Оценка распределения коэффициента взаимной корреляции в задаче классификации кардиокомплексов при длительном мониторировании электрокардиосигнала Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.37

А. С. Красичков

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

Оценка распределения коэффициента взаимной корреляции в задаче классификации кардиокомплексов

*

при длительном мониторировании электрокардиосигнала

Определено распределение выборочного коэффициента корреляции опорного сигнала и анализируемого фрагмента электрокардиограммы в задаче классификации кардиокомплексов при длительном мониторировании кардиосигнала. Проведено сравнение теоретических результатов с данными компьютерного моделирования.

Электрокардиосигнал, коэффициент взаимной корреляции, компьютерное моделирование, длительный мониторинг

Сердечно-сосудистые заболевания являются одной из основных причин смертности в странах Европы. Согласно статистике в настоящее время частота сердечно-сосудистых заболеваний и в России выросла почти в три раза. В год от болезней сердечно-сосудистой системы умирает 1 млн 260 тыс. человек, из них 640 тыс. - от ишемической болезни сердца и инфаркта миокарда.

Электрокардиография является одним из основных методов исследования сердца и диагностики заболеваний сердечно-сосудистой системы. С помощью основных фрагментов электрокардиограммы (ЭКГ) (зубцов, интервалов, сегментов) можно выявить патологии сердца (миокардиты, перегрузки сердца, патологию проводящей системы сердца и др.).

При обычном проведении ЭКГ-исследований в поликлинике, когда пациент лежит в состоянии максимального покоя на спине, кардиограмма снимается в течение 1-2 мин, что не всегда достаточно для полного выявления всех возможных патологий сердца. Некоторые патологии возможно выявить лишь в условиях обычной жизнедеятельности человека, его повышенных психической и физической нагрузок. Для таких целей используют метод холтеровского мониторирования, позволяющий длительно (сутки и более) регистрировать ЭКГ пациента в условиях обычного образа его жизни днем и ночью.

За сутки при использовании холтеровского мониторирования накапливается более 80 тыс. сердечных циклов, и обработать каждый из них для выявления возможных патологий врачу не представляется возможным, так как это требует большого времени. Ситуация усугубляется тем, что при съеме ЭКГ возникают помехи и артефакты разного рода, искажающие сигнал и не дающие возможности врачу поставить правильный диагноз.

В качестве основных помех, присутствующих в мониторограммах, выступают миографическая помеха (для которой в первом приближении можно использовать модель нормального "белого" шума [1]) и дрейф изоэлектрической линии. В настоящее время су-

* Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы" (Государственный контракт № 14.740.11.1414 от 28 октября 2011 г.). © Красичков А. С., 2012 51

ществуют методы, устраняющие дрейф изоэлектрической линии, поэтому с помощью предварительной обработки электрокардиосигнала от данной помехи можно избавиться [1].

Наиболее удобным способом анализа длительных записей является предоставление врачу основных типов кардиокомплексов, присутствующих в мониторограмме, т. е. сортировка кардиокомплексов каждого вида по соответствующим группам с их одновременным накоплением в группе для увеличения отношения "сигнал/шум" [2].

Подобная сортировка позволяет значительно уменьшить нагрузку на врачебный персонал, сделать возможной оперативную оценку состояния сердечно-сосудистой системы человека, повысить эффективность постановки диагноза за счет уменьшения влияния помех, присутствующих в электрокардиосигнале.

Для того чтобы эффективно реализовать алгоритм выделения основных типов кардио-комплексов, необходимо определить критерии, по которым будет осуществляться сортировка.

Одним из основных критериев сортировки является близость форм различных фрагментов кардиосигнала, характеризуемая коэффициентом взаимной корреляции между опорным (эталонным) сигналом 5оп (') и анализируемым фрагментом. Если коэффициент

взаимной корреляции равен порогу (|г\ > гпор) или превышает его, выносится решение о

принадлежности анализируемого кардиокомплекса к конкретному типу [2]. Однако при использовании данного подхода остается нерешенной задача оценки влияния на результат классификации присутствующей в анализируемом фрагменте миографической помехи.

