CC BY
21
УДК 330.43
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ИТЕРАЦИОННОГО АЛГОРИТМА ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ МАТРИЦ
Амридон Гемзаевич Барлиани
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики и информационных систем, тел. (983)319-99-31
Ираида Яковлевна Барлиани
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры управления и предпринимательства, тел. (983)319-99-31
В статье предлагается новый подход к процедуре оценивания параметров регрессионной модели, основанный на методе итерационного алгоритма псевдообращения матриц.
Ключевые слова: псевдообратная матрица, объясняющие переменные, итерационный алгоритм, эконометрическая модель, гребневая регрессия, метод наименьших квадратов.
ASSESSMENT OF PARAMETERS OF MODELS OF ECONOMIC SYSTEMS ON THE BASIS OF ITERATIVE ALGORITHM OF THE PSEUDO-ADDRESS OF MATRIXES
Amridon G. Barliani
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Cand.Tech.Sci., associate professor of applied informatics and information systems, tel. (983) 319-99-31
Iraida Ya. Barliani
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Cand.Tech.Sci., associate professor of management and business, tel. (983)319-99-31
In article the new approach to procedure of estimation of parameters of regression model based on a method of iterative algorithm of the pseudo-address of matrixes is offered.
Key words: the pseudo-return matrix, the explaining variables, iterative algorithm, econometric model, grebnevy regression, a method of the smallest squares.
Хорошо известно, что существование сильной линейной зависимости между переменными, входящими в правую часть эконометрической модели и характеризующимися близостью значений коэффициентов парной корреляции ряда столбцов матрицы X к единице, вызывает целый ряд проблем при оценке коэффициентов этой модели.
Во-первых, это явление делает матрицу xt x плохо обусловленной (ее детерминант становится близким, а в пределе равным нулю), и в этом случае МНК и ММП (метод максимального правдоподобия) как методы оценки коэффициентов модели не могут быть использованы. Во-вторых, плохая обуслов-
ленность матрицы xt x своим следствием, как правило, имеет ухудшение точности оценок коэффициентов модели, рост их дисперсий. В-третьих, оценки коэффициентов модели становятся чрезвычайно чувствительными к незначительным изменениям исходных данных (значений элементов вектора Y и матрицы X), а также к ошибкам округлений числовых данных расчетов, неизбежным при обращении матрицы xtx . Иными словами, незначительные изменения в исходных данных или округления результатов промежуточных расчетов вызывают резкие скачки в значениях оценок. Это говорит о неустойчивости оценок параметров моделей по отношению к исходным данным, о низкой обоснованности построенного варианта эконометрической модели, о ее неадекватности описываемому ею процессу [7, 8].
Вместе с тем, на практике решать проблему мультиколлинеарности путем исключения части взаимосвязанных между собой независимых переменных часто бывает нецелесообразно, поскольку, например, их взаимосвязь может отражать явление ложной корреляции, а не вытекать из содержания отображаемых ими явлений. При этом каждая из этих переменных может быть чрезвычайно важна для выражения закономерностей развития независимой переменной.
Невозможность использования «классических» подходов при построении эконометрических моделей в условиях плохой обратимости матрицы
(xtx) обусловливает необходимость применения при оценке их параметров специальных процедур и методов, которые позволяют снизить отрицательное влияние высокой корреляции между объясняющими переменными на точность и достоверность получаемых оценок, основанных на методе псевдорешения. Ниже предлагается методика оценки параметров экономических систем на основе итерационного алгоритма псевдообращения матриц.
Обычно модель линейной множественной регрессии с k переменными и n индивидуумами записывается в виде
у г = а0 + а1 • хл + «z ■xi2+--- + ak-xik+ £z > 2 2
M(e¿) - 0, со\{8г8 ■) - ст , 0 < а < оо, V/, j, или в матричной форме:
y = xа+ е,
М(е) = 0, ке = а2/,
где y - (п, 1) - вектор столбец x - (п, к) — матрица факторных признаков, а - — вектор столбец искомых парметров модели, / - (п, п) - единичная мат_
рица, 8 ~~ ~~ вектор столбец случайных ошибок. При этом j=0,... к.
Если матрица x x плохо обусловлена, то вектор оценок, получаемый по методу наименьших квадратов, имеет, как правило, завышенную норму, а ком-
поненты его могут иметь даже неправильный знак [1,2,3]. Тем не менее, можно улучшить качество оценки, если отказаться от поиска решения по методу наименьших квадратов в пользу псевдорешения.
Необходимо заметить, что такие задачи можно решать методом гребневой регрессии.
Псевдорешение системы уравнений (1) можно записать следующим образом:
а = Х+7, (2)
где Х+ -псевдообратная матрица, а - вектор оценок искомых параметров а .
Для того чтобы найти решение необходимо иметь псевдообратную матрицу Х+. Предлагается следующая процедура вычисления псевдообратной матрицы.
