Оценка угловых скоростей баллистического объекта с использованием радиального ускорения Текст научной статьи по специальности «Физика»

о сч

<1

м га

О

03 Я х а ф

о

о <и со

сч

ю о

I

сч

ю сч

УДК 621.396.96

В. И. Порсев, А. И. Сивков, Е. П. Ворошилин

Оценка угловых скоростей баллистического объекта с использованием радиального ускорения

Разработан алгоритм оценки вектора полной скорости баллистического объекта на основе его радиального ускорения без использования численных методов оптимизации. Приведено сравнение эффективности функционирования алгоритма ссуществующим оптимизационным методом.

Ключевые слова: баллистический объект, радиальная скорость, алгоритм расчета, вектор скорости, система координат.

Постановка задачи

Обоснование и разработка быстродействующих и физически адекватных алгоритмов расчета движения баллистических объектов необходимы как для создания программно-реализованных в реальном масштабе времени моделей движения таких объектов, так и для решения задач проектирования и проведения оценки эффективности радиолокационных средств и комплексов. В настоящее время вопросам совершенствования методов расчета, моделирования и аналитического представления параметров движения баллистических объектов уделяется повышенное внимание.

Известно, что траекторию баллистического объекта в первом приближении определяет исключительно гравитационное поле Земли [1-3]. Для нахождения объекта в произвольный момент времени достаточно знать его положение и скорость в конкретный момент времени.

Орбита космического объекта однозначно задается шестимерным вектором элементов орбиты или шестимерным вектором, содержащим три координаты положения и три составляющих скорости в любой системе координат, например V = (х, у, г, X, у, 2), где х,_у, г - координаты в местной прямоугольной системе координат, связанной с полотном антенны. Рассмотрим системы координат, связанные с точкой стояния радиолокационных систем (РЛС).

1. Местная прямоугольная система координат (МПСК). Ось 1 лежит на горизонтальной оси антенны РЛС (рис. 1). Направление оси 1 задается углом А (азимутом), отсчитываемым от местного направления на север до оси 1 по часовой стрелке. Ось X лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости антенны,

и направлена в сторону излучения РЛС. Ее положение в этой плоскости задается углом Ро -углом наклона осиХк плоскости местного горизонта (30 ^ 0. Ось У направлена вверх и дополняет СК до правой системы координат (см. правило правой руки).

£ © Порсев В. И., Сивков А. И., Ворошилин Е. П., 2016

Рис. 1. Местная прямоугольная система координат

2. Биконическая система координат (БСК).

• дальность Я - расстояние от начала координат до объекта;

• азимут е - угол между осью 1 МПСК и радиус-вектором объекта, отсчитываемый от оси 1 против часовой стрелки (0< е < я);

• угол места 0 = П - 8, где 8 - угол между

осью У МПСК, связанной с этой СК, и радиус-вектором объекта, отсчитываемый от оси У.

3. Радиотехническая система координат (РСК). Отличается от БСК только углом места у - двугранным углом, образованным плоскостью местного горизонта и плоскостью, содержащей радиус-вектор объекта.

Основной вклад в погрешность вычисленного значения вектора скорости объекта вносят в РЛС ошибки определения угловых скоростей [4-7]. Способность современных

«¡¿Г

РЛС достаточно точно измерять дальность и радиальную скорость движения объекта, а также осуществлять оценку радиального ускорения позволяет с высокой точностью восстанавливать (вычислять для конкретного момента времени) вектор полной скорости объекта.

Задачу восстановления вектора скорости объекта сформулируем следующим образом: на вход алгоритма поступают координаты объекта в биконической системе (БСК) координат Я, в, 0, их скорости Я, в, 0 и радиальное ускорение Я, а также их дисперсии о2 (Я), о2 (в), о 2(0), о2(Я), о 2(в), о 2(0), о2(Я) .На выходе требуется получить вектор V = Ж / сИ в местной прямоугольной системе координат, связанной с полотном антенны.

Классическим решением задачи является метод, изложенный в работе [5], суть которого заключается в поиске минимума функционала:

1 / . 2 • 2 \ 2 1

F =

48 2ст2(ё)

(82-8 У)2 (Y2-Y у )2 +

у 4у2а2(у) у

1

(1)

о2(Я)

ц- (Я - Я(Я, 8, Y, Я, 8 у, у у))2,

где еу , уу - уточненные значения угловых скоростей в радиотехнической системе координат (РСК);

Я (Я, е, у, Я, е у, у у) - радиальное ускорение, вычисленное для баллистического объекта.

