Оценка средней частоты заполнения радиоимпульса, принимаемого на фоне нормального шума Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

2005

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Радиофизика и радиотехника

№ 87(5)

УДК 621.396.96

ОЦЕНКА СРЕДНЕЙ ЧАСТОТЫ ЗАПОЛНЕНИЯ РАДИОИМПУЛЬСА, ПРИНИМАЕМОГО НА ФОНЕ НОРМАЛЬНОГО ШУМА

В.В. Езерский, В.С. Паршин Статья представлена доктором технических наук, профессором Логвиным А.И.

Проведен анализ методической погрешности, возникающей при измерении частоты радиосигнала по первому спектральному моменту. Показано, что эта погрешность зависит от вида используемого окна просмотра данных, начальной фазы сигнала, относительной частоты сигнала. Найден закон распределения оценки частоты при измерении на фоне шума, приведены результаты статистического моделирования, подтверждающие полученные теоретические результаты.

При изучении статистических характеристик случайных процессов широко используются различные функционалы от спектральной плотности Г (ю). Функционалы вида:

12

іі = і ^('°И.

^ ёю, Ое 0,р,

о

исследованы в работах [1-2] при определении интервала корреляции стационарных случайных процессов.

Функционалы (спектральные моменты) вида:

т п = | юпГ (ю)ёю /1 f (ю)ёю (1)

о /о

исследованы, в частности, в работах [з - 6], в которых отмечена их связь с формой спектральной плотности случайного процесса (первый спектральный момент характеризует средневзвешенную частоту Ш} спектра узкополосного процесса, второй - его среднеквадратичную ширину, третий и четвертый - отличие формы спектра от гауссовой).

В радиотехнических системах функционал вида (1) достаточно широко используется для оценки средней частоты заполнения радиоимпульсов, например, в частотной дальнометрии.

Целью работы является анализ влияния методической ошибки и шумовой помехи на точность оценки величины то есть средней частоты спектра узкополосного сигнала.

В работе полагается, что для уменьшения эффекта просачивания [7] входные данные умножаются на некоторую весовую функцию (окно просмотра данных) у(1) . В известной литературе отсутствует анализ методической погрешности измерения частоты заполнения радиоимпульса на основе выражения (1) с учётом влияния весовой функции и шумовой помехи.

На входе процессора обработки данных имеем взвешенную сумму гармонического сигнала с амплитудой Бо, круговой частотой Ш, начальной фазой Ф 0 и шума Х(;) , заданную на интервале 1 = 0, Т :

Уф = [Бф + Х(0]у(0 = [Бо соб(Ф о + ш^)+ £(; )]уф .

Решение о частоте заполнения сигнала Б(1) будем принимать по одной к - й реализации сигнала У(1) длительностью Т :

1 Т ** / 1 т

тк =юк = і <4 і у(к)(і к -і" аю/ і1 і у(к )(1 )е--і“

О Т 0

2

2

. (2)

ная по его

о Т

То есть (1) подставляется оценка спектральной плотности Г (ш) сигнала у(; ) , вычислен-к -й реализации У(к )(1).

Сначала получим выражение для методической ошибки измерения частоты заполнения радиоимпульса при отсутствии шума на основе средневзвешенной оценки (2), т.е. по “центру тяжести” спектра. Преобразовав числитель выражения (2), получим:

|(ю-ю1) Б()ю) 2ёю

Ю1 = Ю1 + 0--------------2------= ш1 + Лю, (3)

| Б()ю) ёю

о

где Б ()ш) - спектр Фурье взвешенного сигнала Б(1), Лш - методическая погрешность.

Оценку частоты и погрешность оценки запишем в дискретном виде:

пв . / ч 12

I юп Б 0Юп )

ю = п=Пн------------------------------------------------, (4)

I Б (]Юп) Г

п=пн

П в

2

Лш= п=пн

I (Шп-Ш1) Б(^)

пв 2 , (5)

2; (]®п)I2

К-1

где Б()юп)= IБ(кЛ1 )ехр(— )2ркп/К) - дискретное преобразование Фурье на дискретной о

частоте Шп = 2рп/Л1Ы, п = 0,1,...(К — 1); N - общее число вычисляемых дискретных отсчётов спектра; п н и п в - нижний и верхний номера обрабатываемых дискретных частот; Л1 - интервал дискретизации сигнала; К = Т/ Л1 - число дискретных отсчётов сигнала.

