CC BY
9
Механика деформируемого твердого тела
Научная статья УДК 539.3
DOI https://doi.org/10.24866/2227-6858/2023-1/3-10 С.И. Феоктистов, И.К. Андрианов, Тхет Лин
ФЕОКТИСТОВ СЕРГЕЙ ИВАНОВИЧ - доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник, [email protected], https://orcid.org/0000-0001-8684-7541 АНДРИАНОВ ИВАН КОНСТАНТИНОВИЧ - кандидат технических наук, доцент кафедры «Авиастроение», мап_апйпапо^90@таП.шн, https://orcid.org/0000-0001-8732-9615 ТХЕТ ЛИН - аспирант, [email protected], https://orcid.org/0000-0001-6878-0718 Комсомольский-на-Амуре государственный университет Комсомольск-на-Амуре, Россия
Оценка погрешности аналитического метода расчета упругопластического состояния толстостенных осесимметричных оболочек при линейном упрочнении материала
Аннотация. Рассмотрена проблема расчета толстостенных осесимметричных оболочек в условиях упругопластического деформирования. Известные аналитические решения таких задач не учитывают физическую и геометрическкю нелинейность, а также сжимаемость материала. Цель работы заключалась в оценке погрешностей аналитического метода расчета упругопластического состояния толстостенной трубы и сферы, нагруженных внутренним давлением, которые возникают из-за принятия упрощающих гипотез и допущений. Рассмотрены решения задач об упругопластическом состоянии толстостенной трубы и сферы двумя методами: аналитическим методом и численно-аналитическим методом переменных параметров упругости. Описаны гипотезы и допущения, принятые при решении этими методами и проведено сопоставление полученных результатов. Согласно полученным резуль-там, применение аналитических формул при определенных условиях может привести к существенным погрешностям, которые зависят от толщины стенки и степени упрочнения материала. Ключевые слова: толстостенные оболочки, автофретирование, логарифмические деформации, линейное упрочнение, сжимаемость, упругопластические деформации
Для цитирования: Феоктистов С.И., Андрианов И.К., Тхет Лин. Оценка погрешности аналитического метода расчета упругопластического состояния толстостенных осесимметричных оболочек при линейном упрочнении материала // Вестник Инженерной школы Дальневосточного федерального университета. 2023. № 1(54). С. 3-10.
Введение
В технике широко используются толстостенные оболочки, подвергающиеся внутреннему давлению. Для упрочнения таких оболочек применяют процесс автофретирования, который заключается в предварительной нагрузке оболочки внутренним давлением, большим рабочего, с таким расчетом, чтобы во внутренних слоях стенки оболочки возникали пластические деформации. При расчетах процесса автофретирования толстостенных осесимметричных оболочек приходится решать задачи упругопластического напряженно-деформированного состояния. Аналитическое решение таких задач для материалов, обладающих линейным упрочнением, ранее подробно рассмотрено [1, 3, 7, 8].
© Феоктистов С.И., Андрианов И.К., Тхет Лин, 2023
Статья поступила: 16.02.2023; рецензирование: 03.03.2023; финансирование: Научное исследование выполнено при финансовой поддержке «Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских учёных и по государственной поддержке ведущих научных школ Российской Федерации» в рамках стипендии по проекту СП-2200.2022.5 «Разработка моделей и алгоритмов расчёта пластического формообразования заготовок штамповочного производства».
Для решения этих задач аналитическим методом приняты следующие гипотезы и допущения:
1. Решение проводят, используя гипотезы деформационной теории.
2. В качестве меры деформирования применяют линейные соотношения - относительные деформации.
3. Считают материал несжимаемым, принимая коэффициент Пуассона ß = 0,5.
4. Используют условие пластичности Губера-Мизеса.
5. Упругопластические свойства материала описывают кусочно-линейной функцией, определяющей диаграмму деформирования I рода без учёта сжимаемости материала:
°l UaiT + Е(1-Х)еи при £t > eiT, ( '
где Л = 1 — Ет/Е, Ет - модуль линейного упрочнения, Е - модуль упругости первого рода.
6. Выполняется принцип отвердевания. Уравнения равновесия записываются для неде-формированного состояния без учёта изменения геометрии оболочки. Граничные условия постоянны.
Таким образом, для получения аналитического решения упругопластического деформирования толстостенных оболочек приходится линеаризировать геометрические и физические соотношения, а также не учитывать сжимаемость материала, что приводит к значительным погрешностям вычислений.
Применение численно-аналитического метода переменных параметров упругости (МППУ) позволяет избежать линеаризации и при решении упругопластических задач учитывать геометрическую и физическую нелинейность, а также сжимаемость материала.
Для оценки погрешности аналитического решения, вызванного геометрической линеаризацией и неучетом сжимаемости материала, проведем сопоставление результатов расчётов по формулам, полученным аналитически [1, 3], и методом переменных параметров упругости, методика применения которого для расчёта толстостенных оболочек изложена в [5].
Рассмотрим основные гипотезы и допущения, принятые при расчёте методом переменных параметров упругости.
1. Решение проводят, используя гипотезы деформационной теории.
2. В качестве меры деформирования применяют нелинейные соотношения - логарифмические деформации [2,4,6].
3. Считают материал сжимаемым, принимая коэффициент Пуассона ß = 0,3.
4. Используют условие пластичности Губера-Мизеса.
5. Упругопластические свойства материала описывают кусочно-линейной функцией, определяющей диаграмму деформирования III рода c учётом сжимаемости материала:
^ = ( 3Geunpn ei<eiT\ 1 {ÄaiT + 3G(1 — Х)е1,при > eiT, ( '
где Л = 1 — ET/3G, Ет - модуль линейного упрочнения, G = Е/[2(1 + ß)] - модуль упругости второго рода.
6. Условие совместности логарифмических деформаций записывается в координатах Эйлера [8]:
dee _ 1 — exp(ee — ер)
dp р
где ер и ед - радиальные и тангенциальные (окружные) логарифмические деформации.
7. Принцип отвердевания не выполняется. Уравнения равновесия записываются для деформированного состояния. Граничные условия изменяются с учётом изменения геометрии оболочки.
Принадлежность оболочки к категории толстостенных изделий определяют по коэффициенту соотношения величины внешнего сечения профиля к толщине стенки. Так, для трубы
и сферы это отношение наружного диаметра к толщине - 0отн = Б /б . Толстостенными считаются те оболочки, у которых этот коэффициент колеблется в диапазоне от 6 до 12,5, а если показатели меньше нижнего значения, то речь идет об особо толстостенных оболочках. Для более широкого охвата толщин расчёты будем проводить для Д,тн от 3 до 13.
При расчётах процесса автофретирования (автоскрепления) толстостенных оболочек внутреннее давление первоначального нагружения подбирают таким образом, чтобы граница пластической зоны находилась внутри области, ограниченной наружным и внутренним радиусами оболочки. Поэтому для оценки погрешности аналитического метода расчёта рассмотрим два случая.
В первом случае оценим погрешность определения внутреннего давления Рпл, при котором радиус пластической зоны лежит на внутреннем радиусе оболочки, то есть пластические деформации в стенке оболочки только зарождаются.
Во втором случае оценим погрешность определения внутреннего давления Ркр, при котором радиус пластической зоны лежит на внешнем радиусе оболочки, то есть пластические деформации охватывают всю стенку оболочки.
Рассмотрим первый случай. Первоначально оценим погрешность, которая возникает за счёт того, что в процессе деформирования изменяется геометрия оболочки. С этой целью сравним решения, полученные расчетами по аналитическим уравнениям и расчётами МППУ при всех допущениях, принятыми для аналитического расчёта относительных и логарифмических деформаций.
На рис. 1 представлены графики изменения погрешности аналитического расчета внутреннего давления трубы Рпл, при котором наступают пластические деформации на внутренней поверхности стенки трубы, в зависимости от относительного диаметра Д,тн для несжимаемого материала.
Рис. 1. Погрешность аналитического расчёта внутреннего давления Рпл трубы для несжимаемого материала в сравнении с расчётами МППУ: 1 - логарифмические деформации; 2 - относительные деформации
Расчеты проводились МППУ для относительных и логарифмических деформаций и сравнивались с расчётами по аналитическим формулам, полученным для относительных деформаций.
Анализ результатов показывает, что аналитические формулы дают несколько завышенный результат искомого давления. Это объясняется тем, что при расчёте по аналитическим формулам не учитывается изменение геометрии трубы, а при расчёте МППУ эти изменения учитываются. Так как в процессе деформирования внутренний диаметр трубы увеличивается, а толщина стенки уменьшается, то получается, что аналитические формулы должны давать
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2023. № 1(54)
завышенный результат, что и подтверждают вычисления. Причём, чем тоньше труба, тем больше погрешность, так как деформации трубы в этом случае больше.
В целом погрешность небольшая - менее 0,25%. Использование логарифмических деформаций при расчёте МППУ эту погрешность несколько увеличивают, в среднем на 0,05%.
На рис. 2 представлены графики изменения погрешности аналитического расчета внутреннего давления сферы Рпл, при котором наступают пластические деформации на внутренней поверхности стенки сферы, в зависимости от относительного диаметра 0отн для несжимаемого материала.
Рис. 2. Погрешность аналитического расчёта внутреннего давления Рпл сферы для несжимаемого материала в сравнении с расчётами МППУ: 1 - логарифмические деформации; 2 - относительные деформации
Качественная картина изменения погрешности для сферы остаётся такой же, как и для трубы, только погрешность становится меньше и не превышает 0,20%.
Для проверки достоверности получаемых расчётов сравним погрешности, возникающие при определении внутреннего давления Рпл без учёта сжимаемости материала, рассчитанные аналитически, и погрешности, получаемые сравнением решений аналитическмим методом без учёта сжимаемости и МППУ с учетом сжимаемости.
Аналитически без учёта сжимаемости это давление определяется по формуле
Р =
■пл Л
Я2
а с учётом сжимаемости - по формуле
Р^пл = °1Т
(Н2-г2)
+ (1-2у)2 г4
где И - наружный радиус трубы, г - внутренний радиус трубы.
Погрешность, получаемая при аналитических расчетах без учета сжимаемости материала, определим выражением
АРртеорПл%
Рпл Р^П Р^ПЯ
100%.
(3)
На рис. 3 даны графики изменения погрешности аналитического расчета внутреннего давления трубы Рпл в зависимости от относительного диаметра 0отн с учётом сжимаемости материала.
График 2, представленый сплошной линией и кружочками, иллюстрирует изменение погрешности определения давления Рпл, получаемой в случае неучёта сжимаемости материала, рассчитанной теоретически по формуле (3).
График 1иллюстрирует изменение погрешности определения давления Рпл, получаемой в случае неучёта сжимаемости материала, рассчитанной аналитически по сравнению с расчётами МППУ с учётом сжимаемости материала.
Сравнение графиков показывает, что характер их изменения абсолютно идентичен, но значение погрешности при сравнении с результатами, получаемыми МППУ, несколько выше тех, что получены теоретически. Это объясняется тем, что в данном случае суммируются два фактора, влияющие на величину погрешности: первый - при аналитическом расчёте не учитывается деформация трубы; второй - не учитывается сжимаемость материала.
Если из полученного результата вычесть погрешность, которая возникает за счёт того, что в процессе деформирования изменяется геометрия оболочки (см. рис. 1, график 2 для относительной деформации), то полученный график, рассчитанный МППУ, практически сольётся с графиком, рассчитанным теоретически (см. рис. 3, график 3).
ДРПЛ%,
* 1
г 2
\з
-
^отн
Рис. 3. Погрешность аналитического расчета внутреннего давления Рпл трубы, получаемой в случае неучёта сжимаемости материала (м=0,3): 1 - погрешность, рассчитанная сравнением результатов, полученых аналитическим расчётом и МППУ; 2 - погрешность ДР^теорпл%, рассчитаная теоретически по формуле (3); 3 - погрешность, рассчитанная сравнением результатов, полученых аналитическим рассчётом и МППУ без учёта погрешности, вызванной деформацией трубы
Как показывает теоретический анализ упругого деформирования сферы, величина давления Рпл для сферы не зависит от коэффициента Пуассона для любых толщин. Аналогичный результат был получен и при расчётах МППУ.
В результате проделанного анализа можно сделать следующие выводы.
1. Результаты, получаемые МППУ при расчёте толстостенных осесимметричных оболочек, достоверны.
2. Наибольшее влияние на величину погрешности аналитических расчётов оказывает тот фактор, что не учитывается сжимаемость материала.
3. Влияние линеаризации меры деформирования и применение принципа отвердевания для малых деформаций незначительно, но это также нужно учитывать при решении упругопластических задач.
Рассмотрим второй случай. Оценим погрешность определения внутреннего давления Ркр, при котором радиус пластической зоны лежит на внешнем радиусе оболочки, то есть пластические деформации охватывают всю стенку оболочки.
В этом случае оценивать влияние различных факторов не будем, а проведём комплексную оценку погрешности, которая возникает при аналитическом расчете за счёт принятых допущений, изложенных в начале статьи.
Сравнение будем проводить с результатами, полученными расчетами МППУ в соответствии с принятыми гипотезами и допущениями, априори предполагая, что данный метод даёт более точные результаты.
Чтобы рассчитать упругопластическое деформирование, диаграммы деформирования будем задавать в виде кусочно-линейных функций в соответствии с уравнениями (1) и (2). Степень упрочнения в этих уравнениях определяется коэффициентом Л. Чем меньше коэффициент, тем больше модуль линейного упрочнения Ет. При Л = 1 материал абсолютно пластичный. Расчёты будем проводить для Л от 0,975 до 0,850, что характерно для большинства металлических сплавов.
На рис. 4, 5 представлены результаты расчётов погрешности для толстостенной трубы и сферы.
Рис. 4. Изменение погрешности аналитического расчета внутреннего давления Ркр трубы по сравнению с МППУ для материалов с различными коэффициентами А:
1 - Я = 0.85; 2-А = 0.9; 3 - Я = 0. 95; 4 -А = 0.975
Рис. 5. Изменение погрешности аналитического расчета внутреннего давления Ркр сферы по сравнению с МППУ для материалов с различными коэффициентами А:
1 - Я = 0. 85; 2-А = 0.90; 3 - Я = 0.95; 4 - А = 0.975
Расчёт погрешности производился по формуле
АР,Ф% = Ртеоркр-Рмппукр 100%,
кр Рмппукр
(4)
где РтеорКр - давление, рассчитанное теоретически по формулам, полученным аналитически в работах [1, 2]; РмппуКр - давление, рассчитанное методом переменных параметров упругости.
Первоначально для особо толстых оболочек влияние сжимаемости материала значительное и величина давления Ркр, получаемая МППУ выше, чем рассчитанное теоретически. Так, для сферической оболочки такая погрешность может достигать 15%! При уменьшении толщины оболочки влияние сжимаемости падает и величина давления, рассчитанная МППУ, приближается к давлению, рассчитанному теоретически. Кроме того, влияние деформации трубы при уменьшении толщины стенки трубы приводит к получению несколько завышенных значений давления РтеорКр, получаемых теоретически. Все эти факторы в соответствии с формулой (4) влияют на то, что значение погрешности из отрицательной области стремится перейти в область положительных значений. Так как в процессе нагружения внутренним давлением труба деформируется сильнее, чем сфера, эти факторы для трубы наиболее ярко выражены.
Заключение
Таким образом, как показывает анализ результатов, расчёты по формулам, полученным аналитически, при определённых условиях могут давать значительные погрешности, которые зависят как от толщины оболочки, так и от степени упрочнения материала при пластическом деформировании. Использование МППУ при расчёте упругопластического состояния толстостенных оболочек в процессе автофретирования (автоскрепления) позволяет учитывать сжимаемость материала, что значительно снижает погрешность вычислений. Кроме того, как было сказано ранее, МППУ позволяет решать задачи нелинейной пластичности с подвижной границей, что также значительно повышает точность расчётов.
Благодарности
Авторы выражают благодарность «Совету по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских учёных и по государственной поддержке ведущих научных школ Российской Федерации» за финансовую поддержку для проведения исследования в рамках стипендии по проекту СП-2200.2022.5 «Разработка моделей и алгоритмов расчёта пластического формообразования заготовок штамповочного производства».
Заявленный вклад авторов: С.И. Феоктистов - проведение постановки задачи исследования, разработка подхода к оценке погрешности аналитического метода расчета упругопластических задач, проработка заключений и вывод. И.К. Андрианов - описание проведенного научного исследования и результатов. Л.Хтет - проведение численных математических экспериментов. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1. Москвитин В.В. Пластичность при переменных нагружениях. Москва: Изд-во Моск. ун-та, 1965. 263 с.
2. Панов А.Д., Шумаев В.В. Применение логарифмической меры деформаций для решения задач кручения // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2012. № 1. С. 92-100. EDN: OWNYDN
3. Писаренко Г.С., Можаровскин Н.С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести: справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1981. 496 с.
4. Радченко С.Ю., Дорохов Д.О. Новая форма представления меры линейной деформации // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2011. № 2. С. 446-457. EDN: PUIVAF
5. Феоктистов С.И., Андрианов И.К. Определение несущей способности толстостенных осесиммет-ричных оболочек, нагруженных внутренним давлением // Ученые записки Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. 2021. № 7(55). С. 18-25. DOI 10.17084/20764359-2021-55-18
6. Феоктистов С.И., Андрианов И.К. Уравнения совместности логарифмических деформаций в координатах Эйлера для решения осесимметричных процессов обработки металлов давлением // Ученые записки Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. 2021. № 7(55). С. 26-30. DOI 10.17084/20764359-2021-55-26
7. Huang X.P. A general autofrettage model of a thick-walled cylinder based on tensile-compressive stressstrain curve of a material. Journal of Strain Analysis for Engineering Design. 2005;40(6):599-607.
8. Huang X.P., Cheng C.W. Autofrettage Analysis of Thick-Walled Cylinder Based on Tensile-Compres-sive Curve of Material. Key Engineering Materials. 2004;274-276:1035-1040.
FEFU: SCHOOL of ENGINEERING BULLETIN. 2023. N 1/54
Mechanics of Deformable Solids www.dvfu.ru/en/vestnikis
Original article
DOI https://doi.org/10.24866/2227-6858/2023-1/3-10 Feoktistov S., Andrianov I., Htet L.
SERGEY I. FEOKTISTOV, Doctor of Engineering Sciences, Professor, Chief Scientific Officer,
serg_feo @mail.ru, https://orcid.org/0000-0001-8684-7541
IVAN K. ANDRIANOV, Candidate of Engineering Sciences, Associate Professor,
[email protected], https://orcid.org/0000-0001-8732-9615
LIN HTET, Postgraduate Student, [email protected],
https://orcid.org/0000-0001-6878-0718
Komsomolsk-na-Amure State University
Komsomolsk-on-Amur, Russia
Error estimation of the analytical method for calculating the elastic-plastic state of thick-walled axisymmetric shells with linear hardening of the material
Abstract. The problem of calculating thick-walled axisymmetric shells under conditions of elastic-plastic strain is considered. Known analytical solutions to such problems do not take into account the physical and geometric nonlinearity, as well as the compressibility of the material. The purpose of the work was to evaluate the errors of the analytical method for calculating the elastic-plastic state of a thick-walled pipe and a sphere loaded with internal pressure, which arise due to the adoption of simplifying hypotheses and assumptions. Solutions of problems on the elastic-plastic state of a thick-walled pipe and sphere are considered by two methods: the analytical method and the numerical-analytical method of variable elasticity parameters. The hypotheses and assumptions adopted by these methods are described and the results obtained are compared. According to the results obtained, the use of analytical formulas under certain conditions can lead to significant errors that depend on the wall thickness and the degree of hardening of the material.
Keywords: thick-walled shells, autofrettage, logarithmic deformations, linear hardening, compressibility, elastic-plastic strains
For citation: Feoktistov S., Andrianov I., Htet L. Error estimation of the analytical method for calculating the elastic-plastic state of thick-walled axisymmetric shells with linear hardening of the material. FEFU: School of Engineering Bulletin. 2023;(1):3-10. (In Russ.)
Contribution of the authors: S.I. Feoktistov - carrying out the statement of the research problem, developing an approach to estimating the error of the analytical method for calculating elastoplastic problems, working out the conclusion. I.K. Andrianov - description of the conducted scientific research and results. L. Htet - conducting numerical mathematical experiments. The authors declare no conflict of interests.
REFERENCES
1. Moskvitin V.V. Plasticity under variable loads. Moscow, Publishing House of Moscow University, 1965. 263 p. (In Russ.)
2. Panov A.D., Shumaev V.V. Using the logarithmic strain measure for solving torsion problems. Mechanics of Solids. 2012;47(1):71-78. DOI 10.3103/S0025654412010062
3. Pisarenko G.S., Mozharovskin N.S. Equations and boundary value problems of the theory of plasticity and creep. Reference manual. Kiev, Naukova dumka. 1981. 496 p. (In Russ.)
4. Radchenko S.J., Dorokhov D.O. The new form representation of the measure of linear deformation. Izvestiya Tula State University. Technical sciences. 2011;(2):446-457. (In Russ.) EDN: PUIVAF
5. Feoktistov S.I., Andrianov I.K. Determination of the bearing capacity of thick-walled axisymmetric shells loaded with internal pressure. Scholarly Notes of Komsomolsk-na-Amure State Technical University. 2021;(7):18-25. (In Russ.) DOI 10.17084/20764359-2021-55-18
6. Feoktistov S.I., Andrianov I.K. Equations of joint logarithmic deformations in Euler coordinates for solving axisymmetric pressure metal processes. Scholarly Notes of Komsomolsk-na-Amure State Technical University. 2021;(7):26-30. (In Russ.) DOI 10.17084/20764359-2021-55-26
7. Huang X.P. A general autofrettage model of a thick-walled cylinder based on tensile-compressive stressstrain curve of a material. Journal of Strain Analysis for Engineering Design. 2005;40(6):599-607.
8. Huang X.P., Cheng C.W. Autofrettage analysis of thick-walled cylinder based on tensile-compressive curve of material. Key. Engineering Materials. 2004;274-276:1035-1040.