Существенный недостаток метода заключается в необходимости программной реализации итерационного численного метода минимизации функционала, приводящей к росту временных затрат на поиск решения в реальном масштабе времени, что является особенно критичным для программ, работающих в реальном масштабе времени.

В связи с этим актуален вопрос о нахождении решения задачи минимизации, обладающего высокой точностью и в то же время закладывающего минимально возможные временные затраты на его реализацию, т. е. решения, не являющегося итерационным. Решение поставленной задачи Искать решение будем, исходя из ограничения, накладываемого на вектор скорости баллистического объекта величиной радиального ускорения. Для вывода необходимого уравне-

ния разложим вектор скорости по ортогональному базису, связанному с радиус-вектором объекта Я в системе координат, связанной с точкой стояния станции. Базисными векторами выберем п1 = И, п2 = Яхю, п3 = — Ях(Яхш),

Я

где ю - вектор угловой скорости вращения Земли. Отметим, что базисные векторы не являются нормированными: ЦпЦ = Я, ||п2|| = ||п3|| = |хю||.

Во введенном базисе вектор полной скорости имеет вид

V = У1п1 + У2п2 + Узп3 = V, + V, ,

где Vг = у1п1 - радиальная составляющая вектора скорости;

VI = у2п2 + у3п3 - тангенциальная составляющая.

Из тождества ИСИ / С = ЯСЯ / С получим оценку:

v1 =Vn1 = VR = Ш = - Я . (2)

1 ,, „2 1 я 2 Я2 Я w

n

2

Продифференцировав тождество, получим формулу, содержащую радиальное ускорение:

С 2И

d ( R dR

dt l dt

d_ ( RdR

dt ( dt

V2 + R—г = RR+RR2. (3)

dt2 v 7

В местной прямоугольной системе координат вектор ускорения имеет вид:

d 2R dt2

g-их (ах R 0) - 2юх V,

где g - гравитационное ускорение;

И - радиус-вектор объекта от центра Земли. Подставив ускорение в формулу (3), получим уравнение:

V2 - Я2 - 2И(юх V) + + -их (юх И 0)) - ЯЯ = 0.

(4)

Введем обозначение с = - юх (юх И 0)) --ЯЯ. Очевидно, что с зависит только от координат Я, в, 0 и ускорения Я. Иными словами, величина с не содержит угловых скоростей. Упростим уравнение (4):

V2 - Я2 - 2И(юх V) + с =

= (у2п2 - п2)2 + (у3п3)2 + с -I|п2||2 = 0.

в) о а

53

о £

га а

га

х в)

о в)

5 о о

+

о

CV

<

м га

О

03 Я X

а

ф

о

о

(U

со

CV Tt

ю о

I

CV Tt

ю

CV

ся ся

Уравнение (5) является искомым ограничением, накладываемым радиальным ускорением на вектор скорости баллистического объекта, и представляет собой уравнение окружности относительно составляющих вектора Уг и Уз. Все радиус-векторы точек плоскости, удовлетворяющих уравнению (5), можно представить в виде:

П 2 +

-1—тт (п2 cos а + п3 sin а)^|П2

- С,

(6)

где ае[0;2тс] -некоторыйугол.

Заметим, что, с одной стороны, вектор х по определению равняется тангенциальной составляющей искомого вектора скорости. С другой - из всех переменных, входящих в состав формулы (6), только угол а может зависеть от угловых скоростей е и 0 . Таким образом, погрешность вектора в выражении (6) зависит в первую очередь от ошибки при выборе значения а.

На рис. 2 схематично изображены плотности вероятности /(х) для векторов \1 (е, 0) (двумерное нормальное распределение) и V! (Я, а) (в предположении, что ошибка оценки радиального ускорения Я, определяющего радиус кольца, подчиняется нормальному закону распределения, а угол а - равномерному).

1

Из представленной схемы следует, что значение а в формуле (6) следует выбирать соответствующим лучу, направленному из центра кольца в вершину поверхности f (vt (е, 0)) (обозначим такой угол как а*). Поскольку угол а определяется угловыми скоростями е и (0, то даже в случае учета этой зависимости в виде плотности вероятности для вектора vt (R, а) (величина а перестанет быть равномерно распределенной) картина должна остаться симметричной относительно луча па. = п2 cos а* + п3 sin а*. Тогда из соображений симметрии логично рассмотреть схему (см. рис. 2) в сечении, проходящем через точки (п2,0) и vt(е,0). Приведенные выше допущения справедливы при наличии примерно одинаковой точности оценок угловых скоростей (a(é) ~ ст(0)), что равносильно требованию сопоставимой точности измерения угловых координат.

