Оценка петрофизических параметров нефтяных коллекторов с помощью нечетких множеств Текст научной статьи по специальности «Математика»

Лусников Р.Г., Ясовеев И.М. ОЦЕНКА ПЕТРОФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НЕФТЯНЫХ КОЛЛЕКТОРОВ С ПОМОЩЬЮ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

В статье затронут вопрос применения нечеткой логики для литологического расчленения разреза скважины на классы: «нефть», «вода», «твердая порода» и «глина». Для оценки коэффициента пористости выделенных коллекторов предлагается использовать мягкие вычисления, что позволяет учесть неопределенности в исходных данных и погрешности измерений.

Теория нечетких множеств в отличие от непрерывной логики допускает частичную принадлежность множеству [7], что определяется степенью принадлежности из интервала [0,1]. Теория нечетких множеств решает проблему неабсолютной уверенности в полной или нулевой принадлежности элемента множеству [14] .

Нечетким множеством А= {(х„ы(Х))} называется совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов универсального множества X , и соответствующих степеней принадлежности ^(х) или непосредственно в виде ^(х): X ^ [0,1] [1].

Под функцией принадлежности /л(х) понимается некоторое субъективное (не вероятностное) измерение нечеткости или условная вероятность наблюдения события [13].

Основные операции над нечеткими множествами

Дополнение нечеткого множества А обозначается -лА и определяется как —А = {< /И^ (х}!х >| , х^Х . Операция дополнения является логическим отрицанием: №^а(х) = 1 ~ №а(х) . Объединением нечетких множеств А и В называется множество: А = {< ЦА^В {х}!х >} , хе X, где Ца^в^) определяется через

операцию дизъюнкции: Мацв (*) = На (*) V Мв (х) = (х)-,/лв (*)}.

Пересечением нечетких множеств А и В называется множество

А{^В = {</ил(]в(х)1х>} , хеХ , где опРеДеляе1Т1СЯ через логическую операцию конъюнкции как

Илпв (*) = На (*) & Ив (*) = (х)-,Мв (*)}■

Разностью нечетких множеств А и В называется множество А \ В , которое записывается как А\В = {< /иА\В (х)/х >| , хе X, где Ма\в(х) определяется как ¡иА\В^х) = ¡иа^х)8с—\Цв{х} .

Декартовым произведением нечетких множеств А и В называется множество А х В = {< < х9у > / < х,у »} , хе X и у е У , где степень принадлежности определяется как

Махв <х,у>=/ла<х> &Мв < У >= ™ {Ма (х)',Мв (у)\ ■

Степенью e множества А называется нечеткое множество Ае = {< цА(х) I х >} , хеХ и е>0.

В качестве операторов объединения и пересечения множеств используются операторы тт() и тах() , т.к. они удовлетворяют требованиям ограниченности, монотонности, коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и идемпотентности [13].

Высотой нечеткого множества называется величина зир^(х) . Нечеткое множество А нормально, если

хеЕ

его высота равна 1. При зир^(х) <1 нечеткое множество называется субнормальным. Нечеткое множе-

хеЕ

ство считается пустым, если УхеЕ ¡ил(х) = 0 . Непустое множество может быть нормализовано по формуле

ц'А(х) = ЦА(х)1щ>^А(х) . Нечеткое множество унимодально, если 3!х е Е: цА(х) = 0 .

/ хеЕ

Нечеткой переменной называется тройка < Г,Х,Щт) > , где т - название нечеткой переменной, X = - область определения нечеткой переменной, &(т) ={< ¡иК(т^(х)/х>} , х Е.Х - нечеткое подмноже-

ство множества X , описывающее ограничения на возможные значения нечеткой переменной т [16].

Лингвистической переменной называется (р,Т,Х,^ , где Ц - наименование лингвистической переменой; Т - терм-множество лингвистической переменной Ц , т.е. множество наименований лингвистических значений, областью определения которых является множество X ; О - синтаксическое правило в

форме грамматики, позволяющее оперировать элементами терм-множества Т , в частности генерировать новые осмысленные термы [4].

Состав модели

Для решения задачи литологического расчленения предлагается использовать нечеткую петрофизиче-скую модель, где входными лингвистическими переменными являются значения геофизических параметров, а выходным параметром является литологический тип. Данный подход является развитием алгоритмов диагностических кодов и вероятностного алгоритма.

Механизм нечетких выводов основывается на некоторой базе знаний, формируемой специалистами предметной области и состоящей из набора нечетких предикатных правил вида: Щ: если x есть Al и у

есть Bl, то z есть ^,

П2 : если x есть A2 и у есть B2, то z есть C2,

Пп: если x есть An и у есть Bn, то z есть ^,

где х , у - нечеткие входные переменные; 2 - нечеткая переменная вывода; А , В и С - функции

принадлежности, определенные соответственно на х , у и 2 .

В качестве входных лингвистических переменных используются результаты ГИС, полученные пятью стандартными методами: BK (боковой каротаж) - электрическое сопротивление неразмытой зоны пласта; DT (акустический каротаж) - измерение интервального времени пробега DT продольной звуковой волны; GR (гамма каротаж) - естественное гамма-излучение пород в разрезе скважины; NGR (нейтронный гамма-

каротаж) - измерение поглощения и рассеяния нейтронов; DS (кавернометрия) - измерение фактического диаметра необсаженной скважины.

В качестве выходной переменной выступает литологический тип пласта: коллектор, твердая порода

или глина. Пример лингвистической переменной: <" ОБ - коллектор"; Т ; [0.1, 1]>, где " ОБ - кол-

лектор" - название переменной, Т - терм-множество, [0.1, 1] - область допустимых значений.

Формирование функции принадлежности производится на основании построения функций отображения для перехода с предметной шкалы на универсальную, в соответствии с распределением значений КД.

На каждой входной переменной определяется три функции принадлежности соответствующие выходным переменным. Для оценки граничных значений для различных литологических типов используется методика расчленения с оценкой вероятности [6]. Другим источником ФП могут являться алгоритмы классификации без обучения. Нормальным является также случай, когда параметры функций принадлежности задаются интерпретатором.

Метод BK

Метод DT

0 0.2 0.4 0.6 0.0

Рис.1. Пример функций принадлежности

Функции принадлежности имеют трапециевидную форму и задаются четырьмя параметрами (координаты угловых точек). Выбор такой формы обеспечивает максимальную скорость работы алгоритма нечеткого вывода.

Каждое нечеткое правило состоит из одной посылки и одного заключения. Таким образом, для каждой входной переменной создается по три правила. Кроме этого каждому правилу сопоставляется весовой коэффициент, определяющий степень достоверности определения данного литологического метода по текущему методу.

Алгоритм нечеткого вывода

За основу алгоритма нечеткого вывода был выбран алгоритм Мамдани, так как правила базы знаний для него максимально приближены к естественному языку. Возможность использования данного алгоритма основывается на том положении, что любая математическая система может быть аппроксимирована контроллером Мамдани при следующих условиях:

- симметричных треугольных функциях принадлежности:

4 (х) =

0, иначе

А

если \Ъ, - у\<А,

0, иначе

c — z

1 - —-- ,если \ct - z| < yt,

0, иначе

- композиции с использованием операции min :

[Ai(x) and (у)] = min{4(x), Bt(у)}, • d)

- импликации в форме Мамдани и центроидного метода приведения к четкости: [Ai (x) and Bt (у)] ^ Ct (z) = min (min {At (x), Bt (y)}, Ct (z)),

: Ёci тіп^Д.(x),Bi(y)} / Y,min{4(x),Bi(У)} -

(2)

где е1 - центры С .

Алгоритм классификации с использованием нечетких множеств состоит из следующих этапов:

г

z

0

1. Введение нечеткости. Функции принадлежности, определенные на входных переменных, применяются к их фактическим значениям для определения степени истинности каждой предпосылки каждого правила: Ai(Xo), A2(Xo), ..., An(Xo), Bi(yo), B2(yo), ..., Bn(yo).

2. Логический вывод. Вычисленное значение истинности для предпосылок каждого правила применяется к заключениям каждого правила. В результате этого каждой переменной вывода назначается нечеткое подмножество уровня:

«1 = А Сч>) п А о'о) ' С[ (z) = Oj П Cj (z) ,

a2 = A2(x0)Г\В2(у0) , C'2(z) = a2 ПC2(z) ,

a„= A, (*o) П Д, 0'o) • c'„ (z) = «;, П C„ (z) .

Операция пересечения П - реализуется с помощью операций mill или произведения.

3. Композиция. Все нечеткие подмножества, назначенные каждой переменной вывода (во всех правилах), объединяются вместе и формируют общее нечеткое множество //s(z) = C(z) = Cj(z)UC^z)UUC^(z) .

Операция объединения (J - реализуется с помощью операции вероятностное сложение

C(z)=Cl(z)\JC2(z)=Cl(z) +C2(z) -C1(z)C2(z) ,

Me (z) = Me,(z) + Me2 (z) - Me, (z)Me2 (z)z e z

4. Приведение к четкости (дефаззификация) используется для перехода от нечеткого числа к четкому. В алгоритме могут применяться следующие методы приведения к четкости:

- центроидный Zq = J z • C(z)dz /J C(z)dz ;

E / E

- средний максимум z0 =Jzdz Jdz , где G - подмножество элементов, максимизирующих C .

G / G

Для определения точного значения рекомендуется использовать средний максимум, выбирая таким образом наиболее достоверный литологический тип.

Одним из больших преимуществ построенной модели по сравнению с алгоритмом комплексных кодов является то, что при ее использовании не возникает неопределенных заключений. Также модель позволяет вводить новые правила и может дообучаться, например, с помощью генетических алгоритмов [12].

Оценка свойств коллекторов по неточным геофизическим данным

Количественные оценки свойств пород производятся по алгоритмам, реализующим решение систем линейных и нелинейных петрофизических уравнений, или с использованием общепринятых методик ручной интерпретации.

При этом не учитываются возможные погрешности, возникающие как из-за неточности петрофизических моделей, так и вызванные аппаратными ошибками приборов. Авторами предложено использовать так называемые «мягкие» вычисления для оценки коллекторских свойств.

Нечеткие числа и операции над ними

Нечеткое число - это нечеткое подмножество универсального множества действительных чисел, имеющее нормальную и выпуклую функцию принадлежности, то есть такую, что 1) существует такое значение носителя, в котором функция принадлежности равна единице, а также 2) при отступлении от своего максимума влево или вправо функция принадлежности убывает.

Наибольшее распространение получили два вида НЧ: трапезоидные и треугольные.

Трапезоидное нечеткое число

Зададим лингвистическую переменную Q = «Значение параметра U», где U - множество значений носителя. Выделим два терм-множества значений: T = «U у лежит в диапазоне примерно от а до b» с

нечетким подмножеством и безымянное значение T с нечетким подмножеством М2 , причем выполня-

ется М2 =—М^ . Тогда функция принадлежности ^(и) имеет трапезоидный вид, как показано на рис.2.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

Рис.2. Функция принадлежности трапециевидного нечеткого числа

Поскольку границы интервала заданы нечетко, то абсциссы вершин трапеции вводятся следующим образом: а = (а + аV2 , Ь = (Ь + Ь)/2 , при этом отстояние вершин ах , а2 и Ъх , Ъ2 соответственно друг от

друга обуславливается тем, что какая семантика вкладывается в понятие «примерно»: чем больше раз-

брос квазистатистики, тем боковые ребра трапеции являются более пологими. В предельном случае понятие «примерно» выраждается в понятие «где угодно».

Если параметр оценивается качественно (пример - высказывание «Это значение параметра является средним»), необходимо ввести уточняющее высказывание типа «Среднее значение - это примерно от а до Ь», которое есть предмет экспертной оценки (нечеткой классификации), и тогда можно использовать для моделирования нечетких классификаций трапезоидные числа. На самом деле, это самый естественной способ неуверенной классификации.

Треугольные нечеткие числа

Если теперь для той же лингвистической переменной задать терм-множество Т1 ={ и приблизительно

равно а }, то а + 8«а , причем по мере убывания 8 до нуля степень уверенности в оценке растет до единицы. Это, с точки зрения функции принадлежности, придает последней треугольный вид (рис.3), причем степень приближения характеризуется экспертом.

Рис.3. Функция принадлежности треугольного нечеткого числа

Треугольные числа - это самый часто используемый на практике тип нечетких чисел, причем чаще всего - в качестве прогнозных значений параметра.

Целый раздел теории нечетких множеств - мягкие вычисления (нечеткая арифметика) - вводит набор

операций над нечеткими числами. Эти операции вводятся через операции над функциями принадлежности на основе так называемого сегментного принципа [3]

Рис.4. Сегмент с уровнем принадлежности а

Определим уровень принадлежности а как ординату функции принадлежности нечеткого числа. Тогда пересечение функции принадлежности с нечетким числом дает пару значений, которые принято называть границами интервала достоверности.

Зададимся фиксированным уровнем принадлежности а и определим соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетким числам А и В : [а,а2] и [Ь,Ь] , соответственно. Тогда основные опера-

ции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности. А операции с интервалами, в свою очередь, выражаются через операции с действительными числами - границами интервалов [2].

Операция «сложения»: A(+)B = \а\,а2](+)[Ь,Ь] = \.а\ + Ь,а2 +Ь] . (3)

Операция «вычитания»: A(—)B = \а\,а2](—)\Ь,Ь2] = \.а\ _Ь,а2 —Ь] . (4)

Операция «умножения»: A(X)B = \а,а2](Х)\Ь,Ь] = \а ' Ь,а2 ' Ь] . (5)

Операция «деления»: A(/)B = \а1,Л2](/)[Ь1,Ь2] = [а1/Ь2,а2/Ь] . (6)

Операция «возведения в степень»: A^) = \®\,а2](г) = \®\ ,Ь] . (7)

Анализируя свойства нелинейных операций с нечеткими числами (например, деления), исследователи приходят к выводу, что форма функций принадлежности результирующих нечетких чисел часто близка к треугольной [ 10]. Это позволяет аппроксимировать результат, приводя его к треугольному виду. И, если приводимость налицо, тогда операции с треугольными числами сводятся к операциям с абсциссами вершин их функций принадлежности.

То есть, если мы вводим описание треугольного числа набором абсцисс вершин (а,Ь, с), то можно записать:

Д+).$ = ,а,а](+)\Ь,Ь,Ь] = + Ь,а + Ь,а + Ь], (®)

Это - самое распространенное правило мягких вычислений.

Алгоритм нахождения функции принадлежности ц(г) как результата алгебраической операции над двумя произвольными функциями принадлежности Ц (х) и ц (у)обратным численным методом состоит из следу-

ющих этапов:

1. Для функций принадлежности Ц(х) е[0,а] , Ц2 (у) е[0,^] , а< 1 , р< 1 разобьем отрезок [0,ал^] на части точками г е[0,ал^],I = 1,п .

2. Для каждого г из решения уравнений ц(х) = г{ , Ц2(у) = г{ определяем соответствующие г -уровневые множе-

ства: сг,(л-) = [л-*,л;.] , сг, (у) = [.V*,V,] .

3. Находим г-уровневые множества результирующей функции

ап (2) = <7,; (хХ*)<7,; (у) = ,

где (*) - соответствующая интервальная операция.

4. Объединяя полученные г-уровневые множества находим функцию принадлежности ц (г) .

Оценка коэффициента пористости

Для оценки пористости используются электрический, нейтронный и плотностный гамма-гамма-каротаж. Количественным показателем пористости пород является коэффициента пористости кп .

Оценка по данным акустического метода

Определение пористости по данным АК, основано на уравнении среднего времени и имеет вид кцАМ = (Ат — ЛтСк)/(Лтж -ЛтСк) , где Ат , АтСК , Лтж - интервальные времена прохождения волны соот-

ветственно в пласте, скелете породы, жидкости в поровом пространстве в радиусе исследования зондом АК. Константы Ат , АтСЛ- , Ат^ обычно задаются в документах или рассчитываются в программе и затем

уточняются с помощью кросс-плота, построенного по значениям Ат .

Так как значения Ат подвержены ошибкам аппаратных измерений, а АтСЛ- , Атж задаются либо интерпретатором, либо по статистическим данным, то выгодно перейти к нечеткому представлению коэффициента пористости

г Ат - Атггг

ким=—-------ТГГ-- О)

Атж А тск

Значения интервального времени для скелета породы различной литологии приведены в табл.1. В качестве наиболее вероятного используется значение интервального времени Ат^ .

Таблица 1

Значения Ат для скелета породы [9]

Порода Атжмкс/м Ат^К мкс/м

Песчаник 156-182 170

Известняк 143-156 152

Доломит 140-145 143

Ангидрит 160-168 164

Соль 210-230 220

В связи с насыщением коллекторов в зоне проникновения пресным фильтратором промывочной жидкости интервальное время независимо от характера насыщения пород Лтж принимает значения в интервале 610-630 мкс/м.

В отличие от существующей практики предварительного получения точечных оценок для каждого параметра на основе различных способов усреднения по объему и площади в предлагаемом подходе каждый из них задается в виде соответствующей функции принадлежности ц(Ат) , ц(Атж) , ц(Атж) .

Результирующую функцию принадлежности для коэффициента пористости получаем из уравнения () с учетом определения алгебраических операций:

Ц-м(кп)- ЦГ—'4'"\ • ('")

Ц(Атж ) — Ц(Атск )

Оценка по данным нейтронного метода

Общая пористость по показаниям НМ оценивается по формуле (с учетом перехода к нечеткому виду):

кИМ - кПп ~кГЛ®ГЛ '

где кп - коэффициент общего водородосодержания, кгл - коэффициент глинистости,

нечеткая

V Ц-И-^УХЦУХ С XIииЩСГи £3 '—'ДД'—'ДД0'—'ДД С ' Л\С1 Х1УХ М , ГЛ

константа, задаваемая интерпретатором.

Функция принадлежности для пористости по НМ:

ЦНМ (кп) = ц(кПп ) — цЦкгл) * М(фГЛ ) .

Другим способом, применяемым в системе «Каротаж» [15], является определение пористости с учетом литологии скелета и глинистости. Для этого используют соотношение:

1 = !кп + 1 — кП + кгл

1-НМ 1 1ск 1гл

где /им , !ск , /¿д - показания НГК против исследуемого пласта, плотного пласта и глины; I - ве-

личина, учитывающая влияние флюида на показания НГК.

Перейдя к нечеткому представлению, получим следующее выражение для коэффициента пористости:

4=/[(1/4* -**./4)4 -!]/[4 -'] • (12)

Плотностный гамма-гамма-каротаж. Объемная плотность породы с пористостью кп и известными плотностями минерального скелета 8М и жидкости 8 , насыщающей поровое пространство, определяется фор-

мулой

8 = кП8ж + (1 — кп )8м ,

где 8 - показание ГГК.

Решая уравнение относительно к и перейдя к нечеткому представлению, имеем

4 = (4 _с4(4 “4) • <13>

Минералогическая плотность 8 для различных минералов принимается равной: 2,63-2,67*103 кг/м3

для песков, песчаников и кварцитов, 2,64-2,72*103 кг/м3 для песчаников с повышенным содержанием карбонатов, 2,70-2,73*103 кг/м3 для известняков и 2,83-2,91*103 кг/м3 для доломитов.

Плотность флюида 8 в зоне проникновения принимается равной 0,98-1,02*103 кг/м3.

Электрический каротаж по методу КС. Удельное сопротивление чистой, полностью водонасыщенной породы р зависит от удельного сопротивления насыщающей ее воды р , пористости кп и характера распределения пор. Многочисленные экспериментальные исследования и практика показывают, что для полностью водонасыщенных пород справедливо следующее соотношение:

Реп /Ре = Р = «/К , (14)

где Р - относительное сопротивление; а - некоторая постоянная; т - коэффициент цементирования.

Коэффициенты а и т зависят от структурных и текстурных особенностей пород.

Таблица 2

Значения а и т для некоторых коллекторов [5]

Коллектор а m

Песчаник рыхлый 0,98-1,03 1,3-1,6

Песчаник 0,98-1,03 1,8-2,0

Известняк 0,98-1,03 2,0-2,1

Доломит 0,98-1,03 2,1-2,3

Из (14) получаем, что нечеткое значение кп по методу КС

кп =^Pe/(ä-p„) . (15)

Согласование нечеткого решения, полученного по двум методам производится при отсутствии дополнительных предположений о применимости методов. Результирующая функция принадлежности для пористости будет выглядеть следующим образом:

и(кп) = М (кп) А м (кп) . (16)

Четкое компромиссное решение для пористости находится из условия

кп0 = max /л(кп ) .

кп

При наличии дополнительной информации о применимости методов она может быть учтена при согласо-

вании решений. Например, в виде весового коэффициента для каждого метода.

/л(кп) = OjMi (кп) а а2м2 (кп) . (17)

ЛИТЕРАТУРА

1. Аверкин А.Н. и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/Под. ред. О.А. Поспелова. М: Наука, 1986. 312с.

2. Аленфельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления М: Мир, 1987, 360с.

3. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: Монография. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2000. 352 с

4. Борисов А.Н. и др. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной. Рига: Зи-

натне, 1982. 256 с.

5. Дебранд Р. Теория и интерпретация результатов геофизических методов исследования скважин. -М.: Недра, 1972.

6. Дьяконова Т.Ф. Применение ЭВМ при интерпретации данных геофизических исследований скважин. М.: Недра, 1991. - 220с.

7. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных решений. -М.: Мир, 1976.

8. Итенберг С.С. Интерпретация результатов геофизических исследований скважин. - М.: Недра,

1987.

9. Итенберг С.С., Шнурман Г.А. Интерпретация результатов каротажа сложных коллекторов. - М.: Недра, 1984.

10. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука,

1986, 222с.

11. Комаров С.Г. Геофизические методы исследования скважин. - М.: Недра, 1973.

12. Круглов В.В. Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. 2-е изд. М.: Го-

рячая линия - Телеком, 2002

13. Нечеткая логика в задачах управления. М.: Наука, 1987. 236 с.

14. Принятие решений на основе нечетких моделей: Примеры использования. Рига: Зинатне, 1990. 186

с.

15. Сохранов Н.Н., Аксельрод С.М. Обработка и интерпретация с помощью ЭВМ результатов геофизических исследований нефтяных и газовых скважин. - М.: Недра, 1984.

16. Фролов Ю.В. Интеллектуальные системы и управленческие решения. М.: МГПУ, 2000.-294с.