CC BY
14
ОЦЕНКА ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ ИСКАЖЕНИЙ, ВНОСИМЫХ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ РАДИОТЕЛЕСКОПА МИЛЛИМЕТРОВОГО ДИАПАЗОНА1
A.В. Семенов, А.А. Корнеев, Ю.В. Лобанов, Ю.П. Корнеева, С.А. Рябчун, И.В. Третьяков, И.Н. Флоря, А.В. Смирнов,
B.В. Ковалюк, К.В. Смирнов, Г.Н. Гольцман
Аннотация. В статье рассмотрена поляризация электромагнитного поля вблизи фокальной точки телескопической системы. Оценена верхняя граница поляризационных искажений, вносимых отражающими поверхностями, в том числе с учетом неидеальности отражения.
Ключевые слова: оптика миллиметрового диапазона, поляризационные искажения, метод Френеля.
Summary. The article analyzes polarization of the electromagnetic field near the focal point of the telescopic arrangement. It also gives estimation of the upper limit of the polarization distortion produced by reflectors, considering nonideal reflections.
Keywords: millimeter-range optics, polarization distortions, Frensel method.
рецизионные измерения поляризации электромагнитного сигнала милли-230 метрового и субмиллиметрового диапазона необходимы в разнообразных
современных приложениях - от радиоастрономии и мониторинга атмосферы до противодействия террористической угрозе [1; 2]. Все подобные измерения производятся с помощью поляриметров, согласуемых с принимаемым сигналов посредством оптической системы, состоящей из одного или нескольких зеркал или линз. Поэтому возникает необходимость учета поляризационных искажений, вносимых оптической системой.
В настоящее время эта задача решается с помощью численного моделирования оптической системы в среде одного из специализированных программных пакетов MicroWaveOffice, ЫРББ и др. Однако создание численной модели требует довольно большого времени, и, кроме того, получаемый при этом результат обычно затруднительно проанализировать, поэтому аналитическая оценка величины поляризационных искажений сохраняет актуальность.
1 Научные исследования были проведены в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. и ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России» на 2007-2013 гг.
Рис. Оптическая схема зеркального телескопа, содержащая рефлектор и контррефектор. й = 2Явх - диаметр входного зрачка, 0, 02 - углы падения
крайних лучей на рефлектор и контррефлектор, 2у - угол схождения лучей в точке фокуса Р
Рассматриваемая задача может быть сформулирована следующим образом. На вход оптической системы, состоящей из двух зеркал, подается плоская линейно поляризованная волна. В фокальной плоскости системы формируется дифракционный кружок. Требуется оценить отношение амплитуд поля с измененной (перпендикулярной исходной) и с исходной поляризацией в пределах дифракционного кружка.
При подстановке конкретных численных значений мы будем иметь в виду оптическую систему (см. рис.), представляющую собой телескоп с фокусным расстоянием 40 м и диаметром главного зеркала (рефлектора) 6 м, принимающий сигнал с частотой 100 ГГц (длина волны 3 мм).
Все излагаемые ниже результаты получены в пренебрежении членами второго порядка в разложении фазы по расстоянию от оси симметрии оптической системы. Тем самым их справедливость ограничена углами расстояниями от оси, много меньшими (RX)1/2/f (анаберрационная область; R - расстояние от фокальной плоскости системы до контррефлектора, X - длина волны, f - фокусное расстояние системы).
Разобьем задачу на части.
0. Отражение от бесконечного плоского зеркала
Пусть плоская линейно поляризованная волна падает на бесконечное плоское зеркало. Систему координат выбираем следующим образом: Ox направлена по вектору E, Oy по B, Oz по направлению распространения волны S=[EB]. (Эта же система координат используется и далее). Тогда проекции амплитуды электрического поля отражённой волны E' на Ox и Oy будут
E'JE = (2cos2фsin20 -l) + sin2ф(г + r2)
E JE = cosф sinф(2г sin2 0 - (i + r2))
v cos0 -1 v cos0 +1
4 / 2012
Преподаватель XXI
231
(1а) (1б)
Здесь ф - угол между Е и проекцией нормали к зеркалу на плоскость {Е, В}, 0 - угол между нормалью к зеркалу и 8. г1 и г2 - коэффициенты отражения по амплитуде для волны, поляризованной в плоскости падения и перпендикулярно таковой, вычисляемые по формулам Френеля. Приближенные выражения для них можно написать в виде
(2а)
232
cose -v
r2 = —о--(2б)
cose +v
Здесь v = д/l/£0ю ре~ш/4 - комплексный показатель преломления металла на частоте ю, зависящий от удельного сопротивления р. Выписанные формулы для коэффициентов отражения и показателя преломления верны в пределе |v| > > 1 , что обычно хорошо выполняется: при соответствующем стандартным золотым пленкам р = 20 мкОм^см [3] и ю = 2^*100 ГГц |v| ~ 1000 . Другим условием применимости формул Френеля для описания отражения от проводящего зеркала является малость толщины скин-слоя по сравнению с толщиной проводящего покрытия. Толщина скин-слоя может быть оценена по формуле l ~ д/яр/ц0ю и оказывается равной примерно 1 мкм.
