Оценка техногенного риска неконтролируемых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГЛАВА 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОБЛЕМ НАДЕЖНОСТИ И КАЧЕСТВА

УДК 65.012.122 Абрамов О.В.

ФГБУН «Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской Академии наук» (ИАПУ ДВО РАН), Владивосток, Россия

ОЦЕНКА ТЕХНОГЕННОГО РИСКА НЕКОНТРОЛИРУЕМЫХ СИСТЕМ

Рассмотрена задача оценки риска потери работоспособности технических систем, параметры состояния которых не могут быть измерены (не контролируются) в процессе эксплуатации. Основное внимание уделено вопросу математического моделирования техногенных рисков таких систем.

Ключевые слова:

ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК, НАДЕЖНОСТЬ, ПАРАМЕТР, ПРОГНОЗ, СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС, ТЕХНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

Введение

Одним из наиболее важных количественных показателей свойства «безопасность» и, в частности, технической безопасности является техногенный риск (ТР) , поэтому исследования различных аспектов техногенного риска в настоящее время чрезвычайно актуальны.

Целью теории техногенного риска как научной дисциплины является изучение закономерностей возникновения рисковых ситуаций и управления ими при эксплуатации объектов техносферы, при котором обеспечивается максимальная эффективность таких объектов.

Моделирование рисковых ситуаций в теории техногенного риска представляет сложную задачу ввиду большого разнообразия и особенностей их проявления. Поэтому при разработке моделей ТР целесообразно использовать различные подходы для построения моделей: аналитические, статистические и экспертные. Каждый из этих классов моделей имеет свои преимущества и недостатки. В связи с этим желательно применять их комплексно. Элементами технологии ТР являются анализ, оценка и прогноз техногенного риска.

Поскольку одной из главных задач теории безопасности является предотвращение опасных ситуаций, то и теория техногенного риска должна быть направлена главным образом на предотвращение рисковых ситуаций.

Проблема анализа и прогнозирования техногенных рисков тесно связана с задачей экстраполяции векторного случайного процесса. В рамках функционально-параметрического направления теории техногенных рисков [1-3] задача состоит в следующем. Для каждой исследуемой технической системы, исходя из условий ее функционирования и эксплуатации, формируются условия нахождения системы в работоспособном состоянии (условия работоспособности) . Изменения параметров, характеризующих работоспособность системы, обычно описываются случайными процессами, выход реализаций которых за пределы некоторой области допустимых значений (области работоспособности) характеризует наступление рискового события.

Модели случайных процессов формирования рисковой ситуации

Отклонения параметров от их расчетных (номинальных) значений образуются под влиянием различных факторов, действующих в процессе производства, хранения и эксплуатации, и имеют случайный характер. Поэтому параметры технических систем следует рассматривать как некоторые случайные функции времени, закономерности которых (модели случайных процессов изменения параметров) считаются известными.

Общими свойствами практически всех процессов изменения параметров являются непрерывность и нестационарность.

Отклонения параметров от их номинальных значений обусловлены действием целого ряда факторов, из которых обычно выделяют производственные (технологические) и эксплуатационные.

К технологическим факторам можно отнести дефекты оборудования (неравномерность хода, вибрации, люфты механизмов, неточность шкал), колебания режимов работы, неоднородность исходных

материалов, погрешность измерительных инструментов, приборов и т.д. Действие этих факторов приводит к технологическому разбросу параметров, а также некоторому отличию физико-химической структуры элементов, что в процессе эксплуатации может вызвать различие в поведении их параметров.

В процессе хранения и эксплуатации в элементах протекают физико-химические процессы, вызывающие необратимые изменения параметров. Это явление называют старением. Причины старения — диффузия вещества, изменение структуры материала, химические взаимодействия и т.д. Такие процессы могут протекать и при условии изоляции от внешней среды, однако скорость протекания процессов в этом случае существенно уменьшается. Воздействие температуры, влажности, перегрузок (нагрузки) и других внешних факторов ускоряет старение. Наряду со старением в процессе эксплуатации систем имеет место износ, проявляющийся в истирании трущихся механических поверхностей, уменьшении эмиссии электронов с катодов электронных ламп и т.д. Износ также приводит к изменению параметров элементов. В результате старения и износа возникают необратимые (накапливающиеся) изменения параметров.

Колебания температуры, влажности, нагрузок и других внешних воздействий могут вызывать сравнительно кратковременные обратимые отклонения параметров.