Наблюдаемая реализация фрагмента сигнала у 0) представляет собой аддитивную

смесь собственно кардиосигнала 5 (t) и нормального "белого" шума п (t) (модель миографической помехи). Наличие шума приводит к тому, что коэффициент взаимной корреляции г является случайной величиной. Для корректного решения задачи классификации необходимо найти закон ее распределения в зависимости от параметров сигнала и от спектральной плотности мощности шума. В рамках настоящей статьи уровень помехи на анализируемом фрагменте положим неизменным. Данное условие справедливо для большинства практических задач анализа непродолжительных фрагментов ЭКГ.

Так как в современных системах мониторинга осуществляется дискретизация сигнала, то с учетом конечной полосы пропускания системы проблему можно сформулировать следующим образом. Пусть имеется N отсчетов опорного сигнала 5оп ('), незашумленного фрагмента кардиосигнала 5(/) и шума п('), ' = 1, ..., I. Отсчеты шума являются независимыми нормальными случайными величинами с нулевым средним значением и дисперсией аЩш : п (') = N (0, аш ). Необходимо найти закон распределения случайной величины г :

г =

I ^ 5оп (') п 0') I

I5оп (')[ 5 (') + п (')] Ж Р+1

' = 1 _ ' 5оп V 5 ' =1

1-1 2 15,2п ('')![ 5 (') + п (' )]2

'=1 '=1

I

I

'=1

5 (') + п (')

1 + 21у (I )А( I )+1 А2 (I)

'=1 '=1

(1)

2

где Е$ = X £дп (г) - энергия опорного сигнала; Е$ = X $2 (г) - энергия анализируемого

0П г =1 г =1

фрагмента незашумленного кардиосигнала; р - коэффициент взаимной корреляции между опорным сигналом и незашумленным фрагментом кардиосигнала; х (г) = $оп (г У^Е$оп

- нормированный отсчет опорного сигнала; у (г ) = $ (г)/Е$ - нормированный отсчет анализируемого сигнала; А (г) = п (гЕ$ - нормированный отсчет шума с дисперсией

а2 =аШ/Е$, А(г) = N(0, а).

Нахождение распределения г в аналитическом виде является математически сложной задачей с нетривиальным решением. Однако данная проблема может быть преодолена, если, введя обозначение

I I

Е = 1 + 2X У (г)А(г) + ^А2 (г), (2)

г=1 г=1

случайную величину 1Д/Ё, входящую в выражение (1), представить аппроксимацией полинома п-го порядка: 1Д/Ё ~ dЕп +... + аЕ2 + ЬЕ1 + с.

Для нахождения коэффициентов полинома определим область наиболее вероятных значений случайной величины Е. Второе слагаемое в выражении (2) является нормальной случайной величиной, третье слагаемое при условии I > 30 распределено приблизительно нормально [3], поэтому при классификации кардиокомплексов (когда I > 30 ) можно считать, что Е является нормальной случайной величиной со средним значением т {Е/к} = Ы +1 и дисперсией Б {Е/к} = 2к (М + 2), где к = а2 = оЩц/Е$ - безразмерный параметр, характеризующий уровень помеховой обстановки.

Таким образом, становится возможным определить вероятность р попадания случайной величины Е в определенный диапазон значений. Например для отклонения Е от среднего значения р (|Е - т {Е/к} > 2^Б {Е/к} ) < 0.05, граница диапазона рассчитывается как

Ег (к) = 2^2к(Ы + 2) . (3)

Из выражения (3) следует, что диапазон зависит от длительности сигнала I и безразмерного параметра к. В дальнейшем для определения границ диапазона будем использовать выражение (3). Таким образом, становится возможным рассчитать диапазон наиболее вероятных значений Е [т {Е/к} - Ег (к), т {Е/к} + Ег (к)] с учетом условия т {Е/к}-Ег (к)> 0.