1. Далее будем рассчитывать поля, формирующиеся вблизи фокальных точек разных оптических систем, пользуясь приближенным методом Френеля [4]. Точность метода ограничивается невозможностью учесть дифракционные эффекты на краях отражающих поверхностей; соответствующая относительная погрешность имеет порядок LX/S, где S - площадь отражающих поверхностей, L - длина границы отражающих поверхностей, X - длина волны.
Сначала сформулируем метод для случая одного отражателя. В качестве поверхности F, на которой поле считается известным, выбираем поверхность отражателя. Поле на ней E'(r) с точностью до фазового множителя будет даваться формулами (1), в которых теперь углы ф и 9 зависят от положения точки на поверхности отражателя. Поле в точке наблюдения можно найти как результат сложения вторичных волн, исходящих из разных точек поверхности F.
E'^JdSK(r)E'(r)exp('x(r))/r , (3)
K- весовой множитель, зависящий от геометрии, %(r) - фазы, с которыми волны приходят в точку наблюдения. В фокальную точку все волны приходят с одинаковой фазой, которую для удобства примем за 0.
E' dSK(R)E'(r) / R (3а)
(R - вектор, проведенный из фокуса в данную точку поверхности отражателя). Если есть осевая симметрия, то для компоненты Е' тождественно получается 0.
При отклонении точки наблюдения от фокальной точки на вектор d, длина которого мала по сравнению с r, можно разложить r в ряд по в ряд по d/R с точностью до первого порядка, r = R-d и R-(Rd)/R К интегралу (3а) появятся поправки, причем относительная величина поправки от изменения фазы X(r) и kd (k - волновой вектор) при произвольном соотношении между d и X, вообще говоря, порядка единицы, в то время как поправки другого происхождения имеют порядок малости (d/r) и могут быть отброшены. Это дает возможность вычислить поле в точке наблюдения как
E' dSK(R)E'(r)exp('kd) /R. (3б)
Пример 1. Поле вблизи фокуса идеально отражающего кольцевого зеркала Пусть зеркало представляет собой узкое кольцо радиусом R0, полученное сечением парабалоида двумя нормальными к его оси плоскостями. Пусть отражение идеальное, т.е. r1 = -r2 = 1. Формулы (1) упростятся:
EJE = 2 cos2 ф sin2 6-1 (4а)
Ey¡E = ^ф sin ф sin2 6. (4б)
Электромагнитная волна падает параллельно оси кольца, угол между нормалью к поверхности кольца и S равен 9. Посчитаем поле в точке А, лежащей в фокальной плоскости и отстоящей от фокуса на расстояние d <<R0.
2п
E\,y ~ J¿ФЕ\,у (r>xp(á(r))/г . (5)
0
Пренебрежем зависимостью r в знаменателе от ф (при а = 0 ее нет, а при а << R0 поправки в интеграл будут порядка а/R0). Фазу разлагаем в ряд по а до первого порядка:
X (r)« X (R )- kRd / R = kid cos в cos( -а ), (6)
здесь k - волновое число, R - вектор, проведенный из фокуса в данную точку кольца, а - угол между Ox и отрезком d, в - угол между R и плоскостью кольца (из геометрических соотношений в = та/2-29, cosP = sin29). Тогда
2п
E\,y ~ JdфE\¡y (ф,б) exp(k(dcos в )cos^ -а )) , (7)
о
а в более расписанном виде
2п
E\ ~ J dф(2cos2 ф sin2 6 -1) exp (ik (d cos в )cos (ф - а )) (7а)
E'y ~ Jdф2cosф sinф sin26 exp(ik(dcos в)cos^-a)). (7б)
Интегралы выражаются через функции Бесселя первого рода J0 и J,:
E\~ J0(kdsin26) cos26 - J2(kdsin26) sin26 sin2a . (8)
E'ó ~-J2(hdsin26)sin26 sin2a . (9)
Отсюда следует, что в рассматриваемом примере амплитуды поля с той и другой поляризацией в пределах кружка Эйри1 сравнимы друг с другом, если только sin2 6 не мал.
