УДК 681.2:536.6
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ТВЕРДЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ДЕСТАБИЛИЗИРУЮЩИХ ФАКТОРОВ
Ю.Л. Муромцев1, В.Н. Чернышов2, З.М. Селиванова1
Кафедры: «Конструирование радиоэлектронных и микропроцессорных систем» (1),
«Криминалистика и информатизация правовой деятельности» (2), ТГТУ
Ключевые слова и фразы: доминирующие компоненты; коэффициенты тепло- и температуропроводности; контактное термосопротивление; погрешность измерения; погрешность квантования; теплофизические свойства.
Аннотация: Проведены анализ и оценка характеристик погрешностей результатов измерения теплофизических свойств твердых материалов.
а - коэффициент температуропроводности; Т„, Тт - значения температур для эталон-
Ят - контактное термосопротивление; т _ время;
?1ь — , Чш _ характеристики округления; у _ шероховатость поверхности исследуе-
Т(Ц) - градуировочная характеристика пер- мого объекта
вичного измерительного преобразователя (ПИП);
Процессы измерения и контроля качества материалов и изделий являются исключительно важными в производстве. Основным показателем, характеризующим качество результата измерения, является погрешность измерения. Рассмотрим характеристики погрешности результатов измерения теплофизических свойств (ТФС) измерительно-вычислительными системами (ИВС) при воздействии дестабилизирующих факторов (ДФ), которыми являются температура и влажность окружающей среды, контактное термосопротивление, шероховатость поверхности исследуемого объекта [1].
Анализ характеристик погрешностей выполним на основе уравнения измерений коэффициентов тепло- и температуропроводности при частотно-импульсном тепловом воздействии на исследуемый объект:
Обозначения
Ьн - коэффициент нормализации;
О - дисперсия;
Кь К2, К3, К4 - константы;
М - математическое ожидание;
ных материалов;
и(Т) - статическая характеристика ПИП; Ш - влажность;
X - коэффициент теплопроводности;
(1)
где а* , X - коэффициенты температуро- и теплопроводности соответственно;
* *
Тп , Тт - значения температур для эталонных материалов с известными а и X; Кі, К2, К3 , К4 - константы, определяемые при градуировке ИВС; <•> - числовой результат измерительного преобразования в цифровой форме; чц , 42г, Чпі ~
характеристики округления, зависящие от разрядности ИВС.
В уравнениях (1), (2), которые являются процедурами косвенных измерений, применяются результаты прямых измерений температуры Т (х, т)
Т* (х,т) =< Тн (<< [ЬП (Тг (х,т))] Д^и> чи << тм > 42і > Ч3і) > Ч4і, (3)
где Т(П) - градуировочная характеристика ПИП; тм - коэффициент масштабирования, тм = Д^Т ; ДкТ - интервал квантования; Ь - коэффициент нормализации.
Характеристики погрешности результатов измерений температуры получим на основе уравнения (3), определяющего структуру полной погрешности [2]
ДТ* = ДьТ* +ДиТ* + д^* + ДоТ + д^Т* +
^ ^ ^ ^ ^ ' +Д^Т +ДшТі +До.сТі +Ді?тТі' ,
* * где ДьТ - погрешность из-за отличия Ь от номинального значения Ьн; ДцТі -погрешность в результате отличия реальной статической характеристики преобразования термодатчика от номинальной, так как Тн (П) = ин (Т) - градуировочная характеристика, отражающая преобразование, обратное номинальному
* * преобразованию датчика; ДквТі - погрешность квантования; Д00{Ті - погрешность за счет округления результата аналого-цифрового преобразования (АЦП) *
при считывании; До2Т' - погрешность из-за округления конечного результата;
* * ДшТ' - погрешность из-за изменения влажности исследуемого объекта; Д^Ті -
*
погрешность в результате влияния шероховатости поверхности объекта; ДосТі -погрешность из-за воздействия температуры окружающей среды на ИВС и объ-
*
ект; Д^ Ті - погрешность в результате изменения контактного термосопротивления (КТ) в области контакта датчика ИВС и исследуемого объекта.
Для первой составляющей погрешности
д гр* ДЬ гр
ДЬТі =— Ті ,
Ьн
где ДЬ = Ь - Ьн .