На рис. 3 схематично показаны плотности вероятности в сечении, соответствующем углу а. По оси абсцисс откладываем расстояние от центра кольца.

Оптимальной оценкой вектора \t будем считать вектор

= kvt (е, 0) + (1 - к)vt (rR, а*),

(7)

где к рассчитываем из принципа минимума

*

дисперсии vt.

Рис. 2. Плотности вероятности/(х): 1- vt (е, 0); 2- vt (RR, а)

2

«¡¿Г

1 Г-2

1 1

ч \

/1 / 1 1 1 \

у 1 ) т~ у V

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Рис. 3. Плотности вероятности в сечении для а*: 1-/(е,е); 2-/(Я)

Прокомментируем полученную форму-лу(7).

Во-первых, результаты моделирования позволяют сделать вывод относительно величины коэффициента к. При небольшом количестве измерений координат (менее 8) коэффициент близок к нулю, а при значительном времени сопровождения объекта векторов V, (е,е) и V, (Я,а*) настолько близки друг к другу, что точная величина к слабо влияет на ко-

о. *

нечныи результат V,.

Во-вторых, поскольку из-за ошибок измерения величина, стоящая под знаком корня в формуле (6), может получиться отрицательной, целесообразно откорректировать алгоритм вычисления V* следующим образом:

II 1|2

1. Вычислить значения ^ = тах(0,||п2 -

II 1|2

- с -ст(с)) и$2 = тах(0,||п2|| - с + а(с)), где а(с) -

- Яа(Я).

2. Найти V,(Я,а*) по формуле V,(Я,а*) =

1 +4^2 .

а

2

o(v t (Я, а*) П .) =

2

(8)

С физической точки зрения ситуация, при которой ||п2||2 - с < 0, означает, что тангенциальная составляющая скорости близка к нулевой, и кольцо (см. рис. 2) вырождается в конусообразную поверхность. Результаты моделирования Для проверки работы разработанного алгоритма была использована программно-алгоритмическая модель, созданная в среде про-

граммирования МАТЬАВ. На вход модели подавались четыре рассчитанные траектории искусственных спутников Земли в зоне действия станции. На каждую траекторию накладывались ошибки измерения координат (измерялись дальность, азимут, угол места и радиальная скорость), распределенные по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и постоянным среднеквадра-тическим отклонением.

После получения пяти измерений координат с временным шагом 1 с был проведен расчет тангенциальной составляющей вектора скорости по следующим алгоритмам:

• с использованием формул (7) и (8);

• с использованием численного метода минимизации функционала (1).

По тысяче реализаций для каждой траектории строилась гистограмма полученных результатов. По оси абсцисс откладывалась невязка рассчитанного значения тангенциальной составляющей скорости V,, а по оси ординат -процент реализаций, для которых невязка не превысила значения на оси абсцисс. На каждой гистограмме были представлены результаты по обоим алгоритмам, а также для случая, когда уточнения вектора скорости не проводилось.

На рис. 4 представлены результаты работы алгоритма по траекториям спутников, сходящих с орбиты (с малым вектором скорости) (траектории № 1 (а) и № 2 (б)); на рис. 5 - по траекториям спутников с большим вектором скорости (траектории № 3 (а) и № 4 (б)). При этом для рис. 4, а и 5, а были использованы траектории, у которых тангенциальная составляющая вектора скорости выражена сильнее, чем для тех, что на рис. 4,би5, б.

В табл. 1 для каждой траектории и алгоритма приведено среднее арифметическое величины ((,Л|)/|,Л, где А^-вектор невязки тангенциальной составляющей вектора скорости, полученного при использовании алгоритма; А^ 0 - вектор невязки тангенциальной составляющей без уточнения вектора скорости.

В табл. 2 приведены медианные значения величины (А,0|| -|А|) /|А,0||, в табл. 3 - затраты времени на работу обоих алгоритмов на языке МАТЬАВ.

в) о а

53

о £

га а

га

х в) 13

т О в)

5 О

о

2

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

%

-0,5

0

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

%

ш

0,5

1,0 1,5 2,0 АУ(, км/с -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 Ду„ км/с а б

Рис. 4. Результаты работы алгоритма по траекториям спутников с малым вектором скорости: а - траектория № 1;б- траектория №2;п - новый алгоритм; □ - минимум функционала; □ - без уточнения

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

%

-0,5

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

%

о

0,5

1,5

2,0 Ду(, км/с

1,0 1,5 2,0 2,5 Ду„ км/с "0,5 0 0,5 1,0 а б

Рис. 5. Результаты работы алгоритма по траекториям спутников с большим вектором скорости: а-траектория№3;б-траектория№4; □ -новыйалгоритм; □-минимум функционала; □-безуточнения