233
Случай идеально отражающего параболического зеркала получается из случая кольца суммированием по всем кольцам, то есть интегрированием по 9. Поскольку формулы для кольца не содержат быстро осциллирующих функций 9, результат для параболоида будет качественно таким же, и количественно отношение Е'/Е'х будет того же порядка. При этом для оценки отношения Е'/Е'х
1 Кружок Эйри (определяемый по положению первого дифракционного минимума) для кольцевого зеркала имеет угловой размер а//= 2.4/(£К ) = 0.38 Х/К (- фокусное расстояние, К -радиус входного зрачка, совпадающий в данном случае с радиусом зеркала).
4 / 2012
Преподаватель |_
сверху можно воспользоваться формулами (8), (9), подставив в качестве 9 угол между нормалью к краю зеркала и его осью (Вклад в ЕУ/Е'х от крайнего кольца наибольший). В случае 9 « та/4 отношение Е'/Е'х оказывается порядка 1 (при
234
y
sin2a = 1). Оно сильно меняется в пределах кружка Эйри.
2. Обобщение на случай двух (или более) отражающих поверхностей не представляет особого труда. В качестве поверхности F теперь можно выбрать, например, поверхность второго отражателя2. При этом поле на ней будет E''(r) будет результатом двух отражений - от первого и второго отражателей. Далее поле вблизи фокальной точке можно посчитать по формуле (3б), в которой вместо E'(r) будет E''(r).
Пример 2. Поле вблизи фокуса системы из двух идеально отражающих кольцевых зеркал - рефлектора и контррефлектора.
Угол, под которым волна падает на рефлектор - по-прежнему 9, угол между S и нормалью к поверхности контррефлектора - 92.
Поле отраженной волны на поверхности контррефлектора E'' дается формулами
E"JE = 2cos2 ф sin2 80 +1 , (10а)
E'/E = -2^ф sin ф sin2 80 , (10б)
в которых 59 = 9-92. Далее все выкладки формально идентичны выкладкам в случае одного кольцевого зеркала. Вся разница сводится к замене 9 на 59 и в = п/2-29 на в = п/2-259 (последнее следует из геометрии). Результат поэтому тоже дается формулами (8), (9) с заменой 9 на 59.
Можно заметить, что в обоих случаях результат выражается через угол отклонения сходящихся в фокусе лучей от первоначального направления. Обозначим его у. В первом случае у = 29, во втором - у = 259.
Очевидным образом оценка сверху для отношения Ey'/E'x в случае системы из идеально отражающих параболического рефлектора и гиперболического контррефлектора может быть снова сделана также, как в случае одного кольцевого зеркала. В качестве у нужно взять угол между крайними приходящими в фокус лучами и осью. При фокусном расстоянии f много большем радиуса входного зрачка Лвх, у и R^/f. При f = 40 м, Явх = 3 м оценка дает E'^/E"x ~ (у/2)2«1.4*10-3.
3. При неидеальном отражении формулы (10) несколько усложняются; результат отражения начинает зависеть от углов 9 и 92 по отдельности. Особого смысла учитывать (малую) поправку к E"x нет, а результат для E""y выглядит так:
E"¡ E = 2^ф si^ - sin2 80+—I Sin 0 + Sin 02 1 = 2^ф si^í - sin2 Y+n l (11) У1 v I cos0 cos02 i ~ i
2
2 Неоднозначность выбора поверхности ^ в действительности сказывается на результатах,
даваемых методом Френеля, но уже во втором порядке по (4/Р); первого порядка достаточно при
4 << (РХ)1/2, что даёт 4// << 1'. Впрочем, небольшое обобщение метода позволяет учесть и второй порядок.
Формула справедлива при V > 1 и у << 1. Поскольку при у << 1 углы 9 и 92
,, 2 sin2 е близки друг к другу, можно определить параметр п просто как п =--—.
4. В тех же предположениях поле в фокусе системы из двух неидеально отражающих кольцевых зеркал - рефлектора и контррефлектора:
£> Л(12)
í / л2
2 Ь
(13)
Легко получаются аналогичные формулы и для системы из неидеально отражающих параболического рефлектора и гиперболического контррефлектора. Достаточно проинтегрировать (12), (13) по углам у с весом у3
£>Трт(Му) = у т ^, (14)
Y m
0........ V
(это, естественно, стандартный результат для дифракции на круглом отверстии),
E'- sin 2а jdy J(ы7)|-|^|+П » sm2a[-Ym^Ь^-^^ (15) (v = kdym ,Ym - угол схождения крайних лучей).
