Оценка производительности крупноблочного алгоритма метода ветвей и границ в~вычислительной среде Everest Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2079-3316 ПРОГРАММНЫЕ СИСТЕМЫ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ №1(32), 2017, с. 105-119 УДК 004.75

В. В. Волошинов, С. А. Смирнов

Оценка производительности крупноблочного алгоритма метода ветвей и границ в вычислительной среде Everest

Аннотация. В работе исследовался т.н. крупноблочный подход к реализации параллельной работы метода ветвей и границ (МВГ). Исходная задача частично-целочисленного программирования разбивается на несколько подзадач посредством фиксации значений у части целочисленных переменных. Подзадачи решаются параллельно пулом МВГ-решателей. Если в ходе решения подзадач появляется допустимое решение, с наилучшим на данный момент значением целевой функции, то это число рассылается другим решателям. Такой обмен рекордными значениями критерия позволяет взаимно ускорить решение подзадач за счет сокращения перебора вершин дерева ветвлений алгоритма МВГ. Запуск подзадач и обмен данными обеспечивается средствами платформы Everest. В результате тестирования разработанной распределенный системы на случайным образом сгенерированных задачах линейного программирования с частично-булевыми переменными было обнаружено заметное ускорение.

Ключевые слова и фразы: дискретная оптимизация, метод ветвей и границ, крупнозернистый параллелизм.

Введение

Для решения трудоемких задач дискретной оптимизации широкое распространение получили комбинаторные методы, среди которых наиболее часто встречаются методы ветвей и границ (МВГ). МВГ можно представить в виде процесса последовательного разбиения множества допустимых решений на подмножества с последующим отсечением не содержащих оптимальное решение подмножеств. Его реализация требует обхода некоторого дерева поиска. Каждому узлу дерева соответствует оценочная задача, полученная ослаблением части ограничений (обычно — условий целочисленности переменных) исходной задачи.

Поддержано грантом РФФИ 16-07-01150.

© В. В. Волошинов, С. А. Смирнов, 2017

© Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича, 2017 © Программные системы: теория и приложения, 2017

Рис. 1. Принцип реализации «крупноблочной» схемы МВГ в РВС

В работе речь идет об относительно редко применяемой, так называемой «крупноблочной» или «крупнозернистой» схеме распараллеливания [1] (рис. 1). В ее основе — параллельное решение подзадач с обменом информацией о найденных (в ходе решения подзадач) значениях целевой функции на допустимых решениях (так называемых рекордах). При этом несколько подзадач могут обрабатываться одновременно, каждая в своем, отдельном, процессе. Если один из процессов находит допустимое решение, то соответствующее рекордное значение целевой функции может быть разослано остальным процессам, позволяя им, в принципе, существенно ускорить работу, за счет отбрасывания ветвей дерева обхода, заведомо не содержащих оптимального решения. Подобный подход обсуждается в литературе [1-3], но широкого применения пока не получил.

Роль исследователя здесь сводится к поиску подходящего способа первоначальной декомпозиции исходной задачи (например, в форме программы на языке оптимизационного моделирования) и настройке параметров алгоритма МВГ для пакетов дискретной оптимизации, подключенных к распределенной системе. Программная реализация обмена значениями рекордов может оказаться значительно проще, чем для «мелкозернистой» схемы МВГ (рис. 2). В настоящее время существует ряд пакетов оптимизации, применяющих МВГ для решения частично-целочисленных задач оптимизации: LPsolve, GLPK, CBC, SCIP, Cplex, KNITRO, Gurobi и т.д. Первые четыре из них имеют открытый исходный код, что позволяет реализовать на их основе крупноблочную схему МВГ.

В данной работе представлена реализация крупноблочной схемы распараллеливания метода ветвей и границ для частично-целочисленных задач оптимизации. В прошлых работах [4,5] была описана

Рис. 2. Принцип реализации «мелкозернистой» схемы МВГ в РВС

система, где коммуникация между процессами-решателями была реализована на языке Erlang. В данной работе Erlang был заменен платформой Everest [6] — достаточно развитым средством развертывания распределенных систем. Данная реализация обеспечивает запуск подзадач на некотором предварительно заданном множестве хостов средствами платформы Everest и обмен рекордами между процессами, решающими подзадачи. Как и ранее, используются пакеты оптимизации с открытым исходным кодом, а именно CBC и SCIP. Представленная система требует предварительного разбиения исходной задачи на подзадачи. Пользователь может сделать это самостоятельно, реализуя некоторый алгоритм разбиения, например, средствами языка оптимизационного моделирования AMPL.