Изменения параметров элементов во времени вследствие процессов старения и износа являются, как правило, достаточно медленными и монотонными. Для случайных процессов старения и износа типичны весьма жесткие связи между значениями параметра в последовательные моменты времени. Каждый тип элемента имеет свою характерную кривую износа (старения); однотипные элементы дают близкие по форме кривые, но с различными параметрами. В связи с этим модели процессов старения обычно выбирают среди случайных процессов, которые имеют определенную функциональную зависимость от времени, а их случайный характер обусловливается случайными параметрами, не зависящими от времени. Такие процессы иногда называют детерминированными случайными, квазидетермини-рованными или полуслучайными. Наиболее распространенной формой моделей случайного процесса необратимых изменений параметров является модель вида

N

где У}

к

I (0 = £ Ткик (О, к = 0

случайные величины; (Г)}"

(1)

непрерыв-

"кК'п =о

ные детерминированные функции времени. Представление (1) можно интерпретировать как разложение случайного процесса по детерминированному базису. В качестве базисных чаще всего использу-

I / } "

ются степенные < Г / , а также экспоненциаль-

I к=0

ные и логарифмические функции. Остановимся на моделях вида

I (г) = Е 1кГк

к =0

(2)

Распространенным типом аппроксимации случайного процесса необратимых изменений параметров вида (2) является линейная аппроксимация

г (?) = Г0 + г1?. (3)

Линейные случайные процессы — очень удобная модель процессов износа и старения. Они достаточно просто описывают основные особенности процессов износа и старения, требуют минимального количества экспериментальных данных и вместе с тем во многих случаях позволяют с достаточной для практики точностью оценить реальные изменения параметров. Такие модели хорошо согласуются с экспериментальными данными, полученными при изучении процессов износа машин и механизмов, а также процессов старения электротехнических систем [4,5]. Часто справочные данные о процессах дрейфа параметров отдельных элементов и систем задают только в виде коэффициентов старения (их моментных характеристик или распределений). В этом случае ничего не остается делать, как считать дрейф параметра линейным, и это почти всегда лучше, чем не учитывать его.

Следует отметить, что модель (3) в ряде случаев можно использовать и для описания нелинейных изменений параметров. Реальные нелинейные зависимости можно свести к линейным либо на основе линейно-кусочной аппроксимации, либо соответствующим преобразованием переменных. Например, используемый на практике случай экспоненциального закона изменения параметра, т.е. Г(?) = Г0ехр{—Г1(? — ?0)} , можно свести к случаю линейного вида, если вместо Y использовать новую величину Г = 1пГ . Моделями такого вида описываются процессы изменения погрешностей измерительных приборов, процессы развития электромиграционных отказов в тонких пленках алюминия, процессы изменения параметров интегральных схем, некоторые процессы износа механических систем и др

Значительно меньше в настоящее время изучены процессы изменения параметров под воздействием колебаний внешних факторов (обратимые изменения). Имеющиеся экспериментальные данные позволяют предполагать, что процесс обратимых изменений параметра является стационарным с интервалом корреляции значительно меньшим, чем у процесса необратимых изменений параметров. Таким образом, обратимые изменения параметра могут рассматриваться как некоторая высокочастотная (по сравнению с процессами старения или износа) составляющая случайного процесса изменения параметра.

Случайная обратимая составляющая обусловлена флюктуациями температуры, давления, влажности окружающей среды, электрической (или механической) нагрузки, напряжения питания, электромагнитных помех, ядерной радиации и др. Среди этих факторов выделяют обычно температурные воздействия, полагая, что изменение параметров наиболее существенно проявляется под влиянием температурных флюктуаций. На практике обратимые изменения параметров, происходящие под воздействием температуры, обычно учитывают с помощью температурных коэффициентов. Зная диапазон температур, в пределах которого будет эксплуатироваться аппаратура, и температурный коэффициент, можно оценить предельные (или наиболее вероятные, если температурный коэффициент считать случайной величиной) отклонения параметров от номинальных значений, что и делается при расчете допусков аппаратуры и ее точности. С учетом воздействия всех дестабилизирующих факторов случайный процесс изменения параметра можно аппроксимировать выражением

2 (?) = Г (?) + У(?) , где Y(t) — нестационарный (обычно монотонный) случайный процесс необратимых изменений параметра; Т(?) — стационарный случайный процесс обратимых изменений параметра под воздействием внешних условий.

