CC BY
124
2016, Т. 158, кн. 2 С. 221-230
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
УДК 519.233.22
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО МЕТОДУ МОМЕНТОВ И ЕЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
А.Н. Сафиуллина
Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Аннотация
Рассмотрена задача оценки параметров т и р биномиального В(т,р) распределения по выборке фиксированного объема п с использованием метода моментов. С помощью дельта-метода установлена совместная асимптотическая нормальность оценок, вычислены параметры предельного распределения. Моментные оценки т и р не имеют средних значений и дисперсий, тем не менее предлагается трактовка параметров асимптотической нормальности с точки зрения характеристик точностных свойств моментных оценок. На основе данных статистического моделирования исследованы точностные свойства как непосредственных оценок по дельта-методу, так и их модификаций, которые не обладают начальными дефектами (значения оценки р меньше нуля, значения оценки т, которые меньше наибольшего значения в выборке). Приведен пример оценки параметров т и р по наблюдениям числа откликов в ответ на раздражение нерва при эксперименте с нервно-мышечным синапсом (т - число везикул с ацетилхолином в окрестности синапса, а р -вероятность выброса ацетилхолина каждой везикулой).
Ключевые слова: биномиальное распределение, оценка параметров, метод моментов, дельта-метод, асимптотическая нормальность, точностные свойства оценок
Введение
Оценка параметров биномиального распределения по выборке фиксированного объема п, когда параметры т и р неизвестны, уже более полувека остается важной статистической проблемой. Это объясняется рядом причин, связанных как с трудностью решения данной проблемы, так и с тем, что существует сравнительно мало легко вычисляемых мотивированных оценок, обладающих свойством робастности к наличию резко выделяющихся наблюдений; известные оценки т , как правило, занижают истинное значение т. Следует отметить, что оценка параметра т имеет много интересных практических применений: подсчет количества ошибок в программных кодах (см., например, [1]), выявление размера замкнутой популяции животных, определение числа везикул, содержащих ацетилхолин при исследованиях нервного синапса [2], и много других примеров.
Одна из первых работ теоретического плана, посвященных статистическим проблемам биномиального распределения, принадлежит, по-видимому, Д.Б.С. Хол-дейну [3], где предлагаются оценки по методу моментов параметров т и р биномиального распределения и обсуждается алгоритм численного нахождения оценок т и р по методу максимального правдоподобия. Более подробное исследование оценок по методу максимального правдоподобия содержится в [4]. Обзор и анализ точностных свойств обоих методов оценки с численными иллюстрациями точностных характеристик оценок дается в работах [5, 6]. Отметим также одну из пионерских работ П.Г. Хоэля [7], где предлагается тестовая статистика для проверки
простой гипотезы т = то против сложной альтернативы т > то при неизвестном значении параметра р. Затем эта статистика используется при построении доверительного интервала для т и предлагается точечная оценка т типа оценки по методу моментов. Анализ асимптотических свойств и распределений всевозможных оценок параметров биномиального распределения, включая их робастные свойства, дается в [8]. В статьях [9-11] строятся байесовские оценки биномиальных параметров; их хорошие точностные и робастные свойства отмечаются в [11]. Обзор современного состояния проблемы оценки параметров биномиального распределения дается в [1], где предлагаются в том числе новые оценки и исследуются их асимптотические свойства.
К общим методам построения оценок параметров распределения относятся: метод максимального правдоподобия, метод моментов, метод наименьших квадратов, байесовский метод. В настоящей работе рассматривается только метод моментов для оценок параметров т и р биномиального распределения. В отличие от указанных выше работ, дельта-метод используется для доказательства асимптотической нормальности совместного распределения оценок т и р по методу моментов. Поскольку для этих оценок моментов любого порядка не существует, параметры асимптотической нормальности как характеристики точностных свойств оценок -смещение и дисперсия - не допускают прямой интерпретации. Предлагается модификация оценок, основанная на прибавлении к знаменателям статистик, определяющих оценки, постоянных членов порядка о(1/п), что, очевидно, не влияет на параметры установленной асимптотической нормальности. Для модифицированных таким образом оценок параметры асимптотической нормальности становятся характеристиками среднего, дисперсии и ковариации оценок т и р. На основе данных статистического моделирования исследуются возможности использования асимптотического распределения и его параметров для выявления точностных свойств как непосредственных оценок т и р , так и их стандартных модификаций, устраняющих отрицательные значения оценки для параметра р и значения оценки т , меньшие наибольшего значения в выборке. Приводится пример с реальными данными исследования нервного синапса, когда оценивается число везикул ацетилхолина и вероятность его освобождения для каждой везикулы.
