Оценка показателей точности нарезаемого колеса при зубофрезеровании Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ОБРАБОТКА МАТЕРИАЛОВ РЕЗАНИЕМ

УДК 621.914.5

Оценка показателей точности нарезаемого колеса при зубофрезеровании

Р. М. Хусаинов, Е. Б. Волков

Введение

Повышение качества работы и надежности механизмов обуславливает ужесточение требований к качеству зубчатых передач. Точность зубчатых колес характеризуется комплексом показателей, устанавливаемых стандартами [1]. Этими показателями оперирует проектировщик, определяя их в качестве технических требований к изделию. Производитель же имеет дело с производственными погрешностями технологической системы, и ему бывает затруднительно связать эти погрешности с допусками, заданными проектировщиком, в частности произвести прогнозную оценку точности изготовления. Отсутствие надежной и достоверной оценки точностных возможностей технологической системы часто оборачивается потерями на брак. Это диктует необходимость располагать средствами учета и моделирования погрешностей технологической системы, причем во взаимосвязи с показателями качества производимого изделия.

Основная часть

Предлагаемый метод оценки показателей точности нарезаемых колес основан на функциональном подходе к образованию погрешностей зубчатого колеса, а также на применении математического аппарата преобразования координат [2]. При этом элементы технологической системы представляются как совокупность твердых тел, каждое из которых может быть заменено системой координат. Эти системы координат располагаются в той последовательности, в которой расположены элементы технологической системы в направлении от заготовки к инструменту.

Рассмотрим данный подход применительно к изготовлению зубчатого колеса на зубофре-зерном станке модели ЫеЪЬегг ЬС300, схема которого представлена на рис. 1. Можно выделить следующие элементы технологической системы.

1. Заготовка, представляемая координатной системой ХУ.„.

з з з

2. Приспособление, представляемое координатной системой ХпрУ"пр.пр.

3. Стол станка, представляемый координатной системой ХстУст.ст. Поскольку при образовании идеальной поверхности эти элементы неподвижны относительно друг друга, можно объединить их и в дальнейшем рассматривать единую систему ХстУст.ст. Данный элемент совершает вращение, обозначаемое С.

4. Фрезерная стойка, представляемая координатной системой Хф.стУф.ст£ф.ст. Данный элемент имеет наладочное перемещение по координате х.

5. Фрезерный суппорт, представляемый координатной системой Хф сУф с.ф с. Этот элемент перемещается по координате г.

6. Инструментальный шпиндель, оправка, червячная фреза. Из тех же соображений, что и в п. 3, их можно представить единой координатной системой Хт „ „ „ „.

^ ш.о.и ш.о.и ш.о.и

Уравнение идеальной поверхности — математическое описание движения инструмента в системе координат заготовки — определяется из выражения

г = ЛсЛХЛтЛЛЛвг ,

(1)

где гз — вектор, элементами которого являются координаты идеальной поверхности заготовки; Лс, ЛХ, Лу, ЛЛ, Лв — матрицы преобразований по соответствующим координатам; ги — вектор, элементами которого являются координаты поверхности режущего инструмента.

Реальное зубчатое колесо можно рассматривать как изделие, отражающее неточности средств его изготовления, которые будут проявляться при эксплуатации, изменяясь в функции перемещения звена. Неточности средств изготовления, т. е. погрешности каждого элемента технологической системы, можно представить в виде малого смещения элемента как твердого тела вместе со своей координатной системой. Это малое смещение

Рис. 1. Координатные системы зубофрезерного станка

(вариация) передается через всю технологическую систему на заготовку (обрабатываемую поверхность) и моделируется матрицей вариации 8Аг, элементы которой представляют собой погрешности, вносимые данным элементом по соответствующей координате. Матрица вариации подставляется в выражение (1) перед матрицей соответствующего элемента.

При моделировании зубофрезерного станка были определены следующие функции выходной погрешности от элементов технологической системы.

1. От вращения стола:

8г

з(ст)

( 0 -8С ст 8В ст 8х Л ст

8С ст 0 -8А ст 8у ^ст

-8В ст 8А ст 0 82 ст

1 0 0 0 0 J

X

хАсАхАтАААвТ ,

тт 7

(2)

ющим координатам, определенные испытаниями.

2. От наладочного перемещения фрезерной стойки:

(

8Г = ас

з(ф.ст)

0 0

8Б

0 0

0 0 0 0 0

х АхАгАААвг ,

ф.ст 0

-8Б

ф.ст

8х^ Л

ф.ст 0 0 0

X

(3)

где 8Хф ст — погрешность позиционирования фрезерной стойки; 8Вф ст — неперпендикулярность направляющих стойки относительно плоскости стола.

