CC BY
15
Mozzhechkov Vladimir Anatolyevich, doctor of technical science, chief engineer, [email protected], Russia, Tula, JSC "ETCPrivod",
Kot Olga Olegovna, undergraduate, [email protected], Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.391.31
ОЦЕНКА ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПЕРВИЧНЫХ СЕТЕЙ СВЯЗИ НА ОСНОВЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПРОДУКТИВНЫХ ПУТЕЙ
Н.А. Орешин, С.Н. Лазарев, А. А. Горшков, В.С. Шумилин
Рассмотрены преимущества подхода к оценке эффективности использования первичных сетей связи на основе методики определения продуктивных путей, позволяющей определить потенциальные возможности этих сетей по пропускной способности и суммарно задействуемом канальном ресурсе.
Ключевые слова: первичная сеть связи, потоковая модель сети связи, продуктивные и непродуктивные пути, пропускная способность сети, суммарно задействуе-мый канальный ресурс.
Проведенные исследования структур первичных сетей связи, описываемых потоковой моделью
G = ( A, B, S, T, C),
где A = \an n = 1, N }> - множество вершин (узлов) модели;
B = \ b^j m = 1,M; i, j = 1,N > - множество ветвей bm e B, соединяющих
узлы ai с узлами aj; 5 = ^^к ^ = 1, К| - множество истоков е 5 модели; T = и^ ^ = 1,ь\ - множество стоков ^ еТ модели;
C = \ c1'j /m = 1,M; i, j = 1, N ^ - множество пропускных способностей ре-
m
бер е В, соединяющих вершину ai с вершиной аj, позволяют произвести оценку путей, организуемых на базе заданной структуры, как с количественной, так и с качественной стороны.
153
m
Структура модели О = (А, В, £, Т, С) показана на рис. 1.
С количественной стороны можно определить наибольшее число путей в графе О, обладающих определенными характеристиками (например, минимальным или максимальным рангом пути, максимальной длиной ребра и т.д).
Рис. 1. Графовая модель первичной сети связи
Исследование качественной стороны различных множеств путей
показывает, что не все пути pp из полного множества П = |pp j p = 1, Pj возможных путей в рамках заданной структуры одинаково влияют на про-
S T
пускную способность сети связи Fmax, определяемую выражением
Q Т P p sk ,tl
F^X = If p = max, P=1
p Sk ,tl s t
где f p - поток, протекающий по p -тому пути ppk'l е П, организуемому между узлами Sk и ti.
По этому признаку будем различать продуктивные и непродуктивные пути.
К продуктивным путям отнесем такие пути pp, по всем ребрам
bj j е B которых однородные потоки fSk,tl протекают только в одном
направлении. Они позволяют реализовать пропускную способность сети
S T
Fmax при минимально задействуемом канальном ресурсе:
S T M
C , = Xст = min, где m - порядковый номер ребра. т=1
Непродуктивным назовем такой путь, если хотя бы по одному его
ребру bj j е B однородные потоки протекают в разных направлениях.
На рис. 2 и 3 приведены соответственно фрагменты моделей сетей, образованные на основе продуктивных и непродуктивных путей. Емкости
ребер с1'j, необходимые для пропускания потока fj j от узла aj к узлу
aj, на рисунках обозначены цифрами.
В соответствии с ранее введенным определением пути Pl = (s, ai, a2, t), P2 =(s, ai, t) и P3 = (s, a2, t), показанные на рис. 2, являются продуктивными. Потоки по этим путям во всех ребрах протекают только в одном направлении.
Рис. 2. Фрагмент сети, образованной на основе продуктивных путей
£ +
Как видно из этого рисунка для пропускания потока / ' = 3 от истока £ к стоку t задействуется канальный ресурс
С£,* = X ст = 2 +1 +1 +1 + 2 = 7.
т=1
Пути Р1 = (я, а\, а.2, t) и Р2 = (я, «2, а\, t), образуемые в графе, изображенном на рис. 3, являются непродуктивными, так как в ребре Ь\2 их потоки протекают в противоположных направлениях.
