CC BY
114
УДК 519.651:004.222.3
О.Я. НИКОНОВ, д.т.н., проф., зав. каф. ХНАДУ, Харьков,
О.В. МНУШКА, ассистент ХНАДУ, Харьков,
В.Н. САВЧЕНКО, ст. преп. УИПА, Харьков
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ ПРИ РАЗРАБОТКЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ
ПРОГРАММ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Проведен анализ формата вещественных чисел IEEE-754 как составляющей дополнительной погрешности при вычислении специальных функций. Проведено сравнение и показано, что применение арифметики с произвольной точностью (mpfr_erf(), MPFR) и стандартной функции (erf(), C99) в программах на C/C++ снижает быстродействие на порядок при той же точности. Ил.: 2. Библиогр.: 8 назв.
Ключевые слова: формат IEEE-754, произвольная точность, точность вичислений специальшх функций.
Постановка проблемы. Применение статистических методов в математическом моделировании сложных технических систем, например, спутниковых систем связи [1], позволяет значительно снизить временные и материальные затраты на их разработку, оценить воздействие различных влияющих факторов на поведение системы в реальных условиях эксплуатации. Многократное повторение вычислений в процессе моделирования может приводить к значительным погрешностям результатов, обусловленных ограниченным числом разрядов представления вещественных чисел в памяти компьютера. Специфика многих задач не позволяет пользоваться универсальными пакетами моделирования, требует реализации на одном из универсальных языков программирования и оценки точности вычислений, и адекватности полученных численных результатов.
Анализ литературы. Представление вещественных данных в памяти компьютера регламентируется стандартом IEEE754-2008 [2], в котором определены четыре формата двоичных чисел - binary16, binary32, binary64, binary128, и три формата десятичных чисел -decimal32, decimal64, decimal128, а также способы расширения базовых форматов для повышения точности вычислений. Точность представления чисел в определяемых стандартом форматах составляет соответственно 7, 16, 34 десятичных разрядов после запятой. Существенным отличием данной редакции стандарта от предыдущей [3] является отсутствие формата extended с размером данных 80 бит, который жестко привязан к размерности регистров сопроцессора x87. Способы реализация стандарта
для языка С++ предлагаются в [4], а сама поддержка стандарта в разной степени реализована в разных компиляторах языка С/С++. Таким образом, требуется оценка кода, получаемого при помощи различных компиляторов, для учета дополнительной погрешности результатов вычислений, обусловленной реализацией алгоритмов вычислений.
Цель статьи - оценка дополнительной погрешности результатов моделирования численными и статистическими методами, возникающей за счет приближенного представления данных в памяти компьютера и форматов вещественных данных языка программирования С/С++.
Основная часть. Основными преимуществами языка С/С++ для научных вычислений является его универсальность, кроссплатформенность и переносимость кода. При этом, если для вычислений с целыми типами данных существует более или менее неплохая совместимость между различными компиляторами и вычислительными платформами, то в случае с вещественными типами данных существует ряд нестыковок, которые могут приводить к неоднозначной трактовке результата и даже потере данных.
В статистических методах математического моделирования часто возникает задача вычисления функции ошибок, в частности, при построении информационных карт вероятности ошибки систем спутниковой мобильной связи. Функция ошибки определена как [4]
Для функций (1) не существует аналитического решения, поэтому для ее вычисления с высокой точностью используют различные приближения, от выбора которых зависит не только точность вычислений, но и быстродействие программы моделирования.
Наиболее часто функция erf() аппроксимируется рядами [5] или различными минимаксными полиномиальными приближениями, например, рациональной чебышевской аппроксимацией [6], для которой существует стандартная библиотечная функция на фортране [7]. Недостатком такого подхода является фиксированная точность получаемого результата, что не всегда оправдано с точки зрения физической формулировки задачи и дополнительных накладных вычислительных расходов. Разложение в ряд может быть использовано для построения алгоритмов вычисления с произвольной точностью результата. На таком принципе основаны широко распространенные библиотеки численных методов, такие как GMP (GNU библиотека
erf x = -^j= je * dt или erfc ■Jn o
(1)
арифметики с произвольной точностью) и ее производные: MPFR (библиотека языка Си для вычислений с произвольной точностью и корректным округлением результата), MPC (библиотека для вычислений с комплексными числами с произвольной точностью) и т.д.
Снижение погрешности результатов моделирования статистическими методами требует большого числа испытаний, что может приводить к значительным затратам времени и накоплению ошибки, обусловленной недостаточной точностью промежуточных результатов. С другой стороны, необходимо удерживать большое количество значащих цифр, что требует оценки целевой вычислительной платформы на предмет способности хранить эти знаки.
