Оценка скорости сходимости в теореме переноса для центрированных случайных сумм Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

С. Н. Кокшаров

ОЦЕНКА СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ В ТЕОРЕМЕ ПЕРЕНОСА ДЛЯ ЦЕНТРИРОВАННЫХ СЛУЧАЙНЫХ СУММ1

(кафедра математической статистики факультета ВМиК, e-mail: sergey.koksharov@gmail.com)

Теорема устойчивости. Суммы случайного числа случайных величин играют важную роль при моделировании систем массового обслуживания, телекоммуникационых систем и сетей, в теории надежности. Явное представление распределений таких сумм чрезвычайно громоздко. Поэтому представляет особую важность вопрос об исследовании точности аппроксимации этих распределений с помощью предельных (в некоторой разумной схеме) законов, которые, вообще говоря, имеют более простой вид.

В данной заметке приведены оценки скорости сходимости в теореме переноса для случайных сумм, центрированных константами. Эти оценки получены как следствие оценок устойчивости представлений распределений в виде специальных смесей по отношению к малым изменениям смешивающего и смешиваемого распределений.

Напомним теорему, о которой будет идти речь ниже.

Рассмотрим последовательность {Xnj}j^.i серий независимых и одинаково распределенных в каждой серии случайных величин (с.в.) и последовательность {iV„}„>i с.в., принимающих целые положительные значения такие, что для любого га ^ 1 с.в. {Xnj}j>i и Nn независимы.

Обозначим

Sn b = X„ i + ... + X

Символ => далее используется для обозначения слабой сходимости.

Теорема 1. Пусть последовательности {&„}„>i, {ап}п>i и {сп}п> 1 (кп — натуральные числа, а ап и сп — вещественные) таковы, что имеет место

Sn,kn - an=>Y (га —т- оо) (1)

и существует пара с.в. (U,V) такая, что

(га —т- оо) . (2)

\ кп кп /

Тогда

Sn,Nn - Сп=> Z (га —т- оо) , (3)

где Z — с.в., имеющая характеристическую функцию (х.ф.) вида

/ (t) = Е [hu (t) eHV] , (4)

где h (t) — х.ф. случайной величины Y.

Тем самым мы получаем, что Z = YU + V. Нас будет интересовать, насколько изменится функция распределения (ф.р.) с.в. Z (в смысле расстояния Леви между ф.р.), если мы "немного" изменим (опять же в смысле расстояния Леви) с.в. U и V.

Рассмотрим еще одно понятие, случайный вектор (U,V) принадлежит классу /С о, если: 1) Р (U ^ 0) = 1 и 2) либо одна из с.в. U и V вырожденная, либо для некоторых а и ß

P(V = aU + ß) = 1.

Если слагаемые в теореме бесконечно малы, т.е. для любого е > О

lim Р(\ХпЛ \ > е) = О,

п—>оо

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проекты 04-01-00671, 05-01-00396.

то из теоремы Хинчина о сходимости типов [1, с. 87] следует, что класс предельных распределений для центрированных случайных сумм независимых одинаково распределенных с.в. состоит из функций распределения, обладающий х.ф. вида (4), где к — безгранично делимая х.ф., а пара (II, V) принадлежит классу /Со- Более того, во многих случаях к является х.ф. устойчивого распределения, которая зависит от двух параметров и имеет вид

тгав \ 1 „

-г—— вщпг И- , г 6 Д, (5)

9а,в (t) = exp |- \t\a ехр

где 0 < а ^ 2, \в\ ^ в а = min {l, ¿ — 1}. Для краткости вместо далее будем писать просто да. Обозначим

{ga,U,V}(t) = E[gZ(t)eitv], (6)

a [Ga, U, V] — Ф-P-, соответствующую этой характеристической функции.

Мы будем рассматривать случай 1 < а ^ 2 и пары с.в. (U\, Vi) и (С/2, V2) такие, что Ui,U2 — неотрицательные с.в., кроме того, будем предполагать, что (U\, Vi) , (С/2, V2) Е /Со и Р (V¿ = AC/¿ + v) = 1, г = 1,2, а функции распределения с.в. U\, С/2 обозначим А(ж) и 5(ж) соответственно. Пусть хотя бы одна из функций распределения А(х), В(х) имеет плотность, ограниченную положительной константой а.

