Научная статья на тему 'Оценка погрешности моделирования случайного процесса с заданной корреляционной функцией'

Оценка погрешности моделирования случайного процесса с заданной корреляционной функцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
167
43
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МОДЕЛИРОВАНИЕ / СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС / КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ / ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Липатов Иван Николаевич

Рассматривается задача оценки погрешности моделирования случайного процесса с заданной корреляционной функцией. Параметры корреляционной функции известны. Получены оценки параметров корреляционной функции. Погрешность моделирования случайного процесса оценивается по степени расхождения оценок параметров корреляционной функции от самих известных параметров корреляционной функции.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Оценка погрешности моделирования случайного процесса с заданной корреляционной функцией»

УДК 621.396

И.Н. Липатов

Пермский государственный технический университет

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА С ЗАДАННОЙ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ

Рассматривается задача оценки погрешности моделирования случайного процесса с заданной корреляционной функцией. Параметры корреляционной функции известны. Получены оценки параметров корреляционной функции. Погрешность моделирования случайного процесса оценивается по степени расхождения оценок параметров корреляционной функции от самих известных параметров корреляционной функции.

На практике чаще требуется моделировать процессы, относящиеся к определенному, более узкому классу случайных процессов, например стационарные нормальные случайные процессы. Рассмотрим моделирование стационарного нормального процесса х^), корреляционная функция (КФ) которого определяется соотношением

где о2х - дисперсия случайного процесса х(1); ах - коэффициент нерегулярности случайного процесса х(?); вх - преобладающая частота

в спектре случайного процесса х^).

Из соотношения (1) имеем

где Кх []] = Кх ); = ]Аі; Аі - интервал дискретности измерения

случайного процесса х(і).

В работе [ 1 ] для моделирования случайного процесса с КФ вида (1) приведен алгоритм вида

(1)

Кх У] = °2 • е~ах1М • сое рх7Аі, І = 0, т

(2)

х[і] = Ь1х[і -1] + Ь2х[і - 2] + а0є[і] + а1е[і -1]; і = х[1] = х[2] = 0,

где

а0 = о х •а = о х

^1 + д/а1 —4а

2

оа

а

х___0 .

2

; 6, = 2р • со8 Уо; 62 =-р ;

ао =Р(Р2 -1) • со8Уо; а1 = 1 -р2;

р = е у'; у, = ах •Аі; Уо =Рх 'Аі-

Здесь х[і] = х(іі);іі = іАі; є[і] = е(іі); є[і],(і = 0,1,...) - последовательность независимых нормально распределенных (гауссовских) случайных величин, имеющих нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию (дискретный белый шум).

Определим оценку [2]:

1 п-і

Кх[І] =-: X[х[і] - тх][х[і + 7] - тх] 7 = 0, т

п - і і=1

где

1 п

тх = - X х[і]-

П і=1

(5)

(6)

Здесь тх - оценка математического ожидания случайной последовательности,

х1[/], г =1, п; Кхи] = Кх (^.); = уАг; ф + у] = х(г,. + .); г,+у = (/ + у)А?.

На рис. 1 для параметров Аг = 0,25; п = 600; т = 60; ах = 5;

вх = 2; ах = 0,2 показаны графики КФ Кх[у],Кх[у],у = 0, т, рассчитанных по формулам (2),(5),(6).

Оценку Кх[у], у = 0, т, будем использовать для получения оценок ах, ах, вх параметров ах, ах, вх . Погрешность моделирования случайного процесса с КФ (2) будем оценивать по степени расхождения оценок ах, ах, вх от известных параметров ах, ах, вх .

Оценка ах определяется в виде

а, = ¿Км- (7)

Для получения оценки вх определим оценку односторонней

спектральной плотности в[Я] = в(—), Я = 0, т по формуле [3]:

т-1

в[к] = 2Д^[КХ[0] + 2У Кх[г]со8 — + (-1)ЯКХ[т]], к = 0,т, V т )

г=1

(8)

где

/к = —, к = °,т; т

—с =

1

2Дг

Здесь —к = к ■ Д—; Д— = /с / т; — - частота среза.

Рис. 1. Графики КФ Кх[у],Кх[у], у = 0, т ;

---------- КФ КХ[Я, у = 0т;

----------кф Кх[у], у=0т

(9)

Определим сглаженную оценку О [к], к = 0,т спектральной плоскости в виде [3]:

в*[0] = 0,5в[0] + 0,5в[1];

в [к] = 0,25в[к -1] + 0,5в[к] + 0,25в[к +1], к = 1, т -1; в*[т] = 0,5в[т -1] + 0,5в[т].

