ОЦЕНКА СЛУЧАЙНЫХ И НЕИСКЛЮЧЕННЫХ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ В ОСНОВНЫХ МЕТОДАХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 528.11

ОЦЕНКА СЛУЧАЙНЫХ И НЕИСКЛЮЧЕННЫХ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ В ОСНОВНЫХ МЕТОДАХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Шуршилин1 Е.А., Олехнович2 Я.А.

'ФГАОУ ВО «Санкт-петербургский политехнический университет Петра Великого», Санкт-Петербург,

ул. Политехническая, 29, e-mail: 1shurshilm.ea@edu.spbstu.ru; 2 olehnovich_yaa@spbstu.ru

Аннотация: любые инженерные изыскания в области строительства (геодезические, геологические, обследование зданий и сооружений и др.) не обходятся без полевых работ, которые в свою очередь не обходятся без полевых измерений и использования различных высокоточных приборов (теодолитов, нивелиров, тахеометров и т. д.). Их использование сопровождается появлением различных погрешностей измерений. Без понимания их природы, причин их возникновения и методов оценки этих погрешностей процесс строительства будет сопровождаться дополнительными рисками: от потери финансов до человеческих жертв. Цель данной работы проанализировать природу погрешностей геодезических измерений через призму теории вероятностей, опираясь на существующие государственные стандарты и нормы, и вывести общие математические закономерности, которым подчиняются погрешности измерений в основных геодезических методах определения координат точек. Опираясь на законы нормального распределения Гаусса и нормы расчёта погрешностей по ГОСТ Р 8.736-2011, в данной научной работе получены эти математические зависимости, выявлена их связь с практическими задачами геодезии. Вопрос оценки погрешностей в общем случае является решенным и имеется обширный объем научной литературы по теории погрешностей и методам их оценки. Задачей исследования является переход от общего к частному: пользуясь основными законами теории погрешностей определить погрешности геодезической съёмки различными методами закрепления координат точек в пространстве. Были проанализированы величины, измеряемые в основных методах геодезии: методе прямоугольных координат, угловых засечек и полярных координат. Полученные в работе зависимости могут найти применение в работах, требующих сверхвысокой точности измерений.

Материалы и методы: анализ научной литературы, математический анализ погрешностей геодезических измерений. Ключевые слова: геодезия, полевые работы, точность измерений, погрешность, погрешность измерений. Предмет исследования: погрешности геодезических измерений

Результаты: выведены математические зависимости для определения погрешностей геодезических съёмок различными методами

Выводы: математически подтверждено, что погрешности геодезических измерений зависят от условий конкретного измерений и измеряемых величин. Опираясь на законы теории вероятностей были получены математические зависимости, позволяющие точно оценить возникающие погрешности измерений.

ВВЕДЕНИЕ

Любые инженерные изыскания в области строительства (геодезические, геологические и др.) сопровождаются полевыми работами, связанными с изучением местности. Для их проведения используются различные приборы фиксации координат точек местности в локальных или общепринятых системах координат с целью составления планов и карт местности для проведения строительных работ. Одним из наиболее важных вопросов при съёмке местности является точность полевых измерений.

Вопрос оценки погрешностей в общем случае является решенным и имеется обширный объем научной литературы по теории погрешностей и методам их оценки. Задачей исследования является переход от общего к частному: пользуясь основными законами теории погрешностей определить погрешности геодезической съёмки различными методами закрепления координат точек в пространстве.

АНАЛИЗ ПУБЛИКАЦИЙ

Общие вопросы теории погрешностей являются разрешенными, на эту тему опубликовано

множество научных работ. Тем не менее, вопросы, связанные с исследованием математических зависимостей погрешностей геодезических измерений, являются менее изученными с теоретической точки зрения. Существует пласт научных работ, посвященных повышению точности измерений с применением различных программных комплексов, однако малое количество статей исследуют конкретные математические

зависимости, описывающие поведение

погрешностей. Полезность изученных материалов для данной работы заключается в получении необходимого математического аппарата и общих представлений о геодезических методах.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Первый этап исследования предполагает описание общих положений теории вероятностей, математический аппарат которой будет использован для анализа погрешностей и изложение сути основных методов геодезических съёмок.