Тогда в формулировке теоремы 3.1 из [2] изменится только представление константы С\. Теорема 2. Пусть для некоторого 7^1 существуют моменты ^рд и 7Рв- Пусть, кроме того,

L (А, В) =е.

Тогда существует положительное число С\ = С\ (с&, iPg, -/Ра, -/Рв, а, А), не зависящее от е, такое, что если

e^min|(2 lfiG) у ,l|, (7)

то

L ([Ga, C/i, Vi], [Ga, U2, V2]) íC Ci6^T)+r log I.

Доказательство. Чтобы избежать путаницы, приведем доказательство полностью (со ссылками на леммы 3.1 и 3.2 из [2]).

Пусть М > 0 и Т > 0 — числа, которые будут выбраны позже. Для любого s Е [О, Г] справедливо соотношение

\{ga,U1,V1}(s)-{ga,U2,V2}(s)\ =

gu {s) e^Xu+,)d[A{u)_B{u)]

<

м

<

gu {s) e»(A«+")d[A(u)-B(u)]

+

gu (s)e»(A"+")d[A(u)-B(u)]

M

= h + h.

В рассматриваемом случае

p (А, В) <C (1 + a) L {A, B) = ( 1 + a) e,

где р (А, В) = вир | А (ж) — В (ж)| — равномерное расстояние между ф.р. А и В.

— оо, + оо)

Оценим 1\ с помощью интегрирования по частям:

h =

9а (s)e

is(\u-\-is)

М

и=М Г

[А (и) -В (и)] - [А (и)-В (г*)] du (gua (s) е

и=О J О

м

is(\u-\-is)

<

• ^ U=M Г . ,,

gu {s) ег*(Хи+и)[А {и) _ в (и)] - [А (и)-В (u)]gl (s) (log ga (s) + tXs) du

u=0 J 0

^ 2 (1 + a) s + M (1 + a) s I log ga (s) + ¿As| . (8)

Так как да (в) — характеристическая функция устойчивого распределения с характеристическим показателем а, то существует такая константа < оо, что |1с^<7а (в)| ^ |в|а. Следовательно, для всех в 6 [О, Г] из (8) мы получаем оценку

Ь ^2(1 +а) е +сс (1 +а) Ме(Та + ХТ) . (9)

Напомним, что мы рассматриваем случай 1 < а ^ 2. Далее Т будет выбираться большим единицы, тогда

/1 «С 2 (1 + а) е + са (1 + а) Ме (1 + А) Та. (10)

Собственно, на этом все различия с теоремой 3.1 из [2] и заканчиваются, однако для полноты изложения проведем доказательство до конца. Оценим 12:

оо

12 ^ I \§а (в) | (1[А(и) - В (и)] «С (1 - А (М + 0)) + (1 - В (М + 0)) .

м

Используя неравенство Маркова, получаем

/2 <С + (11)

Положим

Т = Т(е)=е т(-+1)+1, М = М(е)=е т(-+1)+1.

Тогда для любого в 6 [О, Г] из (10) и (11) следует, что существует такая положительная, не зависящая от е константа Сз = Сз (с<з, -уЦл, -у^в, а, такая, что имеет место оценка

\{9a,U1,V1}(s)-{ga,U2,V2}(s)\ ^ 2 (1 + a) e + cG (1 + а) М (е) е (1 + Х)Та (е) + М (е) 7 + 7дв) <С

^ С3е-'("+1)+1. (12)

Тогда для любого U G (0, Г) получим

т и

f ds Г ds

J \{ga,U1,V1}(s)-{ga,U2,V2}(s)\- = J \{ga, U1} Vi} (s) - {ga, U2, F2} (s)\ —+

С ds

+ J \{ga,U1,V1}(s)-{ga,U2,V2}(s)\-. (13)

