CC BY
8
УДК 621.327.757
В. В. ЗУБКО, канд. техн. наук, А. В. ЛАПИИ, студ.
оценка погрешности вычисления комплексных отсчетов устройством поворота вектора
В специализированных устройствах БПФ объем аппаратуры и быстродействие в значительной мере определяются сложностью и временем выполнения операции поворота вектора. Для поворота вектора, заданного проекциями Re0, Im0 наряду с комплексным умножением широко используется . более экономичный итеративный алгоритм CORDIC [1]. В обоих вариантах экономия аппаратуры и повышение быстродействия достигается путем уменьшения разрядностей операндов и сумматоров, что приводит к потере точности результатов вычислений.
Целью нашей работы является оценка погрешности вычислений при реализации поворота с помощью алгоритма CORDIC
Reí+1 = Re¿ — Imjaf2_i;
1тж = Ira,- + Re^2"£, (1)
где а»= ±1 в зависимости от положения вектора в плоскости координат.
Погрешности вычисления по алгоритму (1) обусловлены двумя факторами: погрешностью представления операндов Re0, Im0 и шумами округления результатов умножения, необходимого из-за конечной разрядности сумматоров арифметического устройства (АУ). Полагая, что исходные координаты вектора заданы округленными значениями, и погрешности ARe0, Д1т0 и округления независимы и распределены равномерно, получим статистические оценки результатов вычислений по алгоритму (1). Обозначим п ■— разрядность операндов Re0 и 1шо; m — разрядность сумматоров. Зададим m--=n-\-l-\-l, где один дополнительный старший разряд учитывает свойственный алгоритму CORDIC эффект увеличения модуля числа [1], а I — некоторое число младших разрядов сумматора, влияющее на точность результата.
Приняв, что разрядность сумматоров не ограничена (/=оо), оценим влияние конечной разрядности входных операндов на погрешность результата вычислений.
На основании алгоритма (1) можно показать, что дисперсия ошибки вычисления квадратурных составляющих, обусловленная неточностью представления входных операндов,
-м— 1
(Т2 : on
П(1+2-2£)Ю2, (2)
О'
1=0
где сг02 — дисперсия входных отсчетов, представленных двоичными числами в дополнительном коде с фиксированной запятой; М — число итераций; I — порядковый номер итерации. Для заданных
условий а02 = 5-2(„+1)/12. Отметим, что с ростом номера итерации
дисперсия результата возрастает крайне незначительно. ПриМ^ ее можно оценить
Ооп л? 2,5-2_2(л+1)/12. (2а)
Оценим влияние на погрешность результата конечной разрядности сумматоров (/=¿=00). При округлении результата вычислений до т разрядов на всех итерациях, где имеется сдвиг операнда за пределы разрядной сетки сумматора, в результат суммирования вносится независимая случайная погрешность А/: при сдвиге на один разряд и округлении Ах = 0, а? = 2-2ггг/4; при сдвиге на два разряда и округлении Д2 = 0, — 2~2т/8; при сдвиге на три и более разрядов и округлении погрешность оценивается известной формулой 03 = 2~2т/12. При М итерациях дисперсия погрешности округления определяется выражением
<4хр = 2-2я,(3+ 1,5 + М,)/12, (3)
где Му — число итераций, па которых разрядность одного из операндов превышает разрядность сумматора на три и более разрядов,
Мх = М— 1 —/ —2 = ЛГ —/ —3 и Оокр = 2~2т (М — I 1,5)/12.
(За)
Дисперсия суммарной погрешности результатов вычисления по выражению (1) определяется суммой (2а) и (За)
о2 = 2_2"г(2,5-22/ + М— ¿+ 1,5)/12. (4)
В частности, при т = п + 1 о2 = 2~2т(М + 4)/12.
Полученные зависимости связывают требуемую точность выполнения операции поворота вектора с разрядностями операндов и сумматоров АУ процессора СОКБЮ.
1. Применение цифровой обработки сигналов / Под ред. Э. Опг.сигейма. М., Мир, 1980. 550 с.
Поступил.! б редколлегию 14.07.81
УДК 621.374
/'. И. КАЛЬНАЯ, С. В. ОГУРЦОВ, кандидаты физ.-мат. наук, Н. Г. КИРИЛЕНКО, студ.
рентгеноструктурные и оптические исследования в технологии получения пленок окиси цинка для преобразователей поверхностных акустических волн
Статья посвящена совершенствованию технологии получения текстурированных пленок окиси цинка, используемых в устройствах на поверхностных акустических волнах (ПАВ). Рентгено-