Зная границу Ег (к, I), методом наименьших квадратов определим коэффициенты аппроксимации d, ..., а, Ь, с с помощью нахождения минимума функции:

™{Е}+Ег / 1 Л2

/(да(Е), Ег, d, ..., а, Ь, с) = | I -р-dЕn - ... - аЕ2 - ЬЕ1 - с dЕ. (4)

т{Е}-Ег )

В качестве первого приближения ограничимся полиномами первого и второго порядков. Для полинома второго порядка минимум выражения (4) достигается при значениях коэффициентов, удовлетворяющих систему уравнений

с = [1/(2^г )](E - aC - bD);

a = Ь {([DC|(2^г )] - B) + P - ВТ/(25г )} [2^/(25г A - C2 ) (25гТ - ВD) (25г А - С2 ) - (25гВ - CD) (25гР - ВС)

(5)

Ь =

(2^гС - D2) (2^г А - С2) - (2^гВ - CD)

а для полинома первого порядка - систему уравнений

Ь = ( 2^гГ - ВD )/( 2^гС - D2 ); с = [ 1/2^ ][В - (2^гГ - ВD)/(2^гС - D2 )

(6)

В (5) и (6) введены обозначения:

т{5}+5г

А = | ^Ч; В = | 5^5; С =

т

(5Кг

т

(5Кг

т{5}+5г

| 54; D = т{5}-5г

т{5}+5г

I 5^5; т{5}-5г

т{5}+5г

т{5}+5г

В = I ^ Т = | 4^5; Р =

т

{5}-5г

т

{«-5,

т{5}+5г 52

I

{5}-5г * 5

т

Из выражений (5), (6) видно, что коэффициенты полиномов аппроксимации зависят только от параметров к и I, поэтому используем обозначения а^ /, Ьк /, с^ I.

В качестве иллюстрации в таблице представлены статистические характеристики случайной величины 5 и значения коэффициентов полиномов первого и второго порядков для кардиокомплекса, состоящего из I = 70 отсчетов (рис. 1, а), вычисленные для

к = 7.46 -10-4 (рис. 1, б), 46.110-4 (рис. 1, в) и 119 -10-4 (рис. 1, г)*.

На рис. 2 приведен пример аппроксимации знаменателя выражения (1) для фрагмента кардиосигнала, представленного на рис. 1, д: 1 - график функции 1/л/5, 2 - аппроксимация

2

к -104 т {5} ^{5} Полином второго порядка Полином первого порядка

а Ь с Ь с

7.46 1.052 0.055 0.331 - 1.162 1.831 - 0.464 1.464

46.1 1.326 0.147 0.189 - 0.837 1.644 - 0.332 1.314

119 1.836 0.260 0.086 - 0.522 1.407 - 0.206 1.124

Рис. 1

б

а

в

г

* На рис. 1, б-г аппроксимируемый кардиокомплекс (рис. 1, а) показан серыми линиями, результаты аппроксимации - черными линиями. 54

полиномом второго порядка, 3 - аппроксима- Б ция полиномом первого порядка.

Ошибка при аппроксимации на интер- 0 8

вале [т {Е}-Ег, т {Е} + Ег ] полиномом

второго порядка составляет менее 0.01 %, 0.7 полиномом первого порядка - менее 1 %, причем максимум ошибки приходится на 0.6 края интервала аппроксимации, где вероятность значений случайной величины Е в несколько раз, меньше чем в окрестности математического ожидания т {Е}.

Выражение (1) при аппроксимации знаменателя полиномом первого порядка для заданного к имеет вид

1.3

1.55

1.8

Рис. 2

2.05

г1 =

I

р + Х х(г )А(г)

г=1

Ь

и, I

I I ,

1 + 2 X У (г )А( г ) + £А2 (;)

г=1 г=1

+ ск, I Г

После ряда преобразований найдем среднее значение случайной величины г:

т{гх} = р{Ьк, I [к(I + 2) +1] + сй, I}

(7)

(8)

или при N » 1 т {гц} = р |^Ьк I (М +1) + ск I ]. Из последнего выражения следует, что математическое ожидание зависит только от параметров к, I и не зависит от формы сигнала. При аппроксимации знаменателя (1) полиномом второго порядка получим

г2 =

I

р + Х х (г )А( г)

г=1

аи, 11 X [у (г) + А (г)]2 [ + Ьи 1| X [У (г) +А(г)]2 [ + ск I

1г =1 J У =1

со средним значением

т {г2 } = ак, I {к2 [12 + 2I + 4р (I + 2)] + рк (21 + 8) + р} + р {Ьи, I [к (I + 2) +1] + ск, I}. (9) При N > 1 справедливы приближения 2! + 8 « 2I; I + 2 «I; 12 + 2I + 4р(I + 2)« 12,

тогда т {

{г2 } « ак, I [р + к2 (12 + р2I)] + р [Ьи, I (М +1) + си, I ]. При

сравнении идентичных

2

фрагментов (р = 1) получим т {г2 }« ак I (Ы +1) + Ьи I (Ы +1) + си I.

