Оценка угловой скорости космического аппарата в режиме орбитальной стабилизации по результатам измерений датчика местной вертикали

Зубов Н.Е.; Микрин Е.А.; Олейник А.С.; Рябченко В.Н.; Ефанов Д.Е.

СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

J

УДК 681.51

ОЦЕНКА УГЛОВОЙ СКОРОСТИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В РЕЖИМЕ ОРБИТАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ

ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ИЗМЕРЕНИЙ ДАТЧИКА МЕСТНОЙ ВЕРТИКАЛИ*

Н.Е. Зубов12, Е.А. Микрин12, А.С. Олейник1 3, В.Н. Рябченко12, Д.Е. Ефанов1

1ОАО "Ракетно-космическая корпорация "Энергия" им. С.П. Королева", Королев, Московская обл., Российская Федерация e-mail: Nikolay.Zubov@rsce.ru

2МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация e-mail: nezubov@bmstu.ru

3Московский физико-технический институт (государственный университет), Долгопрудный, Московская обл., Российская Федерация

Реализация режима орбитальной ориентации основана на использовании дат-чиковой аппаратуры, измеряющей углы положения космического аппарата относительно опорной системы координат и угловые скорости вращения аппарата относительно инерциального пространства. В случае отказа последнего выполнение орбитальной стабилизации невозможно и соответственно в режиме реального времени требуется построение бортовых алгоритмов оценки вектора угловой скорости по результатам измерений с использованием датчика углового положения. С помощью метода точного размещения полюсов получено аналитическое решение задачи синтеза алгоритма оценки угловой скорости вращения космического аппарата в режиме орбитальной стабилизации по результатам измерений датчика местной вертикали, дающего показания двух углов положения. Приведены результаты математического моделирования и оценена возможность реализации разработанного алгоритма в реальном масштабе времени. Результаты моделирования подтверждают высокую эффективность работы алгоритма.

Ключевые слова: космический аппарат, метод точного размещения полюсов, датчик местной вертикали, угловая скорость, алгоритм оценки.

THE SPACECRAFT ANGULAR VELOCITY ESTIMATION IN THE ORBITAL STABILIZATION MODE BY THE RESULTS OF THE LOCAL VERTICAL SENSOR MEASUREMENTS

N.E. Zubov1'2, E.A. Mikrin12, A.S. Oleynik1 3, V.N. Ryabchenko12, D.E. Efanov1

1OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya", Korolev, Moscow region, Russian Federation e-mail: Nikolay.Zubov@rsce.ru

2Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation e-mail: nezubov@bmstu.ru

3Moscow Institute of Physics and Technology (State University), Dolgoprudnyy, Moscow region, Russian Federation

^Исследование выполнено за счет гранта РНФ (проект № 14-11-00046).

Implementation mode orbital orientation is based on the use of sensor equipment, measuring the spacecraft position angles relative to the directional reference and the angular velocity of spacecraft rotation relatively inertial space. In case of failure occurrence ofangular velocity sensor the orbital stabilization implementation is impossible and consequently in real-time we need to make on-board estimation algorithms for angular velocity vector by the results of measurements using an angular position sensor. Using the exact placement of the poles method the analytic solution of the synthesis problem of estimation algorithm for angular velocity of the spacecraft rotation in the orbital stabilization mode by the results of local vertical sensor measuring was obtained. The mathematical simulation results are given and the possibility implementation of the developed algorithm is assessed in real-time. Also the simulation results are confirming high efficiency of the algorithm operation.

Keywords: spacecraft, exact placement of the poles method, local vertical sensor, angular velocity, estimation algorithm.

Введение. Задача построения и стабилизации режима орбитальной ориентации [1-3] — одна из наиболее распространенных в практике полетов космических аппаратов (КА) независимо от их целевого назначения. Как правило, реализация указанного режима основана на использовании датчиковой аппаратуры, измеряющей углы положения КА относительно опорной системы координат и угловые скорости вращения КА относительно инерциального пространства. При отказе последнего выполнение орбитальной стабилизации невозможно, следовательно, актуальным является построение бортовых алгоритмов оценки вектора угловой скорости по результатам измерений с помощью датчика углового положения в режиме реального времени. Особенность многих КА — применение в качестве измерителя углового положения построителя местной вертикали (ИКВ) [4], который измеряет только два угла (угол крена и угол тангажа). Настоящая статья посвящена решению задачи аналитического синтеза алгоритма оценки угловой скорости КА в режиме орбитальной стабилизации по результатам измерений датчика местной вертикали. В основу синтеза алгоритма положен метод точного размещения полюсов [2].

