CC BY
27
УДК 532.546
С. П. Плохотников, О. И. Богомолова, Е. Н. Белова, В. А. Богомолов, Р. Х. Низаев
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ДВУХ ОСРЕДНЕННЫХ МОДЕЛЕЙ
ПРИ ДВУХФАЗНОЙ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
ДЛЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Ключевые слова: фильтрация, экспоненциальный закон, фазовые проницаемости.
Разработаны осредненные модели для двухфазной неизотермической фильтрации при экспоненциальном распределении. Произведена оценка погрешности для двух моделей.
Keywords: filtration, phase permeability.
Upscaled models for non-isothermal two-phase filtering with exponential distribution were investegated. Estimation error was made for the two models.
Введение
Одна из важнейших задач моделирования процессов фильтрации в нефтяных пластах - создание гидродинамических моделей. Гидродинамическая модель[1] описывает процесс фильтрации в терминах математических уравнений. В случае неизотермической фильтрации необходимо учитывать изменение температуры в пласте. Как и в случае с изотермической фильтрацией используют осредненные модели [2,3], в том числе модели с модифицированными относительными фазовыми прони-цаемостями. В таких моделях используются осред-ненные по толщине характеристики пласта и жидкостей.
В работах [4,5] используется средняя по толщине пласта абсолютная проницаемость и модифицированные фазовые проницаемости. Метод осреднения показал хорошие результаты для изотермической и неизотермической фильтрации.
В работе рассматривается двухфазное неизотермическое вытеснение нефти горячей водой в рамках модели Баклея - Леверетта [1,2,3] при площадном заводнении в слоистом пласте. Рассмотрен полосообразный пласт, разрабатываемый тремя скважинами, - одна из них нагнетательная и две эксплуатационные. Применяются при численных расчетах при заданном перепаде давлений трехмерная модель и осредненные по толщине пласта модели [2 - 4], позволяющие понизить размерность исходной задачи на тех или иных участках слоистого месторождения и тем самым значительно упростить численные расчеты.
Описание математических моделей
В работе рассматриваем двухфазное неизотермическое вытеснение нефти водой в рамках модели Баклея-Леверетта при площадном заводнении в полосообразном слоистом пласте - одна нагнетательная скважина в центре прямоугольника, а на противоположных краях - 2 добывающие скважины симметрично. На рис.1 схематично приведены расчетные блоки изучаемого пласта в двумерной и трехмерной постановках. В известных работах [2 -
4] получены математические формулы модифицированных проницаемостей фаз для осредненной модели В двухфазной неизотермической фильтрации, основанные на поправочных коэффициентах струйного течения. А так же простейшей модели C , которая широко применяется в расчетах.
С помощью вычислительного эксперимента в данной работе изучим погрешность этих двух ос-редненных моделей по сравнению с эталонными трехмерными решениями - A7, A8 при закачке в пласт горячей воды, а так же при холодном заводнении. На всех приведенных в работе графиках даны кривые только этих двух граничных эталонов, хотя численные расчеты проводили для всех восьми эталонов, которые подробно описаны в работах [2 - 4].
Математическая постановка трехмерной (х,у,7)-задачи двухфазовой фильтрации с известными краевыми условиями дана в работе [5]. Численные расчеты производились на гидродинамическом симуляторе Tempest фирмы Roxar [6].
В моделях были заданы следующие физические параметры:
128 - начальное пластовое давление, атм; 50 -давление насыщения, атм; 1000 - плотность воды, кг/м3; 1 - вязкость воды, мПа-с; 850 - плотность нефти, кг/м3.
Рассматриваемые пласты имели следующие физические параметры:
Kw0=0.5 - максимальная ОФП (относительная фазовая проницаемость) воды; Ko0=0.7 - максимальная ОФП нефти; S*=0.8 - максимальная водонасы-щенность на нагнетательной скважине; S*=0.3 -минимальная остаточная водонасыщенность; S -водонасыщенность, S*<S< S* ; ц0 = 15.1 МПа - вязкость нефти; = 0.77 МПа - вязкость воды; m= 0.2 - пористость
При расчетах внутри пласта использовали сетку из блоков: 11x5x10 (x,y,z) для трехмерного случая; и 11x5x1 для двумерного случая.
Задача была решена при заданном перепаде давлений между нагнетательной и добывающими скважинами, при этом внешняя граница задавалась непроницаемой. При расчетах использовались сетки из блоков (рис.1): 11x5x1 для двумерного случая (ремасштабированная) и 11x5x10 (x,y,z) для эталон-
ного трехмерного случая. В расчетах использовалась полностью неявная схема.