В общем случае N > К . Неравенство равносильно увеличению периода сигнала за счёт добавления к нему N — К нулевых отсчётов, что приводит к уменьшению погрешности оценки частоты по выражению (4).

Применению выражения (4) для оценки средней частоты сигнала предшествует анализ спектра и нахождение номера п макс максимальной спектральной составляющей. Затем производится выбор величин пн и пв, которые определяют пределы суммирования. Обычно они

расположены симметрично относительно пмакс. Величина полосы дискретных частот (задаваемая диапазоном их номеров пв — пн ) выбирается из условия минимизации погрешности оценки частоты и должна быть не меньше величины, охватывающей основной лепесток спектра. Как правило, эта величина в 4^8 раз превышает ширину основного лепестка.

Как известно, спектр сигнала Б(1) может быть записан в следующем виде [7]:

Б0ш) = Бо В(ш — Ш1 )]ехРВФ0] + Бо Шш + Ш1 )]ехР[— ,)Ф0], (6)

где Б о Ош) - спектр весовой функции уф .

Квадрат модуля спектра при этом может быть записан в виде:

|$С)ю|2 = |$о [)(«—«!)] 2 + |$о В(® +Ю)] 2 +

Г * ] . (7)

+ 2 Яе^ Б о [)(ю — )]Бо [)(ю + ю )]ехр[)2Ф 0 ]!

П = п н

Анализ выражений (4) - (7) позволяет сделать некоторые выводы о поведении погрешности измерения частоты. Если форма текущего спектра Й (|ш) в пределах диапазона обрабатываемых частот П н и П в является симметричной относительно центральной частоты, и центральная частота спектра расположена симметрично относительно частот ШП, то вычисления

по выражению (4) дают нулевую ошибку. При других значениях центральной частоты спектра ошибка отлична от нуля, а её величина и знак зависят от величины и знака образовавшейся

асимметрии. Искажения формы спектра Й (|ш) происходят вследствие перекрытия основного лепестка §о О (ш-шх)] и боковых лепестков § о [|(ю + Шх)]. В соответствии с (7) форма спектра в сильной степени зависит от величины Шх, т.е. от взаимного удаления спектров окна §о [|(ю — Шх)] и §о [|(ю + Шх)] и от начальной фазы сигнала Ф0. При удалении этих спектров

друг от друга искажающие боковые лепестки, совпадающие с основным лепестком, уменьшаются и соответственно снижается их влияние на форму спектра. Влияние начальной фазы сигнала проявляется при любой частоте и носит периодический характер. В итоге изменение погрешности измерения при изменении частоты должно иметь периодический характер с постепенным снижением абсолютного значения ошибки на более высоких частотах.

Приведённые выше формулы справедливы для оконной функции произвольного вида. В настоящее время известно много оконных функций и их количество можно увеличивать, используя подход, предлагаемый в [8].

Как отмечено в [8], все виды окон могут быть представлены с использованием ортогональных базисных функций с периодами, кратными интервалу Т . В дискретном виде эквидистантные отсчёты оконной функции, взятые на указанном интервале с шагом 1П = пТ/К, можно записать:

(п ):

М 1 + 2 £ (- хГатСОБ _ т=х (4рп/К)

М " 1 + 2 £ат _ т=х _

0 <П <К —!.

(8)

где ат - коэффициенты разложения оконной функции в ряд; М - число членов ряда (8).

В этом случае спектр оконной функции, входящий в выражения (3) - (6), имеет вид [7,8]:

М

Й 0 (|0) = Б(0) + £ (— ОЧ

т=!

где 0 = ЮТ/^ ; )= ехр

(К —!)

£

Б

Б1П

0—

2рт

N

+ Б

0 +

2рт

N

(9)

(К/2)

2 _ Кб1п(^2)

Численные расчёты погрешности измерения частоты по формуле (5) с учётом (7) и (9) подтверждают сделанные выше выводы.

На рис. I показаны типичные зависимости нормированной погрешности измерения Т^ш/2р от относительной частоты Тю^2р для широко известного окна Блэкмана [7] при трёх значениях начальной фазы сигнала (0; р/3; 2р/3). Видно, что погрешность измерения

обладает свойствами периодичности при изменении абсолютного значения частоты и её уровень плавно снижается при увеличении частоты. Период колебаний графика погрешности соответствует такому изменению частоты, при котором число периодов измеряемого сигнала, укладывающихся на интервале времени Т, изменяется на один полупериод. Общий вид графика сильно зависит от начальной фазы сигнала.

Расчёты показывают, что эти выводы справедливы и для других оконных функций.