3. От перемещения фрезерного суппорта:

8г,, = АсАх х

з(ф.суп)

где 8хст, 8уст — составляющие радиального биения стола, приспособления и заготовки; 8^ст — составляющая осевого биения этих элементов; 8А , 8В — составляющие тор-

ст ст

цевого биения этих элементов; 8Сст — функция кинематической погрешности (неравномерности вращения) кинематической цепи. В эти компоненты включаются также составляющие статических, динамических, тепловых деформаций заготовки по соответству-

X

0 0 8В ф.суп 0

0 0 -8АЛ ф.суп 8уф.суп

8В, ф.суп 8АЛ ф.суп 0 0

0 0 0 0

X

хАТАААВГ ,

тт 7

(4)

где 8уф суп - функция неравномерности перемещения фрезерного суппорта; 8Аф 8ВЛ

ф.суп

ф.суп

ф.суп'

— составляющие неперпендикуляр-

МЕТ Ш М БРАЩКА

ности направляющих суппорта относительно плоскости стола.

4. От вращения червячной фрезы:

5Гз(Ч.фр) = лСлХлУлЛ х

-5С.

5С,

ч.фр

ч.фр 0

-5B,

ч.фр

5Л

ч.фр 0

SB .

ч.фр

-5Ач.фр 0

0

5х , л

ч.фр

Sy Sz

ч.фр

ч.фр 0

ABr

(5)

0

где 5хч фр , 8гч фр — составляющие радиального биения инструментального шпинделя,

оправки и червячной фрезы; 5учфр — составляющие осевого биения этих элементов, а также погрешности профиля, шага и угла винтовой канавки червячной фрезы; 5Ач фр, 5Сч фр — составляющие торцевого биения этих элементов, а также погрешность угла профиля червячной фрезы; 5Вч фр — функция кинематической погрешности (неравномерности вращения) кинематической цепи червячной фрезы. В эти компоненты включаются также составляющие статических, динамических, тепловых деформаций инструмента по соответствующим координатам, определенные испытаниями.

Суммируя результаты выражений (2)-(5), можно определить вектор погрешностей реальной поверхности с учетом геометрических и кинематических погрешностей технологической системы. В данном случае вектор будет состоять из трех элементов по осям координат и являться функцией угла поворота стола С, поскольку при зубофрезеровании остальные переменные можно выразить через него:

Sr (C) =

rSx (C) Sy (C) Sz (C)

Sr + Sr + Sr + Sr

з(ст) з(ф.ст) з(ф.суп) з(ч.фр)

(6)

Для определения показателей точности нарезаемого зубчатого колеса необходимо проанализировать условия переноса выходной погрешности технологической системы зубофрезерного станка на профиль изделия. Обычно при зубофрезеровании система отсчета ошибок базируется на рассмотрении малых смещений точной рейки, зацепляющейся с нарезаемым колесом [3]. Согласно классической теории точности образование погрешности следует рассматривать по линии действия механизма. В данном случае линией действия является линия станочного зацепления п—п (рис. 2). Элементы вектора (6) приводятся к линии зацепления, т. е. проецируются на нее:

Дпх (С) = 5х (С )вт( а); (7)

Дпу (С) = 5у (С )ео8( а); (8)

Дп2 (С) = 5г (С )вш( ш )ео8( а), (9)

где ш — угол подъема винтовой линии червячной фрезы; а — угол зацепления.

Просуммировав выражения (7-9), определяем суммарную погрешность технологической системы по линии зацепления:

Дп(С) = Дп (С) + Дп (С) + Дп (С). (10)

х у 2

Полученная величина характеризует неточности положения производящей рейки относительно боковых поверхностей зубьев и может быть пересчитана в показатели точности нарезаемого колеса. Необходимо иметь в виду, что не все составляющие Дп(С) отображаются на профиле изделия в полную величину вследствие срезания волн погрешностей последующими резами зубьев фрезы.

Первым этапом перехода от суммарной погрешности Дп(С) по линии зацепления к по-

В элементах вектора Sr(C) основное влияние имеют составляющие вида f sin (kC) или g sin (kC), где f, g, k — некоторые коэффициенты. Таким образом, зубчатое колесо является носителем периодической ошибки, составляющие которой образуют гармонический ряд и могут быть приняты изменяющимися по синусоидальному закону. В этом ряду основная составляющая имеет наибольший период, равный одному или нескольким оборотам нарезаемого колеса, а остальные составляющие — циклические — имеют периоды меньше одного оборота колеса.