1. Оценки параметров по методу моментов и их асимптотическая нормальность
Пусть = (Х1,..., Хп) - случайная выборка объема п из биномиального
В(т,р) распределения и
пп
х хй, й-2 = —X)2
п п — 1
к=1 к = 1
- несмещенные оценки среднего значения тр и дисперсии тр(1 — р) этого распределения соответственно.
Оценки параметров т и р по методу моментов являются решением системы уравнений тр = X, тр(1 — р) = й2 и имеют вид
л X — й2 л X2
Рп = -=
X X — й2
Область значений этих оценок выходит за границы естественного параметрического пространства биномиального распределения. Так, оценка рп может оказаться отрицательной, и поэтому ее нельзя трактовать как вероятность исхода биномиального испытания. Оценка тп, как правило, не является целым числом и может
оказаться меньше максимального значения X[n] в выборке и даже принимать отрицательные значения (см. в связи с этим асимптотические (n ^ ж) формулы в статье [1]). В таком случае на практике вместо mn используется оценка mn = = max{ тn, X[n] }, а в случае отрицательно значения pn в качестве оценки p используется статистика pn = X/mn. Оценки p>n и тn обладают также крайне неприятным свойством - их средние значения и дисперсии равны бесконечности. Связано это с тем, что стоящие в знаменателе оценок статистики принимают нулевые значения с положительной вероятностью. В силу этого дельта-метод как инструмент для получения асимптотик для средних значений и дисперсий оценок становится бессмысленным (см. в связи с этим теорему и последующие замечания к ней в § 27.7 книги [12]). Тем не менее теорема об асимптотической нормальности функции от выборочных моментов не требует каких-либо дополнительных ограничений, кроме ее дифференцируемости (см., например, основную теорему § 28.4 из [12] или ее многомерный вариант в монографии [13]). Это позволяет установить совместную асимптотическую нормальность оценок pn и тn.
Для вычисления вектора средних и матрицы ковариаций предельного нормального распределения нам потребуются формулы для первых и вторых моментов статистик X и S2.
Лемма 1. В случае простого случайного выбора из биномиального B(m,p) распределения
¡1 = EX = mp, ¡2 = ES2 = mp(1 - p), ст2 = DX = Wp(1 ~ p),
n
и если n ^ ж, то
2 do2 2wp2(1 - p)2(m - 3) + wp(1 - p)
a2 = US ~ -,
2n
¡11 = Cov(X,S2) - mp(1 -p)(1 - 2p) .
n
Доказательство. Используя формулы (16.2.6) из книги [12] для первых четырех моментов биномиального распределения, находим что
¡1 = mp, ¡2 = mp(1 - p), ¡3 = mp(1 - p)(1 - 2p),
¡4 = 3m2p2(1 -p)2 + mp(1 -p)(1 - 6p(1 -p)).
Применение формул (27.2.1), (27.4.1), (27.4.2), (27.4.4) из [12] дает
2
EX = ¡1, ES2 = ¡2, DX = , D - , Cov(X,S2) = ^.
n n n
Теперь после несложных выкладок получаем утверждение леммы. □
Теорема 1. Распределение случайного вектора yfn (pn - p, wn - w) при n ^ ж сходится к двумерному нормальному распределению с нулевым вектором средних и матрицей ковариаций Л = ||Ajj||, i,j = 1, 2, где
(1 - p)(2 (1 -p) w + 3p - 2) 2m(1 -p)2(m - 1) Ali = -, A22 =-2-,
m p 2
2(1 - p)2(1 - m) A12 = -.
p
Доказательство. Следуя дельта-методу, разложим функции pn и mn в двумерный ряд Тейлора по степеням X — mp, S2 — mp(1 -p), сохраняя только линейные члены:
X — S 2 1 — p __1
Pn = — = p +-p (X — mp)--(S2 — mp(1 — p)) + Op(n-3/2),
X mp mp
_2
mn = xb = m + ^ (X — mp) + ^ S — mpu — p)) + OAn-'").