В моделях были заданы следующие физические параметры:
55 - забойное давление на добывающей скважине, атм.;
170 - забойное давление на нагнетательной скважине, атм.;
k°ro =0.5 - максимальная относительная фазовая проницаемость нефти;
kW =0.7 - максимальная относительная фазо-
вая проницаемость воды;
Sor=0.2 - остаточная нефтенасыщенность; Swc=0.3 - насыщенность связанной воды; Sw, So - водо- и нефтенасыщенности, Swc <Sw<
1" Sor , So=l- Sw.
Рис. 1 - Сетка из блоков11х5х1
Рис. 2 - Сетка из блоков 11x5x10
Вычисления проводили для восьми вариантов эталонных трехмерных моделей и двух осредненных двумерных моделей. На рисунках 2,4 приведены графики только двух вариантов решений трехмерной модели, которые определяют верхнюю и нижнюю границы для каждого приведенного показателя разработки. А так же даются графики решений для обеих осредненных моделей.
Используемые трехмерные (х,у^) - модели:
1. А8 - модель (с изолированными пропластками) - эталонное численное трехмерное решение задачи для десятислойного пласта с изолированными пропластками (отсутствуют перетоки), абсолютная проницаемость которых подчиняется равномерному закону распределения. Задавали 10 пропластков каждый высотой Н1 = Н2 = Н3 = Н4 ... Н10 = 1м, изолированные друг от друга непроницаемыми перемычками;
2. А 7- модель (с неизолированными пропластками) - тоже, что и предыдущее решение, но с неизолированными пропластками. Задавали 10 пропластков гидродинамически связанных друг с другом, расположены таким образом снизу - вверх ,
- лучший (максимальное значение абсолютной проницаемости) рядом с худшим (минимальное значение абсолютной проницаемости), лучший из оставшихся рядом с худшим из оставшихся снизу-вверх и т. д.
Распределение абсолютной проницаемости по слоям в этих двух эталонах задано в таблице 1.
Относительные лабораторные функции фазовых проницаемостей слоистого пласта задаем в нашем случае линейными, вида:
KW(S) = KWo • (Sn (S)) , K0(S) = K • (1 - Sn (S))
(1)
Используемые осредненные двумерные (х,у)
- модели:
1. С-модель - задачу решали с линейными, лабораторными относительными проницаемостями
- К„(Б), К0(Б) вида (1) и средней К*=0.5дарси в двумерной постановке. Задавали по вертикали 1 пропласток, высотой Н= 10м;
2. В-модель - задачу решали с модифицированными относительными проницаемостями, вида (2) и средней К*=0.5дарси для равномерного закона распределения задания абсолютной проницаемости К(7) изучаемого слоистого пласта. Задавали 1 про-пласток, высотой Н= 10м.
Модифицированные проницаемости для экспоненциального закона распределения функции имеют вид:
Sn(S) = (S - S.)/(S* - S.) KW(S) = Kw(S) •! - lnSn (S)] Sn (S)
(2)
Km(S)=Ko(S).
1+-
1 - Sn(S)
lnSn (S)
Результаты вычислений для экспоненциального распределения
Экспоненциальное распределение является частным случаем у -распределения при п=1.
При численных расчетах использовались следующие модели:
- двумерные осредненные модели со средней абсолютной проницаемостью, - расчетный блок на рис.1.
- трехмерные (ху,2) - модели с экспоненциальным распределением абсолютной проницаемости по пропласткам (табл.1) и расчетный блок на рис.2;
Таблица 1 - Распределение проницаемости по слоям для трехмерной модели для экспоненциального закона распределения, мдарси
K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10
300 400 216 527 144 697 82 958 26 1651
.....
Рис. 3 - Зависимость суммарного объема добытых нефти и газа Vp от времени Date для закачки при t^OO0^ и соответственно для решений - A7, A8, C, B
Вычислительный эксперимент. Результаты численных решений при закачке в пласт горячей воды 100°С при начальной температуре в пласте 30°С
Для изучаемых слоистых пластов брали такие физические параметры:
H=10 м -толщина пласта,
Hj=1 м (j=1..10) -толщина пропластка,
L= 300 м. -глубина,
K = 0.5мкм2 ,
Hw (30°С) = 0, 77 мПа с - вязкость воды, Ko0= 0, 5 - относительная фазовая проницаемость нефти,
Kw0 = 0.7 - относительная фазовая проницаемость воды,
ц0 (30° С) = 15.1 мПа с - вязкость нефти, Pi = 15 мПа - начальное давление, P2 = 10 мПа - конечное давление, S = 0.8 - максимальная водонасыщенность, S*= 0.3 - минимальная водонасыщенность, Ti=T0 = 30° С -температура пласта
Вязкости фаз имеют вид:
Цо(Г) = 151/(T - 20)
IAw(T) = 35/(T+15,7) (3)
В таблице 2 приведены их числовые значения.
