CC BY
69
УДК 621.317.39+681.586.6+681.2.08
ОЦЕНКА СОСТОЯНИЯ ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ В ПРОЦЕССЕ РАБОТЫ
М.Д. Белоусов, А.Л. Шестаков
STATE ESTIMATION OF THE THERMOELECTRIC CONVERTERS DURING ACTIVE PHASE OF WORK
M.D. Belousov, A.L. Shestakov
Рассматривается общепринятая схема термоэлектрического преобразователя, предлагаются схема термоэлектрического преобразователя с двумя термопарами и алгоритм нахождения температуры с помощью такой схемы, а также алгоритмы оценки состояния термоэлектрических преобразователей в процессе работы для данных схем с помощью частных производных термоЭДС по температуре спаев на основе параметра метрологического состояния d.
Ключевые слова: термоэлектрический преобразователь, оценка состояния, термопара, производная термоЭДС по температуре, параметр метрологического состояния.
The paper formulates the algorithm of temperature measuring for thermoelectric converter based on classical scheme. Algorithms of the state estimation for thermoelectric converters during active phase of work based on the described scheme using junction thermo EMF partial derivatives, on the basis of metrological state parameter d are proposed.
Keywords: thermoelectric converter, state estimation, thermocouple, thermo EMF temperature derivative, metrological state parameter.
Введение
Термоэлектрические преобразователи (термопары) находят широкое применение в качестве чувствительных элементов термометров благодаря возможности контактного измерения высоких температур. В данной работе рассматривается общепринятая схема термометра на основе термоэлектрического преобразователя, предлагается схема с двумя термоэлектрическими преобразователями, рассматриваются возможные варианты оценки состояния данных схем в процессе работы.
1. Оценка состояния термоэлектрического преобразователя для общепринятой схемы измерения
Упрощенная общепринятая функциональная схема измерения термометра на основе термоэлектрического преобразователя приведена на рис. 1. Здесь МК - микроконтроллер, АЦП - аналоговоцифровой преобразователь, ТТ - температура горячего спая (измеряемая температура), 7Х - температура холодного спая.
Белоусов Михаил Дмитриевич - инженер кафедры информационно-измерительной техники ЮУрГУ; [email protected]
Шестаков Александр Леонидович - д-р техн. наук, профессор, ректор ЮУрГУ; [email protected]
МК
X
АЦП
термостабилизация или измерение температуры
Гг
Рис. 1. Функциональная схема термометра
Холодный спай термопары в процессе эксплуатации подвергается либо термостабилизации, либо его температура измеряется отдельным термопреобразователем. Результирующая ЭДС термопары равна разности контактных потенциалов спаев [I]:
Belousov Mikhail Dmitrievich - engineer of the Equipment for information and measuring department of SUSU; m [email protected]
Shestakov Aleksandr Leonidovich -
of SUSU; [email protected]
PhD, professor, rector
г(ТТ,Тх) = гг{Тг)-ех(Тх), (1)
где е - термоЭДС термопары, ег - термоЭДС горячего спая, ех - термоЭДС холодного спая.
Зависимости е(7) определяются ГОСТом [2]. Вид функций ег(7) и £х(7) идентичен, они различаются независимыми аргументами Тт и Тх. ТермоЭДС е(7) в диапазоне измерения температур являются определёнными, непрерывными, ограниченными, монотонно возрастающими, не имеющими точек излома функциями от одной переменной, представленной в ГОСТе [2] степенными полиномами. Это позволяет эффективно решать уравнение (1) относительно Тг самыми простыми численными методами. Измерив значения е, Тх и подставив их в формулу (1), рассчитывают искомую температуру Тт. Как правило, б(7) представляет из себя полином степени, большей 6, поэтому уравнение (1) решается численными методами.
Важной задачей является оценка состояния термопреобразователей в процессе работы, определяемой уходом параметров или возникновением неисправности сенсора. Оценка состояния возможна с помощью введения дополнительно к уравнению (1) уравнения связи физических величин термоэлектрического преобразователя на основании частных производных термоЭДС по температуре горячего и холодного спаев.
Приращение функции е(7’г,7'х) можно записать в виде:
Эе . Эе
Де!