При таком распределении каналов для пропускания потока /s,1 = 2 от истока 8 к стоку t задействуется канальный ресурс = Е ст =
т=1
1 +1 + 2 +1 +1 = 6.
Рис. 3. Фрагмент сети, образованной на основе непродуктивных путей
Заметим, что если в данной сети потоки пропускать по продуктивным путям Р3 =(8, а1, t) и Р4 =(8, а2, t), то для пропускания
8 t
этого же потока / ' = 2 задействуется канальный ресурс 4
С8 = Е ст = 1 +1 +1 +1 = 4.
т=1
Отметим достоинства продуктивных путей, которые могут быть использованы в алгоритмах решения задач анализа и синтеза первичных сетей связи.
В задачах анализа при определении предельной пропускной способности первичной сети непродуктивные пути можно не выделять, так как, согласно рассмотренному, для этих целей вполне достаточно выделить только продуктивные пути [1].
Более того, продуктивные пути, являясь подмножеством всех возможных путей, составляют лишь незначительную его часть. Поэтому, для повышения вычислительной эффективности алгоритмов необходимо уметь выделять в сети только продуктивные пути.
В задачах синтеза образование непродуктивных путей приводит к построению избыточных сетей, то есть к неоправданному в большинстве случаев увеличению расхода канального ресурса.
На таких сетях путем перераспределения каналов всегда можно добиться требуемой пропускной способности с меньшими затратами канального ресурса.
А так как экономические вопросы всегда учитываются (особенно в настоящее время) при построении сетей связи, то организация непродуктивных путей в этом смысле весьма нежелательна.
Уникальное свойство продуктивных путей определять пропускную способность сети при минимально задействованной канальной ёмкости, а также повышать эффективность эвристических алгоритмов вызывает интерес к нахождению числа продуктивных путей, которые можно образовать на заданной сети, и определению их структур [2].
Для выявления закономерностей формирования множества продуктивных путей рассмотрим полносвязную сеть.
При этом задачу нахождения продуктивных путей можно сформулировать следующим образом [3].
Пусть задана полносвязная сеть в виде множества О = (А, В, £, t), где
А = |аI // = 1, N- узловая основа (множество узлов в сети);
В = |ь ) = 1, N- сетка линий (множество ребер сети), причём
ребро ЬI у Ф 0 при значениях ¡, у = 1, N; N - число узлов в сети; £ и t - соответственно сток и исток графа О = ( А, В, £, t), отражающего структуру сети.
Требуется определить максимальное число продуктивных путей
р^к и их етрущры сР р ^ ьтр, ар р).
Решение задачи по определению максимального числа продуктивных путей Р1рах) будем осуществлять по правилу, схематично изображенному на рис. 4. Для конкретности число узлов N взято равным восьми.
В основу предлагаемого правила положен тот факт, что в совокупном двудольном графе максимальное число путей с различными структурами
чГ-1
Рр(х) =
1 шах
N - 2 ,
если г > 1,
г -1
1, если г = 1
можно получить при равенстве мощностей Ы^. сечений АI совокупного
двудольного графа, где / Ф 0, / Ф Я; при этом максимальный ранг пути, который можно получить на данной узловой основе, составит Я = N -1 = 7 .
Представляя граф О = (А, В, £, t) в виде совокупности совокупных двудольных графов с первого по максимально допустимый ранг, определим максимальное число путей с различными структурами для каждого совокупного двудольного графа и для общей совокупности (рис. 4).
Таким образом, первая искомая величина задачи найдена. Однако, как показывают исследования, если произвольно производить распределение узлов по сечениям совокупного двудольного графа, то в общем случае совокупность путей будет содержать также и непродуктивные пути.
157
Рис. 4. Правило построения максимального количества
продуктивных путей
158
Например, если совокупный двудольный граф пятого ранга представить в виде, показанном на рис. 5, то, объединяя путь
р4 = (а, ^2,а4, ав, а8) совокупного двудольного графа четвертого ранга
(рис. 4) с путём р5 =(а^, аз, а4, а2, ау, а8) совокупного двудольного графа пятого ранга (рис. 5), получим граф (рис. в), в котором ребро ¿2,4 используется дважды.