Второй этап исследования предполагает математический анализ приведённых методов геодезических съёмок, то есть определение величин, на которые возникают погрешности измерений, и

вывод конкретных математических зависимостей, которым эти погрешности

Оценка случайных погрешностей

В прошлых исследованиях авторов было доказано, что снятие координат точек на местности сопровождается появлением случайных погрешностей. Случайные погрешности - это погрешности, которые возникают при повторных измерениях одной и той же величины (например, физических констант), в т. ч. координат точек. В каждом их появлении не наблюдается какой-либо закономерности, правила. Случайные погрешности образуются в результате воздействия множества причин, которые невозможно учесть для каждого отдельного измерения или заранее определить. Для учета случайных погрешность существуют определенные законы, которые проявляются при многократных измерениях. [1] Случайные погрешности подчиняются закону нормального распределения Гаусса и характеризуются следующими величинами:

1. Плотность вероятности случайной величины р:

, , ¿п .. ¿га

рух) =-- = ]1Ш-

п - с!х 1-}шя-Дх ^

2. Среднее значение <х> измеряемой величины

х:

(2)

3. Дисперсия - квадрат среднего квадратичного отклонения от среднего значения ст:

(3)

(4)

В геодезии величина ст называется средней квадратичной ошибкой.

Нормальное распределение Гаусса является графиком зависимости плотности распределения от значения случайной величины р — р(х) (рис. 1):

Для расчёта погрешностей используется коэффициент Стьюдента зависящий от

доверительной вероятности а (для практических измерений используется значение а = 0,68) и числа измерений N и определяемый по таблицам Стьюдента. Погрешность измерения случайной величины определяется как:

1

¿-1

Аг(Лт-1)

Представленные выше зависимости и формулы являются в данном исследовании основным расчетным аппаратом определения погрешностей геодезических съемок.

Методы определения координат точек в пространстве

В геодезии используются три основных метода определения координат точек:

1. Метод прямоугольных координат. От стороны разбивочной сети АВ отмеряют перпендикуляр от искомой точки С до разбивочной сети (отрезок СН на рис. 2) и расстояние АН на прямой АВ. Таким же образом закрепляют все необходимые точки местности относительно разбивочной сети.

Рис. 2. Метод прямоугольных координат.

Fig. 2. Rectangular coordinates method.

2. Метод полярных координат. Сторону AB принимают за полярную ось, точку A - за начало координат. Чтобы определить положение точки C, измеряют расстояние AC и угол ф между прямыми AB и AC (рис. 3)

3. Метод угловых засечек. Относительно стороны АВ разбивочной сети измеряют углы между прямыми АС и АВ (угол а на рис. 4) и ВС и АВ (угол в на рис. 4). Метод угловых засечек применяется в случае, когда искомая точка С находится вне досягаемости (на неприступном расстоянии).

Рис. 3. Метод полярных координат. Fig. 3. Polar coordinates method.

Рис. 4. Метод угловых засечек. Fig. 4. Method of angular serifs.

Анализ погрешностей методов определения координат точек в пространстве

Каждый из трех описанных выше методов определения координат основывается на использовании различных геодезических приборов (теодолиты, тахеометры, рулетки), что приводит к возникновению погрешностей измерений, природа которых случайна. Поэтому на практике производят два измерения: для угловых измерений по кругу лево (КЛ) и по кругу право (КП), для измерений длин - в прямую и обратную сторону. Потому можно принять, что в полевых работах число измерений N = 2. Соответственно, принимая доверительную вероятность а = 0,68, постоянной величиной для всех измерений является и коэффициент Стьюдента и принимает значение tаN = 1,82. Из этого следует, что допустимая погрешность на измерение в полевых условиях всякой координаты х может быть определена из выражения (5) как:

Так как измерений всего два, то х принимает всего два значения: хг и х2, следовательно среднее значение координаты х принимает вид:

+

<*} = ■

(7)

Подставим выражение (7) в выражение (6) и получим итоговое выражение для погрешности полевых

измерений:

Практический смысл модуля разности двух измерений координаты заключается в том, что эта величина заявляется в характеристиках прибора как максимально допустимое расхождение между двумя измерениями. При полевых измерениях эту величину принимают за допустимую погрешность, однако, как показало полученное выражение (8), необходимо принимать величину на 9% меньшую, чем заявленное максимально допустимое расхождение. Отметим, что коэффициент 0,91 в выражении (8) является следствием решения этой задачи при конкретно заданном значении доверительной вероятности (и соответственно коэффициента Стьюдента) в общем случае, исходя из выражений (6), (7) и (8) можно сказать, что полученный коэффициент является случаем множества значений некоего коэффициента, характеризующего отношение реальной погрешности к заявленной допустимой разности показаний прибора. Назовём этот коэффициент коэффициентом расхождения прибора 0 и будем определять как

Q _ tgN 2 .

Влияние погрешности измерения двух

координат на погрешности друг друга

Каждый из трех методов определения координат точки на местности предполагает измерение двух величин:

- В методе прямоугольных координат измеряются координаты точки (x; y) ;

- В методе полярных координат - расстояние r от полюса до точки и угол р между этим отрезком и полярной осью;

- В методе угловых засечек - углы а и ß.

Очевидно, что погрешность измерения одной из этих величин непосредственно влияет на погрешность измерения другой. Это взаимное влияние погрешностей друг на друга по ГОСТ Р 8.736-2011 называется неисключенной систематической погрешностью (далее - НСП). Будем обозначать НСП измерения величины x вследствие влияния погрешности измерения величины y как ^хНСп. Тогда, принимая, что НСП вызвана лишь одним фактором, то по ГОСТ Р 8.7362011 её можно определять как:

(9),

Где Ах и Ау - случайные погрешности на измерение координат x и у.

дх

— - частная производная функции x, зависящей

ду

от у, по координате у.

Тогда общая допустимая погрешность измерений будет определена как:

AXj. = 4- Дх^

■нсп

(10)

Неисключенная систематическая погрешность в методе прямоугольных координат

В методе прямоугольных координат координаты x и у имеют одинаковую размерность длины, потому могут быть определены одним прибором. Тогда, можно утверждать, что в случае, когда разница двух измерений координат равна максимально допустимой (обозначим её как 5), то случайные погрешности измерения координат, согласно выражению (8), примут вид:

д*= ÛV =0.915

(11)

Тогда выражение для НСП на координату x примет вид:

(12)

дх

Очевидно, что частная производная — в данном

ду

случае равна котангенсу угла наклона к оси х прямой, проведенной из начала координат в искомую точку (поскольку зависимость между x и у линейная). Так как метод прямоугольных координат препдолагает определение только координат точки, то, чтобы не требовать определения угла наклона с помощью другого измерительного прибора, что повлечет за собой дополнительные погрешности, выразим котангенс угла через отношение х и у:

Поскольку расхождение 5 как правило много меньше усредненных значений координат, то в соотношении (12) им можно пренебречь. Тогда выражение (11) примет вид:

(14)

Из выражения (13) следует, что в методе прямоугольных координат максимальная НСП отличается от максимальной случайной

(

погрешности в

1 +

«

M

Л

раз.

Тогда выражение (10) для общей погрешности примет вид:

(15)

Выражение (15) представляет собой выражение максимально допустимой погрешности на координату х в методе прямоугольных координат (в случае, когда расхождение двух измерений координат равно максимально допустимому).