Если представить эти разложения в виде
Vñ(p>n — p) = ар\/П(Х — mp) + bpVn(S2 — mp(1 — p)) + Op(n-1),
\/П(гпп — m) = am^fñ(X — mp) + bm^/ñ(S2 — mp(1 — p)) + Op(n-1),
то в силу асимптотической нормальности статистик X и S2, а также теоремы Слуцкого предельное (при n ^ ж) распределение случайного вектора yfñ (pn — — p, mn — m) является нормальным с нулевым вектором средних и ковариациями
(00 О О \
apa2 + 2apbp цц + bpa2) ,
(00 о о \
ama2 + 2ambm^n + bma2) ,
A12 = n (apama\ + (apbm + ambp)^ii + bpbma^) .
Простейшие алгебраические выкладки, представленные в лемме 1 завершают доказательство теоремы. □
Точность аппроксимации распределения статистик pn и mn нормальным законом проиллюстрируем на данных статистического моделирования. С этой целью производилось моделирование выборки объема n = 100 из биномиального B(m,p) распределения со значениями параметров m = 10; 100 и p = 0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 0.9. Моделирование осуществлялось с помощью пакета Wolfram Mathematica; проводилось N = 105 репликаций. По каждой выборке с заданными значениями n, p, m вычислялись оценки (pn, fhn) и (pn, mn). Таким образом, получались выборки объема N = 105 из распределений соответствующих оценок.
Приближенная маргинальная нормальность каждой неисправленной оценки (pn,mn) иллюстрировалась с помощью оценок коэффициентов асимметрии 71 и эксцесса 72, вычисляемых по N = 105 выборочным данным. Результаты вычислений приводятся в табл. 1, 2, из которых следует, что значения коэффициентов асимметрии и эксцесса при n = 100 достаточно малы для оценок p и чрезвычайно огромны для оценок m .
2. Исследование точностных свойств оценок методом статистического моделирования
Как отмечалось в п. 1, оценки phn и fhn имеют бесконечные средние и, тем более, бесконечная дисперсии. Поэтому параметры асимптотической нормальности некорректно трактовать как точностные характеристики этих оценок (смещение и квадратичный риск). Однако эта трактовка допустима для «подправленных» оценок
X-S2 „ X2
pn = ЧГ
X + £п X + £п - Б2 '
где £п - бесконечно малая последовательность чисел, то есть еп ^ 0 при п ^ ж.
Табл. 1
Значения коэффициентов асимметрии j1 и эксцесса 72 для pin
m Р
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
10 71 -0.356 -0.256 -0.249 -0.317 -0.422
72 0.224 0.109 0.059 0.182 0.289
100 71 -0.293 -0.288 -0.284 -0.293 -0.315
72 0.140 0.165 0.147 0.156 0.157
Табл. 2
Значения коэффициентов асимметрии 71 и эксцесса 72 для mn
m Р
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
10 Yi 22.78 98.3 1.372 0.672 0.439
72 1554 19391 4.416 1.041 0.517
100 Yi 63.88 65.85 1.674 0.704 0.396
72 5041 47973 6.996 1.016 0.293
Если выбрать en = o(n-1), то применима теорема дельта-метода из § 27.7 из книги [12], в силу которой, пренебрегая значениями en, можно трактовать параметры асимптотической нормальности как точностные характеристики оригинальных оценок. Практическая применимость такой трактовки и возможность использования аппроксимаций для исправленных оценок иллюстрируются на данных статистического моделирования. Результаты представлены в виде графиков квадратичных рисков исправленных и неисправленных оценок как функций параметра p для m = 100 и объема выборки n = 100 (см. рис. 1). Сплошные линии - это графики асимптотических дисперсий оценок, а точки на графиках - значения дисперсии, вычисленные по данным статистического моделирования. Из анализа графиков следует, что асимптотика дисперсии для исправленной оценки параметра p при малых значениях p имеет чрезвычайно малую точность. Для неисправленной оценки видно, что точки «накладываются» на график, что свидетельствует о возможности использования асимптотической формулы. Асимптотику дисперсии для исправленной оценки параметра p можно применять с p > 0.3, а асимптотику дисперсии, как для исправленной, так и для неисправленной оценки параметра m -примерно с p > 0.5.
