CC BY
47
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Оценка степени затухания и перерегулирования
в линейной системе с запаздыванием
# 11, ноябрь 2013
Б01:10.7463/1113.0622917
Горбунов А.В.
УДК 517.929.4
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана mathmod@bmstu.ru
Введение
Пусть рассматривается линейная автономная система с запаздыванием
x(t) = Ax(t) + Bx(t - h), (1)
где x G — вектор; A, B G Rnxn — квадратные матрицы; h > 0 — действительное число. Функция xt($) = x(t + $), определенная для $ G [— h, 0], называется состоянием системы (1) в момент t, а величина x(t) — положением системы. Множество состояний системы образует линейное пространство C([-h, 0], Rn) с нормой
Mh = max М$)||, $e[-h,o]
которая определяется евклидовой нормой в Rn:
x
\
y^Xfc, x = (xi, ...,xn)T G R
fc=i
Определение. Систему (1) называют экспоненциально устойчивой, если существуют постоянные а > 0 и 7 ^ 1, такие, что для любого ¿0 €= К и любого решения х(£; ¿0,<^), удовлетворяющего начальному условию я4о = где р С С([-Ь, 0], Кп), при всех £ ^ ¿0 выполнено неравенство
(2)
Постоянную а при этом называют степенью затухания, а 7 — перерегулированием.
h
Одна из важных задач теории устойчивости систем с запаздыванием заключается в оценивании величин а и y в неравенстве (2). Известно [1], что точная верхняя грань для степени затухания а может быть найдена как а = — maxk Re zk, где zk Е C — корни характеристического квазимногочлена
A(z) = det(zE — A — e-hz B)
системы (1). Отметим, что такой подход не позволяет оценить величину y и сопряжен со сложной задачей вычисления комплексных корней трансцендентного уравнения, которые в общем случае образуют бесконечное (счетное) множество. Поэтому большую популярность приобрели методы, не связанные с вычислением корней характеристического квазимногочлена A(z), обзор которых приведен ниже.
Обычно для оценки параметров экспоненциальной устойчивости используют аппарат прямого метода Ляпунова. Для этого применяют конечномерные функции положения системы — функции Ляпунова — Разумихина [2, 3, 4] или бесконечномерные функционалы на множестве состояний — функционалы Ляпунова — Красовского [5, 6, 7, 8]. Зачастую рассматриваемые условия экспоненциальной устойчивости представляют собой условия классических теорем устойчивости прямого метода Ляпунова [1, 9, 10, 11, 12]) для системы (1), записанной в переменных y(t) = x(t)eat. Так, условия, приведенные в [5, 6, 7], непосредственно вытекают из условий теоремы H.H. Красовского об устойчивости [1,9, 10, 11].
Другой подход к задаче оценивания степени затухания связан с использованием экспоненциальных оценок для решений разного рода скалярных дифференциальных неравенств, в которых в качестве неизвестной переменной обычно выступает конечномерная норма положения системы. Так, обнаружено [13, 14], что степень затухания ограничена снизу величиной единственного положительного корня а трансцендентного уравнения
а + ^p(A) + ||B\\peha = 0, (3)
где
ßp (A) = lim
||E + eA\\p — 1
£^0 e
р-мера матрицы A Е Rnxn;
|B ||p = max
\|Bx||p
x=0 ||x|| p
р-норма матрицы B. Эти характеристики определяются р-нормой вектора x Е
i/p
'x||P | ^ у |xi|
p
^ i |
i=i
Различные обобщения результатов [13, 14] на случай неавтономной линейной системы представлены в [15, 16].
Результаты, приведенные в[13, 14], могут быть выведены из следующей леммы [11].
Лемма 1. Пусть неотрицательна и непрерывна на отрезке [¿0 — Т], а на отрезке [¿0, Т] непрерывно дифференцируема и удовлетворяет неравенству
¿(¿) ^ — а^) + Ь|Ы|, где а и Ь — постоянные, удовлетворяющие неравенству 0 ^ Ь < а. Тогда
^ К||е-л(^о),
где Л — корень уравнения
Л = а — Ьел^. (4)
Обобщение леммы 1 для случая неавтономной системы рассмотрено в [15].