Указанная система была апробирована на классической задаче коммивояжера, сформулированной в виде задачи линейного программирования с частично-булевыми переменными (MILP).

1. Пакет оптимизации SCIP

Пакет SCIP (Solving Constraint Integer Programs) [7] — это один из самых быстрых некоммерческих решателей для задач частично-целочисленного линейного и нелинейного программирования [8]. Решатель представляет собой гибкую и расширяемую систему на языке C. Использование SCIP возможно через консольное приложение scip, поддерживающее множество форматов описания задач. Также

Рис. 3. Архитектура системы

присутствует отдельное приложение scipampl, предназначенное для работы с задачами в формате языка моделирования AMPL [9].

Для интеграции в распределенную среду было разработано приложение-адаптер. Адаптер решает две основные задачи: передавать решателю значения рекордов, пришедшие извне, и отслеживать нахождение решателем новых рекордов. Установить новое значение рекорда в решателе можно вызовом SCIPsetObjlimit. Вызов приходится делать внутри обратного вызова обработчика событий, так как SCIP не предусматривает безопасных вызовов из нескольких различных потоков. Таким образом, важно установить обработчик на все события, возникающие при работе решателя. Это позволяет минимизировать задержку между получением нового значения рекорда потоком, получающим данные из распределенной системы, и передачей значения данному экземпляру решателя. О нахождении нового рекорда решатель сообщает событием SCIP_EVENTTYPE_BESTSOLFOUND. Далее необходимо получить само решение вызовом SCIPeventGetSol, а затем получить значение целевой функции вызовом SCIPgetSolOrigObj. Важно использовать именно эти вызовы, так как SCIP может трансформировать исходную задачу и тогда значение целевой функции, с которой он работает в настоящий момент, может оказаться непригодным для передачи другим решателям.

2. Реализация крупноблочной схемы

Подготовив набор подзадач, пользователь запускает процесс решения с помощью приложения batch_solve.py (рис. 3). Данное приложение формирует архив с начальными данными для сервиса (приложения) Coarse-grained B&B на сервере Everest. Этот сервис имеет заданный по умолчанию набор вычислительных ресурсов, на которых

установлены пакеты CBC и SCIP, а также адаптеры к ним. В результате вызова данного сервиса создается задание (Job), состоящее из множества задач (Task). Каждой подзадаче, сформированной пользователем, соответствует по одной задаче внутри задания. Сервер Everest обеспечивает распределение задач по вычислительным ресурсам (хост на рис. 3). При старте задачи агент запускает специальный скрипт на языке Python, передаваемый в составе входных данных. Данный скрипт task.py обеспечивает запуск адаптера решателя scip_port, а также взаимодействие с адаптером (через стандартный в Linux механизм обмена данными между процессами pipes) и с агентом посредством TCP-сокета, что необходимо для обмена рекордами с другими решателями в рамках одного задания.

Как только решатель находит новый рекорд (допустимое решение, где значение целевой функции меньше уже найденных), об этом узнает адаптер через обратный вызов. Далее, адаптер через пайп передает новый рекорд скрипту task.py. Этот скрипт сообщает серверу Everest, что нужно установить новое значение переменной рекорда, если передаваемое значение меньше текущего. Для этой цели в Everest был реализован специальный протокол. Если значение действительно оказалось меньше текущего, сервер Everest транслирует новое значение всем выполняющимся в данный момент задачам. Они, в свою очередь, передают новое значение адаптерам, а те — решателям.

3. Сведения о задаче коммивояжера

Рассмотрим граф с множеством вершин V = 1 : п (занумерованных от 1 до п). Пусть каждая пара вершин (i,j) соединена ребром длины dij. Требуется найти гамильтонов путь с наименьшей суммарной длиной ребер. Для каждой пары вершин (i,j) введем булевую переменную Xij, которая принимает значение 1, если ребро (i,j) входит в кратчайший маршрут, и 0 — если нет. Тогда задача коммивояжера может быть записана в виде формул 1-6. Вспомогательные «непрерывные» переменные у^ имеют физический смысл потока, выходящего из первой вершины графа, протекающего через все вершины в порядке прохождения выбранного пути, причем после каждой пройденной вершины величина потока уменьшается на единицу (это давно известный прием сведения задачи коммивояжера к ЛП, например, его можно найти в учебном пособии [10]).

