Оценка стоимости под риском методом исторического моделирования: подходы к улучшению точности модели Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ОЦЕНКА СТОИМОСТИ ПОД РИСКОМ МЕТОДОМ ИСТОРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ: ПОДХОДЫ К УЛУЧШЕНИЮ ТОЧНОСТИ МОДЕЛИ

УДК 336.76

Дмитрий Витальевич Минашкин,

аспирант, Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ) Эл. почта: [email protected]

В статье дана краткая характеристика методов расчета показателя стоимости под риском (VaR) и исследованы подходы к повышению эффективности метода исторического моделирования, основанные на экспоненциальном сглаживании распределения доходностей и корректировке на волатильность. В качестве тестовых данных использовалась динамика индекса ММВБ за период с 2001 г по 2010 г. включительно. Были построены модели в соответствии с рассматриваемыми методами и сделаны выводы о применимости каждого подхода для оценки VaR.

Ключевые слова: рыночный риск, стоимость под риском (VaR), метод исторического моделирования.

Dmitry Minashkin,

graduate student, Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics (MESI) E-mail: [email protected]

VALUE-AT-RISK CALCULATION WITH THE USE OF HISTORICAL SIMULATION METHOD: APPROACHES TO IMPROVING EFFICIENCY OF THE MODEL

The article gives short review of the Value-at-Risk calculation methods and provides analyses of approaches to improving efficiency of one of the most popular of them - historical simulation method, namely, exponential weighting of return distribution and volatility adjusting. MICEX index data from 2001 till 2010 is used as sample data to backtest the results. Models according to each of the described method are constructed and conclusions about their usefulness for VaR calculation are drawn.

Keywords: market risk, Value-at-Risk, historical simulation method.

1. Введение

В настоящее время подавляющее большинство финансовых институтов и корпораций для оценки рисков своей деятельности, связанных с изменениями рыночных факторов, используют в том или ином виде показатель стоимости под риском (далее - УаЯ, Уа1ие-а1-Ш8к).

УаЯ является обобщающим статистическим показателем, измеряющим возможные убытки портфеля финансовых инструментов, возникающие в результате «нормальных» («стандартных», «средних») движений рынка. Убытки, превышающие величину УаЯ, могут наступать лишь с заранее заданной небольшой вероятностью (как правило, от 0,01% до 5%). УаЯ агрегирует все риски портфеля в единственное число, что является крайне удобным для использования в целях принятия решений, предоставления отчетности регулирующим органам и публичного раскрытия информации.

В силу своей интуитивной простоты и удобства в использовании УаЯ применяется для различных целей широким кругом пользователей, в т.ч. управляющими рисками и топ-менеджерами компаний. Однако далеко не всегда пользователи, имеющеие дело с данным показателем, четко понимают, что за одним числом стоит достаточно большое количество предположений о будущей рыночной конъюнктуре и изменение данных предположений может привести к изменению итоговой величины УаЯ в несколько раз. В связи с этим необходимо тщательно подходить к выбору моделей, с помощью которых осуществляется оценка рассматриваемого показателя.

2. Краткая характеристика методов оценки УаИ

Все методы оценки УаЯ можно разделить на три группы:

• параметрический метод;

• исторический метод;

• метод Монте-Карло.

Параметрический основан на предпосылке о том, что будущее распределение доходностей факторов риска (цен акций, курсов валют, значений процентных ставок и др.) подчиняется определенному «модельному» распределению, которое может быть задано с помощью небольшого количества параметров (как правило, не больше пяти). Таким образом, после выдвижения данной предпослыки для вычисления величины УаЯ необходимо оценить параметры модельного распределения и взять квантиль соответствующей доверительной вероятности. Несмотря на то, что параметрический метод является достаточно простым в реализации, он относительно редко используется для оценки УаЯ, т.к., как правило, сложно подобрать распределение, соответствующее реально наблюдаемым доходностям факторов риска, особенно в «левом конце» распределения, на основании которого оценивается УаЯ [3]. В частности, наиболее распространенное предположение о нормальном распределении доходностей факторов риска не выполняется на большинстве финансовых рынков (особенно в развивающихся странах) в силу эффекта «толстых хвостов».