Завершая обзор, отметим, что условия экспоненциальной устойчивости из цитированных работ можно разделить на два типа. Условия первого типа не содержат неизвестных величин и сводятся к вычислению некоторого скалярного критерия (например [13, 14, 15, 16]). Условия второго типа включают неопределенные величины [2, 3, 4, 5, 6, 7]. Такие условия по сравнению с условиями первого типа обычно дают более точные оценки, но платой за это является необходимость подбора неопределенных величин. Поэтому среди условий второго типа следует особо выделить те, для которых неизвестные величины определяются конструктивно. В [5, 6, 7] для этого используется аппарат линейных матричных неравенств [17]. Подробнее о линейных матричных неравенствах и их применении в теории управления можно узнать из [17, 18, 19, 20]. Методам решения задач робастной устойчивости систем с запаздыванием, в том числе, с помощью линейных матричных неравенств, посвящена монография [21].
В настоящей работе для линейной системы с запаздыванием предложено новое достаточное условие экспоненциальной устойчивости и на его основе разработан метод оценивания степени затухания и величины перерегулирования. Для этого использовался идейно близкий к [13, 14, 15] подход, но, как и в [5, 6, 7], полученные условия экспоненциальной устойчивости содержат неопределенные величины. Для поиска этих величин применен аппарат матричных неравенств. Параметры экспоненциальной устойчивости выражены явно через решение матричного неравенства относительно неизвестной симметрической положительно определенной матрицы и двух скалярных неизвестных.
1. Свойства действительного решения трансцендентного уравнения (4)
При использовании методов из [13, 14] и метода, предлагаемого в настоящей работе, возникают задачи решения трансцендентных уравнений (3) и (4). Уравнения (3) и (4) отличаются только обозначениями, поэтому далее ограничимся рассмотрением лишь уравнения вида (4).
В настоящем разделе отмечены нужные для дальнейшего изложения свойства действительного решения Л = Л(а, Ь, Ь) уравнения (4) и получено его явное выражение через параметры а, Ь и Ь. Также здесь показано, что функция Л(а, Ь, Ь) не является элементарной, но может быть выражена как композиция элементарных функций и Ш-функции Ламберта [22]. Использование Ш-функции Ламберта для вычисления Л оправдано тем, что в настоящее время она реализована как стандартная во многих математических пакетах.
Лемма 2. Пусть ЬЬ ^ 0, тогда для всех а € К существует единственное действительное решение Л = Л(а, Ь, Ь) уравнения (4), где функция Л(а, Ь, Ь) непрерывна и монотонно возрастает по переменной а.
Доказательство. Переписав уравнение (4) в виде
а = Л + ЬеЛ^,
обнаруживаем, что функция а = а (Л, Ь, Ь) непрерывна и монотонно возрастает по Л при ЬЬ ^ 0, принимая все действительные значения. Поэтому обратная функция Л = Л(а, Ь, Ь) определена, непрерывна и монотонно возрастает по а для всех а € К. Теорема доказана.
Лемма 3. Пусть а ^ 0, Ь ^ 0, Ь ^ 0 и Л = Л(а, Ь, Ь) > 0. Тогда Ь < а.
Доказательство. Поскольку вЛн ^ 1 и Л > 0, то из (4) имеем
а = Л + ЬеЛ^ ^ Л + Ь > Ь,
что и требовалось доказать. Теорема доказана.
Лемма 4. Пусть ЬЬ > 0. Тогда решение Л = Л(а, Ь, Ь) уравнения (4) определяется выражением
Л(а,Ь,Ь) = а - 1Ш(ЬЬе°л), (5)
Ь
где Ш — функция Ламберта.
Доказательство. Переписав равенство (4) в виде а — Л = ЬеЛ^ и умножив обе его части на Ьв(а—Л)^, получим
(а — Л)Ье(а-Л)^ = ЬЬе^. (6)
Учитывая, что Ш-функция Ламберта является обратной функции ^(и) = [22], выразим величину и = (а — Л)Ь из (6):
(а — Л)Ь = Ш (ЬЬе°Л).
Отсюда после несложных преобразований получим (5). Теорема доказана.
2. Основной результат
В настоящем разделе сформулировано и доказано достаточное условие экспоненциальной устойчивости и получены выражения для коэффициентов а и 7 в неравенстве (2). Определения отношений порядка на множестве симметрических матриц, которые будут использованы в формулировке основного результата, приводятся ниже.
Будем говорить, что симметрические матрицы Р, ф € Кпхп связаны отношением Р ф, т т
если х Рх ^ х фх для всех х € Кп. Будем говорить, что они связаны отношением Р — ф, если хтРх < хтфх для всех х € Кп \ {0}.