Случайные процессы Y(t) и Т(?) обычно полагают статистически независимыми. В пользу такого предположения приводят соображения, связанные с различным характером корреляционных функций этих процессов. При этом в большинстве случаев считают, что отдельные внешние воздействия статистически независимы, а вызываемые ими отклонения незначительны по сравнению с абсолютным значением параметра. При такой модели процесса изменения параметра основной причиной отказа является случайный необратимый дрейф параметра Y(t) . Влияние обратимой составляющей Т(?) может оказаться существенным лишь в непосредственной близости к границам области допустимых изменений параметра.

Если начальное качество элементов достаточно однородно (случайный процесс необратимых изменений характеризуется постоянной средней скоростью), а воздействия внешних факторов варьируются в широких пределах, то более подходящей моделью случайных процессов изменения параметров будут, по-видимому, процессы с сильным перемешиванием, т.е. процессы, приращения которых обладают свойством асимптотической независимости. Внешне реализация таких процессов характеризуется тесным переплетением.

Математическое моделирование техногенного риска

В работах [1-3] были рассмотрены некоторые подходы к решению задачи оценки и управления техногенными рисками, базирующиеся на идеях функционально-параметрического направления теории рисков [1]. В соответствии с методологией этого направления процесс функционирования системы и ее техническое состояние в любой момент времени определяются конечным набором некоторых переменных - параметров системы, а все отказы (рисковые события) есть следствие отклонений параметров от их исходных (номинальных, расчетных) значений. Формой проявления отказа является выход параметров за пределы области допустимых значений (области работоспособности).

Общую схему формирования рискового события можно представить в следующем виде.

Пусть Y(t) - случайный процесс (в общем случае векторный) изменения некоторого параметра состояния технического объекта, статистические характеристики которого в интервале времени эксплуатации полагаются известными. Задана область допустимых изменений этого параметра (область работоспособности) П. Рисковое событие Я в этом случае наступает в момент выхода случайного процесса Y(t) за пределы области работоспособности.

Если определить плотность распределения времени нахождения случайного процесса изменения параметров Y(t) в области допустимых значений, то вероятность наступления рискового события (отказа системы) в течение времени Т определится следующим образом:

Р(ЯТ) = | дфЛ ,

(4)

где q(t) — плотность распределения времени безотказной работы.

Обычно функция q(t) находится в предположении, что случайный процесс изменения определяющего параметра системы Y(t) имеет односторонний (возрастание или убывание) и монотонный характер. Условия работоспособности задаются в виде одностороннего ограничения Г(?) > а или Г(?) < а , где а — уровень допустимого увеличения (или уменьшения) параметра. Кроме того, как это следует из формулы (4), вероятность нахождения параметра в допустимых пределах в момент времени t =0 считают равной единице [4, 5].

Для расчета вероятности наступления рискового события во многих случаях удобно использовать метод критических сечений [6], который основан на возможности представления случайного процесса Y(t) конечным числом случайных величин Yt, получаемых во временных ^ сечениях исследуемого процесса изменения параметров состояния системы.

о

Будем считать характер случайного процесса таким, что для нахождения любой его реализации в области допустимых значений в течение заданного времени необходимо и достаточно, чтобы эта реализация принадлежала области допустимых значений в ограниченном (и небольшом) числе ^ сечений процесса которые называют крити-

ческими. Изучение закономерностей необратимых изменений параметров элементов технических систем и устройств (резисторов, конденсаторов, транзисторов), а также различных видов аппаратуры (например, измерительных устройств, усилительных блоков и др.) показывает, что для большинства из них принятое предположение является справедливым, причем число критических сечений не превышает трех.

Если реализации процесса обладают вышеописанным свойством, то вероятность нахождения случайного процесса в области допустимых значений [а, Ь] в течение времени эксплуатации Т определится следующим образом:

Р(Т) =Р{ [а<¥( ад <Ьпа<У( <Ьп...па<У( Щ <Ь] }, где а, Ь - заданные границы допуска; ^

— точки локальных экстремумов реализации на интервале [0,Т] (критические сечения), ^=0, tK=T.

При монотонных изменениях параметра, для того чтобы любая реализация этого процесса уш(0 в течение времени Т находилась в пределах [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала диапазону допустимых изменений в граничных сечениях, т.е. при t=0 и t=Т. Тогда условия нахождения случайного процесса в течение времени Т в области допустимых значений будут иметь вид а < Г(0) < Ь, а < Г(Т) < Ь , (5) где У(0), У(Т) — случайные величины, получающиеся в соответствующих временных сечениях процесса . Вероятность невыхода за пределы [а, Ь] в течение заданного времени запишется следующим образом:

Р(Т ) = {[ а < Г(0) < Ь] п[а < Г (Т ) < Ь]} . (6)

Если известна тенденция изменения параметра, например все реализации у(^ монотонно неубывающие функции времени, то условия (5) можно упростить. Если у(0) > а , то всегда у(Т) > а , так как у(Т) > у(0) , в силу того что уш — неубывающая функция. Если у (Т) < Ь , то всегда у(0) < Ь . Таким образом, вместо условий (8) можно записать Г (0) > а; Г (Т ) < Ь .