1.5 ТАю/2р 1

0.5 0 -0.5 -1 -1.5

2 5 3 З.5 4 га>1/2ж

Рис. 1. Зависимость нормированной погрешности измерения от относительной частоты

х 10-

Сравнивать погрешность, достигаемую при использовании различных оконных функций, по таким графикам неудобно из-за их сложного колебательного характера. Целесообразно ввести некоторую обобщённую величину, позволяющую количественно сравнивать различные графики. В качестве такой характеристики можно использовать огибающую линию приведённых графиков. Однако такую линию сложно найти аналитически и численным путём.

Поэтому используем для этой цели средний квадрат ошибки, найденный на интервале (юн, Юв ) изменения частоты сигнала, соответствующем одному периоду колебания погрешности, и сопоставим его с серединой этого интервала:

1 “в

°ср (“ср ) = 7-\ 1 [А“(“)]2 ¿Ю, (10)

(юв — Юн)Ю

где “ср = (“н + “в )/2.

Тогда зависимость погрешности измерения от частоты можно представить в виде графика зависимости Оср (юср) при изменении Юср в интересующем диапазоне частот с шагом,

равным величине одного такого интервала.

Сложность выражения для погрешности измерения (3) не позволяет аналитически вычислить интеграл в (10). Поэтому выполнена численная оценка методической погрешности для каждого указанного интервала частот, для чего выражение (10) преобразовано:

1 К“г

О ср (ь)=—2 Мюц )]2, (11)

К Ю 1=1

где К Ю = (юв — Юн )/А - число расчётных точек на одном частотном интервале; А - шаг изменения частоты на таком интервале; = 2р(Ь — 1)/ Т + (1 — 1)А - 1-е текущее значение часто-

ты в пределах Ь -го интервала.

Результаты расчёта по формуле (11) для весовых функций Блэкмана и Блэкмана-Хэрриса [7] с уровнем боковых лепестков спектра -92 дБ приведены на рис. 2 в логарифмическом масштабе в виде зависимости нормированного среднеквадратического отклонения (СКО)

Ootn = T^DCp / 2p от относительной частоты Тю^2р .

Методическая погрешность зависит от измеряемой частоты. Наиболее резкое изменение погрешности измерения наблюдается на малых частотах, когда наблюдается перекрытие основных лепестков спектров, входящих в выражение (6). Если в интервале измерения Т укладывается более 3 - 3,5 периодов измеряемой частоты, график зависимости погрешности измерения от частоты становится более пологим. Величина достижимой минимальной погрешности сильно зависит от свойств весовой функции. Чем меньше уровень боковых лепестков спектра весового окна, тем выше точность измерения частоты, но при этом хуже результаты при малых частотах из-за расширения основного лепестка.

Наличие шумов изменяет величину погрешности и характер её поведения. В общем случае найти точное распределение случайной величины Ю и его моменты не представляется возможным. Поэтому для их определения воспользуемся приближёнными методами.

Будем считать, что период сигнала равен Т, т.е. спектральные составляющие сигнала вычисляются на частотах

Юп = 2рп/К, (12)

где п = 0,1,...К/2 -1.

Перепишем выражение (1) с учётом (2) следующим образом:

п в /п н

Ю =Д1 = Ё Юп^(«п )/ Ё ?(©п ), (13)

- 1 2 где У(юп ) = — 80Юп ) + Х(№ )| - оценка спектральной плотности сигнала У(і), вычислен-

К

ная с помощью дискретного или быстрого преобразования Фурье на частотах (12).

n

n

н

н

Ограничимся случаем, когда процесс £,(ї) является эргодическим случайным процессом с нормальной плотностью вероятностей, нулевым средним значением и спектральной плотностью О(ю). Статистические характеристики случайных величин £>0®п ), п = 0,1,... при сделанных предположениях изучены достаточно полно [9]. Математические ожидания реальной и мнимой частей спектра Х( І Юп ) равны нулю, а дисперсии определяются как:

Э{Яе ХОшп )}= Б{!т £(0юп))}» + 0Г 1 ^

2

V К у

Ковариация реальной и мнимой частей спектра £,0 Юп ) имеет порядок 0(1/К).

Отметим, что в том случае, когда гауссовский шум £() является дельта-коррелированным, спектральные составляющие спектра £(|юп ) статистически независимы, а для дисперсий справедливо равенство:

0(ш„)

Б{Яе Х( ІЮ )}= 0{1т Х((І Ю))}

2

С учётом перечисленных свойств £(|юп) величины У(юп) формирующие оценки будут слабо коррелированными (как 0(1/К)), а в случае, когда шум белый, - некоррелирован-

ными.