Достаточное условие экспоненциальной устойчивости системы (1) определяет следующая теорема.
Теорема 1. Пусть для а, Ь € К и симметрической матрицы ф >- 0 выполнены неравенства
0<Ь<аи
т 1 т
фАт + Аф + -+ аф ^ 0. (7)
Ь
Тогда нулевое решение системы (1) экспоненциально устойчиво и в (2)
а = 2 — ^ № , 7 = /ЛЦШ' (8)
где Лтах(ф) и Лт;п(ф) — соответственно наибольшее и наименьшее собственные числа матрицы ф.
Доказательство. Умножим неравенство (7) на Р = ф-1:
АтР + РА + -РВР-1ВтР + аР ^ 0. Ь
По лемме Шура для нестрогих матричных неравенств [17] с учетом того, что Р >- 0, имеем
АтР + РА + аР РВ ВтР -ЬР
^ 0.
Таким образом, для любых х(£) и х(£ — й) верно
т
х(*) \ / АР + РА + аР РВ \ / х(*) х(* — й) у ^ ВтР —ЬР/ \х(* — й)
= хт(;£)(АтР + РА)х(£) + хт(£ — й)В тРх(£) + хт(^)РВх(^ — й) +
тт
+ ахт(^)Рх(^) — Ьхт(^ — й)Рх(* — й) ^ 0. (9) Для производной функции г(£) = хт(£)Рх(£) в силу системы (1) верно выражение
Т Т
г>(г) = х (¿)Рх(*) + х (г)Рх(г) =
т т
= (Ах(£) + Вх(* — й))тРх(^) + хт(^)Р (Ах(£) + Вх(* — й)) =
= хт(^)АтРх(^) + хт(£)РАх(£) + хт(^ — й)Вт Рх(*) + хт(^)РВх(^ — й),
поэтому неравенство (9) можно переписать в виде
v(t) + av(t) - bv(t - h) ^ 0. (10)
Поскольку v(t — h) ^ max v(t — $) = ||vt||h, то из (10) следует
tfe[-h,o]
v(t) ^ -av(t) + b|H|fc. В силу условия 0 < b < a по лемме 1 существует корень Л > 0 уравнения (4) такой, что
v(t) ^ |К||e-A(i-io),
т. е.
x^Q-1 x(t) ^max^ (V(to + $)Q-1x(to + e-A(i-4 Пользуясь тождествами
Лш1п(^- ) = (Лтах(Q))— , Л max (Q ) = (Лт1п (Q))-1 и соотношением Релея
Лт1п (Q-1) | x |2 ^ XT(t)Q-1x(t) ^ Лтах (Q-1)|x|2, запишем цепочку неравенств
(Лтах(Q))-1||x(t)||2 ^ xT(t)Q-1x(t) ^max (xT(to + $)Q-1x(to + $)) e-A(i-io) ^
^ (Лmin(Q))-1 max ||x(to + $)||2e-A(i-io) = ^(Q))-1^^ ||he-A(t-to). (11) tfe[-h,o]
Из (11) следует, что
I ЛЛ11 ^ Mmax(Q),, || - М-М lx(t)| Л-(Q)||xto!ле 2
Лmin (Q)
где Л > 0 — корень уравнения (4), определенный выражением (5). Таким образом, нулевое решение системы (2) экспоненциально устойчиво и верны оценки (8). Теорема доказана.
3. Метод поиска величин а, Ь и Q в условиях теоремы 1
Для проверки условий теоремы 1 нужно предъявить а, Ь и ф, удовлетворяющие трем неравенствам: (7), ф >- 0 и 0 <Ь<а. Отметим, что прямой поиск этих величин затруднен большим количеством переменных: матричная, для задания которой требуется + ^ скалярных величин, и две скалярных. В этой связи, представляют интерес методы пониже-
ния размерности исходной задачи. В настоящем разделе предлагается использовать способ, при котором исходная задача сводится к поиску значения одной скалярной неизвестной, принадлежащей ограниченному множеству.
Обозначим через а(Ь) точную верхнюю грань значений а, для которых существует Q У 0 такая, что выполнено матричное неравенство (7). Отметим, что вычисление а(Ь) представляет обобщенную задачу на собственные значения, эффективные алгоритмы решения которой реализованы во всех наиболее популярных пакетах исследования линейных матричных неравенств [17, 18, 19]. Пусть известно скалярное значение Ь > 0 такое, что выполнено неравенство Л(а(Ь), Ь, Л) > 0. Опишем способ определения набора величин а, Ь и Q, удовлетворяющих условиям теоремы 1.