Результаты компьютерного моделирования и расчетов по (8) и (9) показывают, что при I = 70 для опорного и для анализируемого кардиокомплексов одного типа (см. рис. 1) (р = 1) все три оценки математического ожидания практически совпадают во всем диапазоне изменения параметра к.

На основе серии экспериментов для различных опорных кардиокомплексов и анализируемых фрагментов ЭКГ установлено, что для расчета математического ожидания можно использовать выражения (8) и (9), причем достаточно применять полином первого порядка. Поэтому далее при нахождения дисперсии случайной величины г ограничимся аппроксимацией (7) (далее полагаем г = г^).

После ряда преобразований, не приведенных в статье ввиду их громоздкости, получим выражение для дисперсии г в виде

М

2 {г} = к3Ь|, 1 (12 + 61 + 8) + к2 [2Ьк, 1 (Ьк 1 + ск, 1) (I + 2) + 4Ь|,м (2р2 +1) +

,2

+8Ьк, IР2 (6 -1)] + к (Ьк, I + ск, I ) + 4Ьк, IР2 (Ьк, I + ск, I) + 4Ьк, IР2

22

откуда при I » 1 имеем I + 2 -I; 6 -1- -I; I + 6I + 8 - I + 6I и

Мп

{г} - ь1 к (12 + 6!) + [Ь2 I (6р2 + 2) + 2Ьк, ICк, I

к21 +

+

Ьк, I (8Р2 +1) + 2Ьк, ICк, I (1 + 2р2 ) + ск

к.

(10)

При р = 1 выражение дополнительно упрощается:

М2 {г} - Ьк, Iк3 (12 + 6I) + (ВЬ2 I + 2Ьк, ICк, I) к21 + (3Ьк, I + ск, I ) к. (11)

На рис. 3 приведены кривые зависимости дисперсии случайной величины г (к) при I = 70 для опорного и для анализируемого кардиокомплексов одного типа (см. рис. 1) (р = 1). Кривая 1 получена на основе компьютерного моделирования (количество испытаний 20 000), кривая 2 - расчетом по (11). Как следует из рис. 3, выражение (11) представляет реальный кардиокомплекс с достаточной для оценки дисперсии г точностью.

Поскольку распределение г в замкнутой форме невозможно, определим модель этой величины, обладающую высокой корреляцией с самой величиной, распределение которой известно или может быть получено достаточно простыми преобразованиями. Найдем коэффициент взаимной корреляции г* между случайными величинами г в (7) и п = X (^),

I=1

среднее значение и дисперсия которой равны, соответственно, т {п} = ^; М2 {п} = 2к21.

С учетом (8) функция корреляции между г и п

К (г, п) = 2Ьк, I рк2 (I + 2) - 2Ьк, I рк21.

На основании (10) коэффициент корреляции имеет вид

Ьк I р42м

*

г=

\ь2, к (12 + 6I) + (8Ьк2 I + 2Ьк, ^к, I) к + (3Ьк, I + ск, I)

(12)

М2 {г}-103 3 2 1

0

5 10

Рис. 3

15 к-103

0.8

0.6

0.4

Рис. 4

к -103

I

2

*

г

На рис. 4 представлена зависимость r* (h) для опорного и для анализируемого кардиокомплексов одного типа (см. рис. 1) (р = 1, I = 70). Кривая 1 получена на основе компьютерного моделирования (количество испытаний 20 000), кривая 2 рассчитана по (12).

_3

Из рис. 4 следует, что для 0 < h < 3.45 -10 случайные величины r и п имеют высокий

уровень взаимной корреляции (|r* > 0.8). Поэтому в качестве первого приближения можно применить подстановку r « _(М2 {r}/M2 {п})(п_m{п}) + m{r}. Для этой подстановки справедлив нормальный закон распределения плотности вероятности W ( r ).