На основании коэффициентов характеристического многочлена и присоединенной матрицы можно построить псевдообратную матрицу для прямоугольной матрицы X [3, 4, 5, 10, 11].
Пусть произвольная прямоугольная матрица X размером (пхк) состоит из линейно независимых столбцов. Используя предложения, приведенные в работах [7, 35], можно построить цепочки матриц:
А = Х,
л2=л-в-,
А3= Л1В2,
^1тЛх, В^Л^я^;
я = -ггА , I;
2 2 2 2 2 2
*з=- ^ Вз = лз- 1;
Л = Л В я = -КЛ,, В=Л,- яТ = 0.
к - к - к к к к к
(3)
Здесь к - ранг прямоугольной матрицы X. Если ранг матрицы X равен к. то псевдообратную матрицу можно рассчитать по формуле [3]:
1
Вк-гХ
(4)
Нетрудно доказать, что ковариационная матрица вектора а будет равна:
ка=82Х+Х+т
(5)
я
к
■у
где Л' - остаточная дисперсия, характеризующая влияние неучтенных факто-
ров в модель регрессии (не объясненная регрессией дисперсия), вычисляемая по формуле:
Здесь 7 - вектор- столбец, компоненты которого состоят из модельных значений зависимой переменной У. При этом модели регрессии будет соответствовать выражение:
7 = Х+У. (7)
Среднеквадратические ошибки параметров можно будет рассчитать по известной формуле:
та,
у =#7, (Ю
где Ки - диагональные элементы ковариационной матрицы (5).
Рассмотрим пример [6]. По приведенным в табл. 1 данным по 14 однотипных предприятий провести регрессионный анализ зависимости индекса снижения себестоимости продукции (У) от трудоемкости единицы продукции (Х-) и удельного веса покупных изделий (Х2).
Таблица 1
Исходные данные для построения эконометрической модели
№ у Х1 Х 2 № ~ .. ■■' г у Х1 Х 2
п/п
1 129 0,23 0,20 8 116 0,26 0,24
2 119 0,24 0,26 9 33 0,49 0,47
3 146 0,19 0,16 10 88 0,36 0,31
4 142 0,17 0,18 11 80 0,37 0,33
5 116 0,23 0,27 12 58 0,43 0,40
6 102 0,30 0,28 13 92 0,35 0,32
7 100 0,31 0,29 14 76 0,36 0,37
На основании этой таблицы составим матрицу значений, объясняющих переменных х и вектор столбец, значений зависимой переменной У, которые равны соответственно:
х =
0,23
1 0,24
1 0,19
1 0,17
1 0,23
1 0,30
1 0,31
1 0,26
1 0,49
1 0,36
1 0,37
1 0,43
1 0,35
1 0,36
0,20л 0,26 0,16 0,18 0,27 0,28 0,29 0,24 0,47 0,31 0,33 0,40 0,32 0,37
У =
029л 119 146 142 116 102 100 116 33 88 80 58 92 76
V
Для дальнейших выводов и анализа определим матрицу нормальных уравнений и ее определитель они соответственно равны:
д = ХТХ =
г 14 4,29 4,08 Л 4,29 1,4257 1,349
V
4,08 1,349 1,2838
;<Ы(Д) = 0,01085.
у
Так как ёе1;(Д) малая величина, поэтому можно сделать вывод о том, что факторные признаки X1 и Х2 сильно коррелируют между собой. Это значит,
что ранг матрицы X равен 2. В связи с этим псевдообратную матрицу Х+ определим по формуле:
1
х+ = —вх
(9)
Параметры В и 5 определим согласно выражению (3) и получим:
2
г- 2,7095 4,2900 4,0800
4,2900 -15,2838 1,3490
4,0800 Л 1,3490 -15,4257
5 =2,89301266
2 '
5
2
Тогда по формуле (9) получим матрицу Х+ и для удобства запишем ее в транспонированной форме:
Х+г =
г 0,313445 0,213998 0,429172 0,430624 0,214724 0,096819 0,067888 0,212547 -0,452884 -0,034462 -0,077497 -0,265191 -0,033736 -0,119080
-0,361051 -0,336199 -0,553720 -0,668706 -0,393692 -0,028545 0,019622 -0,221213 0,886630 0,274447 0,317951 0,602290 0,216954 0,246469
-0,451132Л -0,135872 -0,645762 -0,529795 -0,077888 -0,057208 -0,008551 -0,251839 0,867286 0,074776 0,176754 0,522020 0,132759 0,394699
По формуле (7) получим оценку вектора параметров регрессии:
а = Х^
г 204,223 4 -182,190
166,986
Таким образом, модели гребневой регрессии будет соответствовать выражение:
7 = 204,223-182,190^-166,986X2.