3. Приложение к оценке параметров нервно-мышечного синапса
Электрофизиологические эксперименты были выполнены в лаборатории биофизики синаптических процессов Казанского института биохимии и биофизики КазНЦ РАН. Исследование работы нервно-мышечного синапса проводилось на изолированном препарате портняжной мышцы лягушки. Препарат помещался в физиологический раствор, в область нервно-мышечного контакта вводились микроэлектроды. Нерв раздражался прямоугольными импульсами n раз. Измерялся ответ концевой пластинки мышечного волокна - потенциалов концевой пластинки - в ответ на раздражение нерва. Для каждого мышечного ответа оценивалось количество освободившихся везикул (квантов) ацетилхолина. Статистический эксперимент проводился на трех различных препаратах. Согласие с биномиальным распределением полученных выборочных данных с объемами наблюдений n1 = = 145, П2 = 700, пз = 559 проверялось с помощью критерия х-квадрат.
0.2
т
0.4 0.6 0.5 100, оценка р
0.2 0.4 0.6 0.5
т = 10, оценка р
0.2 0.4 0.6 0.5
т = 100, оценка гп
0.2 0.4 0.6 0.5
т = 10, оценка гп
0.2 0.4 0.6 0.5
т = 100, оценка р
0.2 0.4 0.6 0.8
т =10, оценка р
0.2 0.4 0.6 0.5
т = 100, оценка т
Шт„) 1001-
80 60 40 20
0.2
т
0.4 0.6 0.
10, оценка т
1.0'
Рис. 1. Зависимость квадратичного риска оценок параметров р и т от вероятности успеха р (р, т — неисправленные оценки; р, т — исправленные оценки)
В табл. 3 представлены теоретические и практические частоты попадания выборочных данных в соответствующие интервалы, значения оценок параметров т и р по методу минимума статистики %-квадрат, значения минимума этой статистики и р-значения (критические уровни значимости).
Параметры т и р также оценивались по методу моментов и по методу максимального правдоподобия. Результаты вычисления оценок по трем методам приводятся в табл. 4.
Табл. 3
Тестирование биномиальности с помощью критерия х-квадрат
Первый препарат Второй препарат Третий препарат
Кол-во Частота Кол-во Частота Кол-во Частота
везикул везикул везикул
ацетил- Набл. Ожид. ацетил- Набл. Ожид. ацетил- Набл. Ожид.
холина холина холина
0-70 0 0 0-70 1 0 0-120 0 0
71-80 0 0 71-80 0 2 121-130 1 1
81-90 2 2 81-90 58 57 131-140 35 37
91-100 26 22 91-100 305 306 141-150 210 207
101-110 53 61 101-110 296 287 151-160 251 250
111-120 55 48 111-120 37 47 161-170 58 61
121-130 8 11 121-130 3 1 171-180 4 3
131-140 1 1 131-140 0 0 181-190 0 0
> 141 0 0 > 141 0 0 > 191 0 0
Сумма 145 145 Сумма 700 700 Сумма 559 559
т* = 330 т* = 196 т* = 238
Р * = 0.329 Р * = 0.511 р* = 0.637
X2 = 3.76 X2 = 6.86 X2 = 1.08
р-уа1ие = 0.81 р-уа1ие = 0.44 р-уа1ие = 0.99
Табл. 4
Оценки параметров т и р
Первый препарат Второй препарат Третий препарат
оценка т оценка р оценка т оценка р оценка т оценка р
Метод 386 0.281 196 0.511 232 0.652
моментов
Метод макс. 378 0.287 197 0.508 232 0.653
правдопод.
