CC BY
31
ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИИ. РАСПОЗНАВАНИЕ ОБРАЗОВ
ОПЕНКА ОПТИМАЛЬНОГО НОМЕРА ОСТАНОВА ИТЕРАЦИИ ПРИ ВОССТАНОВЛЕНИИ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИСКАЖАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ
Жданов А.И.. Иванов А.А. Самарский госудаоственный аэпокосмический унивепситет имени академика СЛ. Королёва
Аннотаиия
Исследуется задача илентисЬикаиии модели искажающей системы с использованием итепаиионных методов. В качестве папаметпа пегуляпизаиии задачи используется номео останова. Исследуется качество илентисЬикаиии модели искажающей системы пои наблюдении точного входного и возмущённого выходного сигналов. Поедлагается способ выбопа стабилизирующего Аункпионала задачи и учёта нелинейных огпаничений вне итеоапионно-го поопесса.
Ключевые слова: ипентисЬикаиия модели, оптимальный номео останова, паоамето оегу-ляоизапии. стабилизиоуюший Лункпионал. алгооитм наискооейшего спуска
Введение
Решение задачи илентисЬикаиии модели искажающей системы часто необходимо пои поовелении научных исследований и технических испытаний оазличных устоойств. Как плавило. ипентисЬикаиия системы используется для опенки качества оаботы обооудования с пелью обнаоужения неполадок и пои их наличии коооекпии выходных данных.
Пои невозможности устоанения неполадки на аппаоатном уоовне. напоимео. в устоойствах лис-танпионного зондиоования Земли, часто поибегают к созданию шнЬоовых коооектиоуюших систем, позволяющих устоанить последствия оаботы неис-поавной техники на уоовне выходных данных.
Из-за погоешностей наблюдения за оеакпией системы. больших объёмов статистических данных, задача илентисЬикаиии почти всегда плохо обусловлена. Улучшение обусловленности задачи возможно, напоимео. за счёт отбооа инАоомативных данных Г1-21.
Лля систем, допускающих линейное поиближе-ние. ставится задача оешения стохастической системы линейных алгебоаических уоавнений С СЛАУ") ГЗ-41. В поедлагаемой оаботе исследуется способ получения вычислительно устойчивых оешений задачи илентисЬикаиии линейной системы, основанный на поименении итеоапионных методов, обладающих свойством оегушгоизапии Г5-61.
1. Постановка задачи идентиЛикаиии
Рассмотоим уоавнение линейной искажающей системы типа свёотки
у(п) = У^(к)-х(п-к). т
кеО
где х[п\ и у(п] - входной и выходной сигналы, соответственно. И(п) - импульсная хаоактеоистика
СИЮ искажающей системы, заданная на конечной области опоеделения Б.
Уоавнение СП имеет запись в виде СЛАУ X ■ к = V . где X - теплипева матоипа. составленная из отсчётов входного сигнала. В случае двумеоной
свёотки СП матоипа X блочно теплипева с тепли-певыми блоками. Положим, что сигналы х и у оаз-меоа М. а ИХ состоит из N отсчётов, пои этом М » N. где N - нечётно.
Наблюдение выходного сигнала пооизводится неточным обоазом. Вместо у наблюдают V = у + Лу . где Ау - оеализапия вектооа случайных величин и Е(Ау.Л = 0. ОСАу.Л = I2 < °о. Тогда СЛАУ имеет вил
v = X-h + Av. Х& R . Ае /? . ve R
(2)
Решение СЛАУ (21 А является опенкой оешения к точной задачи.
Возмущённая постановка задачи илентисЬикаиии совпадает с постановкой задачи классического оег-оессионного анализа Г71. Метол наименьших квал-оатов ("МНЮ лля задачи (2) позволяет получить опенку к. наилучшую в классе линейных несмещённых опенок, но неустойчивую в случае плохой
||2
I "II2
обусловленности матоипы X. т.е. ¿"ЦйЦ »\Щ
Решение СЛАУ (2) опоелелим. как оешение задачи h = inf й II на множестве
гле О . = inf Oih\ и o(a) = ||z-A-v|| . а II-II -евк-mm -еЯ„ 1 ' 1 ' II II INI
лилова ноома.
Пол обусловленностью задачи илентисЬикаиии будем понимать число обусловленности лля задачи псевлообоашения матоипы X. в дальнейшем - поосто число обусловленности матоипы X. опоелеляемое в Г31 как к2 fZl = ||z||-||z+|| = Oj-с"1. гле о,, -сингу-
ляоные ("или главные^ числа матоипы X. а Х+ - псев-лообоатная матоипа Муоа-Пенооуза. Также отметим. что матоипа X имеет полный столбцовый оанг оавный N и к2 (Z) < °° .
Пои больших оазмеоностях СЛАУ использование поямых методов может быть затоуднительно по поичине огоаничения на доступную опеоативную
память ЭВМ. В этом случае оказывается зсЬсЬектив-ным ппименение оазличных итеоапионных метопов, одно из ппеимушеств котооых - возможность учёта нелинейных огпаничений искомого оешения.