Метод точного размещения полюсов при решении задач наблюдения. Рассмотрим линейную многомерную динамическую систему, заданную в пространстве состояний уравнениями вида [4]

Dx = Ax + Bu; y = Cx, (1)

где x £ Rn — вектор состояния; u £ Rr — вектор входа; y £ Rm — вектор выхода; R — множество действительных чисел; D — символ, обозначающий либо оператор дифференцирования Dx(t) = x(t), либо оператор сдвига Dx(t) = x(t + 1).

Пусть пара матриц (A, C) полностью наблюдаемая, т.е. выполняется условие Калмана

rank

C

CA

= n

у САп-т у

тогда можно построить наблюдатель, позволяющий по векторам входа и и выхода у оценивать вектор состояния х объекта. Если наблюдатель формирует оценку всего вектора х, то утверждают о наблюдателе полного ранга, если оценивается только некоторая часть этого вектора, то наблюдатель называют редуцированным.

Наблюдатель полного ранга определяется по уравнению

ЭХ = (А - ЬС) X + Ьу + Ви.

Здесь X € Мп — состояние наблюдателя, представляющее собой искомую оценку; Ь — матрица обратной связи наблюдателя.

Для решения задачи синтеза наблюдателя (определения матрицы Ь) можно применять любой метод модального управления. Так же, как и в работе [5], воспользуемся методом, приведенным в работах [2, 6]. Введем многоуровневую декомпозицию системы (1), представляемую парой матриц (А, С):

нулевой (исходный) уровень

Ао = Ат, Во = Ст; (2)

п

чШ

Ак = 1 Ак — 11, Вк =

Здесь В1 — аннулятор (делитель нуля) матрицы В^, ВгхВ^ = 0; В1- — 2-полуобратная матрица для В^, т.е. матрица, удовлетворяющая условиям регулярности

в1в1— в1 = в1 , в1—в1в1— = в1-.

k-й уровень (k = 1, J, J = ceil ^--

В соответствии с работой [5] искомая матрица Ь = Ь0 € вычисляется по рекурсивным формулам

ЬJ = В+А7 - Ф7В+;

mxn

Ьк = В—Ак - ФкВ—; В— = Ьк+1В1 + В+, к = 0,7 - 1,

и обеспечивает точное заданное размещение полюсов. Это действительно так, поскольку все элементы множества собственных значений eig (А - ЬС) совпадают с собственным значением заданных устойчивых матриц Ф» размером ш х ш, г = 0, 7. Здесь В+,..., В+ — псевдообратные матрицы Мура-Пенроуза. Таким образом, для синтеза рассматриваемого здесь наблюдателя полного порядка необходимо:

1) провести линеаризацию системы для дальнейшей возможности применения алгоритма синтеза наблюдателя для линейных систем [7];

2) воспользоваться следующим алгоритмом синтеза наблюдателя состояния полного ранга:

— задать матрицы

Ао = Ат; Во = Ст;

— вычислить

3 = ееп(-) - 1; \ш/

— задать матрицы Ф = Ф0, Ф1,..., Фз такие, что желаемый спектр наблюдателя состояния составляет

з+1

У eig(Фг-l);

г=1

— определить ортогональный аннулятор 1, а затем матрицы

Ак = Вк- 1Ак-1В]^-1;

Вк = Bk-lAk-lBk-l, к = 1,3; последовательно вычислить матрицы

!73 = ФзВ+ - В+Аз;

В- = В+ - Ц+1В£; (3)

Ь\ = ФкВ- - В-Ак, к = 3 - 1,0.

Оценка угловой скорости КА по результатам измерения датчика местной вертикали. Движение КА как твердого тела вокруг центра масс описывается системой динамических уравнений Эйлера:

+ (Jz — Jy — Мх;

Jz~r, + (Jy — Jx)UxUy — Mz,

3у^ + (3х - = Му; (4)

где 3х,3у, 3г — главные моменты инерции КА; шх,шу ,шг — проекции угловой скорости КА на оси системы координат, жестко связанной с аппаратом; Мх, Му, Мг — моменты внешних сил.

Для описания движения КА в базовой системе координат необходимо знать кинематические соотношения, выражающие зависимость проекций угловой скорости шх,шу,шг от положения связанной системы координат относительно базовой. Эта зависимость устанавливает-

ся с помощью трех углов Эйлера: угол крена y; угол курса ф; угол тангажа

При ориентации аппарата в орбитальной системе координат:

шх = Y + (П — sin ф;

wy = ф cos y — (П — sin y cos ф; (5)

wz = — (П — cos y cos ф — ф sin y.