Рис. 5. Совокупный двудольный граф пятого ранга
Рис. 6. Компенсация потока в ребре ¿24
Поскольку в ребре ¿2 4 потоки, протекающие по этим путям противоположны, то при таком объединении совокупных двудольных графов четвертого (рис. 4) и пятого рангов (рис. 5) получаются непродуктивные
пути р4 = (а^, а2, а4, ав, а§) и р5 = (а^, аз, а4, а2, ау,а§).
Для образования только продуктивных путей необходимо из совокупного двудольного графа (рис. в) исключить ребро ¿2,4, а потоки про-
зз
пускать по путям р^ = а^, а2, ау, а§ и Р2 = а^, аз, а4, ав, а§.
Таким образом, равномерное распределение узлов по сечениям совокупного двудольного графа каждого ранга дает только количественную оценку максимального числа продуктивных путей.
Для определения же структур путей необходимо еще учитывать направления протекания потоков по ребрам графа, в каждом совокупном двудольном графе [4, 5]. Заметим, что наличие несогласованного протекания потоков в ребрах, принадлежащих разным путям, свидетельствует о наличии непродуктивных путей.
Для устранения такой ситуации направление ребер графа О = ( А, В, s, t) предлагается выбирать в сторону узла с большим индексом. Эта направленность ребер позволяет правильно расставить узлы по сечениям совокупного двудольного графа.
Выделяя в каждом совокупном двудольном графе пути р Р, получим полную совокупность продуктивных путей П = |рр!р = 1, Р|, структура которых представлена в таблице.
Структура продуктивных путей
№ ранга пути № пути Структура пути
1 2 3
1 1 р1 =(аЬ а8 )
2 2 Р2 =(«1, «2, а8)
3 р2 =(аЬ 03, а8 )
4 Р2 = («1, «4, «8)
5 р2 = (0Ь «5^ «8 )
6 Р2 =(«1, «6, «8 )
7 р2 = («1, «7, 08)
3 8 р3 =(°Ь ^ «8)
9 Р3 =(«1, «2, «6, «8)
10 Р30 =(«1, «2, «7, а8 )
11 р]31 =(«1, «3, «5, «8)
12 р32 =(al, aз, a6, «8 )
13 р33 = (а1,03, 07, а8)
14 р34 =(«1, 04,05, 08)
15 р35 =(01, 04, 06, 08)
16 р36 = (01, 04, 07, 08)
4 17 р47 = (01, 02, 04, 06, 08)
18 р48 =(01, 02, 04, 07, 08)
Окончание таблицы
1 2 3
19 р49 = (а1, а2, а5, ав, а8 )
20 р40 = (аЬ ^ a5, а7, а8 )
21 р41 = (а1, а3, а4, ав, а8 )
22 р42 =(°1, «3, а4, а7, а8 )
23 р43 =(°1, а3, а5, ав, а8 )
24 р44 =(а1, а3, а5, ау, а8)
5 25 р25 = (а1, а2, а4, а5, ав, а8)
2в р2в = (а1, а2, а4, а5, ау, а8)
27 р2у = (а1, а3, а4, а5, ав, а8)
28 Р28 = (а1, а3, а4, а5, ау, а8)
в 29 р29 = (а1, а2, а3, а4, а5, ав, а8)
30 р^О = (а1, а2, а3, а4, а5, ау, а8)
7 31 рв1 = (а1, а2, а3, а4, а5, ав, ау, а8)
Анализируя количественно и качественно полученное множество продуктивных путей, нетрудно заметить:
1. Максимальное количество продуктивных путей определяется по формуле:
( ) N-1 ( ы _ 2-1
Ртрах) = 1 + ^ I . (1)
г=2 V г _1;
Следует заметить, что в последнем выражении знак неравенства учитывает невозможность в общем случае распределить узлы равномерно по всем сечениям.