и

Положим II = II (е) = £т(<»+1)+1 . В этом случае мы получаем II ^ Т и, более того, для всех в 6 [0, II]

благодаря малости г (см. (7)) мы имеем |s| ^ (2 1 ¡±g) 1, т.е. выполняются условия леммы 3.2 из [3]. Отсюда следует, что

17(e)

/dg _2_

I{9а, £/ъЫ (s) - {да, U2,V2} (s)| — iC 4,7 lfiG (lfiA + 1 цв) U (er) = С4г-^+1>+1. (14)

0

Константа C4 = 4,7 iдс (iMa + 1Мв)> очевидно, не зависит от е. Кроме того, i^a ^ (7Ца)1^' и iЦв ^

^ (-уДв)1^7, следовательно, мы можем считать, что С4 = С4 {i^g, -у^А, -у^в)-Используя соотношение (12), получим

Т(е) Т(е)

J \{ga,U1,V1}(s)-{ga,U2,V2}(s)\^-^C3£^TT j ^ <; 17(e) 17(e)

■у Tie) 1

^ С3е-'("+1)+1 log -f-z ^ С5е-'("+1)+1 log -, (15) U ( Е) Е

где С5 = С5 (cG, i^g, а, А).

Итак, осталось применить неравенство Золотарева [4, теорема 1.5.2], в соответствии с которым для любого Т > О

т

b([Ga,C/i,yi],[Ga,C/2,V2]) ^ - [\{9a,U1,V1}(s)-{ga,U2,V2}(s)\ — + 5,66^-^. (16)

TT J s 1

о

Подставляя Т = Т (е) в (16), используя оценки (15) и (14), получим L ([Ga, Е^, Vi], [Ga, U2,V2]) <: С'4 + С'5£ч^ттттт log I + 5j66 Aog 2 + 7 ) log I =

7Г £ \ 7 (а + 1) + 1 / £

7 1

= С\£ t(o + i) + i log -.

£

Теорема доказана.

Рассмотрим теперь случай а ^ 1. Оказывается, что как теорема 3.1 из [3], так и сформулированная выше теорема справедливы и при а ^ 1 с небольшими изменениями. Напомним формулировки лемм 3.1 и 3.2 из [3]. Будем, как и в [3], обозначать

оо

{да,А} (t) = Jg* (t) dA(x),

аналогично для В (ж).

Лемма 3.1. Пусть г = гег^, 0 ^ г ^ 1, \ф\ ^ О £ (0,тг). Тогда для любого и > 0 справедливо

\ги - 1| ^ С (О)

1- к" 11'

где

_ л/2 sin2 О + ЗО2 У50 С ^ - с» ^

sin О sin О

Лемма 3.2. Пусть |s| ^ г < (\рс) 1, тогда

\{ga, A} (s) - {да, В} (s)| <iC (arcsin т гра) (ipA + ipB) ^

1 - N 1 Ра'

где С (•) — константа, определенная в лемме 3.1 из [3]. Если т = (2\ро) 1 , тогда

\{да, А} (в) - {да, В} (в)| ^ 4,7 (\Ра + 1 Рв) N 1 ро ■

Лемма 3.1 из [3] не претерпит изменений, небольшие изменения будут лишь в лемме 3.2 и теореме 3.1 из [3].

Сформулируем лемму и укажем ее доказательство полностью. Лемма 1. Предположим, что ^ ¿о < 1> ¿о > 0, тогда

1,1«

\{да,А} (¿) - {да, В} (¿)| ^ С (агевш^) (\Ра + \Рв)

1- |*Г'

где С (•) — константа, определенная в лемме 3.1 из [3]. Если ¿о = 2 а, то

|{да,А} (*) -{да,В}(1)\ +

Доказательство. Оценим разность характеристических функций:

\{да,А} (t)-{ga,B}(t) | =

J 9а (Í) d[A(x)-B(x)] о

<

(gl (t)-l)d[A(x)-B(x)}

ОО

^ j Vfa(t)-l\d[A(x) + B(x)\. (17)

Рассмотрим выражение |да (t) — 1|. Поскольку

Ireiv - ll = 2r

• <Р sm — 2

то

\да (t)- l| = 2e-ICcoS^

sm

lifsiLf'

< e-W cos

жав

sm

Теперь придется использовать условие 0 < а ^ 1, так как при а > 1 функция cos ^^ может

2^2

принимать отрицательные значения. С учетом того, что 0 < а ^ 1, имеем 7 = ^^ ^ у.