Метод Монте-Карло полностью оценивает распределение доходностей факторов риска на горизонтре оценивания УаЯ путем генерирования большого количества случайных независимых сценариев (в среднем, несколько десятков тысяч) для каждого (!) риск фактора, имеющего влияние на портфель финансовых инструментов. При этом, если УаЯ оценивается на длинном временном горизонте с использованием более коротких данных (например, оценка 10-дневного УаЯ на основе 1-дневных данных), то количество необходимых сценариев увлеичивается на порядок. Таким образом, для вычисления УаЯ методом Монте-Карло зачастую необходимо сгенерировать десятки миллинов сценариев и больше. В силу этого данный метод практически не используется в компаниях без специального программного обеспечения, разработанного для данных целей, что существенно ограничивает круг его применения.

С учетом вышеизложенного одним из наиболее распространенных методов оценки УаЯ (особенно в относительно небольших компаниях, не использующих

специализированное программное обеспечение для оценки рисков) является метод исторического моделирования, основной предпосылкой которого является то, что распределение доход-ностей факторов риска, имевшее место в прошлом, будет также наблюдаться и в будущем. Данная предпосылка очень легко понимается всеми пользователями показателя УаЯ и, как правило, поддерживается ими (особенно непрофессионалами в части оценки рисков), т.к. она очень просто интерпретируется: то, что мы наблюдали 1 год (3 года, 5 лет, 10 лет) назад вполне возможно повторится, а то, чего мы не наблюдали, произойти не может. Предметом данной статьи не является сравнительный анализ методов оценки УаЯ, поэтому мы оставим за ее рамками рассуждения о том, насколько справедливой является предпослыка, лежащая в основе метода исторического моделирования, и рассмотрим данный метод более подробно, принимая указанную предпосылку без каких-либо доказательств.

Метод исторического моедирова-ния использует следующую процедуру оценки УаЯ. Сначала выбирается глубина исторической ретроспективы Т. Затем собираются данные о значениях Р всех N факторов риска, влияющих на стоимость портфеля за Т последних интервалов времени (например, дней) и вычисляются соответствующие этим интервалам времени логарифмические доходности факторов риска:

( Р } 1 1 t

(1)

P = ln

р,

и нумеруются от 1 до Т. После чего величина УЖ определяется в зависимости от заданного доверительного уровня q как такой максимальный убыток, который не превышается в qT случаях. Таким образом, для рассмотренного варианта нумерации исторических сценариев УаЯ равен абсолютной величине изменения с номером, равным целой части числа qT.

Рассмотрим пример использования метода исторического моделирования. В качестве анализируемого фактора рыночного риска во всех примерах данной статьи будем использовать индекс ММВБ, характеризующий российский фондовый рынок в целом, а именно его дневную логарифмическую доходность за период с 01.01.2000 г. по 31.12.2010 г.

Предположим, мы оцениваем 1-дневный УЖ индекса ММВБ с доверительной веротяностью 99%. Основным параметром описанного выше подхода к использованию метода исторического моделирования является выбор глубины исторической ретроспективы Т. Сравним результаты, полученные

после применения метода исторического моделирования с глубиной исторической ретроспетиквы 7=500 (т.е. около двух лет) и 7=1000 (т.е. около четыфех лет).

Приведенный график отражает два основных недостатка, присущих классическому методу исторического моделирования. Во-первык, результат применения метода очень чувствителен к выбору глубины исторической ретроспективы. Так, результаты, полученные с использованием двух- и четыфехлет-ней истории, отличаются на 1%-2%, что составляет 10%-40% от величины самого показателя. Причем зависимость уровня VaR от глубины исторической ретроспективы немонотонная и зависит от конкретного момента времени и имеющихся данных. Таким образом, лица, осуществляющие расчет VaR, могут «настроить» параметры модели так, чтобы получить определенный требуемый результат [5]. Во-вторык, метод исторического моделирования подве-режен эффекту «призрачных» данных (ghost effect), т.е. при выбывании из

I = 1,2,к,п, t = 1,2,к,Т После этого для каждой из полученных Т доходностей (сценариев) рассчитывается гипотетическое значение каждого фактора риска в будущем как его текущее значение, умноженное на соответствующую доходность:

Р* = Р -ЯР

1 гД 1 1,0 гД' (2)

I = 1,2, к, П, t = 1,2, к, Т Далее для каждого исторического сценария вычисляется гипотетическая стоимость всего портфеля и оценивается абсолютный (или относительный) прирост его стоимости относительно сегодняшней величины:

= V* - У0, t = 1,2, к,Т (3) Затем все смоделированные изменения стоимости портфеля сортируются по убыванию (от самого большого прироста до самого большого убытка)

Рис. 1. Динамика индекса ММВБ с 01.01.2000 г. по 31.12.2010 г.

Рис. 2. 1-дневный VaR индекса ММВБ с доверительной веротяностью 99%

анализируемого множества резких колебаний доходности, имевших место в прошлом, величина УаЯ существенно изменяется, несмотря на отсутствие каких-либо изменений в текущей рыночной конъюнктуре. Наиболее ярко данный эффект прослеживается в конце 2010 г. для УаЯ, рассчитанного с использованием двухлетних данных. В связи с тем, что события кризиса 2008 г. перестали попадать в число последних 500 дней, величина УаЯ упала с 10% до 6% при отсутствии ярко выраженных позитивных тенденций на рынке.

Наиболее эффективными подходами к устранению указанных недостатков метода исторического моделирования нам представляются экспоненциальное взвешивание распределения ве-ротяностей наступления события и корректировка данного распределения на волатильность [1]. Рассмотрим данные подходы более подробно.

3. Экспоненциальное взвешивание распределения вероятностей

Основной проблемой метода исторического моделирования следует признать то, что резкие движения рынка влияют на величину УаЯ в течение длительного периода времени и с одинаковым эффектом, т.е. важен сам факт наличия наблюдения на анализируемом временном горизонте и не важно время его наступления. Этот недостаток обусловлен тем, что все наблюдения имеют одинаковый вес при вычислении величины УаЯ, что можно скорректировать, присваивая больший вес наблюдениям, произошедшим ближе к текущему моменту времени по сравнению с другими наблюдениями. Алгоритм экспоненциального взвешивания для метода исторического моделирования состоит в том, что для выбранного параметра сглаживания Л, значение которого находится в диапазоне от 0 до 1, наиболее «свежему» наблюдению присваивается вес 1-Я, следующему за ним - Я (1 — Я), и далее в порядке удаления от текущего момента вое мен и -

Л2(1 - 1\ЛЭ(1 - Л), Я4(1 - Я), Я5 (1 — Я) и т.д. Сумма весов, присвоенных таким образом, равна 1 — Л", т.е. стремится к 1 при количестве наблюдений, стремящемся к бесконечности. Исходя из этого данные веса можно интрепретировать как вероятности наступления событий. Далее так же, как и в классическом методе исторического моделирования, изменения стоимости портфеля сортируются по убыванию, и для каждого изменения, начиная с са-

мой большой прибыли, рассчитываются накопленные суммы весов. УаЯ в данном случае определяется как такое изменение стоимости портфеля, для которого накопленная сумма весов равна или превышает заданный доверительный уровень (или, более точно, результат интерполяции, для которого сумма весов в точности равна заданному доверительному уровню). Применение экспоненциального взвешивания делает модель практически независимой от используемой истрической ретроспективы, т.к. даже для парасметра слгаживания 0,99 при использовании 500 наблюдений сумма «неучтенных» весов составляет 0,99500 = 0,66%. При этом модель является чувствительной к выбору параметра сглаживания, а именно, чем больше значение параметра сглаживания, тем больше будет влияние на величину УаЯ наблюдений, имевших место в отдаленном прошлом. Сравним результаты применения метода исторического моделирования с использованием экспоненциального взвешивания наблюдений с классическим подходом к применению данного метода.

Полученные результаты показывают, что при использовании экспоненциального сглаживания величина УаЯ в периоды нестабильности рынка может превышать результат, полученный с помощью классического метода исторического моделирования более чем в 2 раза. При этом с течением времени по мере «удаления» от периода рыночных стрессов при применении экспоненциального взвешивания величина УаЯ существенно сокращается.