An/C) Sy(C) AT(C)

^wi^V-yTO \-/ -- ^ ¡69

/ \ / / i

/ AHy(C)\ VZ/ n

/ An(C)

r x

Рис. 2. Схема станочного зацепления между червячной фрезой и заготовкой

X

z

У

МЕТАЛЛООБРАБОТКА

МЕТАШШ1

казателям точности изготовляемого колеса является разложение Дп(С) на радиальную ДБ(С) и тангенциальную ДТ(С) составляющие.

Радиальная составляющая представляется как проекция на ось X суммарной погрешности Дп(С) по линии зацепления:

ДБ (С) = Дп( С) вт( а). (11)

Тангенциальная составляющая рассматривается как проекция суммарной погрешности Дп(С) по линии зацепления на ось У и записывается в следующем виде:

ДТ (С) = Дп(С )еов(а). (12)

И тангенциальная, и радиальная составляющие являются суммой множества гармоник. С другой стороны, стандартные показатели точности зубчатого колеса распределяются по нескольким группам. Из них комплекс показателей кинематической точности определяется основной гармоникой ошибок. Следовательно, для сопоставления погрешностей технологической системы стандартным показателям кинематической точности необходимо исследовать основные гармоники функций ДБ(С) и ДТ(С), т. е. изменение этих составляющих за один оборот заготовки.

Радиальное биение зубчатого венца изготовленной шестерни ¥ гг определяется по изменению радиальной составляющей ДБ(С) на промежутке от 0 до 2п, т. е. как разность между максимальным и минимальным значениями функции ДБ(С) на этом промежутке:

¥гг = тах [ДБ(С)] - тт [ДБ(С)]. (13)

0<С<2п 0<С<2п

Рис. 3. Графики радиального биения зубчатого венца

График изменения радиального биения, построенный согласно предлагаемой модели в системе Mathcad 14, представлен на рис. 3, а, где f(ß) = ДБ(С), а угол ß = С изменяется на промежутке от 0 до 2п. Как видно из графика, функция ДБ(С) имеет четко выраженную основную гармонику с периодом один оборот заготовки и циклические гармоники.

Аналогично значение наибольшей кинематической погрешности F' определяется как разность максимального и минимального значений тангенциальной составляющей ДТ(С) на промежутке от 0 до 2п:

F' = max [ДТ(С)] - min [ДТ(С)]. (14)

0<С<2п 0<С<2п

График изменения кинематической погрешности F' , построенный согласно предлагаемой модели в системе Mathcad 14, представлен на рис. 3, б, где f(ß) = ДТ(С), а угол ß = С изменяется на промежутке от 0 до 2п. Составляющая ДТ(С) также имеет четко выраженные основную и циклические гармоники.

Комплекс показателей плавности работы определяется циклическими гармониками суммарной ошибки. Следовательно, для их определения необходимо исследовать циклические составляющие ДБ(С) и ДТ(С).

Стандартом выделяется параметр, аналогичный радиальному биению зубчатого венца, — колебание измерительного межосевого расстояния на одном зубе f . Определить эту величину можно, вычисляя изменение радиальной составляющей ДБ(С) в пределах одного углового шага, т. е. при изменении С на 2п / гк, где гк — число зубьев нарезаемого колеса. В качестве итогового значения

б) f(ß).

(а) и кинематической погрешности зубчатого колеса (б)

МЕТАЛЛ 00 БРА0ТКА

а) т.

мм 0.045

0.041

б) Кв).

мм 0,045

0.042

0

0.349

0.369 Д рад

0

0.37

0.392 Д рад

Рис. 4. Графики колебания измерительного межосевого расстояния на одном зубе (а, зуб № 16) и циклической погрешности зубцовой частоты (б, зуб № 17)

выбирают наибольшее из значений на всех промежутках:

Г шах [ДБ (С)] - ш1п [ДБ (С)] Чг = 0тах 1 <С< 2 п <С< 2п Г . (15)

0 < I < г„ | * -; ^ -1 + 1 ^ -1 2к -1 + 1J

^к I 2к- Г

График изменения функции ДБ(С) в пределах одного углового шага показан на рис. 4, а.