Теперь рассмотрим функцию

7Г

/т(1)=1е-"057 апТ, ж ^ О, 0^7^-.

Эта функция имеет максимум в точке ж = ^ 1, кроме того, /7 (0) = 0, /7 (1) ^ 1 и функция

является непрерывной и возрастающей на отрезке от 0 до 1, следовательно,

В нашем случае

/7 (ж) < 1, 0 ^ х < 1, /7 (ж) ^ х. \9а (Í) " 1| ^ JW (i?) < 1

к« (í)-im¿r.

Следовательно, \avgga(t)\ ^ arcsin (Íq)) ^ arcsiníg. Теперь, применяя лемму 3.1 из [3],

получаем

|дха (t) — 1\ d [А (ж) + В (ж)] <С С (arcsin (í£))

19а (t)~ 1|

1 - \9a (t) - 1

00

J ud[A(u) — В (и)] ^

^ С (arcsin (íq )) (i/iA + 1 Цв)

1 -

Лемма доказана.

Теперь сформулируем и докажем теорему 3.1 из [3] для случая 0 < а ^ 1. Опять же рассмотрим две неотрицательные с.в. с функциями распределения А (ж) и В (ж), причем считаем, что по крайней мере одна из них имеет плотность, ограниченную положительной константой а < оо. Будем, как и в [3], обозначать [Ga,Á\ функцию распределения, соответствующую характеристической функции {9а, A} (t).

Теорема 3. Пусть для некоторого 7^1 существуют моменты ^ца и 7Цв- Пусть, кроме того,

L(A,B) =£.

Тогда существует положительное число С\ = С\ (cq, -^Ца, 7Цв, а, а) , не зависящее от е, такое, что если

a2(t(a + l)+l)

то

е < 2"

L {[Ga, А], [Ga, В]) <С Сге^ттттт log

Доказательство. Пусть М > 0 и Т > 0 — числа, которые будут выбраны позже. Для любого в £ [О, Г] справедливо

м

\{да,А} (s)-{ga,B}(s)\ =

диа (s) d [А (и) — В (и)]

<

диа (s) d [А (и) — В (и)]

+

+

диа (s) d [А (и) — В (и)]

м

= h + h-

В нашем случае

р (А, В) <С (1 + а) Ь (А, В) = (1 + а) е. Оценим 1\ при помощи интегрирования по частям:

м

h =

и=М Г

gl (s) [А (и) - В (И)] - [А (и) -В (и)] dugua (s) и=О J

м

и=М [■

gl (s) [А (и) - В (И)] - [А (и)-В (и)] диа (s) log да (s) du

и=О J

<

«С 2(1 + а)£ + М(1 + а)£\^да(з)\. (19)

Так как да (в) — характеристическая функция устойчивого распределения с показателем а, то существует такая константа < оо, что |1с^<7а (в)| ^ |в|а.

Следовательно, для всех в £ [О, Г] из (19) мы получаем оценку

h ^ 2 (1 + а) £ + cG (1 + а) М£ТС Рассмотрим теперь 12. Справедливо неравенство

(20)

ОО

h ^ I \диа (s)| d[A(u)-B(u)]<:(i-A(M + 0)) + (i-B(M + 0)).

м

(21)

Используя неравенство Маркова, получаем

/2 ^ М~7 (-¡Ра+чРВ) ■ Положим

Т = Т(е) = £ — т(a+i)+i, М = М (е) =

Тогда для любого s £ [О, Г] из (20) и (21) следует, что существует такая положительная, не зависящая от е константа Сз = Сз -уРл, 7Рв, а, А) такая, что имеет место оценка

\{да, А} (s) - {да, В} (s) | iC 2 (1 + а) £ + cG (1 + а) М (е) £Та (е) + М (е)"7 {прА + 1рв)^ .