Характеристики данной погрешности определяются по формулам:
M
Дь^
= —M [T ]; D1/2 ІД^* ]=—D1/2 [T ], (5)
b
н
дъ
b
н
где М - математическое ожидание, Б - дисперсия. Вторая составляющая погрешности равна
ДиТ _ Tн
T н ■ ъи (T)' T н ъин (т )
I Ьн ] Ьн
_T н
—(ин (T)+Ди (T)) T н -^ин (T)
_ ънv К _ Ън _
где ДП(Т) = П(Т) - ПН(Т,).
Если градуировочная характеристика линейна, то
дит, _ Tн
—ди (T)
U (T )_ aiT, + a2 , Uн (т )_ afT). + af и Tн (U )
U - aH
af
(8)
где а1 м а£ - номинальные значения параметров статической характеристики преобразования датчика,
Тогда
дит _
1
af1
—((af -afI) + a2 + aП)-
M
L *] b (a1 - af ) r n b (a2 - ^) a^
|>t ]_ v н, ;m[t]+-v ' 2
a1 Ьн
a1 —н a1
О1/2 [ Ди Ті* ] = Ь (а1н а1 ) О12 [Т ].
а1 Ьн
Погрешность квантования определяется по формуле
(9)
ГU (t )
н
+дк
— U (t )
н
_T н
— U (t )
н
где Дк
- погрешность квантования результата АЦП.
При линейности градуировочной характеристики
b / \ * * L дк т дк т ]
д т* _ Tн Дк Г U (т ) _ н _ , ДкТ є к к _ 2 , 2 _
Т - Т ■
где Д Т = тах------тп - интервал квантования температуры,
к 2Ч
M
ДкТ
_ 0, D1/2
Дк T
ДкТ
2л/3
(10)
Составляющая погрешности за счет округления результата АЦП равна
__ф ТТ
Д01Т _ДТн
+ пД^
T н
(11)
где
- результат АЦП без учета округления; пД и - погрешность
округления результата АЦП.
Когда градуировочная характеристика линейна, то
ДоТ* =ДТн (пДкви ) = пДкви;
M
Д01Т
ДкТ
D1/2
Д0Т +ДкТ
Дк T 2ql -1
Составляющая погрешность при округлении конечного результата равна
Д02Т* = г До, (12)
где Д0 - цена младшего округленного разряда, определяемая видом градуировочной характеристики. При этом
q2max
M
q2
[-і limax А
Д02T,* ] _ £ Pfe )^
2q2 -
,1— —і 1д±±±ал “___
d12 [ Д02 T* ] _ Z P (q2 ) Z
г _-(2q2 -1 -l)
q2 _1
г Д0 —
1
2q2
Погрешность из-за изменения влажности объекта
* ДЩ
ДщТ =—L Т,
W
(13)
н.у
где А Щ = Щ - Щн.у, ЖН у - влажность при нормальных условиях теплофизических измерений. При этом
M
[awT*]_W^M[T] ; d^2[awT*]_^[T].
ггн.у ггн.у
дw,
Составляющая погрешности в результате влияния шероховатости поверхности исследуемого объекта
Д Т* = Ду_ Т
Ш I £1 >
Ун
где Дуі = у;- - ун , ун - номинальное значение шероховатости объекта. Характеристики данной погрешности:
(14)
M
Ду T
ДУг
Ун
M [T ]; D12
ДуТ
ДУг
ун
D1/2 [T ].
Погрешность за счет воздействия температуры окружающей среды на ИВС
2
* ЛТО с
д т =—— Т
^О.С11 11
Т
н.у
где АТ0.с = Т0.с - Тн.у, Тн.у - температура при нормальных условиях теплофизических измерений. При этом
М
Ло.сТ
= ЛТосМ [Т ] ; Б12
Тн
Ло.сТ
= ДТос. Б/2 р.,].
^ и
н.у Ан.у
Погрешность из-за влияния КТ на результаты измерения
ЛЯ
Л я, Т =■
Т
где ЛЯт = Ят - Ятн, Ятн - номинальное значение КТ.
Характеристики составляющей данной погрешности:
(16)
М
[ля,т;] = Я^м[т] ; Б12[лятТ’] = [Т]
ЛЯт
Выполним анализ характеристик погрешности результатов измерений коэффициентов тепло- и температуропроводности [2].
Структура полной погрешности результатов измерения температуропроводности в соответствии с уравнением измерения (1) имеет следующий вид
***** % '
Да, = Л к і а, + Л к 2 а, + ЛТП а, + ЛТт а, + / Л о,
,=1
(17)
где А к \Щ - погрешность из-за неточного определения К1; А к 2 а* - погреш-
*
ность за счет неточного определения К2; АТа - погрешность, обусловленная
*
неточным определением Т ; А0г аг- - погрешности округления.