4. Корректировка распределения

вероятностей на волатильность

Вторым наиболее эффективным подходом к устранению недостатков метода исторического моделирования является корректировка распределения доходностей на волатильность. Известно, что изменения факторов рыночного риска зависят от ряда экономических и поведенческих механизмов, которые определяются макроэкономическими факторами, в т.ч. денежной и фискальной политикой государств, экономическими циклами и др. Таким образом, при применении метода исторического моделирования встает вопрос о том, как наиболее оптимально учесть данные, относящиеся к состоянию рыночной конъюнктуры, отличному от текущего.

Допустим, рынок акций в течение последних одного или двух лет был стабильным и характеризовался умеренным повышательным трендом, однако раньше был подвержен высокой вола-тильности на протяжении длительного периода. При применении метода исторического моделирования у нас нет другого выбора, кроме как использовать исторические данные, относящиеся к иному рыночному режиму, и получать относительно высокую оценку УаЯ, которая неадекватно отражает текущую ситуацию. Необходимо отметить, что метод экспоненциального взвешивания решает указанную проблему путем более бытсрого «забывания» прошлых данных, т.е., по сути, использует более короткую историческую ретроспективу. Метод корректировки распределения доходностей на волатильность, предложенный Дафи и Пэном (1997) и Халлом и Уайтом (1998)

Рис. 3. 1-дневный УаЯ индекса ММВБ с доверительной веротяностью 99%, оцененный с использованием экспоненциального взвешивания наблюдений с параметрами сглаживания 0,9 и 0,99

[4], решает задачу как одновременно использовать все имеющиеся исторические данные (не уменьшая вес более ранних наблюдений) и как при этом корректно учитывать данные, относящиеся к различным рыночным режимам. Алгоритм данного подхода состоит в оценке волатильности для каждого момента времени в прошлом и корректировки смоделированных значений до-ходностей факторов риска следующим образом:

(

=

С

Л

5Р,

(4)

/ = 1,2,к,п, Г = 1,2,...,Т

где сС^ - оценка волатильности /-го фактора риска в момент времени /.

Далее алгоритм рассматриваемого подхода аналогичен алгоритму классического метода исторического моделирования. Таким образом, параметром данной модели выступает подход, выбранный для оценки волатильности. В качестве примера будем оценивать вола-тильность с помощью экспоненциально взвешенной скользящей средней с различными параметрами сглаживания.

Проанализировав график, приведенный на рис. 4, можно сделать вывод о том, что рассматриваемые подходы к повышению точности метода исторического моделирования имеют схожие модели поведения. В частности, расчетная величина УаЯ существенно возрастает непосредственно после наблюдения на рынке стрессовых ситуаций и затем постепенно снижается при отсутствии новых возмущений. На чувствительность величины УаЯ к текущим изменениям рыночной конъюнктуры влияет параметр сглаживания: чем он больше, тем менее чувствителен итоговый показатель риска к непродолжа-тельным колебаниям рынка. При этом метод корректировки на волатильность дает более «гладкие» результаты по сравнению с методом экспоненциального взвешивания распределения веротяно-стей, т.к. в первом методе сами смоделированные доходности факторов риска относительно плавно меняются с течением времени, в то время как во втором методе значения смоделированных доходностей зафикисрованы, а меняются лишь присвоенные им веса.

5. Сравнительный анализ эффективности рассмотренных подходов к оценке УаЯ на основе метода исторического моделирования

С целью сравнения эффективности построенных моделей проведем их бэк-

35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%

-Классический подход ----

-->1дтЫ*-0.99

<

1 « V

ГЧ1»' 1Л4'

V ч> Ч9Ч О?4' ^ ^ ч^

Рис. 4. 1-дневный УаЯ индекса ММВБ с доверительной веротяностью 99%, оцененный на основе корректировки на волатильности (рассчитанной методом экспоненциального взвешивания с параметрами сглаживания 0,9 и 0,99)

тестинг на временном интервале с 09.01.2004 г. по 30.12.2010 г., т.е. за последние 6 лет или 1738 рабочих дней. Идеально построенная модель должна содержать 17 случаев превышения реально наблюдавшимися доходностями величины УаЯ и данные превышения должны быть равномерно распределены во времени, т.е. примерно по три в год [2]. Для получения более полного представления о рассматриваемых методах бэктестинг также был проведен для параметра сглаживания 0,95.