Метод мин. 330 0.329 196 0.511 238 0.637
Х-квадрат
Многие процессы, лежащие в основе функционирования центральных и периферических синапсов, недоступны прямому наблюдению, поэтому применение математических методов, в том числе статистического анализа, может обеспечить исследователя дополнительной информацией о тонких механизмах регуляции си-наптических функций. В частности, применение биномиальной статистики позволяет ответить на вопрос, является ли изменение интенсивности квантового выброса следствием изменения количества доступных квантов или вероятности их освобождения. Если такая информация будет получена, можно строить предположения о том, какие молекулярные механизмы обусловливают эти изменения. Так, снижение количества готовых к освобождению везикул может свидетельствовать, например, о нарушениях механизма их транспортировки к местам секреции, заполнения медиатором, а изменение вероятности позволяет предположить модификацию работы кальциевых каналов либо белков секреторного аппарата.
Заключение
В работе исследованы асимптотические свойства оценок параметров биномиального распределения по методу моментов. С помощью дельта-метода доказана теорема о совместной асимптотической нормальности оценок тп и рп, найдены параметры асимптотической нормальности и дана их трактовка как смещений
и квадратичных рисков оценок. При исследовании точностных свойств оценок по данным статистического моделирования были рассмотрены оригинальные и скорректированные версии оценок. Неисправленная оценка параметра p близка к нормальному распределению. У исправленной оценки близость к нормальному распределению наблюдается только при больших значениях параметра p. Для оценки параметра m асимптотика дисперсии практически не применима. Таким образом, методом статистического моделирования были проиллюстрированы расхождения между представленными асимптотиками и истинными вероятностными характеристиками оценок при различных значениях m, n и p .В качестве приложения получены оценки основных характеристик нервного синапса - числа везикул с ацетилхолином в районе контакта и вероятности освобождения ацетилхолина каждой везикулой.
Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность за постановку задачи, советы, идеи, а также за помощь в оформлении работы своему научному руководителю профессору кафедры математической статистики Игорю Николаевичу Володину.
Литература
1. DasGupta A., Rubin H. Estimation of binomial parameters when both n, p are unknown //J. Stat. Plann. Inference. - 2005. - V. 130, No 1-2. - P. 391-404. - doi: 10.1016/j.jspi.2004.02.019.
2. Николлс Дж., Мартин Р., Валлас Б., Фукс П. От нейрона к мозгу. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 672 с.
3. Haldane J.B.S. The fitting of binomial distributions // Ann. Eugen. - 1941. - V. 11, No 1. - P. 179-181.
4. Binet F.E. The fitting of the positive binomial distribution when both parameters are estimated from the sample // Ann. Eugen. - 1954. - V. 17, No 1. - P. 117-119.
5. Blumenthal S., Dahiya R.C. Estimating the binomial parameter n //J. Am. Stat. Assoc. -1981. - V. 76, No 376. - P. 903-909.
6. Olkin I., Petkau A.J., Zidek J.V. A comparison of n estimators for the binomial distribution // J. Am. Stat. Assoc. - 1981. - V. 76, No 375. - P. 637-642.
7. Hoel P.G. Discriminating between binomial distribution // Ann. Math. Stat. - 1947.-V. 18, No 4. - P. 556-564.
8. Hall P. On the erratic behavior of estimators of N in the binomial N, p distribution // J. Am. Stat. Assoc. - 1994. - V. 89, No 425. - P. 344-352.
9. Draper N., Guttman I. Bayesian estimation of the binomial parameter // Technometrics. -1971. - V. 13, No 3. - P. 667-673.
10. Raftery A.E. Inference for the binomial N parameter: A hierarchical Bayes approach // Biometrika. - 1988. - V. 75, No 2. - P. 223-228.
11. Carroll R.J., Lombard F. A note on N estimators for the binomial distribution // J. Am. Stat. Assoc. - 1985. - V. 80, No 390. - P. 423-426.
12. Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: ГИИЛ, 1948. - 631 c.
13. van der Vaart A.W. Asymptotic statistics. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998. -443 p.