Зафиксируем а = а(Ь) — е, где е > 0 выбрано так, что Л(а,Ь, Л) > 0. Выбрать такое е можно всегда, поскольку по лемме 2 функция Л(а, Ь, Л) непрерывна по переменной а. По определению а(Ь) для выбранных а и Ь существует матрица Q У 0, удовлетворяющая неравенству (7). Отметим также, что по лемме 3 из Л(а, Ь, Л) > 0 следует неравенство Ь < а. Таким образом, для выбранных а, Ь и Q все условия теоремы 1 выполнены.
Найдем интервал, которому принадлежит величина Ь в матричном неравенстве (7). Отметим, что IBQBт ^ 0 и, следуя [23], рассмотрим более слабое неравенство
Т
QА + ^ + aQ * 0.
Переписывая его в виде
т
Q(A+а д) + ^+а * 0
и используя лемму о неравенстве Ляпунова [17], обнаруживаем, что для существования Q У 0 необходимо, чтобы для всех г = 1, ..., п выполнялось соотношение
Ке Аг (Л + 2д) < 0,
где АДМ) обозначает г-й корень характеристического уравнения матрицы М. Поскольку
Ке Аг (А + 2Е) =Ке АДА) + а,
то для существования Q У 0 необходимо, чтобы
^ *
а < а ,
где
а * = — 2 тах Ке А (А). (12)
г=!,...,и
В интересующем нас случае 0 < Ь < а, поэтому а € (0, а *), Ь € (0, а *).
4. Пример
Рассмотрим систему (1), в которой A, B и h выбраны также как и в [6]:
, . -4 Л /0,1 0 ,
A = , B = ' | , h = 0,5.
0 -4 4 0,1
Для определения значений a, b и Q, удовлетворяющих условию теоремы 1, использован метод, изложенный в предыдущем разделе. По (12) вычислена верхняя граница a* = 8 интервала для a и b. После этого для h = 0,5 методом прямого поиска приближенно найдено наибольшее значение
max A(a(b),b,h) = 3,5240, be(o,a*)
которое достигнуто при b = 0,250 и a(b) = 4,980. При этом для вычисления W-функции Ламберта и a(b) использовались соответственно функции lambertw и gevp среды Matlab. Для b = 0,250 и a = a(b) + 0,001 = 4,981 проверено неравенство A(a, b, h) > 0 и найдено решение линейного матричного неравенства (7):
3,0845 4,5325 4,5325 10,8558 / .
По построению а, Ь и ф удовлетворяют условию теоремы 1, поэтому, согласно (8), имеют место оценки а = 1,762 и 7 = 3,597.
В работе [6] для степени затухания и величины перерегулирования получены следующие оценки: а = 1,1534, 7 = 4,9997. В [13, 14] путем решения уравнения (3) получены оценки а1 = 1,0966, а2 = 1,4327, = 1,0966, где нижний индекс соответствует значению р в уравнении (3). Как видно, оценки, найденные в настоящей работе, оказались существенно точнее и тех, и других оценок.
5. Заключение
Для линейной системы с запаздыванием предложены достаточное условие экспоненциальной устойчивости и метод оценки степени затухания и величины перерегулирования. Рассмотренный пример показал эффективность предлагаемого подхода. Полученный в работе результат может использоваться при создании систем автоматизированного анализа устойчивости и для решения задач стабилизации линейных систем с запаздыванием.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 13-07-00743 и № 13-07-00736), Программы Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (грант № НШ-3659.2012.1) и Министерства образования и науки Российской Федерации (соглашение № 14.B37.21.0370).
Список литературы
1. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 424 с.
2. Cheres E., Palmor Z.J., Gutman S. Quantitative measures of robustness for systems including delayed perturbations // IEEE Trans. Automat. Control. 1989. Vol. 34, no. 11. P. 1203-1204.
3. Xu B., Liu Y. An improved Razumikhin-type theorem and its applications // IEEE Trans. Automat. Control. 1994. Vol. 39, no. 4. P. 839-841.
4. Sun Y.J. Less conservative results for the exponential stability of uncertain time-delay systems // Control and Cybernetics. 2005. Vol. 34, no. 4. P. 1045-1055.