Закон распределения случайной величины У(юп ) можно представить в виде распределения квадрата модуля суммы двух независимых величин с одинаковыми дисперсиями и различными средними, т.е. [6]:

- х-Р(щп ) |- , ,---

(х)=-1—е с(Мп) 1о л(х((Юп), (14)

С(ш„) [ С(ш„) _

1 2

где Б(юп ) = — Б(|юп )| ; 1о (*) - функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента

К

[10].

Использовать распределение (14) для нахождения распределения случайной величины Ю, используя приёмы, основанные на функциональном преобразовании случайных величин, весьма затруднительно. Аппроксимируем распределение (14) более подходящим распределением, используя метод моментов [11]. Вычислив коэффициенты асимметрии и эксцесса

0 = М3/ ; о = М4/

01 /м2; 02 /м2,

где Мп - п -й центральный момент,

можно убедиться, что изображающие точки, соответствующие распределению (14), лежат в плоскости Пирсона на линии, соответствующей гамма-распределению:

х

о

Ш2 (х)

1

Г(а)ра

х а-1е

где Г(*) - гамма функция, а и Ь - параметры гамма-распределения. Находя среднее значение и дисперсию распределения (14) в виде:

м(?К )}=рК )+о(юп), Б{УК )} = С(Юп )[2Р(Юп) + С(Шп)].

можно найти параметры а и Ь гамма - распределения:

а _М2{У(ш„)}/'г

ап _ /Ь{у(шп )}•

В _ °{У(Шп )Кг-( )}

Рп /М{уЦ, )}■

Индекс п указывает на то, что параметры ап и Вп относятся к гамма-распределению, которым аппроксимируется распределение величины У(юп ) на п-й частоте.

Качество аппроксимации распределения (14) распределением (15) оценено соотношением

Я _ тах

ъ

ъ

| (х )ёх -1 ’2 (х )ёх .

0 0

Расчёты показали, что при изменении предела интегрирования во всём диапазоне существования ’1 (х) величина Я не превосходит значения 0,01 при 28^Юп)2/о(юп)> 10дБ и быстро уменьшается при росте отношения Б(юп)/ 0(юп ).

Поскольку величина « является суммой величин:

юпУ юп

У «п + п У Ю5

Ю1п

п _ п н,п в

(16)

1Ф п

то для нахождения статистических характеристик оценки « необходимо найти совместное распределение величин Ю1п. Такое распределение найдено в работе [12] и названо обобщённым распределением Дирихле. Однако расчётные соотношения, полученные в [12], достаточно сложны и мало пригодны для инженерных расчётов.

Для получения более простых расчётных соотношений, позволяющих найти среднее и дисперсию оценки частоты «, учтём следующее обстоятельство. Частоту измеряют, как правило, при достаточно большом отношении сигнал-шум. А уже при отношении Б(Юп)/ С(Юп )> 10 дБ величина Вп » 20К ]. В том случае, когда в системе действует дельта-коррелированный шум, законы распределения всех величин, входящих в формулу (16) аппроксимируются гамма-распределением с одинаковыми параметрами Вп. Поэтому совместное распределение величин

Ю1п , п

пн,пв

превратится в обычное распределение Дирихле [13].

Используя выражение для моментов распределения Дирихле, можно найти выражения для среднего значения и дисперсии случайной величины « :

М{(й1}_Ш1;

о{ю1}_ £ «п

ап(апн +апн +1 + ... + апв -а

п )

(апн + ... + апв )2(ап

а„ +... + а„ +

пв + 1)

а 1а п

1 _пн п = пн (апн + ... + апв ^(апн + ... + апв + 1)

в

1Ф п

(17)

н

>

Таким образом, при сделанных предположениях относительно вероятностных характеристик шумовой помехи можно сделать вывод о несмещённости оценки средней частоты спектра узкополосного сигнала. Результаты моделирования, приведённые на рис. 3, показывают типичную зависимость нормированного среднеквадратического отклонения оценки Фоїп от отношения сигнал-шум q (пунктирная линия). Сплошной линией на этом рисунке показана аналогичная зависимость, рассчитанная по формуле (17). Совпадение результатов моделирования с теоретическими результатами можно признать хорошим.