(22)

Тогда для любого U £ (О, Г) получим

TUT

I\{ga,A}(s)-{ga,B}(s)\^ = f \{ga,A}(s)-{ga,B}(s)\^ + J \{ga, A} (s) - {ga, В} (23)

и

Положим II = II (е) = £<*ы<»+1)+1) . Благодаря такому выбору II мы получаем II ^ Т, и более того, для всех в £ [О, II] благодаря малости £ (см. (18)), мы имеем ^ 2-а, т.е. выполняются условия леммы 1. Из леммы следует, что

Ще)

ds Ua (г) 1

\{да, А} (s) - {да, В} (s)| — ^ 4,7 (1 рА + 1 рв)-— = .

s а

Константа С4 = ^(i/^a + iMs) не зависит от е. Кроме того, ißA ^ (-/Ца)1^' и ißB ^ (7ße)1^, следовательно, мы можем считать С4 = С4 (а, -yßA-, -у (¿в)-Используя соотношение (22), получим

Т(е) Т(е)

г d,s у г d,s у т (г) 1 1

J \{ga,A}(s) - {ga,B}(s)\ —J — iC log <C log-, (25)

17(e) 17(e)

где C5 = C5 (cG, а, 7/us, a).

Итак, осталось применить неравенство Золотарева (теорема 1.5.2 в [4]), в соответствии с которым для любого Т > О

т

L([Ga,A],[Ga,B])<:- [\{да, A} (s) - {да, В} (s) | - + 5,66Ь§ (1 + Т). (26)

7Г J S Т

о

Подставляя Т = Т (е) в (26), используя оценки (24) и (25), получим L ([Ga, А], [Ga, В]) <С С'4 + С5£Ч^тш log I + 5,66 flog 2 + 7 ) £Ч^тгтт iog I =

7Г £ V 7 (а + 1) + 1 / £

■У 1

= С\£ t(o + i) + i log -.

£

Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. X и н ч и н А. Я. Предельные законы для сумм независимых случайных величин. М.; Л.: ОНТИ, 1938.

2. Bening V.E., Korolev V.Yu., Sukhorukova Т.A., Kolokoltsov V.N. Limit theorems for continuous-time random walks in the double array limit scheme // The Nottingham Trent University Mathematics and Statistics Research Report Series. 2003. N 25/03. P. 1-28.

3. Gnedenko B.V., Korolev V.Yu. Random summation: limit theorems and applications. Boca Raton: CRC Press, 1996.

4. Zolotarev V.M. Modern theory of summation of random variables. Utrecht: VSP, 1997.

Поступила в редакцию 20.11.06

УДК 519.718

Д. С. Романов

ОБ ОЦЕНКАХ ФУНКЦИЙ ШЕННОНА ДЛИНЫ ЕДИНИЧНЫХ ТЕСТОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ТРАНСПОЗИЦИЙ ПЕРЕМЕННЫХ1

(кафедра математической кибернетики факультета ВМиК, e-mail: romanov@cs.msu.su)

Пусть /(ж 1, ,..., ж„) — булева функция, формально зависящая от переменных х\, х2,..., хп (это будет записываться так: /(ж") £ Р"), a /(¿j) (xi, х2,..., ж„) — функция, полученная из f(xi, х2,..., ж„) транспозицией переменных жi и жj (i,j £ {1, 2,..., га}), т.е. при i < j

f{i,j) (^1 7 ; • • • ; — 17 ^г + 1; • • • ; % j — 1 7 ^ j-\-1 1 ' ' ' 1 % n) -

- f 1 7 ^2; • • • 7 — 1 7 % jl ^г+l? ' ' ' 7 ^ j — 1 7 ^il ^ j-\- 1 ? • • • 7 % n) •

1 Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 06-01-00745 и 04-01-00359. 12 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 2