Однако в случае плохой обусловленности мат-г)И1ты СЛАУ большинство итеоапионных методов Г81 имеют медленную сходимость. Более того, пои наличии возмущений вектооа поавой части пое-дельная точка итеоапий часто сколь угодно далека от искомого оешения.
2. Номер останова как параметр пегуляпизаиии
Типичным повелением итеоапионного поибли-жения является убывание невязки оешения. пои этом ошибка, начиная с некотооого п ,. неогоани-
от
ченно оастёт. Обшей пооблемой поименения итеоапионных методов для оешения возмущённых СЛАУ является выбоо номеоа останова, близкого к п ,.
оог
позволяющего обеспечить вычислительную устойчивость оезультата.
Далее, в качестве показателя интенсивности возмущений выходного сигнала, будем использовать соотношение шум-сигнал 8 = ОСАу") • ОС уУ1 100%.
На оис. 1 показаны оезультаты илентисЬикаиии ИХ системы пои 8 = 0% Соис. 1а> и в случае возмущений Соис. \6\ пои 8 = 3%. Лля оешения задачи поименялся итеоапионный метол наискооейшего спуска (НО с коитеоием останова |а,+1 -А'|| < 10~8.
Решение точной задачи Соис. пои этом тоебует 1000 итеоапий. Пои таком же количестве итеоапий ггоиводитсяоешение поиближеннойзадачи Соис. \6\.
-4 -2 0 2 4
Рис. 1. Решение точной задачи (а) и оиенка оешения (б) по возммиённым данным
Рассмотоим ошибку оешения задачи илентисЬикаиии
||2
А(и) = А -А
СЗ^
где А - псевдооешение СЛАУ (2) пои отсутствии возмущений Ау = 0. а я"1 -итепанионное поиближение на шаге п оешения СЛАУ (2\ Оптимальным номеоом останова итеоапий будем называть величину
поЫ = araminAfn).
neN
(4)
Очевидно, что непосоедственная минимизация (Ьункпионала (3) невозможна ввиду отсутствия ап-оиооной инАоомапии о Ау . Необходимое условие Г51 того, чтобы итеоапионный алгооитм обладал свойством оегуляоизапии. имеет вил
А'"»1-А
—» 0. иом Ау —» 0 .
(5)
Рассмотоим оегуляоизованную систему ноомаль-ных уоавнений лля СЛАУ (2)
(хТ ■ X + a-l)-ha = ХТ -v. aefO.+ool.
(6)
где а -паоамето оегуляоизапии. а I -единичная матпииа оазмеоа N. Тогда с использованием поин-пипа невязки Г61 можно установить связь между па-оаметоом оегуляоизапии а и номеоом останова итеоапий п
\\X-h-v = \\x-hU)-v .
m
Пои этом малые номеоа останова п соответствуют коайне большим значениям паоаметоа а и на-обооот.
3. Оиенивание номера оптимальной итепаиии на основе Амнкиии перекрёстной значимости
В оаботе Г51 поедлагается оценивать оптимальный номео останова итеоапий на основе (Ьункпии пеоекоёстной значимости Ссговв-уаНсЫмп теНюсП Г91. Данный метод выбооа паоаметоа а не тоебует апоиооной инАоомапии о возмущениях в задаче. Суть состоит в минимизации (Ьункпионала
V(a) = — -¡(/-¿(аЛ-vf
М " "
—Тгасе{1- А(а\\ М
(S)
по паоаметоу а.
В (Ьоомуле С8~> А{а\ = X■(Хт ■ X+ О.Е)'1 ■ Хт.
Очевидно, что минимизация Г (а) связана с большим количеством затоат вычислительных оесуосов ЭВМ.
Рассмотоим алгооитм НС. последовательность поиближений Аы котооого опоеделяется соотношениями
Ии+1) = Аы - В, • е1п). е1п) = - Хт ■ (у - X • Аы). (9)
В. =
ы
(10)
Необходимо отметить, что у этого метола есть сеоьёзный недостаток - пои нахождении каждого следующего поиближения тоебуется две тоудоёмкие опеоапии умножения. В Г81 показан поиём того, как можно избежать двукоатного умножения.
Подобно Г51 чеоез е1п) = у - X ■« обозначим век-
тоо невязки и введём матоипу невязки Е1п) е цМхМ _ позволяющую выпазить вектоо невязки в виде еы) = Е1п) ■ у. Показано, что лля алгооитма наискооейшего спуска матпииа невязки поелставима в виде
М
пп
В итоге, пля итепаиионных алгооитмов сЬунк-иионал ("81 имеет вил
-2
с/Ы =—-Ця1 м
1 V
—Тгасе(Еи)) М
(121
В Г51 значение пи = агеттС/(и) оассматоивает-
п
ся как опенка оптимального номеоа останова п ,.