По аналогичным соображениям максимально допустимая погрешность на координату у:

(16)

Неисключенная систематическая погрешность в методе полярных координат

Метод полярных координат является более сложным для анализа с точки зрения НСП, так как предполагает измерение величин разных размерностей (угла и расстояния). Пусть 5 -максимально допустимое расхождение между измерениями прибора, используемого для определения расстояния г; у - максимально допустимое расхождение между измерениями прибора, используемого для определения угла ф. Положим, что расхождения между двумя измерениями угла и расстояния равны максимально допустимым расхождениям приборов. Тогда случайные погрешности этих величин:

Дг = 0L9L5

(17)

Предположим, что для оценки НСП в методе полярных координат не обойтись без дополнительного измерения. Необходимо знать проекцию а отрезка г на полярную ось. При этом на измерение проекции а также возникает случайная погрешность. Однако поскольку а имеет размерность длины и может быть определено тем же прибором, что и расстояние г, то эту погрешность можно приравнять к ^г:

Заметим, что погрешность на измерения угла ф, как и сам угол ф, необходимо измерять не в градусах, а в радианах для согласования размерностей НСП.

Т. к. на расстояние г влияет две величины, то, по ГОСТ Р 8.736-2011, НСП после математических преобразований для неё принимает вид:

дгнсп = ±

Дг

дг

— ХДф дф

дг Л — хДа да

ДгнсП =±0,91

г =-;

еоБф дг _ а х sin ф дф cos2 ф i . да cos ф' Да = Дт; ' „ а х sin ф

8 +-т^-ху-

cos ф

8

cosф

(20)

Вернемся теперь к использованной замене а = г cos ф, поскольку при полевых работах погрешности измерения всех величин значительно меньше их самих, то примем, что для средних значений величин выполняется то же самое отношение, а само значение проекции a совпадает со средним (также ввиду малости погрешностей в сравнении с измеряемыми величинами). Тогда:

а = (я) = {г} cos (р)

(21)

Подставим выражение (21) в выражение (20) и от истинных значений перейдем к усредненным значениям определенных величин и получим:

г =±0,91(8(1 + sec (ф)) + ( г)х tg фху) (22)

Подставляя выражение (22) в выражение (10), получим:

(18) Дг = ±0,9182 + (8 (1 + sec (ф)) + { ^х tg ф х у)2 (23)

Выражение (23) является максимально допустимым значением полной погрешности измерения расстояния до искомой точки в методе полярных координат. Отметим, что полученное выражение позволяет на практике не измерять проекцию а. Эта величина становится мысленным конструктом после учета влияния её погрешности на полевые измерения в общем виде.

Да = Дг = 0,91t5

(19)

а

Из тех же соображений определим НСП на определение угла ср:

(24)

Используя те же соображения о близости истинных значений искомых величин к средним, преобразуем выражение (24):

(25)

Подставляя (25) в (10), получим:

(26)

Выражение (26) является выражением максимально допустимой погрешности измерений угла ф в методе полярных координат.

Неисключенная систематическая погрешность в методе угловых засечек

Проанализируем теперь возникающие НСП в методе угловых засечек. Поскольку в данном методе измеряются только углы, то положим также, что расхождения между значениями углов а и в по кругу лево и кругу право достигают максимально допустимого расхождения у для используемого прибора:

Рассмотрим теперь модель метода угловых засечек: треугольник ABC c основанием AB, которая является стороной разбивочной сети, углы а и в были определены с помощью прибора с допустимым расхождением значений по КЛ и КП у. Третий угол треугольника ABC обозначим у. (рис.

С

Рис. 5. Модель метода угловых засечек. Fig. 5. Method of angular serifs.

Положим, что угол у в идеальных условиях все-таки можно определить с помощью прибора. Тогда погрешность его измерения также, как и погрешности двух других углов, равна:

Ау = 0,91щ;

Установим зависимости углов друг от друга: а = п- (ф + у);

Р = ж- (а + у);

Из тех же соображений получим, что НСП для

угла (3 имеет такое же выражение:

Используя выражение (29) и (10), получим выражение для максимально допустимой погрешности на определение углов в методе угловых засечек:

(30)

Тогда НСП на определение угла а:

(

аансп = ±

да . _ — хАф дф

|Аа| +

а = ж- (ф + у);

да . — хАУ ду

Л

ВЫВОДЫ

да _ j. да

ду

= -1;

В ходе исследования было математически установлено, что заявленная производителем погрешность прибора, в сущности, является лишь компонентой (или компонентами, если приборов несколько) реально возникающей погрешности измерения.

