают еще и космический фон реликтовых электронных нейтрино с массой порядка 35 эВ, а также поток космических лучей. Плотность
8 3 10 3 4
этого фона составляет 1.5 10" нейтрино/м или 8.4 -10"10 Дж/м3 , что в 2.110 раз превосходит энергетическую плотность реликтового радиоизлучения. Однако точная оценка мощности этого излучения, поглощаемого черной дырой, невозможна в связи с невозможностью определить среднюю скорость реликтовых нейтрино.
Таким образом, в существующей Вселенной излучение Хокинга никак не влияет на черные дыры звездного происхождения и на часть гипотетических первичных черных дыр.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе рассмотрена базовая модель центрально"симметричного невозмущенного гравитационного коллапса. Для более сложных моделей, учитывающих влияние факторов вращения, электрического заряда, давления, динамических возмущений, изменения состояния вещества и т.п., получение точных оценок вышерассмотренных показателей динамики гравитационного коллапса проблематично, вследствие выраженной нестационарности процессов [13] и отсутствия аналитических выражений, подобных (3-8). Однако, следует полагать, что и для других моделей с некоторыми численными вариациями будут воспроизводиться пять основных выводов из настоящего исследования.
1. С чисто математической точки зрения временная длительность коллапса в координатной системе отсчета является бесконечной. Однако, вследствие квантового ограничения на расстояние до горизонта событий коллапс звезд любой массы заканчивается практически одновременно как по собственному, так и по координатному времени в течение 1.422^2.449 с, а различия между ними составляют 0.58^36% от общей длительности коллапса.
2. Длительность релятивистской стадии коллапса, когда координатное время начинает возрастать линейно в зависимости от логарифма расстояния до горизонта событий при г— rg<0.1rg, составляет 0.0013^0.1749 с для звезд любой массы. Крайняя скоротечность этой стадии и присутствие эффектов наложения релятивистских и ньютоновских стадий для сферических областей возрастающего объема и массы делает проблематичным инструментальное обнаружение релятивистской стадии, позволяющее отличить коллапс с образованием нейтронной звезды от коллапса с образованием черной дыры.
3. Образование черной дыры является не моментальным явлением, а процессом его увеличения гравитационного радиуса от квантовых размеров спустя 0.778-1.342 секунды после начала коллапса до окончательной величины с длительностью 0.6355^1.098 с.
4. При падении на черную дыру любой элементарной частицы гравитационный радиус увеличивается настолько, что для удаленного внешнего наблюдателя частица оказывается внутри него.
5. Черные дыры размером гй>3 микрон за счет поглощения реликтового излучения
постоянно увеличивают свою массу и объем, для черных дыр звездного происхождения
30
поглощение реликтового фона превышает излучение Хокинга более чем в 10 раз.
По частным результатам, не представленных в цитируемых публикациях, следует отметить: а) детальный расчет динамики коллапса для звезд допустимого диапазона масс, включая координатные и сопутствующие измерения; б) выделение трех стадий коллапса: ньютоновская, переходная и релятивистская; в) расчет временной динамики формирования горизонта событий; г) отсутствие различий по всем показателям коллапса для звезд любой массы в сопоставлении с длительностью типичных астрономических процессов.
'Цитируем [2, С. 386]: «Итак, несмотря на то, что гравитационное поле вращающейся звезды
отличается от поля Шварцшильда, ее коллапс качественно протекает так же, как и у невращающейся».
Литература
1. Л. Д. Ландау, Е.М. Лившиц. Теоретическая физика, T.2, Теория поля. М.: Наука. 1988.
2. Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков. Теория тяготения и эволюция звезд. М.: Наука. 1971.
3. И.Д. Новиков. Черные дыры и Вселенная. М.: Мол. Гвардия. 1985.
4. И.Д. Кауфман. Космические рубежи теории относительности. М: Мир. 1981.
5. Jean-Pierre Luminet. Black Holes. Cambridge University Press. 1992.
6. М. Рис, Р. Руффини. Чёрные дыры, гравитационные волны и космология. М.: Мир. 1977.
7. С. Шапиро, С. Тьюколски. Черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды. Физика компактных объектов. Т.2. М.: Мир. 1985.
8. С. Чандрасекар. Математическая теория черных дыр. М.: Мир. 1986.
9. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация, Т.2. М.: Мир. 1977.
10. А.А. Гриб, Ю.В. Павлов - Возможно ли увидеть бесконечное будущее Вселенной при падении в черную дыру? // УФН. - 2009. - № 179. - С. 279-283.
11. И.Д. Новиков, В.П. Фролов. Физика черных дыр. М.: Наука. 1986.
12. S. Turck-Chieze, I. Lopes - Toward a unified classical model of the Sun: on the sensitivity of neutrinos and helioseismology to the microscopic physics // Astrophys. J. - 1993. - N. 408. - P. 347-367.
13. А.А. Шацшй, А.Ю. Андреев - Динамика образования горизонта событий. // ЖЭТФ. - 1999. - Т. 116.- № 2.- С. 353-368.
14. Michael Kesden, Shravan Hanasoge - Transient solar oscillations driven by primordial black holes // Phys. Rev. Lett. - 2011. - V. 107. - N. 11. - P. 111-115.
15. Merali Zeeya - Stephen Hawking: 'There are no black holes' // Nature news. - 24 January 2015.