- А71 +-
дтг г эт;
■АТ,.
(2)
При каждом измерении, после измерения текущих значений Гг и Ту., из предыдущих измерений подбирается г-е измерение с точно такой же температурой горячего спая:
ГГ=ГП. (3)
Поскольку при вычислении температуры используется микроЭВМ и все данные измерений заносятся в оперативную память, то возможно найти предыдущее измерение, с большой точностью удовлетворяющее уравнению (3).
При этом температуры холодных спаев текущего и подобранного значения по формуле (3) измерений не должны совпадать:
АТх = Тх -тх1 * 0 ■ (4)
С учетом формул (3) и (4) формула (2) после преобразований приобретает следующий вид:
Де Эе
дт; *5Тх~
Уточнить приблизительное равенство (5) возможно путём вычисления значения производной в точке Тх ср - средней точке между Тх и Тх1:
(5)
Т +Т
Л X ^ л хг
* хср
(6)
С учетом этого формулу (5) можно записать в следующем виде:
Де
дт;
де
Э71
(7)
Т =7'
* \Г
Такой метод повышения точности при численном дифференцировании широко известен и описан, например, в работе [3]. Математическое моделирование показало его достаточную эффективность в рамках поставленной задачи.
Температура холодного спая термопары, как правило, измеряется с помощью термометра сопротивлений и может обладать возможностью собственной оценки состояния, описанной, например, в работе [4]. Поэтому температуру Тх в данной задаче можно рассматривать как истинную. На основании формулы (7) можно ввести следующий параметр метрологического состояния с1:
Дб
с1 = -
де
~дТ,
х т1
(8)
Значение знаменателя формулы (8) определяется коэффициентами полинома термопары (1) согласно ГОСТ [2] и одинаково для всех экземпляров термопар одного вида. Значение числителя определяется измеренными значениями температуры холодного спая и термоЭДС. Приращение термоЭДС, в свою очередь, определяется реальными коэффициентами полиномов термопары (1). Поэтому близость величины параметра <1 к единице характеризует малость величины погрешности измерения искомой Тт.
На рис. 2 приведены зависимости параметра с/ от приращения температуры холодного спая для термопары типа К (хромель - алюмель). Неисправность имитируется выбором случайной реализации ухода по нормальному закону всех коэффициентов полинома е(Т) с единичным математическим ожиданием и СКО равным 10”6 пропорционально величине коэффициента. Случайным образом выбрана реализация, при которой величина истинной погрешности температуры соизмерима с допустимой погрешностью согласно ГОСТ [2]. Параметр метрологического состояния ё рассчитан при истинных температурах Тт =800 °С, Тх =50 °С.
Рис. 2 наглядно иллюстрирует, что выбранный параметр метрологического состояния ¿7 практически не зависит от приращения температуры между измеренными текущим значением Тх и подобранным значением 7’х, при разнице между ними менее 10 °С.
Предлагаемый вариант оценки состояния потребует использование в блоке электроники термопреобразователя более производительную микроЭВМ и дополнительный объём оперативной памяти порядка нескольких десятков-сотен мегабайт. При каждом измерении в оперативную память заносятся: термоЭДС е„ измеренная темпера-
параметр метрологического состояла сі в случае наличия и отсутствия
0,001 0,01 0,1 1 10 100 приращение температуры между Тх и Тх/, оС
—в— погреииость 3.84 оС (допустимая погрешность 3.2 оС) —4г— без погрешности
Рис. 2. Зависимость метрологического параметра й от приращения температуры холодного спая
тура горячего спая Гп, измеренная температура холодного спая ТХ1.
2. Оценка состояния термопреобразователя с двумя термопарами
Функциональная схема термоэлектрического преобразователя с двумя термопарами приведена на рис. 3, где 1,2- две термопары различных типов. Температура горячего спая термопары 1 совпадает с температурой горячего спая термопары 2, температура холодного спая термопары 1 совпадает с температурой холодного спая термопары 2. В отличие от предыдущей схемы здесь не требуется термостабилизации или измерения температуры холодного спая.