Было установлено, что в общем случае погрешность результатов измерения полевых величин находится в зависимости не только от заявленной приборной погрешности, но и конкретных численных значений измеряемых величин. В табл. 1 представлены основные полученные зависимости.

Табл. 1. Основные математические зависимости для определения допустимых погрешностей в основных

методах полевых измерений Table 1. Basic mathematical dependencies for determining permissible errors in the main methods of field

measurements

Аадсп = ±0,91(щ + щ + щ) = ±0,91х 3щ (28)

Метод Определяемые величины Выражение для погрешности

Прямоугольные координаты Координата х +0,915. \ 1 + (1+Х.) 1 W J 2

Координата у +0,915 V 1 + (1+М 1 (*> j 2

Полярные координаты Расстояние г ±0,91^5 2 +( 5 (1 + sec( р)) + ( х tg Wx щ)2

Угол ф ±0,91. \ щ2 + щ+V)( ctg {ф) + cosec Л2 J

Угловые засечки Угол а ±0,9Ь/10щ = ±2,88щ

Угол в ±0,91>/10щ = ±2,88щ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шуршилин Е.А., Олехнович Я.А. Геоинформационные системы в строительстве и анализ точности измерений // Строительство и техногенная безопасность. - № 23(75). - 2021. -С. 49-58.

2. Физика. Практическая обработка экспериментальных данных: метод. указания / сост.: Б.Д. Агапьев, В.В. Козловский. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2013. - 61 с.

3. Инженерная геодезия. Использование современного оборудования для решения геодезических задач: учеб. Пособие / Е.Б. Михаленко [и др.]; под науч. ред. Е. Б. Михаленко. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2014. -98 с.

4. Инженерная геодезия. Разбивочные работы: Учеб. пособие / О.С. Царёва, Т.И. Иванова, Е.А. Перминов, Н.Д. Беляев. - СПб., 2021, 62 с.

5. Инженерная геодезия. Геодезические сети и их развитие: учеб, пособие / Е. Б. Михаленко [и др.]; под науч. ред. Е. Б. Михаленко. - СПб.; Изд-во Политехи, ун-та, 2016. - 79 с.

6. Сурина А.В. Теория вероятностей: Основные формулы: Учеб. пособие. СПб., 2022 -56с.

7. Метрология. Обработка результатов измерений. Учебное пособие / Кошелев С.И. - СПб.: Изд-во СПбПУ, 2017. - 57а

8. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов / В. Е. Гмурман. - М.: Издательство «Юрайт», 2022. -479 с.

9. Пособие по геодезическому обеспечению строительства / Е. Р. Аболин [и др.]. - СПб., 2006. -240 с.

10. Геодезия: учебник для вузов / Е.Б. Клюшин [и др.]; под ред. Д. Ш. Михелева. 12-е изд. - М.: Изд. центр «Академия», 2014. - 495 с.

11. Зимин С.С., Мартынов М.В. Численное моделирование полевого эксперимента по усилению грунтов стройной цементацией // Инженерные исследования. - №2(7). - 2022. - С. 310.

REFERENCES

1. Shurshilin E.A., Olekhnovich Ya.A. Geoinformation systems in construction and analysis of measurement accuracy // Construction and technogenic safety. - № 23(75). - 2021. - C. 49-58.

2. Physics. Practical processing of experimental data: method. indications / comp. : B. D. Agap'ev, V. V. Kozlovsky. - SPb. : Izd-vo Polytechn. un-ta, 2013. -61 p.

3. Engineering geodesy. The use of modern equipment for solving geodetic problems: studies. Posobie / E. B. Mikhalenko [et al.]; under nauch. ed. E.