Дифференцируем кинематические уравнения (5):

có>x = 7 + (П — sin ф + (П — ?)ф cos ф;

tl>y = ф cos y — фY sin y — (П — sin y cos ф—

— (П — $)(Ycos Y cos ф — ^sin y sin ф); (6)

ùjz = — (П — cos y cos ф + (П — ?)(Y sin y cos ф+ +ф cos y sin ф) — ф sin y — фY cos y.

После линеаризации системы (5) и (6) примут следующий вид:

шх = Y + Пф; wy = ф — ПY; wz = ? — П; (7)

cl>x = 7 + Пф; cl>y = ф — П7; có>z = (8)

Подставляя (7) и (8) в (4), получаем

Jx7 + П2(Л — Jy )y + П(7х + Jy — Jz )ф = Mx;

Jy ф + П2(Jz — Jx^ — П(Jx + Jy — Jz )Y = My ; (9)

Jz ? = Mz.

Канал тангажа является автономным, его можно рассматривать независимо от движения по двум другим каналам. Каналы крена и курса взаимно связаны. Это объясняется наличием угловой скорости орбитальной системы координат в плоскости орбиты, что приводит к возникновению гироскопических перекрестных связей:

dwx "df

Jx—TT + (Jz - Jy)lty = Mx

Jy dt + (Jz - Jx )ltx = My ; (10)

Jdtz = M

7, - 1V1Z-

dt

Используя системы (8)-(10) для связанных каналов, получаем

/ Y \

Ü x

Ф

\Ü у )

( О О

П О

1 О О

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Jz - Jx

Jy

-П О О

П О

0

JZ — Jy П J П

"х

1

О

\

X

А —

О

П О

1 О О

Jz - Jx

Jy

П

-П О О О

/7\

Üx

Ф

V Üy /

Jz - Jy

Jx 1

+

/

/О О \

1

j О

x

ОО 1

О jy;

П

B —

0

1

Jx

О

Mx

My

О О

0

1

О —

Jy

(11)

С = [ 1 0 0 0 ] . (12)

В соответствии с (2) и на основании (11), (12) для нулевого уровня дискретной системы с трактом к запишем

( 1

Ao — Ат —

V

h a3ik О

О

a42h

0

1

(13)

Bo — Cт —

(14)

0 а31к 10

01 а24к к

( 1 \

0

0 0

В данном случае размерность вектора состояния составляет пх = 4, вектора наблюдаемых переменных — ту = 1, а число уровней декомпозиции, дополнительных к нулевому:

3 = сей Г^ - 1 = 4 - 1=3.

ту

Согласно введенной выше многоуровневой декомпозиции, матрицы Ак, Вк, к =1,3, имеют вид

О

уровень 1

/0100 В^ = | 0 0 10 | ; (15)

\ 0 0 0 1

В+ = ( 1 0 0 0 ) ; (16)

1 0 а42к

А1 = ВоХАоВо±т = | 0 10 | ; (17)

а24к к 1

к

В1 = ВоХАоВо = 1 а1зк | ; (18)

уровень 2

вk=(-а13 ю > с»)

1+1 к а1зк

B+ ' a23h2 + h2 al3h2 + h2 О (20)

л2—^^ — ( h -ü+ih -T2h (21)

?± л О^т _ al3

B — B2A Bi — ( ai3h2 + 02.h»J ; (22)

уровень 3

B^T — ( 1 О ) ; (23)

B2+ —

1

al3 h2 + a24h2

A3 — B2TA2B2±X — (a23 + 1);

(24)

(25)

О

Вз = В2ХА2В2 = (-а1за42к (а^к2 + а24к2)) . (26)

На основании формул (3) и (13)-(26) можно найти матрицу наблюдателя Ьо. В общем виде формулы для компонент матрицы Ьо имеют очень громоздкий вид. Поэтому было решено не приводить эти выражения. Для того чтобы обеспечить максимально быструю сходимость с использованием решения, полученного в настоящей статье, необходимо в (3) принять равными нулю собственные значения: Фо = Ф1 = Ф2 = Ф3 = 0. Тогда матрица наблюдателя Ьо

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

в соответствии с (3) будет иметь следующий вид:

L = ( /1 /2 /3 /4 ) , (27)