Первая составляющая полной погрешности равна
Дк і а* = (і + дк1) ехр
г
Кг-2 Т
V т У
- К1 ехр
Т
Л
к 22 Т
V т У
= ЛК1 ехр
Т
Л
К2-
2 Т
V т У
(18)
где К1 - точное значение, К1 = (К1 + АК1) - неточное значение К1.
*
Вторая составляющая погрешности А к 2 а определяется аналогично
Дк 2 а = К ехр
(К2 +дк2 )
Т
- к1 ехр
= к1 ехр
Т
-*п
Т
(19)
где К2 - точное значение, К** = (К2 + АК2) - неточное значение К2. Погрешность, обусловленная неточным определением Тп, равна
ЛТпа* = к]
ехр
/ * Л
' к Тп +ДТп А к2
V
Т
-ехр| к2 ^
га
(20)
Погрешность из-за неточности определения Т рассчитывается аналогично.
Погрешность за счет округления К определяется следующим образом
Д01а* = -До ехр| К2 T2-
i уу
* т^*
где А0 К* - погрешность округления К .
Погрешность из-за округления К2 определяется по формуле
Д02 a =- Ki exp
Д0 К2 '
T
(22)
где Д0 к2 - погрешность округления К2 .
г
Погрешность, обусловленная округлением ехр
T
V
Л
К2 T
V Tm У
равна
Д03ai =< К1 >
г
ехр
T
К 22 T
V m У
( ( T„ Y
Д0 ехр 1К2 f- 1
V V т у у
( Ty, ( (
ехр | К2 — ■ 1 + Д0 ехр | К2-?- 1
T V m У V V T 1m УУ
(23)
г г
где Д
ехр
T
\\
(
T
Кг-2 T
V m У
К2 —- погрешность округления ехр
V V Tm УУ
Составляющая погрешности, обусловленная округлением произведения
К1 ехр
T
К2 -
V 2 Tm У
равна
Д04 ai =< К1 >q < ехр
T
К2 TV Tm у
>92 X
—Д0
К1 < ехр
>q3
m У У
К1 < ехр
Л
К2
V Tm у
>q3 +Д0
К1 < ехр
>q3
V *m у У
T
К2
2 T
(24)
где Д
(
К1 < ехр
93
погрешность округления К1 ехр | К2 —
V my У Последняя компонента полной погрешности равна
Д05 ai = Д0
с
< К1 >91 < ехр
< К2 >
T
q2 T
q3
m У
(25)
Определим далее характеристики погрешности результатов измерений X.
На основе уравнения (2) структура полной погрешности результата измерения X будет следующей
X
^ -Дк 3 X* +Дк 4 X* +Дa X* +Д^ X* + Д0 iX*
i-1
где А К 3Х* , А К 4 X* - погрешности, обусловленные неточным определением зна-
* * чений К3 , К4; Аа X I - погрешность из-за неточного установления а; Атт Хг- -
*
погрешность за счет неверного Тт; Ао,Хг- - погрешности округлений.
Первая составляющая полной погрешности равна
Ак3 X* =:-*-(К3 +АК3 -п(К4а)-К3 1п(К4а) = АК3 1п(К4а), (27)
Тт Тт Тт
где К3 - точное значение, К* = (К3 + АК3) - неточное значение К3 .
Вторая составляющая полной погрешности равна
Ак4 X* = К3 1п[(К4 + АК4 )а] -]-К3 1пКК4а) , (28)
Тт Тт
где К4 - точное значение, АК4 = (К4 + АК4) - неточное значение К4. Погрешность из-за неточного определения температуропроводности а
Аа ^ = ТТ" К3 1п [К4 К + Аа) - Т- К3 1п КК4 а) . (29)
Тт Тт
Погрешность, обусловленная неверным установлением Тт
ДTmX* -'
1
1
Tm +ДТш
- K3 ln (K4 a)
"K3 ln (K4 a)-—K3 ln (K4 a)-
дт„.
v Tm (Tm + ДТ»і )
Д 01X* - -~Д0K3 ln(K4a) ■
Tm
(30)
Погрешность из-за округлений к3 определяются следующим образом
(31)
где Д0 к3 - погрешность округления к3 .
Погрешность в результате округления к4 определяется по формуле
Д02 X* - - — K3 ln (0 K4 a)
УУІ
(32)
где Ао К4 - погрешность округления К*.