Для оценки W(r) при |r*|< 0.8 проведено детальное компьютерное моделирование для различных видов опорных сигналов и анализируемых фрагментов. Анализ различных типов кардиокомплексов показал, что распределение удовлетворительно аппроксимируется рядами Эджворда [4]. Согласие по критерию х [4] эмпирических распределений с аппроксимирующими распределениями, представленными рядом Эджворда, при уровне значимости 5 % обеспечивается первыми тремя членами ряда.

Анализ показал, что значительные отклонения гистограмм от теоретического нормального распределения наблюдаются в областях, имеющих крайне малую вероятность. Это позволяет для теоретических исследований в качестве первого приближения использовать нормальный закон распределения амплитуд с параметрами, определяемыми (8), (10) (рис. 5). На рис. 5, а представлены распределения коэффициента корреляции W (r) при различных h для опорного и для анализируемого кардиокомплексов одного типа (см. рис. 1) (р = 1, I = 70), на рис. 5, б - аналогичные распределения для опорного сигнала по рис. 1 и для анализируемого кардио-комплекса патологического типа (рис. 6) (р = 0.505, I = 70). Кривые 1 представляют распределение коэффициента корреляции на основе компьютерного моделирования, кривые 2 - аппроксимация нормальным законом распределения.

W 0.75 0.5 0.25

0

■1

2

h = 0.746 -10_

\

h = 4.61-10

h = 11.9-10

W

0.16

0.08

0.6

0.7

0.8 а

0.9

0.22

0.33

0.44 б

0.55

Рис. 5

Таким образом установлено, что распределение коэффициента корреляции г хорошо описываются нормальным законом, однако математическое ожидание является смещенной оценкой, причем смещение возрастает с ростом уровня шума. Значимость этого смещения является предметом дальнейших исследований.

Рис. 6

3

3

0

r

r

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2012. Вып. 1======================================

Полученные в настоящей статье результаты позволяют проводить адаптацию порога при сравнении кардиокомплексов на основе взаимного коэффициента корреляции с помощью оценки уровня помехи, что, в свою очередь, повышает эффективность алгоритмов сортировки кардиокомплексов.

Список литературы

1. Rangayyan R. M. Biomedical signal analysis. New York: Wiley-Interscience, 2002. 439 p.

2. Красичков А. С., Соколова А. А. Оценка точности воспроизведения кардиосигнала в процессе синхронного накопления // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 3. С. 48-53.

3. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. 648 с.

4. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Теория распределений. М.: Наука, 1966. Т.1. 587 с.

A. S. Krasichkov

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

Estimation of the cross-correlation coefficient in classification of electrocardiogram complexes from long-term monitoring

Calculation of the cross-correlation coefficients between the sampling signal and the analyzed electrocardiogram (ECG) fragment in classification of ECG complexes from long-term monitoring is discussed. The theoretical results are validated by computer simulations.

Electro cardio signal, cross-correlation coefficients, computer simulations, long-term monitoring

Статья поступила в редакцию 1 ноября 2011 г.

УДК 621.391.15

В. Н. Бондаренко, Т. В. Краснов

Институт инженерной физики и радиоэлектроники Сибирского федерального университета

Помехоустойчивость корреляционного приемника шумоподобного сигнала с автокомпенсатором структурной помехи*

Приведены результаты исследования помехоустойчивости корреляционного приемника с автокомпенсатором для подавления мощной структурной помехи применительно к шумоподобным сигналам с минимальной частотной манипуляцией. Предложенный автокомпенсатор структурной помехи позволяет повысить помехоустойчивость корреляционного приемника шумоподобного сигнала с 40 до 80 дБ.

Шумоподобный сигнал, структурная помеха, помехоустойчивость, корреляционный приемник, автокомпенсатор помехи

В широкополосных радионавигационных системах (РНС) с кодовым разделением уровень внутрисистемных помех определяется корреляционными свойствами используемых шумоподобных сигналов (ШПС). Для средневолновых широкополосных РНС большой дальности действия превышение мешающего сигнала над полезным может достигать 80 дБ. В этих условиях для обеспечения нормального функционирования приемной аппа-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 08-08-00849.

58 © Бондаренко В. Н., Краснов Т. В., 2012