Таблица 2 - Зависимость вязкости нефти(ц0) и воды^) от температуры
Т, 0С 1о (мПяс) Mw (мПас) Мо/ Mw
21 151 0.96 157.3
22 75.5 0.93 81.2
25 30.2 0.86 35.1
30 15.1 0.77 19.6
60 3.8 0.46 8.3
100 1.9 0.30 6.3
150 1.2 0.21 5.7
200 1.84 0.16 5.3
На рис. 3 даны графики суммарного потока жидкостей для линейной зависимости проницаемости. Кривая простейшей модели С является верхним ограничением и завышает значения эталонов. А кривая модели В является ограничением снизу.
Результаты численных решений при закачке в пласт холодной воды 22°С при начальной температуре в пласте 30° С
На рис. 4 показана зависимость суммарного объема добытых нефти и газа от времени, для закачки при г=30°С.
Осредненные двумерные решения образуют вилку, в которую достаточно хорошо вписаны графики множества эталонов. При этом кривая простейшей модели С является верхним ограничением и завышает значения эталонов. А кривая модели В является ограничением снизу.
ш
Рис. 4 - Зависимость суммарного объема добытых нефти и газа Vp от времени Date для закачки при t=30°Q и соответственно для решений - A7, A8, C, B
Вывод
Результаты, полученные для холодного заводнения, полностью аналогичны результатам, полученным для горячего заводнения, по одному из важнейших показателей разработки - суммарному потоку жидкостей.
Литература
1. Bogomolov V.A. Mathematical simulation of three-phase filtration in stratified beds with account for the scheme of jets / V.A. Bogomolov, S.P. Plokhotnikov, O.R. Bulgakova, D.S. Plokhotnikov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - Springer. - 2011. Vol. 84. - No. 5. -pp.975-979.
2. Плохотников С.П. Осреднение трехмерной модели двухфазной фильтрации при закачке в пласт полимерно-дисперсных систем / Богомолов В.А., Белова Е.Н., Богомолова О.И. // Вестник Казанского технологического университета.- 2012. - т. 15. - № 1. - с.63-67.
3. Плохотников С.П. Модифицированные офп в осред-ненных моделях фильтрации при закачке в пласт полимерных растворов различной концентрации / Богомолов В.А., Белова Е.Н., Богомолова О.И. // Вестник Казанского технологического университета. - 2012.- т. 15.- № 1. - с.55-58.
4. Плохотников С.П. Осреднение моделей трехфазной фильтрации в неоднородных слоях, подчиняющихся равномерному распределению" Богомолов В.А., Белова Е.Н., Богомолова О.И., Плохотников Д.С., Булгакова О.Р. // Вестник Казанского технологического университета. - 2012. - т. 15. - № 1. - с.63-67.
5. Плохотников С.П. " Методика построения модифицированных относительных фазовых проницаемостей в моделях трехфазной фильтрации в слоистых пластах"
Богомолова О.И., Плохотников Д.С., Богомолов В.А., Белова Е.Н., Харина М.В., Низаев Д.Д.// Вестник Казанского технологического университета, 2013, т. 16, № 21, с. 287-289
6. Методические указания по созданию постоянно действующих геолого-технологических моделей нефтяных и газонефтяных месторождений (Часть 2. Фильтрационные модели) // - М.: ВНИИОЭНГ. - 2003. - 228с.
© С. П. Плохотников - д.т.н., проф. каф. ИПМ КНИТУ, plokhotnikov@kstu.ru; О. И. Богомолова - асс. той же кафедры, olga@kfti.knc.ru; Е. Н. Белова - асп. той же кафедры; В. А. Богомолов - к.т.н., доц. той же кафедры, bogomolov@kfti.knc.ru; Р. Х. Низаев - к.т.н. заведующий лабораторией отдела разработки нефтяных месторождений, Институт "ТатНИПИнефть" ОАО "Татнефть" им. В.Д. Шашина, nizaev@tatnipi.ru.
© S. P. Plohotnikov - doctor of technical sciences, professor Informatics and Applied Mathematics KNRTU, bogomolov@kfti.knc.ru; O. I. Bogomolova - assistant Informatics and Applied Mathematics KNRTU, boikfti@yandex.ru; E. N. Belova - the post-graduate student, Informatics and Applied Mathematics KNRTU; V. A. Bogomolov - Candidate of technical sciences, Informatics and Applied Mathematics KNRTU, bogomolov@kfti.knc.ru; R. H. Nizaev - Candidate of technical sciences, Head of laboratory of department of working out of oil deposits Tatar Oil Research and Design Institute of Tatneft Company (TatNIPIneft), nizaev@tatnipi.ru.