В исследовании использовались компиляторы: Microsoft Visual C++ из состава Microsoft Visual Studio 2008(2010); gcc 4.x (Debian 4.4.5-8) и 4.5.0 (mingw); Intel C Compiler 11.1.054 (Windows), 11.1.064 (Debian amd64), 11.1.074 (Debian x86). Авторами была составлена программа на языке C++ для сравнения эффективности работы различных алгоритмов вычисления интеграла ошибки. Программа позволяет провести указанные вычисления с использованием функции mpfr_erf() из пакета MPFR, erf() и erfc() из стандартной библиотеки C/C++, а также функций на основе аппроксимации, предложенной Cody [6, 7] и аппроксимации рядами по формуле [(7.1.26), 5].
На рис. 1, а показано время, затраченное функцией mpfr_erf(), которая вычисляла интеграл ошибки с точностью 32 (7-8 десятичных разрядов), 53 (15-16 десятичных разрядов) и 64 (19-20 десятичных разрядов) бита, что соответствует базовым числовым типам данных языка C/C++. Было проведено 50 испытаний, в каждом из которых вычислялось значение функции ошибки в цикле 100000 раз. Увеличение длины мантиссы от 23 до 64 разрядов увеличивает среднее время вычислений приблизительно в 5 раз (рис. 1, а).
Проведено сравнение работы функции на основе аппроксимации, предложенной Cody [6, 7] и стандартной, определенной стандартом языка С99 (рис. 1, б). Для оценки времени выполнения количество повторений цикла было увеличено в 10 раз, время необходимое стандартному алгоритму оказалось пренебрежимо малым, функция на основе аппроксимации [6, 7] также оказалась значительно быстрее функции с произвольной точностью. Следует отметить, что при компиляции программы не производилась оптимизация под используемую вычислительную платформу.
Учитывая высокие скоростные показатели работы стандартных библиотечных функций, возникает необходимость оценки точности
представления вещественных чисел в памяти компьютера и их интерпретации компиляторами С/С++.
Время вычисления функции erf()
Номер испытания
а)
Время вычисления функции erf()
- Длина мантиссы 64 бита Длина мантиссы 53 бита
- Длина мантиссы 24 бита
W V4—г
УУУ/^УМА-ААЛ/У^У-
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
Номер испытания
4
3
2
0
б)
Рис.1. Время вычисления функции ошибок: а) с произвольным числом разрядов; б) на основе реализации алгоритма Cody и стандартного (С99)
Авторами проведен анализ поддержки форматов вещественных чисел наиболее распространенными компиляторами языка С/С++. В зависимости от реализации компилятора и операционной системы вещественные типы бывают: float (binary32), double (binary64), long
double и занимают 10 (extended [3]), 12 или 16 (binary128) байт в памяти. Анализ полученных данных показывает, что: для данных в формате long double компилятором выделяется различное количество байт для хранения одного экземпляра переменной в памяти; неоднозначная интерпретация компиляторами C/C++ этого формата требует аккуратности и обоснованности его применения; большее число байт должно обеспечивать большую точность представления чисел.
Для оценки точности вычислений в различных форматах данных была составлена программа вычисления % = 4 ■ arctg(l.O). Анализ полученных данных позволяет сделать вывод о том, что: 1) переход от формата double к long double позволяет получить дополнительно 3 точных цифры результата; 2) переменные формата long double компиляторами icc и gcc/g++ преобразуются в формат extended (по IEEE754-1985), а MS VC++ в формат double; результат может содержать "информационный мусор", который отображается на экране и может быть неверно истолкован; 3) заголовочный файл cmath для компилятора MS VC++ отличается от аналогичного для компилятора gcc/g++ отсутствием ряда часто используемых функций, а также не определяет способов работы с форматами long double размером больше 8 байт;
4) только арифметические операции для переменных типа long double гарантированно выполняются; переменные типа long double (больше 8 байт) могут некорректно выводиться как стандартным оператором (printf()), так и потоковым (cout) в ОС Windows. Результат, который будет отображаться на экране, в данном случае непредсказуем; 5) работа с форматом long double в ОС Linux достаточно корректна. Определен набор функций для переменных этого формата, при этом ввод-вывод также работает корректно, единственным недостатком следует считать "информационный мусор", который отображается после 18 десятичного разряда (а для формата double - после 15).
Была проверена погрешность вычисления erf() по формуле [(7.1.26),
5] с аппроксимацией Cody. Было установлено, что первая дает погрешность по сравнению с аппроксимацией Cody 1e-7 (рис. 2, а) в диапазоне x = [0, ..., 3], погрешность реализации аппроксимации Cody и стандартной С99 дает погрешность не более чем 1 e-17 (рис. 2, б) по сравнению с "точным" значением. Уменьшение погрешности вычислений (рис. 2, а) объясняется недостатком разрядов для хранения числа. Дальнейшее повышение точности вычислений возможно только с использованием специальных приемов [8].