5. Niculescu S.I. Memoryless control with an a-stability constraint for time-delay systems: An LMI approach // IEEE Trans. Automat. Control. 1998. Vol. 43, No. 5. P. 739-743.
6. Mondie S., Kharitonov V.L. Exponential estimates for retarded time-delay systems: an LMI approach // IEEE Trans. Autom. Control. 2005. Vol. 50, no. 2. P. 268-273.
7. Wang H., Hu S. Exponential estimates for stochastic delay equations with norm-bounded uncertainties // Jrl. Syst. Sci. & Complexity. 2009. Vol. 22. P. 324-332.
8. Kharitonov V.L., Hinrichsen D. Exponential estimates for time delay systems // Systems and Control Letters. 2004. Vol. 53. P. 395-405.
9. Красовский H.H. О применении второго метода A.M. Ляпунова для уравнений с запаздыванием времени // Прикладная математика и механика. 1956. Т. XX, вып. 3. С. 513-518.
10. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 212 с.
11. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.
12. Разумихин Б.С. Устойчивость эредитарных систем. М.: Наука, 1988. 108 с.
13. Mori T., Fukuma N., Kuwahara M. On an estimate of the decay rate for stable linear delay systems // Int. J. Control. 1982. Vol. 36, no. 1. P. 95-97.
14. Mori T., Fukuma N., Kuwahara M. Simple stability criteria for single and composite linear systems with time delays // Int. J. Control. 1981. Vol. 34. P. 1175.
15. Lehman B., Shujaee K. Delay independent stability conditions and decay estimates for time-varying functional differential equations // IEEE Trans. Autom. Control. 1994. Vol. 39, no. 8. P. 1673-1676.
16. Nieulescu S.-I., De Souza C., Dugard L., Dion J.-M. Robust exponential stability of uncertain systems with time varying delays // IEEE Trans. Autom. Control. 1998. Vol.43, no. 5. P. 743-748.
17. Boyd S.P., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in system and control theory. Philadelphia: SIAM, 1994. 206 p.
18. Чурилов A.H., Гессен А.В. Исследование линейных матричных неравенств: путеводитель по программным пакетам. СПб.: Изд-во С.-Петербург. ун-та, 2004. 148 с.
19. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М.: Наука, 2006. 280 с.
20. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 304 с.
21. Nieulescu S.-I. Delay effects on stability: a robust control approach. London: Springer-Verlag, 2001. 400 p.
22. Corless R.M., Gonnet G.H., Hare D.E.J., Jeffrey D.J., Knuth D.E. On the Lambert W function // Adv. Comp. Math. 1996. Vol. 5. P. 329-359.
23. Горбунов А.В., Каменецкий В.А. Метод функций Ляпунова для построения областей притяжения систем с запаздыванием// Автоматика и телемеханика. 2005. № 10. С. 42-53.
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
Exponential estimate of the degree of damping and overregulation for a linear system with delay # 11, November 2013 DOI: 10.7463/1113.0622917 Gorbunov A. V.
Bauman Moscow State Technical University 105005, Moscow, Russian Federation mathmod@bmstu.ru
In this article a sufficient condition for exponential stability of a linear system with delay was proposed; a new estimating method of the degree of damping and magnitude of overregulation was developed on the basis of this condition. The exponential stability condition lies in solvability of an arbitrary non-linear matrix inequality for one matrix and two scalar unknown quantities. Explicit expressions for estimates of the lower bound of the degree of damping and the upper bound of overregulation in terms of solution to this matrix inequality were derived; a method for finding such solutions was also proposed. An example illustrating effectiveness of the proposed approach was considered.
References
1. Hale J.K. Theory of Functional Differential Equations. 2nd ed. Springer, New York, 1977. 365 p. DOI: 10.1007/978-1-4612-9892-2 (Russ. ed.: Hale J.K. Teoriya funktsional'no-differentsial'nykh uravneniy. Moscow, Mir, 1984. 424 p.).
2. Cheres E., Palmor Z.J., Gutman S. Quantitative measures of robustness for systems including delayed perturbations. IEEE Trans. Autom. Control, 1989, vol. 34, no. 11, pp. 1203-1204.
3. Xu B., Liu Y. An improved Razumikhin-type theorem and its applications. IEEE Trans. Autom. Control, 1994, vol. 39, no. 4, pp. 839-841.