Рис.3. Зависимость нормированного СКО от отношения сигнал-шум при Т шх/ 2р_ 10

Моделирование производилось для относительной частоты сигнала 10 и при этом полагалось, что шум являлся дельта-коррелированным .Объём выборки равнялся 5000, что позволяет в первом приближении пренебречь разбросом данных, полученных при проведении статистического эксперимента. Аналогичные результаты получены и для других значений частот.

На рис. 4 приведена зависимость нормированного среднеквадратического отклонения погрешности измерения Фо^п от относительной частоты сигнала на фоне белого нормального шума при отношении сигнал-шум 40дБ. Видно, что при достаточно больших значениях относительных частот (более 3) погрешность в основном определяется уровнем шума, практически не зависит от значения измеряемой частоты и слабо зависит от вида весовой функции. При меньших значениях частоты определяющей составляющей погрешности измерения становится методическая погрешность, величина которой может существенно изменяться при смене формы весовой функции. Аналогичные результаты получены и для других известных весовых функций. Поэтому можно сделать вывод, что при измерении достаточно высокой частоты радиоимпульса не имеет значения конкретная форма весовой функции. Её выбор может производиться исходя из каких-либо иных требований, нежели достижение минимальной погрешности измерения. Однако если априори известно, что в процессе измерений конкретное значение измеряемой частоты может оказаться в области низких частот (число периодов на интервале наблюдения не превышает 3-4), целесообразно производить выбор весовой функции по минимуму погрешности измерения.

Рис. 4. Зависимость нормированного СКО от относительной частоты при уровне шума -40 дБ

Полученные результаты позволяют находить статистические характеристики оценок средней частоты сигнала при спектральном анализе коротких выборок и обоснованно выбирать весовые окна для достижения минимальной погрешности оценки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алексеев В.Г. О непараметрических оценках интервала корреляции гауссового случайного процесса // Автометрия, 1986. № 1.

2. Алексеев В.Г. Об оценках некоторых функционалов от спектральной плотности гауссовских случайных процессов // Теория вероятности и её приложения, 1980. № 2.

3. Красненко Н.П., Федоров В.А. Оценка спектральных моментов стационарного случайного процесса на фоне шума // Радиоэлектроника (Изв. высш. учебн. заведений ), 1980. №3.

4. Хименко В.И. Оценка спектральных моментных функций узкополосного случайного процесса с использованием предварительного нелинейного преобразования исследуемого процесса // Радиотехника и электроника, 1976. Т. 21. №1.

5. Красненко Н.П., Фёдоров В.А. Оценка спектральных моментов по усечённой реализации // Радиоэлектроника (Изв. высш. учеб. заведений), 1978. №7.

6. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - М.: Советское радио, 1974.

7. Хэррис Ф. Дж. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье // ТИИР, 1978. Т. 66. №1. С. 60-96.

8. Дворкович А.В. Ещё об одном методе расчёта эффективных оконных функций, используемых при гармоническом анализе с помощью ДПФ // Цифровая обработка сигналов, 2001. № 3.

С. 13 -18.

9. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. Т. 1. - М.: Мир, 1972.

10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1970.

11. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника.- М.: Радио и связь, 1983.

12. Атаянц Б.А., Езерский В.В., Карпов А.Ф. Распределение нормированной мощности сигнала // Радиотехника и электроника, 1983. Т. 28. №9. С. 1864-1868.

13. Уилкс С. Математическая статистика. - М: Наука, 1967.

ESTIMATION MEAN FREQUENCY ZONE RADIO IMPULSE RECEIVED BY PHONE OF NORMAL NOISE

Ezerski V.V., Parshin V.S.

The analysis of the methodical error arising at measurement of frequency of a radio signal on the first spectral moment is lead{carried out}. It is shown, that this error depends on a kind of a used window of viewing of the data, an initial phase of a signal, relative frequency of a signal. The law of distribution of an estimation of frequency is found at measurement on a background of noise, the results of the statistical modelling confirming received theoretical results are resulted

Сведения об авторах

Езерский Виктор Витольдович, 1947 г. р., окончил Рязанскую государственную радиотехническую академию (1972), кандидат технических наук, доцент кафедры радиоуправления и связи РГРТА, автор 130 научных работ, область научных интересов - цифровая обработка сигналов, частотная радиолокация.

Паршин Валерий Степанович, 1947 г. р., окончил Рязанскую государственную радиотехническую академию (1974), кандидат технических наук, доцент кафедры радиоуправления и связи РГРТА, автор 100 научных работ, область научных интересов - имитация и распознавание случайных сигналов, анализ эхо-сигналов в сверхширокополосной радиолокации.