На рис. 2 для параметров Лt = 0,25; п = 600; т = 60; ах = 5;

вх = 2; ах = 0,2 приведен график О*[к], к = 0, т сглаженной спектральной плоскости, рассчитанной по формулам (8),(9),(10).

Рис. 2. График G*[k], к = 0, m

Найдем максимальный элемент в массиве О [к], к = 0, т и индекс к = к* для этого элемента. Тогда вх определяется в виде

в х = 2як2Л/. (11)

Определим оценку ах параметра ах. Будем аппроксимировать:

х

Кх[к] = д2 • е'ахШ ■ cos pxkAt, к = 0, mv (12)

Введем обозначение

x1[k1] = (Xх, к1 = 1,2,.... (13)

Соотношение (12) с учетом (13) примет вид

Кх [к] = дх ■ exp(-x1[k1]kAt) • cos вxkAt, k = 0, m1. (14)

Образуем массив е2[Я], определяемый по формуле

е2[к] = Кх[к] - Кх[к], к = 0,т1. (15)

Определим величину вида

d =-^ t Ф]. (16)

m1 +1 к=о

т.

Будем подбирать такое значение ах, при котором прини-

мает минимальное значение. Введем массив 5'1[к1] = д/^1,к1 = 1,2,.... Следовательно, задача сводится к поиску минимального элемента в массиве 5'1[к1],к1 = 1,2,... и индекса к1 = к* этого элемента. Предполагалось, что при к1 = 1 ах = 0. Осуществлялось синхронное изменение к1, ах и х1[к1] по формулам:

к1 = к1 +1; ах =ах + 0,01; х1[к1] = ах, (17)

т.е. к1, ах, х1[к1] принимали значения:

к1 = 2; ах = 0,01; х1[2] = 0,01;

к1 = 3; а х = 0,02; х1[3] = 0,02;

к1 = 4; ах = 0,03; х1[4] = 0,03

и так далее. Изменение ах осуществлялось в диапазоне 0 < ах < р1.

При расчетах принималось р1 = 1. В результате получены мас-

сивы х1[^1],51[^1], к1 = 1,к6, где

к6 = (А/0,01) +1. (18)

При р1 = 1 Я6 = 101.

Определение минимального элемента в массиве 5'1[к1], к1 = 1, к6 и индекса этого элемента к1 = к* позволяет из массива х1[к1], при к1 = к* извлечь то значение ах , при котором обеспечивается наилуч-

шая аппроксимация Кх[к], к = 0,т1 выражением (14). Следовательно,

а х = х1[к;]. (19)

Таким способом получена оценка ах параметра ах.

Введем в рассмотрение величины 8;, і = 1,3, которые определяются соотношениями:

Іо -а I

81 ^ % х| 100%; (20)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

х

S2 =

Px “^

в x

100 %;

a -a

83 = ^---------^ 100 %.

a„

(21)

(22)

Результаты расчетов dx, вx, ax, 5i, i = 1,3 приведены в таблице. Результаты расчетов на ЦВМ

Вари- анты Параметры

At n m Ox O x в x в x a x a x 5j,% 52,% 53,%

1 0,3 600 60 5 5,2 3,5 3,5 0,5 0,5 2,5 0,1 10

2 0,2 600 60 5 5,0 3,5 3,4 0,5 0,5 0,1 4,3 6

3 0,1 600 60 5 5,0 7 6,7 0,5 0,6 0,3 4,4 12

4 1 1000 100 5 4,7 0,4 0,4 0,1 0,1 6,8 1 0

5 0,1 1000 100 5 6,0 1,8 1,9 0,3 0,3 20,4 3,7 18

6 0,3 600 60 5 4,7 2 2,0 0,2 0,2 6,2 3 10

Таким образом, в работе выполнена оценка погрешности моделирования случайного процесса с заданной корреляционной функцией.

Библиографический список

1. Быков В.В. Цифровое моделирование в статической радиотехнике. - М.: Советское радио, 1971.

2. Росин М.Ф, Булыгин В.С. Статическая динамика и теория эффективности систем управления. - М.: Машиностроение, 1981.

3. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. - М.: Мир, 1974.

Получено 04.10.2010

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.