CC BY
15
УДК 517.9, 539.194
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ МЕТОДА ФУНКЦИЙ МАТЬЕ ПРИ РЕШЕНИИ ТОРСИОННОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
А.Н.Белов, В.В.Туровцев*, О.И.Коробейничева
EVALUATING THE ERROR OF THE METHOD OF MATHIEU FUNCTIONS IN SOLUTION OF THE TORSION SCHRÖDINGER EQUATION
A.N.Belov, V.V.Turovtsev*, O.LKorobeinicheva
Тверской государственный университет, abelov@tversu.ru *Тверской государственный медицинский университет
Исследовано влияние вычислительной погрешности цепных дробей на коэффициенты Фурье-разложения функций Матье. Приведены численные примеры.
Ключевые слова: функции Матье, цепные дроби, вычислительная погрешность, торсионное уравнение Шредингера
The authors studied the influence of errors in computing continued fractions on the Fourier coefficients of Mathieu functions. Numerical examples are given.
Keywords: Mathieu functions, continued fractions, computational error, torsion Schrödinger equation
Введение
На сегодняшний день цепные дроби находят широкое применение в различных разделах математики и физики. В представленной статье показано использование цепных дробей при решении прикладных задач в квантово-механических расчетах.
Решение торсионного уравнения Шрёдингера в базисе функций Матье, являющихся периодическими решениями уравнения Матье (1), было предложено и обосновано в [1]:
d2 У ~ ч
—2 + 2q cos(2x) y = ay, dx
(1)
где а — собственное значение, при котором решение становится периодическим, q — параметр уравнения. Периодические решения (1) суть функции Матье сепх) и иепх) порядка п. В одномерном случае торсионное уравнение Шредингера
d d - ифF (ф (ф) |т=^
(2)
при определенных допущениях и преобразованиях [25] принимает вид (1), где V(ф) — потенциал, F(ф) — структурная функция внутреннего вращения. Как было показано в [6], аппроксимация V(ф) и F(ф) в базисе, содержащим периодические функции Матье, позволяет сократить количество членов ряда по сравнению с тригонометрическими рядами, приводя к уменьшению размерности матрицы гамильтониана, что особенно актуально для сложных молекул.
Нахождение численных значений функций Матье в заданных точках — отдельная задача, связанная с вычислительными и алгоритмическими вопросами. Алгоритм вычисления функций Матье для решения квантово-механических задач, например (2), был рассмотрен в [7], где для нахождения их числен-
ных значений cen (q, x) и sen (q, x) использовалось разложение в ряд Фурье [8]
n(q, x) = ^An cos(nx), (3.1)
ce„
cen
,(q, x) An cos(nx).
(3.2)
Вычисление коэффициентов Фурье-разложений (3.1) и (3.2) функций Матье в [7] приводит к использованию цепных дробей, при этом точность вычисления цепных дробей напрямую влияет на точность коэффициентов Фурье-разложений функций сеп (д, х) и (д, х), а значит, и элементов матрицы гамильтониана [9]. Поэтому представляет интерес задача оценки вычислительной погрешности при расчетах цепных дробей.
Цепные дроби изучаются в различных разделах математики уже два столетия. Основным источником, с которого начинается ознакомление с цепными дробями, является [10]. В общем виде выражение для вычислительной погрешности ветвящихся дробей, частным случаем которых являются цепные дроби, было получено в [11]. Приведенные там выражения носят абстрагированный обобщенный вид. Целью представленной работы было рассмотрение влияния вычислительной погрешности цепных дробей на коэффициенты Фурье-разложений функций Матье и оценка погрешности вычисления элементов матрицы гамильтониана, являющихся численным решением торсионного уравнения Шредингера.
Цепные дроби, используемые для вычисления функций Матье
де [10]
Простейшие цепные дроби записываются в ви-
xo +"
1
(4)
x2 +.
1
Теорема Перрона [10] устанавливает критерий сходимости (4), суть которого — степень полинома числителя каждого звена меньше степени полинома знаменателя этого звена цепной дроби. Как правило, для вычисления коэффициентов Фурье функций Ма-тье используются сходящиеся цепные дроби вида (5): для четных порядков п функции cen (д, ф)
2
1
G4 = к2 —г, G», 2 = km, индексы m-четные, m > 4, (5.1)
Gm
ко
для нечетных порядков п функции Матье сеп (q, ф)
G3 = к-1, Gm+2 = кП1 -индексы т-нечетные, m>3,(5.2)
Gm
для четных порядков п функции Матье &"еп(д,ф) G4 = к2, Gm+2 = ^ - , индексы т-четн^1е, т > 4, (5.3)
Gm
для нечетных порядков п функции Матье "еп (q,ф) G3 = к +1, Gm+2 = кП1 - индексы m-нечетные, m > 3 ,(5.4)
где к» =-
q
m — порядок звена цепной дроби ви-
да (5.1)-(5.4). Цепные дроби (5.1)-(5.4) удовлетворяют условиям теоремы Перрона и являются сходящимися.