мк
I
АЦП
о по
т:
о
Тх
ъ
Рис. 3. Функциональная схема термоэлектрического преобразователя с двумя термопарами
Температуры Тт и Тх можно найти из системы уравнений:
Єі(7’г,7'х) = єг1(Гг)-єхх(Гх);
г2(Тт,Тх) = гг2(Тг)-гх2(Тх),
(9)
где в], в2 - термоЭДС термопары 1; егЬ ет2 - термо-ЭДС горячего спая термопар 1 и 2, єх\, ех2 - термоЭДС холодного спая термопар 1 и 2. Очевидно, что для существования решения системы уравнений (9) должны выполняться неравенства (10): \ех(Т)*г2{П
I 71*7;.
(10)
Для успешной практической реализации в условиях шумов и погрешностей измерения термоЭДС потребуется подбор термопар с максимально различными друг от друга зависимостями е{Т) согласно ГОСТу [2].
Существует возможность нахождения решения Тт и Тх системы уравнений (9) аналитическим методом, описанным в [5]. Этот метод сводит задачу отыскания общих корней двух многочленов от двух переменных к нахождению корней результанта (одного многочлена от одной переменной). Однако поскольку многочлены, входящие в выражение (9) для распространённых типов термопар согласно ГОСТу [2] обычно представляют собой полиномы от 8 до 12 степени, то выражение для результата в таком случае будет представлять собой определитель размером от 16x16 до 24x24. Элементами этого определителя будут многочлены от одной переменной также 8-12 степени. Ясно, что вычисление этого определителя, и уж тем более дальнейшее нахождение его корней (многочлена до 288-й степени) на практике неосуществимо.
Поэтому неизвестные Тг и Тх целесообразно сразу находить численными методами, описанными в [6], например методом Ньютона. Алгоритм вычисления температур приведён на рис. 4.
Рис. 4. Алгоритм вычисления температур схемы термоэлектрического преобразователя с двумя термопарами
В данном алгоритме (см. рис. 4) Тг Т, тах -границы диапазона измерения температур горячего спая; Тхт^, Тхпюх - границы диапазона измере-
ния температур холодного спая; А'Ггтт, АТ,пмх -допустимые расчетные погрешности температур, их величины целесообразно брать на 1-3 порядка меньше, чем общая допустимая погрешность термометра; єь є2 - измеренные значения ЭДС на термопарах 1 и 2; ЩГГ,ГХ)-матрица Якоби [5]: г Эе1 дв2 дТг де1
Щтг,тх)--
дТт
дег
¿»Г
571
(П)
X /
1¥~1(ТГ,ТХ) - обратная матрица Якоби [5]: Ш~\Тт,Тх) = -
Ґдг2 Эе, '
1 дТх Ж
Ш(Тт,Тх) де2
57^
(12)
где с1е1\¥{Тг,Тк) - определитель матрицы (11); ЕЯЯ,, ЕЯКХ - поправки температуры горячего и холодного спая соответственно.
Решить задачу оценки состояния рассматриваемого термоэлектрического преобразователя возможно введением дополнительного параметра метрологического состояния й. Оценка состояния возможна на основе введения в модель работы термопреобразователя зависимостей частных производных термоЭДС термопар по температурам горячего и холодного спаев, дающих дополнительное уравнение связи физических параметров термопреобразователя. Получим параметр метрологического состояния
После измерения текущих значений Тт и Тх из предыдущих измерений подбирается /-е измерение с точно такой же температурой холодного спая:
т*=т«- (13)
Поскольку при вычислении температуры используется микроЭВМ и все данные измерений заносятся в оперативную память, то возможно найти предыдущее измерение, с большой точностью удовлетворяющее уравнению (13).
При этом температуры горячих спаев текущего и подобранного по формуле (13) измерений не должны совпадать:
АТт=Тг-Т^*0. (14)
Таким образом, с учётом (13) и (14) формулу (2) для каждой из термопар можно записать в виде:
Де,
СЕ,
АТГ 371
Ае,
ОЄ-у
(15)
(16)
АТГ дТг
Рассмотрим отношение приращений термоЭДС термопар и представим его в следующем виде: Де,
Де, АТГ
Аг-,
Аг2
дтГ
Эе] де1
дТГ ~ дТ
дг2 ~ де2
дТГ дТ
(17)
г=7;
где под приращениями термоЭДС и температур понимаются их разности между текущим и выбранным /-м измерением, а Тг ср определяется аналогично выражению (6):
71.