где

ii = -«1з - 4;

a24(6ai3 +4a43+ai3+a24a42 h2—a42 ai3h2+a24a42a23h2+a24a42a43h2 +3) ¿2 =--

й(а!з + 1)(ai3 + а24)

Чз + ui3 Q------

3a13 + 3ai3 + a®3 + 3a24a42h2 — a42af3 h2 + 4a24a42a23h2 + 2a24a42ai3h2 + 1

«42h3(ai3 + 1)(ai3 + a24)

a63 — a42a^3h2 + a24 a42a43h2 + 3a43 — 5a42 af3h2 + 3ai3 — 3a42a13 h2 + 1

ai3a42h3(a23 + 1)(ai3 + a24)

3+a24 a42a43h2+4ai3—a42ai3h2 +a24a42a23h2+6a23+a24a42h2+3

— a3i h;

¿4 = -

h(ai3 + 1)(ai3 + a24)

2ai3+3a24a42 a43h2+7a43—2a42 af3h2+5a24a42ai3 h2+9ai3+4a24a42 h2 + 4

h2(ai3 + 1)(ai3 + a24) '

(28)

Соответственно для канала тангажа матрицу наблюдателя получить с помощью примененного выше метода достаточно просто, и она запишется так:

Ц = ( /? /? ) . (29)

Здесь /1 = -2, /1 = -1/й.

Анализ выражений (28), которые в соответствии с (27) и (29) представляют собой аналитический алгоритм синтеза наблюдателя, показывает, что его реализация основана на выполнении таких элементарных операций, как сложение, умножение и деление. Это обстоятельство позволяет констатировать возможность выполнения алгоритма в реальном масштабе времени с помощью бортовой ЭВМ.

Результаты моделирования. Выполним математическое моделирование. Пусть главные моменты инерции КА, кг-м2, имеют следующие значения: 7х = 77521; 7у = 274021; Л = 238845, а с использованием системы единиц СИ начальные значения вектора состояния КА равны ( 7 шх ф Шу )т = ( 0,1 0,005 -0,1 0,002 )т;

)т = ( 0,1 0,003 )т. В качестве начального приближения значений оценки вектора угловой скорости выберем начало координат^ Шх0 Шуо ) = ( 0, 0 0, 0 )т; Шго = 0,0.

Результаты моделирования приведены на рисунке, на котором представлено изменение невязок компонент вектора угловой скорости (Шх = шх — Шх, Шу = шу — Шу, = — ) в зависимости от номера итерации.

3

6

a

Диапазон изменения невязок (части а и б рисунка) достаточно большой и соответственно точность сходимости алгоритма оценки вектора угловой скорости вращения КА с использованием приведенных зависимостей определить трудно, поэтому начиная с четвертого такта итерационного процесса, результаты моделирования представлены в таблице.

Результаты моделирования

Невязка компонент вектора угловой скорости, 1/с Номер итерации

4 5 6 7 8 9 10

Ох -0,0110 0,0343 -0,0179 0,0089 0,0050 0,0050 0,0050

и)х = (х — (Ох 0,0160 -0,0293 0,0229 -0,0039 0,0000 0,0000 0,0000

СУ 0,0020 0,0020 0,0020 0,0020 0,0020 0,0020 0,0020

СОу = (у — СО у 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Ог 0,0030 0,0030 0,0030 0,0030 0,0030 0,0030 0,0030

О г = Сz — сО г 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Анализ данных, приведенных на рисунке и в таблице, показывает, что за восемь итераций вектор оценки угловой скорости с высокой точностью совпадает с реальным значением вектора угловой скорости КА.

Заключение. В настоящей статье с помощью метода точного размещения полюсов получено аналитическое решение задачи синтеза алгоритма оценки угловой скорости КА в режиме орбитальной стабилизации по результатам измерений датчика местной вертикали. Приведены результаты математического моделирования, подтвердившие высокую эффективность работы алгоритма. В соответствии с анализом вычислительных затрат алгоритма, основанных на выражении (16), и числом итераций, обеспечивающем сходимость процесса по результатам моделирования, можно сделать вывод о возможности его реализации в реальном масштабе времени.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зубов Н.Е. Алгоритмическое обеспечение автоматического режима орбитальной ориентации космического аппарата // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1990. № 2. С. 193-202.

2. Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н.Синтез развязывающих законов стабилизации орбитальной ориентации космического аппарата // Изв. РАН. ТиСУ. 2012. № 1. С. 92-108.