B. Mikhalenko. - SPb.: Izd-vo Politekhn. un-ta, 2014. -98 p.

4. Engineering geodesy. Layout works: Ucheb. posobie / O. S. Tsareva, T. I. Ivanova, E. A. Perminov, N. D. Belyaev. - SPb., 2021, 62 p.

5. Engineering geodesy. Geodetic networks and their development: ucheb, posobie / E. B. Mikhalenko [et al.]; under nauch. ed. E. B. Mikhalenko. - SPb.; Polytech Publishing House, University, 2016. - 79 p.

6. Surina A. V. Teoriya probability: Basic formulas: Ucheb. allowance. - SPb., 2022. -56 p.

7. Metrology. Processing of measurement results. Tutorial. / Koshelev S. I. - SPb.: Izd-vo SPbPU, 2017, 57c.

8. Gmurman, V.E. Probability Theory and Mathematical Statistics: A Textbook for Universities / V.E. Gmurman. - Moscow: Yurait Publishing House, 2022. - 479 p.

9. Manual on geodetic support of construction / E. R. Abolin [et al.]. - SPb., 2006. - 240 p.

10. Geodesy: a textbook for universities / E.B. Klyushin [et al.]; ed. D. Sh. Mikheleva. 12th ed. - M.: Izd. Center "Academy", 2014. - 495 p.

11. Zimin S.S., Martynov M.V. Numerical modeling of a field experiment to strengthen soils with slender cementation // Engineering research. - №2(7). - 2022. -

C. 3-10.

CrpoHTeflbCTBO HTexH0reHHaa6e30nacH0CTbN°26(78) -2022

ESTIMATION OF RANDOM AND NON-EXCLUDED SYSTEMATIC ERRORS IN BASIC METHODS OF GEODETIC MEASUREMENTS

Shurshilin1 E. A., Olekhnovich2 Ya. A.

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, Polytechnic Street, 29, e-mail: 1shurshilin.ea@edu.spbstu.ru; 2 olehnovich_yaa@spbstu.ru

Abstract: any engineering surveys in the field of construction (geodetic, geological, survey of buildings and structures, etc.) cannot do without field work, which in turn cannot do without field measurements and the use of various high-precision instruments (theodolites, levelers, total stations, etc.). Their use is accompanied by the appearance of various measurement errors. Without understanding their nature, the causes of their occurrence and methods for assessing these errors, the process of assessing these errors construction will be accompanied by additional risks: from loss of finances to human casualties. The purpose of this work is to analyze the nature of the errors of geodetic measurements through the prism of probability theory, relying on existing state standards and norms, and to derive general mathematical laws that are subject to measurement errors in the main geodetic methods for determining the coordinates of points. Based on the laws of the normal Gaussian distribution and the norms for calculating errors according to GOST R 8.736-2011, these mathematical dependencies are obtained in this scientific work, their connection with the practical problems of geodesy is revealed. The issue of estimating errors is generally resolved and there is an extensive body of scientific literature on the theory of errors and methods for their evaluation. The task of the study is the transition from the general to the particular: using the basic laws of the theory of errors, to determine the errors of geodetic surveying by various methods of fixing the coordinates of points in space. The values measured in the main methods of geodesy were analyzed: the method of rectangular coordinates, angular serifs and polar coordinates. The dependencies obtained in the work can be used in works that require ultra-high accuracy of measurements.

Materials and methods: analysis of scientific literature, mathematical analysis of errors of geodetic measurements. Subject of research: errors of geodetic measurements

Results: mathematical dependencies for determining the errors of geodetic surveys by various methods are derived Conclusions: it is mathematically confirmed that the errors of geodetic measurements depend on the conditions of a particular measurement and the measured quantities. Based on the laws of probability theory, mathematical dependencies were obtained that allow to accurately estimate the resulting measurement errors.

Key words: geodesy, field work, accuracy of measurements, error, measurement error.