„ __ Ошибка вычисления erf(x)
1 ,b0E-07
1,40E-07 1,20E-07 S? 1,00E-07
Ю
s 8,00E-08 О b,00E-08 4,00E-08 2,00E-08 0,00E+00
О Ю_ т- Ю_ ГМ Ю_ <*> Ю_ Ю_ Ю Ю_ <D
o' (4 CO тг" 1П
X
a)
Ошибка вычисления erf(x)
8,00E-17 7,00E-17 b,00E-17 SI 5,00E-17 1: 4,00E-17 О 3,00E-17 2,00E-17 1,00E-17 0,00E+00
о iq T- iq cn iq со iq iq in iq со
o’ t-' cn v со ю
| ♦ Cody|
1
б)
Рис. 2. Погрешность вычислений функции ошибок: а) для типа float; б) для типа long double
Выводы. 1. Достижимая погрешность вычислений, которая обеспечивается средствами стандартной библиотеки языка C++ не превышает 18 десятичных разрядов, для достижения более высокой точности следует применять библиотеки вычислений с произвольной точностью - MPFR, интервальную арифметику - MPFI и др., при этом значительно увеличиваются объем требуемой памяти и время вычислений (на порядок и более по сравнению с функциями стандартной библиотеки). Компиляторы gcc / g++ и icc поддерживают представление чисел в формате Binary128 (Decimal128), но в настоящий момент времени не обеспечивают средствами работы с ними. 2. Увеличение быстродействия библиотек типа MPFR должно базироваться на особенности формул, лежащих в их основе, которые должны поддаваться распараллеливанию и использованию SIMD - расширений процессора
Intel. При этом требуется как разработка соответствующих алгоритмов, так и поддержка со стороны компилятора языка программирования.
Перспективами дальнейших исследований является разработка более эффективных алгоритмов вычисления значения специальных функций, таких как erf(), с произвольной точностью и увеличенным быстродействием, на основе использования алгоритмов параллельных и многопоточных вычислений, с целью повышения точности и ускорения вычислений при моделировании сложных технических систем.
Список литературы: 1. Мазманишеили А.С. Визуализация информационных характеристик электромагнитной обстановкив системах спутниковой связи / А.С. Мазманишеили, О.Я. Никоное // Вісник СумДУ. Серія "Технічні науки". - 2008. - № 4. - С. 30-37. 2. IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic. - New York, 2008.- 70 Р. 3. IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic. - New York, 1985. - 23 P. 4. Information Technology - Extension for the programming language C++ to support decimal floating-point arithmetic [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/docs/papers/2009/
n2849.pdf. 5. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / [М. Абрамоеиц и др.]. - М. : Наука, 1979. - 832 с. 6. Cody W.J. Rational Chebyshev approximations for the error function / W.J. Cody // Math. Comp. - 1969. -No.23. - P. 631-637. 7. SUBROUTINE CALERF(ARG,RESULT,JINT) [Электронный ресурс] / Режим доступа : http://www.netlib.org/specfun/erf. 8. ChevillardS. Computation of the error function erf in arbitrary precision with correct rounding / S. Chevillard, N. Revol. - Proc. 8th Conference on Real Numbers and Computers, July 2008. - Р. 27-36.
УДК 519.651:004.222.3
Оцінка точності обчислень спеціальних функцій при розробці комп'ютерних програм математичного моделювання / Ніконов О.Я., Мнушка О.В., Савченко В.М.
// Вісник НТУ "ХПІ". Тематичний випуск: Інформатика і моделювання. - Харків: НТУ "ХПІ". - 2011. - № 17. - С. 115 - 121.
Проведений аналіз формату дійсних чисел IEEE-754 як складової додаткової похибки при обчисленні спеціальних функцій. Проведено порівняння й показано, що застосування арифметики з довільною точністю (mpfr_erf(), MPFR) і стандартної функції (erf(), C99) у програмах на C/C++ знижує швидкодію на порядок при тій же точності. Іл.: 2. Бібліогр.: 8 назв.
Ключові слова: формат IEEE-754, довільна точність, точність обчислень спеціальних фунцій.
UDC 519.651:004.222.3
Estimation of accuracy of special functions computation in the development of mathematical simulation software / Nikonov O.Ya., Mnushka O., Savchenko V.N. // Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. -Kharkov: NTU "KhPI". - 2011. - №. 17. - P. 115 - 121.
Format reals in IEEE-754 as a component of the additional error in the calculation of special functions have been analysed. A comparison is shown that the use of arithmetic with arbitrary precision (mpfr_erf (), MPFR) and the standard function (erf (), C99) in programs for C / C + + reduces the speed of the order with the same accuracy. Figs.: 2. Refs.: 8 titles.
Keywords: IEEE-754 format, an arbitrary precision, accuracy of special functions computation.
Поступила ередакцию 04.02.2011