Рис. 4. Пример оптимального маршрута коммивояжера для 87 вершин («городов»)

(1) (2)

(3)

Е^х^- ^ шт яЛ. :

г>3

Е хц + Е хц = 2 (геу = {1:пЛ;

^3 + ¿^ хз зеул>1 зеУл<1

УН <

пх^,

если % = 1,

(п — 1)х^, если 1<ъ<з, ((¡-,з) е V хУ1

(п — 1)хц, если з<г

(4) Е Уч —

Г.(г,з)€У XV Ыг,з)€У X

Е^ \п — 1, если г = 1, /. Ун < — > [ге^;

^^ I-1, если 4 1

(5) Е Уч ^ 1 (г ev);

з : (г,з )еУ XV

(6) хгз = {0,1}.

Сделаем ряд замечаний. Задача коммивояжера интерпретируется как поиск кратчайшего гамильтонова пути обхода точек (городов) на плоскости с координатами (Xi). Значение dij вычисляется как расстояние между точками на плоскости. Для экспериментов значения

Таблица 1. Сравнение времени работы SCIP и крупноблочного алгоритма

N К Число подзадач T(SCIP), мин. T(dSCIP), мин.

80 4 16 21 2.2

90 5 32 4 2.2

100 6 64 7.7 3.4

110 7 128 >2600 117

(Xi,Yj) создаются генератором случайных чисел AMPL. После нахождения оптимального маршрута в AMPL результат можно отобразить графически (в SVG-формате) (рис. 4).

Было замечено, что в задаче коммивояжера, для заметного ускорения поиска решения разбиение следует начинать с наименьших расстояний между городами. А именно, числа dij упорядочивались в порядке возрастания их значений: di1j1 < di2j2 < di3j3 < di4j4 < di5j5 < ...

После этого, для фиксации булевых значений, выбирались первые К элементов в указанной последовательности. В проведенных экспериментах:

(1 ) К = 0 (исходная задача);

(2) К = 1 (две подзадачи для N = 70, 80, 90);

(3) К = 2 (четыре подзадачи для N = 70, 80, 90);

(4) К = 3 (8 подзадач для N = 70, 80, 90);

(5) К = 4 (16 подзадач для N = 70, 80, 90);

(6) К = 5 (з2 подзадач для N = 70, 80, 90);

(7) К = 6 (б4 подзадачи для N = 70, 80, 90,100);

(8) К = 7 (l28 подзадач для N = 110).

Подзадачи получаются из исходной после фиксаций значений булевых переменных Xi1j1, Xi2j2, Xi3j3,..., XiKjK нулем или единицей.

4. Вычислительные эксперименты

Вычислительные эксперименты проводились на трех вычислительных узлах: 4 потока на 2 x Intel Xeon E5620@2.40GHz и 2 х 6 потоков на Intel Xeon E5-2620@2.00GHz. Всего было доступно 16 потоков.

Тесты проводились на задаче о коммивояжере с числом городов N, равным 80, 90, 100 и 110. Расстояния между городами сгенерированы псевдо-случайным образом. В качестве ориентира было произведено по одному запуску каждой из исходных задач с SCIP 3.2.1 без какого-либо распараллеливания (время T(SCIP) в таблице 1).

ТАБЛИЦА 2. Зависимость времени решения в секундах от количества зафиксированных переменных (подзадач) при N = 70

Задача\К 0(1) 1 (2) 2 (4) 3(8) 4 (16) 5 (32) 6 (64)

1 28 31 31 36 27 42 52

2 134 121 106 186 141 192 216

3 122 101 46 52 36 47 87

4 296 116 71 47 101 52 77

5 17 31 21 26 31 43 57

6 256 291 21 251 206 47 322

Сумма: 852 691 296 598 542 423 811

ТАБЛИЦА 3. Зависимость времени решения в секундах от количества зафиксированных переменных (подзадач) при N = 80

Задача\К 0(1) 1 (2) 2 (4) 3(8) 4 (16) 5 (32) 6 (64)

1 336 246 636 391 181 261 142

2 89 36 136 32 92 47 73

3 465 91 156 121 146 222 307

4 2441 2157 461 421 721 908 277

5 226 291 171 171 321 162 227

6 391 1866 4146 571 867 962 2708

Сумма: 3948 4687 5706 1707 2328 2562 3734

Далее было проведено по одному «распределенному» запуску на указанных выше вычислительных ресурсах, результаты перечислены в столбце Т(<48С1Р) таблицы 1. Фиксировались переменные, соответствующие ребрам наименьшей длины в графе расстояний. Для генерации подзадач использовался транслятор АМРЬ.