Таблица 1

Средние арифметические значения величины ((10||-|А|)/|А,0|| для траекторий № 1-4

Траектория № 1 №2 № 3 № 4

Новый алгоритм 17,5930 % 9,0450 % 30,5729 % 27,6963 %

Минимум функционала 6,8996 % 6,5504 % 23,7817 % 26,3970 %

Таблица 2

Медианные значения величины ((, „II -А |)/| А , для траекторий № 1-4

Траектория № 1 №2 № 3 № 4

Новый алгоритм 17,9321 % 20,0231 % 26,5868 % 22,5215 %

Минимум функционала 9,5294 % 13,9753 % 20,2415 % 22,0892 %

Таблица 3

Временные затраты на работу алгоритмов для траекторий № 1-4

Траектория № 1 №2 № 3 №4

Новый алгоритм 0,26...0,34 мс 0,26...0,34 мс 0,26...0,34 мс 0,26...0,29 мс

Минимум функционала 18...71 мс (10-37 итераций) 10...50 мс (5-31 итераций) 24...67 мс (13-39 итераций) 19...52 мс (11-32 итерации)

Приведенные в табл. 3 данные позволяют сделать вывод о том, что новый алгоритм превосходит итерационный численный метод по быстродействию в 38-209 раз. Выводы

Из приведенных выше результатов можно заключить следующее:

1. Разработанный алгоритм уточняет вектор скорости баллистического объекта без использования численных методов минимизации, не уступая им в то же время по области применимости. Как следствие, полученный алгоритм существенно увеличивает быстродействие расчета вектора скорости (как минимум, на порядок), что особенно важно для программ, работающих в реальном масштабе времени.

2. Разработанный алгоритм позволяет получить выигрыш в точности оценки тангенциальной составляющей вектора скорости до 10 % в сравнении с существующим численным методом минимизации (табл. 1,2).

3. Преимущество разработанного алгоритма в точности оценки сильнее выражено для

траекторий со значительной тангенциальной составляющей вектора скорости (рис. 4, а, 5, а). Список литературы

1. Эделъбаум Т. Н. Оптимальные задачи в механике полета маневрирующих космических аппаратов // Современное состояние механики космического полета. М., 1969. С. 162-178.

2. Элъясберг П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1965. 540 с.

3. Баллистика и навигация ракет / А. А. Дмитриевский, Л. Н. Лысенко, Н. М. Иванов, С. С. Богданов. М.: Машиностроение, 1985. 309 с.

4. Элъясберг П. Е. Определение движения по результатам измерений. М.: Наука, 1976. 416 с.

5. Саврасов Ю. С. Методы определения орбит космических объектов. М.: Машиностроение, 1981. 174 с.

6. Саврасов Ю. С. Алгоритмы и программы в радиолокации. М.: Радио и связь, 1985. 216 с.

7. Порсев В. И., Кучеров Ю. С., Порсев А. В. К методологии проектирования РЛС // Изобретательство. 2014. № 8. Т. 14. С. 49-52. Поступила 19.04.16

Порсев Валерий Иосифович - доктор технических наук, заместитель генерального директора по научной работе АО «ВНИИРТ», г. Москва.

Область научных интересов: радиолокация, радионавигация.

Сивков Александр Игоревич - ведущий инженер АО «ВНИИРТ», г. Москва. Область научных интересов: траекторная обработка радиолокационной информации.

Ворошилин Евгений Павлович - кандидат технических наук, начальник сектора АО «ВНИИРТ», г. Москва. Область научных интересов: цифровая обработка сигналов.

Estimating angular velocities ofa ballistic object using radial acceleration

We developed an algorithm for estimating the total velocity vector of a ballistic object based on its radial acceleration, without employing numerical optimisation methods. We supply a comparison between the efficiency ofthe algorithm functioning and an existing optimisation method.

Keywords: ballistic object radial velocity, calculation algorithm, velocity vector, coordinate system.

Porsev Valeriy Iosifovich - Doctor of Engineering Sciences, Deputy General Director in Research Work, Joint stock company "All-Russian Scientific and Research Institute ofRadio Engineering". Science research interests: radiolocation, radionavigation.

Sivkov Aleksandr Igorevich - Chief Engineer, Joint stock company "All-Russian Scientific and Research Institute of Radio Engineering".

Science research interests: tracking of radar data.

Voroshilin Evgeniy Pavlovich - Candidate ofEngineering Sciences, Head of Sector, Joint stock company "All-Russian Scientific and Research Institute ofRadio Engineering". Science research interests: digital signal processing.