Поступила в редакцию 26.02.16
Сафиуллина Айсина Нурисламовна, студент Института вычислительной математики и информационных технологий
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: [email protected]
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2016, vol. 158, no. 2, pp. 221-230
Estimation of the Binominal Distribution Parameters Using the Method of Moments and Its Asymptotic Properties
A.N. Safiullina
Kazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: [email protected]
Received February 26, 2016 Abstract
The problem of estimating the parameters m and p of the binomial distribution for a sample having the fixed volume n with the help of the method of moments is considered in this paper. Using the delta method, the joint asymptotic normality of the estimates is established and the parameters of the limit distribution are calculated. The moment estimates of the parameters m and p do not have averages and variance. An explanation is offered for the asymptotic normality parameters in terms of characteristics of the accuracy properties of the estimates. On the basis of the data of statistical modelling, the accuracy properties of the estimates by the delta-method and their modifications which do not have initial defects of the estimates (the values of the estimates of p are below zero and those of m are smaller than the greatest value in the sample) are explored. An example of estimating the parameters m and p according to the observations of the number of responses in the experiment with nervous synapse ( m is the number of vesicles with acetylcholine in the vicinity of the synapse, p is the probability of acetylcholine release by each vesicle) is provided.
Keywords: binomial distribution, estimation of parameters, method of moments, delta method, asymptotic normality, accuracy properties of estimates
Acknowledgments. The author is very grateful to the scientific adviser, I.N. Volodin (Professor, Department of Mathematical Statistics, Kazan Federal University) for setting the research task, valuable advice, and help in the shaping of the manuscript.
Figure captions
Fig. 1. Dependence of the quadratic risk of estimates of the parameters p and m on the success probability of p (p, mh - non-revised estimates; p, in - revised estimates).
References
1. DasGupta A., Rubin H. Estimation of binomial parameters when both n, p are unknown. J. Stat. Plann. Inference, 2005, vol. 130, nos. 1-2, pp. 391-404. doi: 10.1016/j.jspi.2004.02.019.
2. Nicholls J., Martin R., Wallace B., Fuchs P. From Neuron to Brain. Moscow, Editorial URSS, 2003. 672 p. (In Russian)
3. Haldane J.B.S. The fitting of binomial distributions. Ann. Eugen., 1941, vol. 11, no. 1, pp. 179181.
4. Binet F.E. The fitting of the positive binomial distribution when both parameters are estimated from the sample. Ann. Eugen., 1954, vol. 17, no. 1, pp. 117—119.
5. Blumenthal S., Dahiya R.C. Estimating the binomial parameter n. J. Am.. Stat. Assoc., 1981, vol. 76, no. 376, pp. 903-909.
6. Olkin I., Petkau A.J., Zidek J.V. A comparison of n estimators for the binomial distribution. J.
Am. Stat. Assoc., 1981, vol. 76, no. 375, pp. 637-642.
7. Hoel P.G. Discriminating between binomial distribution. Ann. Math. Stat., 1947, vol. 18, no. 4, pp. 556-564.
8. Hall P. On the erratic behavior of estimators of N in the binomial N, p distribution. J. Am. Stat. Assoc, 1994, vol. 89, no. 425, pp. 344-352.
9. Draper N., Guttman I. Bayesian estimation of the binomial parameter. Technometrics, 1971, vol. 13, no. 3, pp. 667-673.
10. Raftery A.E. Inference for the binomial N parameter: a hierarchical Bayes approach. Biometrika, 1988, vol. 75, no. 2, pp. 223-228.
11. Carroll R.J., Lombard F. A note on N estimators for the binomial distribution. J. Am. Stat. Assoc., 1985, vol. 80, no. 390, pp. 423-426.
12. Kramer H. Mathematical Methods of Statistics. Moscow, GIIL, 1948. 631 p. (In Russian)
13. van der Vaart A.W. Asymptotic Statistics. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1998. 443 p.
I Для цитирования: Сафиуллина А.Н. Оценка параметров биномиального распре-( деления по методу моментов и ее асимптотические свойства // Учен. зап. Казан. \ ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 2. - С. 221-230.
For citation : Safiullina A.N. Estimation of the binominal distribution parameters using / the method of moments and its asymptotic properties. Uchenye Zapiski Kazanskogo \ Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 2, pp. 221-230. (In Russian)