Для вычисления ковариационной матрицы по формуле (6) определим дисперсию остатков:
е2= ете =(У-7)Г(У-7) = 60,938306=5^39£
п-к
п — к
11
По формуле (5) вычислим ковариационную матрицу вектора параметров оценки:
Ка=Б2Х+Х+т
/ 5,079350 -8,175327 -7,484926х -8,175327 14,599629 12,710749
7,484926 12,710749 12,339689
Для сравнительного анализа приведем результаты, полученные по методу гребневой регрессии, метода наименьших квадратов [6] и псевдорешения. Результаты сведем в итоговую таб. 2.
Таблица 2
Оценки параметров модели регрессии
Метод Среднеквадратиче-ская ошибка модели, 5 Среднеквадратические ошибки параметров
1 2 3
1. Метод наимень- 2,1 2,0 22,9 24,8
ших квадратов
2. Метод гребневой 2, 1 2,0 18,4 19,9
регрессии
3. Метод псевдоре- 2,3 2, 2 3, 8 3,5
шения
Анализируя результаты, приведенные в таблице 2 можно сделать вывод о том, что среднеквадратическая ошибка модели, полученные на основе трех методов примерно одинаковы. При этом среднеквадратические ошибки параметров модели, полученные по предлагаемому методу на порядок ниже, чем по другим представленным методам оценки.
Для дополнительного анализа рассчитаем обобщенные среднеквадратические ошибки параметров модели. Для этого воспользуемся известной формулой:
ж,
обоб
гтК
к
(10)
где /гАТ-след ковариационной матрицы К; к-число определяемых параметров модели.
Тогда обобщенные среднеквадратические ошибки параметров будут равны:
1) метод наименьших квадратов
ж,
обоб
гтК
к М
2) метод гребневой регрессии
[ггК _
ж,
обоб
740,81
= 15,7:
1142,60
3
= 19,5:
3) метод псевдорешения
тобоб
л!
trK
к \
32,02 2_
3
Сравнение этих показателей между собой говорит о том, что по предложенному алгоритму точность модели повышается примерно в 6 раз по сравнению с методом наименьших квадратов и примерно в 5 раз по сравнению с методом гребневой регрессии.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Барлиани А. Г. Метод Гревилля при уравнивании геодезических сетей // ГЕО-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). - Новосибирск : СГГА, 2008. Т. 1, ч. 1. - С. 271-273.
2. Барлиани А. Г. Псевдорешение и метод наименьших квадратов // ГЕО-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). - Новосибирск : СГГА, 2008. Т. 1, ч. 1. - С. 160-163.
3. Барлиани А. Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных и несвободных геодезических сетей на основе пседонормального решения: монография /А. Г. Барлиани. - Новосибирск: СГГА, 2010. - 135 с.
4. Барлиани А. Г., Барлиани И. Я. Процедура оценивания параметров экономет-рической модели методом псевдонормальной оптимизации // Вестник СГГА. - 2014. -Вып. 1 (25). - С. 105-113.
5. Барлиани А. Г., Барлиани И. Я. Процедура оценивания параметров моделей экономических систем // Вестник СГГА. - 2015. - Вып. 1 (29). - С. 140-148.
6. Барлиани А. Г., Барлиани И. Я. Рекуррентное оценивание параметров регрессионной модели // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2015. XI Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Экономическое развитие Сибири и Дальнего Востока. Экономика природопользования, землеустройство, лесоустройство, управление недвижимостью» : сб. материалов в 4 т. (Новосибирск, 13-25 апреля 2015 г.). - Новосибирск : СГУГиТ, 2015. Т. 1. - С. 3-8.
7. Эконометрика. В 2-х ч. Ч 1 [Текст] : учеб. пособие /А. Г. Барлиани, И. Я. Барлиани. - Новосибирск: СГУГиТ, 2015. - 117 с.
8. Эконометрика. В 2-х ч. Ч 2 [Текст] : учеб. пособие /А. Г. Барлиани, И. Я. Барлиани. - Новосибирск: СГУГиТ, 2015. - 144 с.
9. Карпик А. П., Каленицкий А. И., Соловицкий А. Н. Новый этап развития геодезии - переход к изучению деформаций блоков земной коры в районах освоения угольных месторождений // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 3 (23) - С. 3-9.
10. Карпик А. П. Разработка критериев оценки качества кадастровых данных// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2013. - № 4/С. - С. 133-136.
11. Карпик А. П. Разработка методики качественной и количественной оценки кадастровой информации // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2013. - № 4/С. - С. 137-142.
12. Hoerl, Kennard (1970) Ridge regression, biaised estimation for non orthogonal problems. Technometrics, vol. 12, № 1.
13. Cazes (1975) Protection de la regression par utilization de contraintes lineaires et non lineaires RSA, № 3, vol. 23.
© А. Г. Барлиани, И. Я. Барлиани, 2016