Далее была проведена еще одна серия экспериментов (таблицы 24). Для нескольких значений N было случайным образом создано по шесть задач (строки таблиц). Каждая из этих задач была разбита на подзадачи шестью различными способами: брались значения К от 1 до 6 (столбцы таблиц). Для каждого полученного набора подзадач запускался крупноблочный алгоритм и время решения записывалось. Время решения исходной задачи записывалось в первый столбец

ТАБЛИЦА 4. Зависимость времени решения (сек.) от числа зафиксированных переменных при N = 90

Задача\К 0(1) 1 (2) 2 (4) 3(8) 4 (16) 5 (32) 6 (64)

1 73 251 376 206 162 248 528

2 3247 2306 2537 2537 2338 5645 2404

3 160 281 446 346 67 202 79

4 1169 831 1597 766 457 482 1453

5 319 201 791 421 1163 1908 693

6 922 1776 6383 906 7041 18771 10679

Сумма: 5890 5646 12130 5182 11228 27256 15836

14 12

HI Н2

3 Н4

1 Н5 6 -сумма

. Л Lu ■ п h

1 п LiL-

1 2 3 4 5 6

Рис. 5. Зависимость величины ускорения от числа зафиксированных переменных для N = 70

таблиц. Последней строкой в таблицах приведены суммы времен решения для каждого значения К. Следует отметить, что во всех случаях использовались настройки МВГ-решателей «по умолчанию».

Данная серия экспериментов проводилась на расширенном наборе вычислительных ресурсов из четырех хостов и 26 потоков:

(1 ) Хост irbisl: 8 потоков 2 x Intel Xeon E5620 @ 2.40GHz,

(2) Хост fuji: 6 потоков Intel Xeon E5410 @ 2.33GHz,

(3) Хост restoptl: 6 потоков Intel Xeon E5-2620 @ 2.00GHz,

(4) Хост restopt2: 6 потоков Intel Xeon E5-2620 @ 2.00GHz.

Результаты данного эксперимента также представлены на рис. 5-7. На них изображена зависимость ускорения (времени решения исходной

■ 1

■ 2 3

■ 4

■ 5

6

-сумма

Рис. 6. Зависимость величины ускорения от числа зафиксированных переменных для N = 80

■ 1

■ 2 3

■ 4

■ 5

6

-сумма

Рис. 7. Зависимость величины ускорения от числа зафиксированных переменных для N = 90

задачи одним решателем, деленного на время решения в распределенном режиме) от числа зафиксированных переменных К. Значение ускорения отложено по вертикальной оси, а число зафиксированных переменных — по горизонтальной. Для отдельных экземпляров тестовых задач используются столбцы, а для суммарного ускорения — линия.

На графиках видно, что зависимость времени решения от числа подзадач ведет себя довольно непредсказуемо. Например, при зна-

Таблица 5. Потраченное машинное время для шестой задачи с N = 90

К restoptl restopt2 irbis1 fuji

1 0 1560 (1) 1775 (1) 0

2 3142 (1) 3180 (1) 3340 (1) 6382 (1)

3 1231 (2) 1140 (2) 1810 (2) 435 (2)

4 13254 (4) 13972 (4) 4630 (4) 6698 (4)

5 13817 (б) 49032 (б) 45106 (8) 26652 (6)

6 6087 (б) 31200 (6) 29778 (8) 14603 (6)

чении К = 4 все подзадачи начинают решаться одновременно и нет задач, ожидающих своей очереди на выполнение. При этом число выделенных на решение задачи ресурсов в два раза больше, чем при К =3. Однако, ускорение при К =4 часто оказывается ниже ускорения при К = 3.

По графикам видно, что, если судить по суммарному времени решения (фактически — по усредненному показателю), то максимальное ускорение наблюдалось при фиксации 2 или 3 переменных. Стоит отметить, что при К>5 подключенных решателей не хватает, чтобы запустить все подзадачи сразу. Это причина «замедления» при К>5.