Результаты бэктестинга (см. табл. 1) показывают, что классический подход дает неудовлетворительные результаты как с точки зрения общего количества превышений, так и с точки зрения их концентрации. В частности, около половины всех превышений приходится на 2008 г., в то время как в 2005, 2007, 2009 и 2010 гг. превышений практически не было. Это свидетельствует о том, что данный подход существенно недооценивает уровень риска в стрессовых

ситуациях и, наоборот, переоценивает его в условиях относительно спокойного рынка.

При этом необходимо отметить, что единственной из рассмотренных моделей, которой удалось справиться с равномерным распределением превышений, является модель, построенная на основе экспоненциального взвешивания веротяностей с параметром сглаживания 0,9. Однако данная модель является абсолютно худшей по общему количеству превышений, которое превосходит ожидаемое количество для данного доверительного уровня примерно в 4 раза. Тем не менее, необходимо отметить, что полученный эмпирический результат может стать поводом для дальнейшего исследования данной модели на предмет ее соответствия значению УаЯ с доверительным уровнем 96%, по крайней мере, для отдельных сегментов рынка.

В целом следует признать, что лучшими с точки зрения конечного резуль-

Таблица 1. Количество превышений наблюдавшимися доходностями

величины УаЯ

Модель Классический подход Экспоненциальное взвешивание вероятностей Корректировка на волатильность

Параметр модели Глубина ретроспективы Параметр сглаживания Параметр сглаживания

Значение параметра 500 1000 0,9 0,95 0,99 0,9 0,95 0,99

2004 г. 6 4 11 6 2 3 2 3

2005 г. 0 1 12 5 2 1 0 1

2006 г. 6 6 10 5 6 3 2 5

2007 г. 1 1 10 5 1 2 1 1

2008 г. 14 12 11 9 6 7 8 10

2009 г. 0 1 7 4 0 1 0 0

2010 г. 0 0 9 3 0 1 1 0

Итого 27 25 70 37 17 18 14 20

1Л

тата для рассмотренного примера стали модели, использоующие экспоненциальное сглаживание вероятностей с параметром сглаживания 0,99 и корректировку на волатильность с параметром сглаживания 0,9. Таким образом, можно сделать вывод, что проанализированные подходы позволяют существенно повысить эффективность применения метода исторического моделирования для оценки величины УаЯ по сравнению с классическим подходом.

6. Заключение

Несмотря на то, что в настоящее время показатель УаЯ является одним из самых широко используемых в области оценки финансовых (и, в частности, рыночных) рисков, далеко не всегда конечные пользователи информации, представляемой с помощью данного показателя, четко понимают тео-

ретические предпосылки, которые были использованы при его вычислении. При этом итоговое значение УЖ может существенно изменяться в зависимости от конкретных предположений, лежащих в основе модели его оценки.

Данная статья была посвящена достаточно подробному описанию одного из наиболее популярных методов расчета УаЯ - методу исторического моделирования. Особое внимание в данной статье было уделено недостаткам данного метода и подходам, которые могут быть использованы для их устранения. По результатам проведенной верификации моделей можно сделать вывод, что рассмотренные подходы к улучшению точности метода исторического моделирования дают приемлемый результат на российском рынке акций.

Литература References.

1. Alexander C. Market Risk Analysis, Volume IV: Value-at-Risk Models. -Chichester, England: John Wiley & Sons, Ltd., 2008.

2. Amendment to the Capital Accord to incorporate market risks. - Basel, Switzerland: Bank for International Settlement, 2005.

3. Christoffersen P.F. Elements of Financial Risk Management. - San Diego, CA, USA: Elsevier Science, Academic Press, 2003.

4. Hull J., White A. Incorporating Volatility Updating into the Historical Simulation Method for VaR//Journal of Risk. 1998. No. 1. P. 5-19.

5. Jorion P. Value at risk: the new benchmark for managing financial risk. 2nd ed. - McGraw-Hill, 2001.