Т +Т
г п
■гср- 2 ' ^
На основании формулы (17), аналогично формуле (8), можно ввести следующий критерий метрологического состояния d:
Ае,
d =
Де,
' dzx \
[дтт )
( \
{ дТт J
(19)
Т —Т
1 г 1гср
Значение знаменателя формулы (19) определяется номинальными коэффициентами полиномов термопар уравнения (9) согласно ГОСТу [2] и одинаково для всех экземпляров термопар одного типа. Значение числителя определяется реальными коэффициентами полиномов термопар уравнения (9). Поэтому близость величины параметра d к единице характеризует малость величины погрешности измерения искомой Тг.
На рис. 5 рассмотрена зависимость критерия метрологического состояния d от приращения температуры холодного спая для термопар типа К (хромель - алюмель) и L (хромель - копель) при наличии и отсутствии ухода параметров термопар. Погрешность имитируется выбором случайной реализации ухода по нормальному закону всех коэффициентов ПОЛИНОМОВ Ек(Т), £/,(7) с единичным математическим ожиданием и СКО равным 10 6, пропорционально величине коэффициента.
Случайным образом выбрана реализация, при которой величина истинной погрешности температуры соизмерима с допустимой погрешностью согласно ГОСТу [2]. Параметр метрологического состояния d рассчитан при истинных температурах Тт = 800 °С, Тх = 50 °С.
Рис. 5 наглядно иллюстрирует, что выбранный параметр метрологического состояния d практически не зависит от приращения температуры между измеренными текущим значением Тт и подобранным значением Тп при разнице между ними менее 10 °С.
Предлагаемый вариант оценки состояния схемы термоэлектрического преобразователя с двумя термопарами также потребует использование более производительной микроЭВМ и дополнительного объёма оперативной памяти порядка нескольких десятков-сотен мегабайт.
При каждом /-м измерении в оперативную память заносится: — термоЭДС термопары 1;
е2/ - термоЭДС термопары 2; Т„ - измеренная температура горячих спаев; Тх, - измеренная температура холодных спаев.
Заключение
В работе показана возможность оценки состояния термоэлектрического преобразователя в процессе работы за счёт обработки дополнительной информации о состоянии термопар с помощью предлагаемой математической модели на основе использования частных производных термоЭДС от температур спаев термопар.
Взаимосвязь параметра метрологического состояния d с погрешностью термоэлектрического преобразователя необходимо уточнить из дальнейших исследований.
параметр метрологического состояния «I в случае наличия и отсутствия неисправности (вариант с двумя термопарами) при Тг ист 800 оС, Тх ист 50 оС
приращение температуры между Тг иГг/, оС
-погрешность 3.17 оС (допустимая погрешность 3.2 оС) —А—без погрешности
Рис. 5. Зависимость параметра метрологического состояния с/ от приращения температуры горячего спая
Литература
1. Приборы и методы температурных измерений / Б. Н. Олейник, С.И. Лаздрина, В.П. Лаздрин, О.М. Жагулло. - М.: Изд-во стандартов, 1987. -296 с.
2. ГОСТ Р 8.585-2001 Государственная система обеспечения единства измерений. Термопары. Номинальные статистические характеристики преобразования. - М.: Изд-во стандартов, 2001.
3. Самарский, A.A. Численные методы: учеб. пособие для вузов / A.A. Самарский, A.B. Гулин. -М.: Наука, 1989.-432 с.
4. Белоусов, М.Д. Метод самодиагностики термопреобразователя сопротивлений в процессе работы / М.Д. Белоусов, А.Л. Шестаков // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». — 2009. - Вып. 9. — №3(136).-С. 17-19.
5. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Ку-рош. — Изд. девятое. — М.: Наука, 1968. - 431 с.
6. Волков, Е.А. Численные методы: учеб. пособие для вузов/Е.А. Волков. —2-е изд., испр. — М.: Наука. -1987. - 248 с.
Поступила е редакцию 2 декабря 2010 г.