В таблице 5 представлено машинное время, потраченное на вычислительных ресурсах при решении шестой задачи для N = 90 (в скобках указано число одновременно выполняемых подзадач). Из этой таблицы можно видеть, что Everest распределяет задания довольно равномерно по вычислительным ресурсам. Например, четыре задания для задачи с К = 2 были запущены каждая на отдельном хосте. Хотя свободных ресурсов было достаточно, чтобы запустить все четыре задания на одном хосте.

5. Заключение

В статье описывается программная реализация параллельной крупнозернистой схемы метода ветвей и границ для решения задач дискретной оптимизации в среде веб-сервисов на основе платформы Everest. Для обмена рекордными значениями целевой функции между параллельно работающими решателями, реализующими алгоритм МВГ, используется подсистема обмена сообщениями в среде приложений Everest.

Для задачи коммивояжера различных размерностей представленная в работе схема распраллеливания метода ветвей и границ продемонстрировала заметное ускорение по сравнению со временем решения тех же задач однопоточным экземпляром МВГ-решателя. Для разбиения исходной задачи на подзадачи применялся эвристический метод, реализованный на языке оптимизационного моделирования AMPL. Исходные коды разработанной системы доступны по адресу https://github.com/ssmir/dcbc.

Список литературы

[1] Л. Д. Попов. «Опыт многоуровневого распараллеливания метода ветвей и границ в задачах дискретной оптимизации», Автомат. и телемех., 2007, №5, с. 171-181, URL: http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml? jrnid=at&paperid=993&what=fullt&option_lang=rust 106

[2] E. P. Mancini, S. Marcarelli, I. Vasilyev, U. Villano. "A grid-aware MIP solver: Implementation and case studies", Future Generation Computer Systems, 24:2 (2008), pp. 133-141. t 106

[3] M. R. Bussieck, M. C. Ferris, A. Meeraus. "Grid-enabled optimization with GAMS", INFORMS Journal on Computing, 21:3 (2009), pp. 349-362. t106

[4] С. А. Смирнов, В. В. Волошинов. «Эффективное применение пакетов дискретной оптимизации в облачной инфраструктуре на основе эвристической декомпозиции исходной задачи в системе оптимизационного моделирования AMPL», Программные системы: теория и приложения, 7:1 (2016), с. 29-46, URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2016_1_29-46.pdf t 106

[5] С. А. Смирнов, В. В. Волошинов. «Предварительная декомпозиция задач дискретной оптимизации для ускорения алгоритма ветвей и границ в распределенной вычислительной среде», Компьютерные исследования и моделирование, 7:3 (2015), с. 719-725, URL: http://crm.ics.org.ru/uploads/crmissues/crm_2015_3/15746.pd:it106

[6] O. Sukhoroslov, S. Volkov, A. Afanasiev. "A Web-Based Platform for Publication and Distributed Execution of Computing Applications", Proc. 14-th, International Symposium on Parallel and Distributed Computing, ISPDC 2015 (Limassol, Cyprus, 29 June-01 July. 2015), IEEE, 2015, pp. 175-184. t 107

[7] G. Gamrath, T. Fischer, T. Gally, A. M. Gleixner, G. Hendel, T. Koch, S. J. Maher, M. Miltenberger, et al. The SCIP Optimization Suite 3.2, ZIB Report, 2016, 15-60. t 107

[8] H. Mittelmann. Mixed Integer Linear Programming Benchmark, 2016, URL: http://plato.asu.edu/ftp/milpc.htmlt

[9] R. Fourer, D. M. Gay, B. W. Kernighan. AMPL: A Modeling Language for Mathematical Programming, second edition, Duxbury Press/Brooks/Cole Publishing Company, 2002, 538 p. t 108 [10] Е. В. Алексеева, Построение математических моделей целочисленного линейного программирования. Примеры и задачи, Учеб. пособие, НГУ, Новосибирск, 2012, 132 с. t 109

Пример ссылки на эту публикацию:

В. В. Волошинов, С. А. Смирнов. «Оценка производительности крупноблочного алгоритма метода ветвей и границ в вычислительной среде Everest», Программные системы: теория и приложения, 2017, 8:1(32), с. 105-119. URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2017_1_105-119.pdf

Об авторах:

Владимир Владимирович Волошинов

Зав. лаб. Ц-3 ИППИ РАН, старший научный сотрудник, к.ф.-м.н. Научные интересы: теория и практика применения оптимизационных моделей в разных областях науки и техники; различные вопросы распределенных вычислений. e-mail: vladimir.voloshinov@gmail.com

Сергей Андреевич Смирнов И.о. научного сотрудника лаборатории № Ц-1 ИППИ РАН, к.т.н. Область научных интересов включает распределенные вычисления, облачные вычисления, а также использование пакетов оптимизации.

e-mail: sasmir@gmail.com

Vladimir Voloshinov, Sergey Smirnov. Evaluation of a Coarse-Grained Branch-and-Bound Algorithm in the Everest Computing Environment.