3. Зубов Н.Е., Лапин А.В., Микрин Е.А. Стабилизация орбитальной ориентации космического аппарата // Космическая техника и технологии. 2013. № 3. С. 74-81.

Изменение невязки компонент вектора угловой скорости в каналах крена (а), рысканья (б) и тангажа (в)

4. Ивандиков Я.М. Оптические приборы наведения и ориентации космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1979. 208 с.

5. ЗубовН.Е., Микрин Е.А., МисрихановМ.Ш., Рябченко В.Н., Тимаков С.Н. Применение алгоритма точного размещения полюсов при решении задач наблюдения и идентификации в процессе управления движением космического аппарата // Изв. РАН. ТиСУ. 2013. № 1. С. 135-151.

6. Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н.Модификация метода точного размещения полюсов и его применение в задачах управления движением космического аппарата // Изв. РАН. ТиСУ. № 2. 2013. С. 118-132.

7. Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Олейник А.С. Оценка угловой скорости линии визирования в процессе сближения космических аппаратов по результатам измерения дальности и скорости продольного движения // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. Вып. 10. [Электронный ресурс] URL: http://engjournal.ru/catalog/it/nav/1079.html (дата обращения: 22.12.2013).

REFERENCES

[1] Zubov N.E. Algorithmic implementation of an automatic regime for orbital orientation of a spacecraft. Izv. Akad. Nauk SSSR, Tech. Cyber. [Sov. J. Comp. and Sys. Sci., vol. 28, iss. 6, pp. 143-151], 1990, no. 2, pp. 193-202 (in Russ.).

[2] Zubov N.E., Mikrin E.A., Misriknanov M.Sh., Ryabchenko V.N. Synthesis of decoupling laws for attitude stabilization of a spacecraft. Izv. RAN. Teoriya i sistemy upravleniya [J. Comput. Syst. Sci. Int., vol. 51, pp. 80-96], 2012, no. 1, pp. 92-108 (in Russ.).

[3] Zubov N.E., Lapin A.V., Mikrin E.A. Orbital attitude stabilization of a spacecraft. Kosm. Tekh. i tekhnol. [Space engineering & technology], 2013, no. 3, pp. 74-81 (in Russ.).

[4] Ivandikov Ya. M. Opticheskie pribory navedeniya i orientatsii kosmicheskikh apparatov [Optical devices for guidance and orientation of a spacecraft]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1979. 208 p.

[5] Zubov N.E., Mikrin E.A., Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N., Timakov S.N. The use of the exact pole placement algorithm for observation and identification tasks of the spacecraft motion control. Izv. RAN. Teoriya i sistemy upravleniya [J. Comput. Syst. Sci. Int.], 2013, no. 1, pp. 135-151 (in Russ.).

[6] Zubov N.E., Mikrin E.A., Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N. Modification of the exact pole placement method and its application for the spacecraft motion control. Izv. RAN. Teoriya i sistemy upravleniya [J. Comput. Syst. Sci. Int., vol. 52, iss. 2, pp. 279-292], 2013, no. 2, pp. 118-132 (in Russ.).

[7] Zubov N.E., Mikrin E.A., Oleynik A.S. Estimation for the angular velocity of pointing direction by the process of measurements the distance and the velocity of longitudinal motion in spacecrafts rendezvous process. Jelektr. Nauchno-Teh. Izd. "Inzhenernyj zhurnal: nauka i innovacii" MGTU im. N.E. Baumana [El. Sci.-Tech. Publ. "Eng. J.: "Science and Innovation" of Bauman MSTU], 2013, iss. 10. Available at: http:// engjournal.ru/articles/1079/1079.pdf (accessed 22.12.2013).

Статья поступила в редакцию 26.03.2014

Николай Евгеньевич Зубов — д-р техн. наук, заместитель руководителя по науке НТЦ ОАО "РКК "Энергия" им. С.П. Королева", профессор кафедры "Системы автоматического управления" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 90 научных работ в области проблем управления космических аппаратов.

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

ОАО "Ракетно-космическая корпорация "Энергия" им. С.П. Королева", Российская Федерация, 141070, Московская обл., Королев, ул. Ленина, д. 4а.

N.E. Zubov — Dr. Sci. (Eng.), deputy director on science of the Research and Development Center of OAO "Korolev Rocket and Space Corporation "Energiya", professor of "Automatic Control Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 90 publications in the field of problems of spacecraft control.

Bauman Moscow State Technical University, Vtoraya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation.