CC BY
12
УДК 519.688
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-7-192-198
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО СИГНАЛА СПОСОБОМ АПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
П.Н. Мельников
Решается задача оценки параметров полиномиального сигнала, подверженного высокочастотным искажениям, с помощью апериодической фильтрации. Решение этой задачи делает перспективным использование предлагаемой фильтрации в алгоритмах предсказания перемещения физического объекта (алгоритмах экстраполяции).
Ключевые слова: восстановление полиномиального сигнала способом апериодической фильтрации.
Для рассмотрения в качестве исходной структуры фильтрации предлагается п +1 каскадный фильтр, построенный из элементарных апериодических звеньев [1].
Рис. 1. Структурная схема многокаскадного восстанавливающего фильтра
Входная функция Рп (г) есть полиномиальная функция времени вида:
Рп (г) = К/ + Кп_/ 1 +... + Кхг + Ко + 0(г), (1)
где 0.(г) - высокочастотная помеха. Выходная функция Яп (г) есть также полиномиальная
функция времени, при этом в выходном сигнале производится определенное подавление высокочастотной входной помехи:
Яп (г) = А/ + Лп^п-1 +... + Лхг + А + ®(г). (2)
В настоящей работе решается задача восстановления не только входного сигнала, но и оценки его производных (параметров входного сигнала), что, в свою очередь, позволяет использовать предлагаемую фильтрацию в алгоритмах предсказания перемещения физического объекта. В работе [1] были получены соотношения, связывающие коэффициенты выходного А и входного К полиномиальных сигналов, при условии, что входной сигнал подвергается фильтрации элементарным апериодическим звеном с постоянной времени Т .
Ап = Кп; Ап_! + ТпАп = Кп_{;.....Ао +ТД = Ко. (3)
Соотношения (3) легли в основу построения многокаскадного фильтра, восстанавливающего параметры полиномиального входного сигнала.
Рассмотрим задачу по восстановлению сигнала Р(г) = К1г + К0 и его первой производной Р(г) = К1. В соответствии с соотношениями (3) получим на выходе нулевого каскада фильтра сигнал 8(г) = К1г + К0 - Т0К1, где Т0 - постоянная времени фильтра нулевого каскада. На выходе первого каскада фильтрации получим сигнал Ж (г) = Т0 К1. Тогда структурная схема
фильтра для восстановления параметров полиномиального сигнала первого порядка примет вид:
Входной сигнал
О
"и
К]
К1=1/Г1 п=1
ЛЖ
Первая Км=1/То производная
т.
О
т)
Ко,
Ко=1/То
Интегратсф
ш
Рис.2. Структурная схема двухкаскадного параметрического фильтра
Рассмотрим задачу по восстановлению сигнала Р3(г) = К3г3 + К2г2 + К/ + К0, его первой Р3'( г) = 3К3г2 + 2К2г + К1, второй Р'(г) = 6К31 + 2К2 и третьей Р3"( г) = 6К3 производных. В соответствии с соотношениями (3) получим на выходе нулевого каскада фильтрации сигнал:
5 (0 = К3 г + К2 е
К + К0 - 3Т0 К3 е - 2Т0К2 г + 6Т02 К3 г - Т0К1
-2Т02 К - 6Т03 К3
6ТК - 6Т0ТК3 г - 2Т0ТК2
-6ТГТК3-
6Т0Т2 К3
где Т0 - постоянная времени фильтра нулевого каскада.
На выходе первого каскада фильтрации получим сигнал: Ж (г ) = 3Т0 К3 г 2 + 2Т0 К - 6Т02 К3 г+Т0 К1 - 2Т02 К • 6Т3 где Т - постоянная времени фильтра первого каскада.
На выходе второго каскада фильтрации получим сигнал:
в(г) = 6Т0ТК3 г + 2Т0ТК2 - 6Т02ТК3 - 6Т0Т12К3 - 6Т0ТТ2К3 где Т2 - постоянная времени фильтра второго каскада.
На выходе третьего каскада фильтрации получим сигнал:
Е (г) = 6ТТТ2 К3.
Тогда структурная схема фильтра для восстановления параметров полиномиального сигнала третьего порядка примет вид, представленный на рис.3. Действуя по предложенной выше методике, можно разработать структурную схему фильтра для произвольного конечного количества каскадов.
Треть.
1
Я
=1/Т! п=3
Рис.3. Структурная схема четырехкаскадного параметрического фильтра.
Возможность предложенной многокаскадной апериодической структуры (фильтра) производить оценку параметров входного полезного сигнала является необходимым, но не достаточным условием эффективной практической ее работы. На практике входной сигнал фильтра состоит из полезного сигнала и помехи (ошибки измерений). Не пропустить, а точнее, су-
щественно снизить присутствие помехи в выходном сигнале, - важное свойство фильтра. Это свойство, в конечном счете, определяет точность производимых оценок параметров полезного сигнала. Полезный сигнал и помеха, как правило, не коррелированны, при этом помеха имеет более высокочастотный спектр по сравнению со спектром полезного сигнала.
Перейдем к рассмотрению прохождения высокочастотной помехи от входа фильтра до его выхода. Первый апериодический каскад отфильтрует от исходной помехи некоторую ее низкочастотную часть, и на вход второго каскада апериодической фильтрации поступает исходная помеха за вычетом низкочастотной ее части, которая прошла на выход первого каскада. Второй апериодический каскад отфильтрует от исходной помехи еще некоторую ее низкочастотную часть, и на вход третьего каскада поступает исходная помеха за вычетом низкочастотной ее части, которая прошла на выход первого и второго каскадов. И так далее. Если предположить, что помеха на входе фильтра представляет собой «белый шум», то на входе каждого последующего каскада «белый шум» трансформируется в более «цветной шум», причем искажения спектральной плотности исходной помехи будут происходить в ее низкочастотной области.
Основная часть исходной высокочастотной помехи должна фильтроваться. Этого можно добиться назначением соответствующей величины постоянной времени апериодического каскада. Именно фильтры нижних частот такого класса представляют интерес в настоящей работе. Следовательно, исходная помеха в значительной своей части поступает на входы всех каскадов фильтра. И таким образом, с точки зрения помеховой составляющей все каскады фильтра находятся практически в одинаковом положении, т.е. они фильтруют почти один и тот же помеховый сигнал.
Рассмотрев помеховые сигналы на входах каскадов, перейдем к рассмотрению сигналов на их выходах. Как следует из структурной схемы многокаскадного фильтра, уровень помехи в выходном сигнале суммируется из величин помехового сигнала на выходе каждого каскада. Следовательно, если на выходе какого-либо каскада уровень помехи будет существенно превышать уровни помех в других каскадах, то помеховая составляющая этого каскада и будет определять уровень помехи на выходе фильтра. Фильтрующие способности каскада типа апериодическое звено полностью определяются его постоянной времени Т(К = 1/ Т) . Следовательно, если нет каких-то иных требований к выбору величины постоянной времени апериодического звена, то назначение его одинаковым во всех каскадах приведет к эффективному подавлению помехи на выходе предлагаемого фильтра.
Суммируя выше сказанное в двух предыдущих абзацах, а именно, если на входах каскадов фильтра практически один и тот же помеховый сигнал, а каскады практически идентичны, то и помеховые сигналы на выходах каскадов должны быть сильно коррелированны. Это обстоятельство дает дополнительную возможность разработчику снизить присутствие помехи в выходных сигналах и, следовательно, повысить точность оценивания параметров.
Выбор количества каскадов, то есть структуры фильтра, определяется составом (сложностью) входного сигнала и требованиями системы управления по дальнейшему использованию полученных оценок. Если перечисленные условия изменяются во времени, то нет принципиальных трудностей в разработке фильтрующей структуры с переменным количеством каскадов. Причем в качестве критерия подключения или отключения каскадов может быть выбрана интегральная оценка от разности сигналов I [ Р (г) - Я(г)] = тах{Я (г)/[ Р(г) - Я (г)]}, например, максимум отношения сигнал/шум.
Если структура фильтра определена, то единственным инструментом изменения его фильтрующих свойств является возможность варьирования значениями постоянных времени элементарных апериодических звеньев (каскадов) Т0, Т1, Т2, Т3 (рис.3). Причем, как было показано выше, из условия эффективного подавления помехового сигнала следует назначать
Т = Т = Т = Т
Изменение значений постоянных времени приводит к переходному процессу от одной состоятельной оценки параметров входного сигнала к другой состоятельной оценке. Длительность переходного процесса, где точность оценок параметров сигнала неудовлетворительная, может быть весьма существенной. С увеличением (уменьшением) постоянной времени апериодического каскада увеличивается (уменьшается) и длительность переходного процесса. Этой закономерностью можно воспользоваться для управления длительностью переходного процесса, при этом учитывая изменение уровня подавления помех фильтром. Если физический объект начинает маневрировать (в математическом описании его траектории появляются
дополнительные производные, которые структура фильтра не позволяет оценивать), то имеется возможность прибегнуть к уменьшению постоянных времени фильтра для уменьшения уровня методических ошибок в оценках параметров траектории, вызванных маневром. Если одновременно с изменением значений постоянных времени соответствующим образом изменить внутреннее состояние фильтра, то переходный процесс может и не возникнуть, и не будет разрыва в состоятельности оценок параметров входного сигнала.
Рассмотрим методику пересчета внутреннего состояния фильтра на примере четырех-каскадной структуры (рис.3). Пусть начальное внутреннее состояние фильтра характеризуется величинами ^,О,,Е ,, а значения постоянных времени апериодических звеньев равны
Т,, Тъ, Т,, Т, . Пусть конечное внутреннее состояние фильтра характеризуется величинами £г,Ш.,Ое,Ее, а значения постоянных времени апериодических звеньев равны Т0е,Т.,Т2.,Т3.. Тогда, исходя из условия равенства третьей производной до и после изменения величин постоянных времени, получим:
Е, = Ее . Е = Е,Т0 .Т1 .Т2. (4)
Т0 ,Т1 ,Т2, Т0 .Т1.Т2 . Т0 ¡Т1 ,Т2 , Исходя из условия равенства второй производной до и после изменения величин постоянных времени, получим:
Т Т Т Т
Е (1 + + + О Е (1 + + + О
, V гр Т , . Т Т .
_Т2 , Т2 ,_ _ _Т 2 . Т 2 ._. О -
Е,, (1 + ^ + ^) + О,
2 , 2 ,
_ Е (1 + ^ + ^ (5)
лут лут . ^ лут лут '
Т0Т 2. Т 2.
Т Т Т Т
1 0 1, -1 0 1.
Исходя из условия равенства первой производной до и после изменения величин постоянных времени, получим:
Е (1+ Т?^)+О(1+Т3)+Ш Е. (1+Т -Д)+О.(1 ф+Ш
Т Т
ш -
Е (1+у +Т-)+О (1+у)+Ш
Т
т +у+Т )о+Т)
(6)
Т
Исходя из условия равенства значений сигнала до и после изменения величин постоянных времени, получим:
£ + Ш + О + Е _ £ + Ш + О + Е ; £ _ £ + Ш + О + Е _ Ш _ О _ Е (7)
При условии равенства постоянных времени Т, - Т0, - - Т2, - Т3, и Т. - Т0. - Т1е - Т2. - Т3. получим более простые соотношения:
Е - ЕТЪ / Т 3; О - [3Е + О ]Т2 / Т2 _ 3Е (8)
Ш. - [3Е, + 2О, + Ш ]Т. / Т, _ 3Е. _ 2О.; £. - £ + Ш + О, + Е, _ Ш. _ О. _ Е. (9)
Предложенная методика пересчета внутреннего состояния фильтра может быть использована не только при стремлении изменить возможности подавления высокочастотной помехи в выходном сигнале при решении задач управления, но и для решения проблемы начального пуска процесса фильтрации. При старте процесса фильтрации информация о параметрах входного сигнала минимальна - известно лишь значение уровня сигнала на входе Р(^0) . Естественным является в таких условиях назначить следующее внутреннее состояние фильтра (рис.3) £(0) - Р(0); О(0) - 0; Ш(0) - 0; Е(0) - 0. Если входной сигнал в дальнейшем будет
изменяться, то переходный процесс (несостоятельность оценок) при старте неизбежен. Для сокращения интервала несостоятельности предлагается назначить минимально возможные значения времен элементарных апериодических звеньев (каскадов) Тт1п - Т0 - Т1 - Т2 - Т3. А затем по истечении переходного процесса, используя методику пересчета внутреннего состояния фильтра, назначить величины постоянных времени Тор{ - Т0 - Т1 - Т2 - Т3, позволяющие подавить
входную высокочастотную помеху до требуемого в процессе управления уровня. Если есть возможность назначить значения величин постоянных времени фильтра кратным степени 2 (например, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8[с]), то это позволит реализовать операции умножения/деления арифметическими сдвигами. Предпринятые усилия, в конечном счете, позволят сократить вычислительные затраты при программной реализации многокаскадного апериодического фильтра.
Цифровая ЭВМ, работающая в контуре системы управления, требует квантования непрерывных сигналов по времени и уровню. Дискретный аналог непрерывного апериодического звена имеет следующую передаточную функцию (на входе экстраполятор нулевого порядка) [2]:
W(z-1) = Ь • z-1/(1-a• z-1); a = exp(-ДT/T); Ь = 1-a (10)
где T - постоянная времени аналогового фильтра; ДT - интервал дискретизации по времени. Дискретный аналог непрерывного апериодического звена реализуется следующей структурной схемой:
Рис. 4. Структурная схема дискретного аналога непрерывного апериодического звена
Алгоритм дискретной цифровой реализации аналогового апериодического звена имеет
вид:
Y[п] = Y[п -1] + Ъ • {X[П -1] - Y[п -1]}, (11)
где X[п -1] - предыдущий отсчет входного сигнала; Y[п], Y[п -1] - текущий и предыдущий расчетные значения выходного сигнала. Если в соотношении (11) использовать вместо значения X[п -1] значение X[п] (текущий отсчет входного сигнала), то величина выходного сигнала Y[п] будет соответствовать значению, экстраполированному на интервал времени ДТ. Однако, применение алгоритма (11) в цифровом многокаскадном параметрическом фильтре формирует смещенные оценки производных от входного сигнала. Назначение коэффициента Ъ , равным ДТ / Т , позволяет получать оценки параметров входного сигнала, равные реальным параметрам входного сигнала, которые они принимают в текущие дискретные отсчеты съема значений.
Пример алгоритма цифровой реализации четырех каскадного апериодического фильтра, где к = ДТ / Т, представлен следующими соотношениями:
г0 = X[п -1] -/0, /0 = /0 + к • г0; - нулевой каскад.
г1 = г0 - /1, /1 = /1 + к • г1; - первый каскад.
г2 = гх - /2, /2 = /2 + к • г2; - второй каскад.
г3 = г2 - /3, /3 = /3 + к • г3; - третий каскад.
Я[п] = /0 + /1 + /2 + /3; - восстановленный входной сигнал.
Я'[п] = [/1 + 2/2 + 3/3 - /2 • к /2 - /3 • к • (3/2 - к / 3)] / Т ; - первая производная.
Я>] = (/2 + 3/3 - /3 • к) / Т / Т; - вторая производная.
Я"'[п] = /3/ Т / Т / Т - третья производная.
В приведенном алгоритме учтены смещения оценок, вызванные особенностями цифровой реализации аналогового апериодического звена. Пусть траектория движения физического объекта представлена в виде уравнения X(?) = X0 + У^ + А^2 /2 + W0t3 / 6 ; X0 = 0[ж],К0 = 300[м/с], А0 = -20[м/с/с], W0 = 1[м/с/с/с].
Текущие отсчеты положения объекта зашумлены высокочастотной помехой Е (t) = 0.00^ (1) - 0.5]. Постоянная времени каждого каскада фильтра равна
Т = 1.0[с]. Интервал времени съема места положения объекта на траектории равен ДТ = 0.01[с]. Величины погрешностей в оценках параметров траектории движения физического объекта представлены на рис.5.
Черный цвет - величина шума Е ^) на входе.
Красный цвет - погрешность в оценке координаты.
Зеленый цвет - погрешность в оценке скорости.
Синий цвет - погрешность в оценке ускорения.
Желтый цвет - погрешность в оценке третьей производной.
20 22 24 26 20 30 32 34 36 ЗВ [с]
Рис. 5. Погрешности в оценках параметров траектории движения объекта
В заключение можно отметить, что в настоящем работе предложена методика построения цифрового многокаскадного апериодического фильтра для оценки параметров полиномиального сигнала. Решение этой задачи делает перспективным использование предлагаемой структуры фильтра в алгоритмах предсказания перемещения физического объекта.
Список литературы
1. Вернер В.Д., Мельников П.Н., Сазонов А.А. Восстановление полиномиального сигнала способом апериодической фильтрации. МИЭТ, Москва, 2008. С. 27 - 31.
2. Изерман Р. Цифровые системы управления. Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 541 с.
Мельников Петр Николаевич, канд. техн. наук, ведущий научный сотрудник, peter@olvs.miee.ru, Россия, Москва, Национальный исследовательский университет электронной техники
ESTIMATION OF THE PARAMETERS OF A POLYNOMIAL SIGNAL BY THE METHOD
OF APERIODIC FILTERING
P.N. Melnikov
The problem of estimating the parameters of a polynomial signal subject to high-frequency distortion using aperiodic filtering is solved. The solution of this problem makes it promising to use the proposed filtering in algorithms for predicting the movement of a physical object (extrapolation algorithms).
Key words: reconstruction of a polynomial signal by the method of aperiodic filtering.
Melnikov Peter Nikolaevich, candidate of technical science, researcher, peter@olvs.miee.ru, Russia, Moscow, National Research University of Electronic Technology