Тогда искомая вероятность будет иметь вид Р(Т) = Р{[Г(0) > а] п[Г(Т) < 6]} = 1 — Р{[Г(0) < а]п[Г (?) > 6]} =

1—Р\У (0) < а} —Р{Г(Т) > 6} + Р{[Г (0) < а]п[Г(?) > 6]}.

Пусть для любой реализации справедливо

соотношение

у(Т ) — у(0) < 6 — а . (8)

Тогда последнее слагаемое в формуле (7) становится равным нулю и вероятность Р(Т) определяется выражением

(7)

Р(Т) = |Г»(у)4у—|/(у)4у ,

(9)

где /0(у), /Т(у) - одномерные плотности распределения случайного процесса в сечениях t=0 и t=T соответственно.

Если существуют реализации, для которых условие (8) не выполняется, то вероятность, вычисленная по формуле (9), будет оценкой снизу действительной вероятности нахождения параметра в области допустимых значений.

Аналогично изложенному выше, когда в диапазоне [0, Т] все реализации имеют убывающий характер, можно записать

Р(Т) = } /т (у) 4у — | /0(у) 4у . (10)

а 6

Рассмотрим случай, когда реализации случайного процесса в интервале [0, Т] могут как убывать, так и возрастать, а одномерные плотности распределения во временных сечениях неизвестны. В качестве примера можно воспользоваться моделью формирования рискового события вида (3).

Для систем, закономерности изменения параметров которых описываются процессом вида (3) , условие работоспособности в интервале времени [0, Т] можно записать в виде (5), откуда, учитывая вид случайного процесса следует

а < Г0 < 6, а < Г0 + ГТ < 6 . (11)

После несложных преобразований условий (11) вероятность того, что в течение времени Т случайный процесс (3) будет находиться в допустимых пределах [а, Ь], можно определить следующим образом:

6 (6—у, )/Т

Р(Т) = | Ф0 I ф У0' у1)/ 4у1 ,

а (а—У0 )/Т

где ф(у0,у1) - совместная плотность распределения коэффициентов У0, У1.

Для всех рассмотренных выше случаев искомая вероятность наступления рискового события Я как вероятность потери работоспособности исследуемого объекта за время Т можно рассчитать по формуле

Р(Я) = 1 - Р(Т) .

В общем виде проблема оценки момента (вероятности) наступления рискового события связана с решением стохастического уравнения

у(о—й = 0 , (12)

где й - векторная форма задания поверхности области работоспособности В.

Первый по времени корень этого уравнения, разрешенного относительно t, является интересующим нас временем наступления рискового события.

Сложности получения аналитического решения уравнения (12) заставляет при решении большинства практических задач анализа ТР ориентироваться на использование алгоритмических методов, основанных на компьютерном моделировании случайных процессов изменения параметров и методе Монте-Карло [6,7] .

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта ДВО РАН программы «Дальний Восток», проект № 18-5-04 4.

ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрамов О.В. Об оценке вероятности наступления рискового события: функционально-параметрический подход // Надежность и качество сложных систем. - 2016. - № 1. - С. 24-31.

2. Абрамов О.В. О функционально-параметрическом направлении теории рисков // Труды международного симпозиума «Надежность и качество 2015». - Пенза: ПГУ, 2015. - Т.1. - С. 5-6.

3. Абрамов О.В. Анализ и прогнозирование техногенных рисков // Информатика и системы управления. - 2012. - № 3. - С. 97-105.

4. Дружинин Г.В. Надежность автоматизированных систем. М.: Энергия. 1977.

5. Проников А.С. Надежность машин. М.: Машиностроение. 1978. 592 с.

6. Абрамов О.В., Катуева Я.В. Параллельные алгоритмы анализа и оптимизации параметрической надежности // Надежность. - 2005. - № 4. - С. 19-26.

7. Абрамов О.В., Назаров Д.А. Программно-алгоритмический комплекс построения, анализа и использования областей работоспособности// Информационные технологии и вычислительные системы. - 2015. -№ 2. - С. 3-13.

6