Циклическая погрешность зубцовой частоты определяется аналогично колебанию измерительного межосевого расстояния на одном зубе. В этом случае вычисляется изменение тангенциальной составляющей в пределах одного углового шага (рис. 4, б):

Г шах [ДТ (С)] - тт [ДТ (С)] | ^

/ = шах 1 2п 2п

'ггг -< С <--

0 <1 < [ ^ -1 2к -1 + 1

2пт<С< 2п

I+11

Очень часто в комплексе показателей точности зубчатого колеса применяется погрешность направления зуба Гдг. Реализацию этой ошибки можно моделировать исходя из следующих соображений. При изготовлении прямозубого колеса обработка происходит с вертикальной подачей, причем она выражается в миллиметрах вертикального перемещения червячной фрезы за один оборот стола с заготовкой. То есть при фрезеровании способом встречной подачи режущая кромка фрезы должна переместиться на значение вертикальной подачи из точки 0 в точку 1 ровно за один оборот стола (рис. 5). Так будет сформирована прямая идеальная линия зуба. Однако вследствие погрешностей привода подачи и привода вращения стола возникнет рассогласование между идеальными положениями режущей кромки и профиля

зуба на заготовке. Так, при мгновенном ускорении подачи точка на заготовке, где должен быть рез режущей кромкой фрезы, не успеет дойти до точки 1, соответствующей их идеальному взаимному положению. Поэтому рез данной режущей кромкой будет в точке 1 и на заготовке останется излишний металл. Таким образом, линия зуба будет образована отрезком 0-1'. При мгновенном замедлении подачи точка на заготовке перейдет за положение 1, поэтому произойдет рез данной режущей кромкой в точке 1". Таким образом, будет вырезан излишний материал и линия зуба будет образована отрезком 0-1". Анало-

а)

о

со '— — .

0

1 1 1

2"\ 2 -2' —"

__3"/ 3 ^3—-

б)

Рис. 5. Образование погрешности направления линии зуба прямозубого (а) и косозубого (б) колеса

ОБРАБОТКА МАТЕРИАЛОВ РЕЗАНИЕМ

МП^П^БРАБОТКЛ

а)

б)

-0,01

0

0,01

/в

34 --- 6

0 dS

Рис. 6. Графики погрешности направления зуба, полученные математическим моделированием (а) и измерением (б)

гичные явления будут происходить при локальном ускорении и замедлении заготовки вследствие погрешностей привода стола.

Таким образом, будет иметь место смещение положения точки контакта инструмента и заготовки в тангенциальном направлении при перемещении этой точки на величину S0. Этому перемещению должен соответствовать поворот заготовки на 2п. Следовательно, для определения мгновенного отклонения линии зуба необходимо найти разность функции ДТ(С) за один оборот заготовки, т. е. за 2п.

Построение линии зуба производится следующим образом. Определяют число оборотов стола за время обработки заготовки пст = = I / S0, где I — ширина зубчатого венца. Каждый оборот стола соответствует точкам контакта 0, 1, 2 и т. д. Для каждой точки, начиная с 1, определяют разность функции ДТ(С) за каждый оборот:

/^ = ДТ[2п]] - ДТ[2п(] - 1)], (17)

где ] — номер оборота, ] = 1, ..., пст.

На рис. 6, а приведен график, полученный по результатам расчета мгновенных значений /р^, на рис. 6, б — график отклонения фактической линии зуба, полученный измерением зубчатого колеса, изготовленного на моделируемом станке. Большие расчетные значения объясняются тем, что при моделировании в расчет брали самый неблагоприятный случай — первичные погрешности брали по значению допуска, при расчете функций производили простое арифметическое суммирование их составляющих без учета фаз.

Для оценки погрешности направления зуба определяют разность наибольшего и наименьшего значений /р^, полученных из выражения (17):

^г = тах ^ - .т1п /в

1< ] < пк

вгЬ

1< ] < пк

'вгЬ'

(18)

В случае нарезания косозубых колес нужно иметь в виду, что при перемещении точки контакта инструмента и заготовки на величину S0 заготовка должна сделать поворот на величину (1 ± S0 / Т), где Т — шаг винтовой линии зуба. Отрезок 0-т представляет собой участок этой линии. Таким образом, при расчете выражения нужно брать разность функции ДТ(С) не за один оборот заготовки, а за величину (1 ± S0 / Т).

Заключение

Предлагаемый подход позволяет установить взаимосвязь между комплексом показателей точности зубчатого колеса и производственными погрешностями. В итоге на стадии подготовки производства появляется возможность прогнозировать точность изготовляемых зубчатых колес. Таким образом, можно оценить потенциал действующего производства для реализации возможного заказа или подобрать необходимые средства технологического оснащения для создания нового производства.

Литература

1. ГОСТ 1643—81. Передачи зубчатые цилиндрические. Допуски. М.: Изд-во стандартов, 2003. 46 с.

2. Решетов Д. Н., Портман В. Т. Точность металлорежущих станков. М.: Машиностроение, 1986. 336 с.

3. Тайц Б. А. Точность и контроль зубчатых колес. М.: Машиностроение. 1972. 368 с.