Abstract. The study concerned the coarse-grained approach to the implementation of the parallel branch-and-bound (B&B) method. Feasible domain of the mixed integer programming problem is divided into several subsets by fixing some of the integer variables. It corresponds to decomposition of the initial problem into subproblems, which are being solved in parallel by a pool of solvers. When solver finds an incumbent value it is broadcasted to other solvers. Such exchange of optimal objective value's bounds allows to speed up the solution of subproblems via reducing number of nodes of B&B search tree, which are to be explored. Solver life cycle and incumbent values' exchange are managed by the Everest Web-based platform for distributed computing, everest.distcomp.org. The system has been tested on several randomly generated mixed-integer programming problems and a noticeable speedup has been detected. (in Russian).

Key words and phrases: discrete optimization, branch and bound algorithm, coarse-grained parallelism.

References

[1] L. D. Popov. "Experience of multilevel parallelizing of the branch and bound

method in discrete optimization problems", Automation and Remote Control, 68:5

(2007), pp. 901-911.

[2] E. P. Mancini, S. Marcarelli, I. Vasilyev, U. Villano. "A grid-aware MIP solver: Implementation and case studies", Future Generation Computer Systems, 24:2

(2008), pp. 133-141.

[3] M. R. Bussieck, M. C. Ferris, A. Meeraus. "Grid-enabled optimization with GAMS", INFORMS Journal on Computing, 21:3 (2009), pp. 349-362.

[4] S. A. Smirnov, V.V. Voloshinov. "Effective use of discrete optimization solvers in cloud infrastructure on the basis of heuristic decomposition of the initial problem by optimization modeling system AMPL", Programmnyye sistemy: teoriya i prilozheniya, 7:1 (2016), pp. 29-46 (in Russian), URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2016_1_29-46.pdf

[5] S. A. Smirnov, V. V. Voloshinov. "Pre-decomposition of discrete optimization problems to speed up the branch and bound method in a distributed computing environment", Komp'yuternyye issledovaniya i modelirovaniye, 7:3 (2015), pp. 719-725 (in Russian), URL: http://crm.ics.org.ru/uploads/crmissues/ crm_2015_3/15746.pdf

[6] O. Sukhoroslov, S. Volkov, A. Afanasiev. "A Web-Based Platform for Publication and Distributed Execution of Computing Applications", Proc. 14-th International Symposium on Parallel and Distributed Computing, ISPDC 2015 (Limassol, Cyprus, 29 June-01 July. 2015), IEEE, 2015, pp. 175-184.

[7] G. Gamrath, T. Fischer, T. Gally, A. M. Gleixner, G. Hendel, T. Koch, S.J. Maher, M. Miltenberger, et al. The SCIP Optimization Suite 3.2, ZIB Report, 2016, 15-60.

[8] H. Mittelmann. Mixed Integer Linear Programming Benchmark, 2016, URL: http://plato.asu.edu/ftp/milpc.html

© V. V. Voloshinov, S. A. Smirnov, 2017

© Institute for Information Transmission Problems of RAS, 2017 © Program systems: Theory and Applications, 2017

[9] R. Fourer, D.M. Gay, B.W. Kernighan. AMPL: A Modeling Language for Mathematical Programming, second edition., Duxbury Press/Brooks/Cole Publishing Company, 2002, 538 p.

[10] Ye. V. Alekseyeva, Construction of mathematical models of integer linear programming. Examples and problems, Ucheb. posobiye, NGU, Novosibirsk, 2012 (in Russian), 132 p.

Sample citation of this publication:

Vladimir Voloshinov, Sergey Smirnov. "Evaluation of a Coarse-Grained Branch-and-Bound Algorithm in the Everest Computing Environment", Program systems: Theory and applications, 2017, 8:1(32), pp. 105-119. (In Russian). URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2017_1_105-119.pdf