Поскольку п зависит от у посредством 9, точно проинтегрировать второе слагаемое в (15) сложно. Поэтому для оценки (сверху) интеграла от него положено п = П(9 m).
5. Удобным параметром для характеризации поляризационных искажений является отношение мощностей излучения с той и другой поляризацией, приходящихся на весь кружок Эйри. Мощность излучения с исходной поляризацией
p -j dvvE2=Ym j dv v, (16)
0 0 V 2 с поляризацией, перпендикулярной исходной
Py - |— sin 2a jdyvE"? =1 jdyvEf. (17)
0 2n 0 2 0 Поляризационные искажения, обусловленные слагаемыми различной природы в (15), оценим для простоты по отдельности. В случае идеального отражения (искажения геометрической природы) результат точный
P — j2 Гdv ^ = «. (17а)
y 2 [ 4 J| V v 192 )m
Оценка сверху для вклада, происходящего от неидеальности отражения
Py - 2|п12Ym jdvv^1-^-^f=4N2Ym. (176)
3 Это верно благодаря малости у.
4 / 2012 Преподаватель XX
235
236
Таким образом, отношения соответствующих мощностей
= i Yl, (18а)
P I 96
'геом
, i П2 = i 6 „«.pf ^ (18б)
x унеид у m
-2
При ут=Рвх//= 3/40 = 7.5 х 10
(Р /Р т = 3.3 х 10-7 (= -65 дБ).
^ у X геом ^ ^ /
При соответствующем стандартным золотым пленкам р = 20 мкОмхсм и частоте ю = 2пх 100 ГГц и угле падения крайних лучей 9 = 45°
(Р/Р)^ ~ 10-6 (= -60 дБ). т
Для гальванического алюминия (р = 4 мкОмхсм) на той же частоте
(Р/Р)^ ~ 10-7 (= -70 дБ).
В порядке обсуждения полученного результата, отметим, что вклады в поляризационные искажения, даваемые формулами (18а) и (18б), зависят от разных геометрических параметров оптической системы - угла схождения крайних лучей в фокусе ут и максимального угла падения крайних лучей на зеркала 9т. Поэтому при решении задачи построения чувствительного поляриметра эти параметры оптической системы должны оптимизироваться совместно. В частности, не имеет смысла уменьшать один из вкладов в поляризационные искажения таким образом, чтобы он стал мал по сравнению с другим вкладом.
Вышеприведенные оценки, а также формулы (15) и (18) являются основным результатом данной работы. Несмотря на оценочный характер развитого метода, результат хорошо согласуются с данными численного расчета, проделанного для телескопа описанной геометрии методом численного интегрирования уравнений Максвелла в конечных разностях (FDTD) [4], который которой дал для отношения (Р/Р) в случае зеркала из гальванического алюминия
величину -62 дБ.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болометр на горячих электронах в нормальном металле с андреевским отражением в сверхпроводящих берегах / Выставкин А.Н., Шуваев Д.В., Кузьмин Л.С. Тарасов М.А., Адер-стед Э., Вилландер М., Клаесон Т. // ЖЭТФ. - 1999. - Т. 15. - С. 1085-1097.
2. Ultrafast superconducting single-photon detectors for near-infrared wavelength quantum communications / G. Gol'tsman, A. Korneev, I. Rubtsova, I. Milostnaya, G. Chulkova, O. Minaeva, K. Smirnov, B. Voronov et al. // Physica Status Solidi. - 2005. - Vol. 2. - No. 5. - P. 1480-1488.
3. Fabrication of Nanostructured Superconducting Single-Photon Detectors / G. Gol'tsman, K. Smirnov, P. Kouminov, B. Voronov, N. Kaurova, V. Drakinsky, J. Zhang, A. Verevkin, R. Sobolewski // IEEE Transactions On Applied Superconductivity. - 2003. - June. - Vol. 13. -No. 2. - P. 192-195.
4. СивухинД.В. Общий курс физики. - Т. 4. Оптика. - М.: Мир, 1980.
5. Follow-up on the Millimetron Telescope Performance Study presented in Paris / W. Jellema, H. van de Stadt, A. Baryshev, G. Chattopadhyay, N. Llombart, M. Whale, S. Shchesnyak // Millimetron Science and Instrumentation Workshop, Palermo (Italy). - June 14-18, 2010. ■