2. Поскольку максимальное число путей с разными структурами в полносвязной сети О = (А, В, 8, t) с числом узлов N определяется выражением:
( ) N _ 2 1
= № _ 2)! I 1, (2)
i=о 1!
то путем сравнивая выражение (1) с выражением (2), легко заметить достоинства продуктивных путей.
1в1
В частности, мощность множества продуктивных путей значительно меньше мощности множества всевозможных путей, организуемых в графе при заданной структуре.
Действительно, если максимальное количество путей с разными структурами в сети с числом узлов, равным 8, составляет, согласно выражению (2), 1957, то мощность множества продуктивных путей, согласно выражению (1), равна всего лишь 31. Это преимущество с увеличением N экспоненциально усиливается.
3. При пропускании единичного потока по всем продуктивным путям, легко определяются требуемые емкости ребер. Например, если по какому-то ребру протекает l поток, то ёмкость этого ребра равна l.
4. Структура однопродуктовой сети G = (A, B, s, t), полученная на основе продуктивных путей, будет оптимальной, то есть:
R
Fs,t = Xmax frs,t, r=1
при
^ M . .
CG = X clmJ = min,
m =1
rS t
где maxfr' - суммарный максимальный поток, протекающий по всем путям ранга r; clmJ - ёмкость m -го ребра сети (пропускная способность ребра), значение которой равно суммарной величине потоков, протекающих по ней, то есть:
R
^J = X fm °m Z-iJr •
r=1
Таким образом, предложенная методика оптимального распределения каналов и трактов на основе определения продуктивных путей в графе и их структур позволяет определить потенциальные возможности первичных сетей связи по пропускной способности и суммарно судействуемом канальном ресурсе и может использоваться в автоматизированных системах управления связью.
Список литературы
1. Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. Пер. с англ. Под ред. Сушкова Б.Г. М., Мир, 1984. 496 с.
2. Форд А., Фалкерсон Д. Потоки в сетях. Пер. с англ. Вайнштейна И.А. М., Мир, 1966. 276 с.
3. Берж К. Теория графов и ее применение. М., Иностранная литература. Пер. с англ., 1962. 320 с.
4. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. Пер. с англ. Под ред. Теймана А.И. М., Наука, 1973. 368 с.
5. Фрэнк Г., Фриш И. Сеть связи и потоки. Под ред. Поспелова. М.: Связь, 1978. 448 с.
Орешин Николай Алексеевич, канд. техн. наук, проф., сотрудник Академии, ona47@ mail.ru, Россия, Орел, Академия ФСО России,
Лазарев Сергей Николаевич, доц., сотрудник Академии, serg.orelamail.ru, Россия, Орел, Академия ФСО России,
Горшков Алексей Анатольевич, канд. техн. наук, сотрудник Академии, gorschainbox.ru, Россия, Орел, Академия ФСО России,
Шумилин Вячеслав Сергеевич, сотрудник Академии, v-shumilinamail.ru, Россия, Орел, Академия ФСО России
ASSESS THE POTENTIAL PRIMARY NETWORKS BASED ON CERTAIN PRODUCTIVE WAYS
N.A. Oreshin, S.N. Lazarev, A.A. Gorshkov, V.S. Shumilin
The advantages of the approach to assessing the effectiveness of the use of primary communication networks based on the methodology for determining the productive ways, allowing to determine the potential of these networks for bandwidth and total resource of the involved channel.
Key words: primary communication network flow model of the communication network, productive and unproductive path, network bandwidth, total resources of the involved channel.
Oreshin Nikolay Alekseevich, candidate of technical science, professor, worker of Academy, ona47amail.ru, Russia, Orel, Academy FSO Russia,
Lazarev Sergey Nikolaevich, docent, worker of Academy, serg. orela mail.ru, Russia, Orel, Academy FSO Russia,
Gorshkov Aleksey Nikolaevich, candidate of technical science, worker of Academy, gorsch@,inbox. ru, Russia, Orel, Academy FSO Russia,
Shumilin Vyacheslav Sergeevich, worker of Academy, v-shumilina mail. ru, Russia, Orel, Academy FSO Russia