Вычисления цепных дробей по выражениям (5.1)-(5.4) сходны по смыслу, поэтому в дальнейших рассуждениях для наглядности будет использоваться цепная дробь (5.1) для четных порядков функции Ма-тье. Приведенные ниже выкладки при несложной замене индексов можно распространить также и на (5.2)-(5.4).
Рекуррентные соотношения для оценки вычислительной погрешности
Вычисление (4) требует определения каждого из звеньев цепной дроби. Современные компьютерные расчеты поддерживают достаточно высокую точность, но и в этом случае приходится округлять с точностью до значащего разряда в машинном представлении числа. Многократное деление в (4) означает округление практически при вычислении каждого звена. Понятно, что при вычислении звеньев будет появляться ошибка, накапливающаяся с увеличением их количества. Кван-товомеханические расчеты сложных молекулярных соединений требуют использования высоких порядков функций Матье (п >100), что, в свою очередь, требует вычисления большого количества звеньев в (4).
Оценку вычислительной погрешности цепных дробей вида (5.1)-(5.4) удобно проводить по рекуррентной формуле. Пусть с — небольшая постоянная величина, указывающая на количество удерживаемых значащих разрядов; зная с , можно оценивать ошибку округления [12]. В дальнейших рассуждениях будем пренебрегать ошибкой вычисления собственного значения а, полагая малой ее относительную погрешность. Будем считать, что при вычислении кm происходит ошибка округления, равная скт. Тогда для четных порядков сеп (д, ф) погрешность
AG2 =
dG2
дк2
Дк2 +
dG2
дко
Дко = c| 1+-4
кО
(6)
и вычислительная ошибка последующих звеньев цепной дроби вида (5.1) сводится к рекуррентной формуле
ДО, = c +
1
G2
-да
(7)
i-2
Алгоритм расчета [7] сконструирован так, что отбрасываются звенья цепной дроби (5.1), близкие к 1, и учитываются только звенья, лежащие в некотором диапазоне индексов j е [ jmin, jmax], где звенья О}-с заданной точностью отличаются от 1. Далее находится сумма произведений Gj (5.1) из соответствующего интервала и, наконец, сами коэффициенты Фурье-разложения функций Матье. Для каждого из этих вычислительных шагов нами также получены оценки вычислительных ошибок в виде рекуррентных формул. Подробные выкладки слишком громоздки и здесь не приводятся ввиду ограниченности объема статьи. Отметим лишь, что проведенные нами численные эксперименты указывают на незначительное влияние вычислительных ошибок цепных дробей на коэффициенты Фурье-разложения.
Численные примеры
Численные эксперименты для ce22, иллюстрирующие полученные результаты, приведены на рис.14. В этих примерах устанавливалось значение оценки погрешности с = 10-14, т.е. считалось, что при машинных вычислениях учитывается 14 значащих разрядов, что близко к точности формата данных с плавающей точкой таких математических систем, как Maple. По горизонтальной оси на всех графиках отложены соответствующие индексы (либо для звеньев цепной дроби, либо для относительных погрешностей, либо для коэффициентов Фурье-разложения), по вертикальной оси отложены численные значения коэффициентов Фурье-разложения, звеньев цепной
я . ДО,
дроби и их относительные (т.е.
О,
) погрешности.
G
* •
100-
-100-
10
20
« * t
30
40
-200-
Рис.1. Значения звеньев цепной дроби при q = 4. При вычислении коэффициентов Фурье-разложений учитываются звенья с индексами в диапазоне 24 < т < 30
2
7-
ю
20
30
40
Рис.2. Относительная ошибка (в процентах) звеньев цепной дроби, вычисленная из (8) при q = 4
0,9 0,8 0,7 0,6 0,J 0,4 0,3 0,2 0,1
0
19 21 23 • 25 27
Рис.3. Значения коэффициентов Фурье-разложения функции
Матье при q = 4
• • • • •
0,005990,005980,005970,005960,005950,005940,005930,005920,00591-
19
21
23
25
27
Из рис.1-4 видно, что влияние вычислительной ошибки, возникающей при вычислении цепных дробей, на коэффициенты Фурье-разложения мало. Это дает основания использовать алгоритм, рассмотренный в [7], для квантовомеханических расчетов элементов матрицы гамильтониана и других приложений функций Матье.
10. 11.
12.
13.
Рис.4. Относительная ошибка (в процентах) коэффициентов Фурье-разложения функции Матье при q = 4
Туровцев В.В., Белоцерковский А.В., Орлов Ю.Д., Решение одномерного торсионного уравнения Шредингера с периодическим потенциалом общего вида // Оптика и спектроскопия. 2014. Т.117. №5. С.731 Lewis J.D., Malloy T.B.-Jr, Chao T.H., Laane J. Periodic Potential Functions for Pseudorotation and Internal Rotation // J. Molec. Struct. 1972. V.12. P.427-449. Bauder A., Mathier E., Meyer R. et al. Theory of rotation and torsion spectra for a semi-rigid model of molecules with an internal rotor of C 2v symmetry // Mol. Phys. 1968. V.15. P.597-614.
Ryckaert J.P., Belemans A. Molecular dynamics of liquid n-butane near its boiling point // Chem. Phys. Lett. 1975. V.30. P.123-125.