Погрешность, обусловленная округлением 1п КК4 а), равна
Д03 - — < K3 >ql
Д0 [ln (K4 a)
ln (K4 a)[ln (K4 a) + До ln (K4 a)]
(33)
m
где Д0 [1п (К4а)] - погрешность округления 1п (К4 а) .
Составляющая погрешности из-за округления К3 1п (К4 а) равна
Д04 < К3 >дх < 1п (К4а)>д2 х
Тт
-Д0 К3 < 1п (К4а)>3 ’
К3 < 1п(К4а) >д3 +Д0 [К3 < 1п(К4а) >д3 ]
где До К3 < 1п (К4а)>?3 - погрешность округления К3 < 1п (К4 а). Последняя компонента полной погрешности равна
(з4)
Д05 Хг - ДС
Tm
(< KА >q2 a)
< Кз >qi < in (< K* >q„ a )>
qз
(з5)
В выше приведенных выражениях Д(-) - погрешность определения (•), а До (•) - погрешность округления (•) .
Приведенные выражения составляют основу для определения Ми Б, которые определяются с учетом задаваемых исходных данных в виде распределения
вероятности ю (* ) и ю (а* ) .
Процедура выделения доминант заключается в следующем. Вклад каждой
компоненты для вероятностной характеристики ность [2]
де,
дu
дu
Jl-1
дії
дії
определяется как раз-
і.
>u; J -е _ S-1 _ , причем 0q [au| J - 0, еm au| J -е au; J
где Д0;
Для систематической погрешности вклад каждой компоненты в характеристику полной погрешности определяется математическими ожиданиями компонент, так как при
т г т т г п
ди-=хД,и: , м [Ди'.; ]=е м [Ди* ].
1=1 1=1
После определения значений всех Д0г- |^ДП- ] производится их упорядочивание, после чего из рассмотрения исключаются все компоненты с малыми значениями Д0г-, суммарный вклад которых в 0г- ДП* меньше установленного.
При выделении доминирующих компонент в структуре полной погрешности измерений температуры исключены погрешности ДЬТ *, ДиТ *, ДквТ *, Д01Т*, Д02Т *,
суммарный вклад которых в
дu,
меньше установленного. В итоге домини-
рующими компонентами являются погрешности из-за влияния Ят, у, Т, Ж.
В результате проведенного анализа характеристик погрешностей измерений ТФС при воздействии ДФ с использованием уравнений измерений, составлена структура полной погрешности результатов измерений, предложен подход выделения доминирующими компонентами в составе полной погрешности. Выделенные доминанты позволяют целенаправленно осуществить коррекцию результатов измерения ТФС и повысить метрологический уровень ИВС на 3 - 5 %.
Список литературы
1 Муромцев Ю.Л., Селиванова З.М. Адаптивная микропроцессорное средство для контроля теплофизических свойств материалов // Проектирование и технология электронных средств. - 2002. - №3. - С. 44 - 48.
2 Мищенко С.В., Муромцев Ю.Л., Цветков Э.И., Чернышов В.Н. Анализ и синтез измерительных систем. - Тамбов: ТГТУ, 1995. - 234 с.
Error Evaluation of Measures Results of Thermophysical Properties of Solid Materials under Destabilizing Factors Influence
Yu.L. Muromtsev, V.N. Chernyshov, Z.M. Selivanova
Departments: “Designing of Radio-electronic andMicroprocessor Systems” (1), “Criminal Law and Legal Activity Informatization” (2), TSTU
Key words and phrases: thermo-physical properties; measurement error; thermal conductivity; thermal diffusivity heat and temperature conduction coefficients; quantization error; contact thermal resistance; dominating components.
Abstract: Analysis and evaluation of characteristics of measurement results errors of thermo-physical properties of solid materials are given.
Einschatzung des Fehlers der MeBergebnissen der warme-physikalischen Eigenschaften der Feststoffe bei der Einwirkung der destabilisierenden Faktoren
Zusammenfassung: Es sind die Analyse und die Einschatzung der Charakteris-tiken der Fehler der Meftergebnisse der warme-physikalischen Eigenschaften der Feststoffe durchgefuhrt.
Evaluation des erreurs des resultats des mesures des proprietes thermophysiques des materiaux solides avec l’action des facteurs
destabilisants
Resume: On a donne l’analyse et revaluation des caracteristiques des erreurs des resultats des mesures des proprietes thermophysiques des materiaux solides.