4. Sun Y.J. Less conservative results for the exponential stability of uncertain time-delay systems. Control and Cybernetics, 2005, vol. 34, no. 4, pp. 1045-1055.
5. Niculescu S.I. Memoryless control with an a-stability constraint for time-delay systems: An LMI approach. IEEE Trans. Autom. Control, 1998, vol. 43, no. 5, pp. 739-743.
6. Mondie S., Kharitonov V.L. Exponential estimates for retarded time-delay systems: an LMI approach. IEEE Trans. Autom. Control, 2005, vol. 50, no. 2, pp. 268-273.
7. Wang H., Hu S. Exponential estimates for stochastic delay equations with norm-bounded uncertainties. Jrl. Syst. Sci. and Complexity, 2009, vol. 22, pp. 324-332.
8. Kharitonov V.L., Hinrichsen D. Exponential estimates for time delay systems. Systems and Control Letters, 2004, vol. 53, pp. 395-405.
9. Krasovskiy N.N. O primenenii vtorogo metoda A.M. Lyapunova dlya uravneniy s zapazdy-vaniem vremeni [On the application of the second Lyapunov method for equations with delay time]. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1956, vol. 20, iss. 3, pp. 513-518.
10. Krasovskiy N.N. Nekotorye zadachi teorii ustoychivosti dvizheniya [Some problems in the theory of stability of motion]. Moscow, Fizmatgiz, 1959. 212 p.
11. Kolmanovskiy V.B., Nosov V.R. Ustoychivost' iperiodicheskie rezhimy reguliruemykh sistem s posledeystviem [Stability and periodic regimes of controlled systems with aftereffect]. Moscow, Nauka, 1981. 448 p.
12. Razumikhin B.S. Ustoychivost' ereditarnykh system [Sustainability of hereditarity systems]. Moscow, Nauka, 1988. 108 p.
13. Mori T., Fukuma N., Kuwahara M. On an estimate of the decay rate for stable linear delay systems. Int. J. Control, 1982, vol. 36, no. 1, pp. 95-97.
14. Mori T., Fukuma N., Kuwahara M. Simple stability criteria for single and composite linear systems with time delays. Int. J. Control, 1981, vol. 34, no. 6, pp. 1175-1184.
15. Lehman B., Shujaee K. Delay independent stability conditions and decay estimates for time-varying functional differential equations. IEEE Trans. Autom. Control, 1994, vol.39, no. 8, pp. 1673-1676.
16. Nieulescu S.-I., De Souza C., Dugard L., Dion J.-M. Robust exponential stability of uncertain systems with time varying delays. IEEE Trans. Autom. Control, 1998, vol. 43, no. 5, pp. 743748. IEEE Trans. Autom. Control. 1998. Vol. 43, no. 5. P. 743-748.
17. Boyd S.P., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in system and control theory. Philadelphia: SIAM, 1994. 206 p.
18. Churilov A.N., Gessen A.V. Issledovanie lineynykh matrichnykh neravenstv: putevoditel'po programmnym paketam [Study of linear matrix inequalities: a guide to software packages]. St. Petersburg, SPbSUPubl., 2004. 148 p.
19. Balandin D.V., Kogan M.M. Sintez zakonov upravleniya na osnove lineynykh matrichnykh neravenstv [Synthesis of control laws on the basis of linear matrix inequalities]. Moscow, Nauka, 2006. 280 p.
20. Polyak B.T., Shcherbakov P.S. Robastnaya ustoychivost' i upravlenie [Robust stability and control]. Moscow, Nauka, 2002. 304 p.
21. Nieulescu S.-I. Delay effects on stability: a robust control approach. London: Springer-Verlag, 2001. 400 p. DOI: 10.1007/1-84628-553-4.
22. Corless R.M., Gonnet G.H., Hare D.E.J., Jeffrey D.J., Knuth D.E. On the Lambert W function. Adv. Comp. Math., 1996, vol. 5, pp. 329-359.
23. Gorbunov A.V., Kamenetskiy V.A. Metod funktsiy Lyapunova dlya postroeniya oblastey prityazheniya sistem s zapazdyvaniem [Attraction domains of delay systems: construction by the Lyapunov function method]. Avtomatika i telemekhanika, 2005, no. 10, pp. 42-53. (English Translation: Automation and Remote Control, 2005, vol. 66, iss. 10, pp. 1569-1579. DOI: 10.1007/s10513-005-0191-1).