Likar M.D., Baggott J. E., Crim F.F. Vibrationally mediated photodissociation of t-butyl hydroperoxide: Vibrational overtone spectroscopy and photodissociation dynamics // J. Chem. Phys. 1989. V.90. P.6266.
Орлов Ю.Д., Туровцев В.В., Цирулев А.Н. Решение одномерного торсионного уравнения Шредингера в ком-плекснозначном базисе, содержащим функции Матье // Оптика и спектроскопия. 2015. Т.119. №2. С.199-203 Белов А.Н., Туровцев В.В., Орлов Ю.Д. Особенности вычисления функций Матье произвольных порядков // Вестник ТвГУ. Сер.: Прикладная математика. 2016. №4. С.45-59.
McLachlan N.W. Theory and application of Mathieu functions. 2-d edition, Oxford: Oxford University Press, 1951. 402 p.
Белов А.Н., Туровцев В.В., Орлов Ю.Д. Гамильтониан одномерного торсионного уравнения Шредингера в ком-плекснозначном базисе функций Матье (в печати) Хинчин А.Я. Цепные дроби. М.: Физматлит, 1961. 112 с. Скоробогатько В.Я. Теория ветвящихся цепных дробей и её применение в вычислительной математике. М.: Наука, 1983. 312 с.
Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1975. 632 с.
Abramovith M. Stegun I.A. Handbook of Mathematical Functions. N.-Y: Dover, 1965. 1046 р.
References
Turovtsev V.V., Belotserkovskii A.V., Orlov Iu.D. Reshenie odnomernogo torsionnogo uravneniia Shredingera s periodi-cheskim potentsialom obshchego vida [Solution of a one-dimensional torsion Schrodinger equation with a general periodic potential]. Optika i Spektroskopiia - Optics and Spectroscopy, 2014, vol. 117, no. 5, pp. 710-712. Lewis J.D., Malloy T.B.-Jr, Chao Т.Н., Laane J. Periodic Potential Functions for Pseudorotation and Internal Rotation. Journal of Molecular Structure, 1972, vol. 12, pp. 427-449. Bauder A., Mathier E., Meyer R. et al. Theory of rotation and torsion spectra for a semi-rigid model of molecules with an internal rotor of C 2v symmetry. Molecular Physics, 1968, vol. 15, pp. 597-614.
Ryckaert J.P., Belemans A. Molecular dynamics of liquid n-butane near its boiling point. Chemical Physics Letters, 1975, vol. 30, no. 1, pp. 123-125.
Likar M.D., Baggott J. E., Crim F.F. Vibrationally mediated photodissociation of t - butyl hydroperoxide: Vibrational overtone spectroscopy and photodissociation dynamics. Journal of Chemical Physics, 1989, vol. 90, no.11, pp.6266-6275. Orlov Iu.D., Turovtsev V.V., Tsirulev A.N. Reshenie odno-mernogo torsionnogo uravneniia Shredingera v kom-
2
3.
4
5.
6
7
8.
9
2
3.
4.
5
6
pleksnoznachnom bazise, soderzhashchim funktsii Mat'e [Potential and matrix elements of the hamiltonian of internal rotation in molecules in the basis set of Mathieu functions]. Op-tika i Spektroskopiia - Optics and Spectroscopy, 2015, vol. 119, no. 2, pp. 191-194.
7. Belov A.N., Orlov Iu.D., Turovtsev V.V., Tsirulev A.N. Osobennosti vychisleniia funktsii Mat'e shirokogo diapazona poriadkov dlia kvantovomekhanicheskikh raschetov [Computation features for Mathieu functions of wide range of orders in quantum-mechanical calculations]. Vestnik TvGU. Seriia: Prikladnaia matematika - Herald of Tver State University. Series: Applied Mathematics, 2016, no. 4, pp. 25-34.
8. McLachlan N.W. Theory and application of Mathieu functions. 2nd ed., Oxford University Press, Oxford, 1951. 402 p.
9. Belov A.N., Turovtsev V.V., Orlov Iu.D. Gamil'tonian od-nomernogo torsionnogo uravneniia Shredingera v kom-
pleksnoznachnom bazise funktsii Mat'e [Hamiltonian of a one-dimensional torsion Schrodinger equation in the basis set of Mathieu functions] (in press).
10. Khinchin A.Ia. Tsepnye drobi [Continued fractions]. Moscow, "Gosudarstvennoe izdatel'stvo fiziko-matematicheskoi literatury" Publ., 1961. 112 p.
11. Skorobogat'ko V.Ia. Teoriia vetviashchikhsia tsepnykh drobei i ee primenenie v vychislitel'noi matematike [The theory of branching continued fractionsand thier application in numerical mathematics]. Moscow, "Nauka" Publ., 1983. 312 p.
12. Bakhvalov N.S. Chislennye metody (analiz, algebra, obykno-vennye differentsial'nye uravneniia) [Numerical methods (analysis, algebra, and ordinary differential equations)]. Moscow, "Nauka" Publ., 1975. 632 p.
13. Abramovith M. Stegun I.A. Handbook of Mathematical Functions. New York, Dover, 1965.