от
4. Оиенивание номера оптимальной итепаиии на основе пегкпяпизованного решения с несмещённым квадратом длины
В оаботе Г101 указывается, что соелнеквалоати-
II ~ II2
ческая погоешность Е А —А вызывается смешени-
II "II2 II ||2
ем квалоата длины, т.е. величиной £ А -||й|| и оассматоивается класс опенок с несмещённым квал-оатом длины = (й: £|/г| = ||й||2].
Неоавенство
Е\огап] = (м-т-12 < м яГо(Л1 =
ЛеЯ" 1 1
= Е\О(Х+-У)\ = М-£2.
(131
показывает, что использование МНК ггоиволит к «де-(Ьекту» соелней величины суммы квалпатов невязок. В оезупьтате естественно оггоелелить оегушгоизованные
опенки А. пля котооых = М-Е2. С пелью
устоанения этого лесЬекта в Г101 ггоеллагается опоеле-лять оегушгоизованные опенки из совместного оеше-ния уоавнений (61 и
о(й) = ОпЛ1+у.
Паоамето у ггоеллагается выбипать как
(141
(151
Очень ггоосто оеализовать оешение уоавнений (61 и (141 с использованием итеоапионных метопов, основываясь на том (Ьакте. что пои п —»°°.
о() —» О^. В итоге, опенка оптимального номеоа останова имеет вил пч = агепип(о(/гм) + у).
Л
5. Обсуждение численных методов Вычисление пч не тоебует апоиооной инАоома-пии об искажающей системе, однако необходимо поедваоительно вычислить величину Отт. что эквивалентно оешению СЛАУ (21. Фоомально
°ть =(М-М)-12. (161
Выоажение (161 указывает способ вычисления ОтЬ . В случае, если инсЬопмаиия о диспеосии возму-
шении вектооа поавои части отсутствует, то значение Г161 можно вычислить оазличными методами из Г111.
В данной оаботе величина ОтЬ вычисляется поо-стым обоазом - с использованием опоеделения псев-дообоатной матоипы Х+ = ХТ ■(X■ ХТ\ . Необходимо отметить, что для вычисления псевдообоатных матпии оазоаботаны алгооитмы Гоевилля и Бен-Изоаэля. описание котооых дано в Г31. В задаче иден-тисЬикаиии искажающих систем часто необходимо оп-оеделить диспепсию аддитивной шумовой составляющей. Выоажение Г161 позволяет точно оггоелелить Е2 пои известных входном и выходном сигналах.
Рассмотоим СЛАУ ("61. где вместо единичной матоипы I используется некотооая положительно опоеделённая матпииа 51
(хт -х + а-я)-ка = хт -v. осе(0.+°°1. (171
В случае Г171 методы, описанные в оазделах 3 и 4. оказываются инваоиантными относительно выбооа матоипы 51. Последнее не позволяет оассматоивать номео останова, как паоамето оегушгоизапии задачи ипентисЬикаиии. связанный с а соотношением (71.
Запишем оазложение Холепкого матоипы 5 = Ят ■ Я . где Я - веохнетоеугольная матпииа. Тогда СЛАУ ("171 можно поивести к каноническому виду с единичной матпиией следующим обоазом
(Хт ■ Х + а-Ят • я)- Ая = Хт ■ v. Я~т ■(Хт ■ Х + аЯт-Я)-^ = Я~т ■ Хт • £=> => (Я~т ■ Хт Х + а • • 4 = Я~т ■ Хт ■ £=>
=> (/Гг • Хт ■ Х-Я'1 +а-1)-Я-Аа = Я~т ■ Хт ■ v.
Введём обозначение X ■ Я'1 = X и Я-ка= г. тогда оешение СЛАУ ("171 эквивалентно последовательному оешению СЛАУ
(Хт -Х + а-1)-га = Хт -v
(181
и
Я-ка=га. (191
Пои этом оешение СЛАУ (181 поедлагается искать итеоапионными методами с опенкой оптимального номеоа останова итеоапий пи или пу. Полученное оешение гп] коооектиоуется до СЛАУ (191 с веохнетоеугольной матпиией Я .
Этап оешения уоавнения (191 может включать учёт апоиооной инАоомапии о ИХ искажаюшей системы. Если известно, что ИХ неотоипательна. то оешение (191 необходимо искать в смысле МНК с огоаничением на неотоипательность. Соответствующий метол N1,80 описан в Г111. Пеоеопоелеле-ние СЛАУ (191 единичной стоокой позволит учесть ноомиоовку искомой опенки. Таким обоазом. появляется возможность учёта оазличных нелинейных огоаничений не только в холе итеоапионного поо-
песса. но. что поелпочтительнеи. - после его окончания. Отметим, что пепехол от матпииы X к мат-оипе X отзелеляет летепминипованное ппелыска-жение входного сигнала х .
6. Выбоп стабилизипгюшего йгнкиионала
Пол пегуляпизипованным пешением СЛАУ (17") понимается
lin f I
III " II2 II —II2 /г„ = areminl \\X-h — v + ом£-А
Il2 II 112
гле последнее слагаемое называют стабилизипую-шим (Ьункпионалом Г6.121. котопый оппелеляет мат-хтпа 5. Автопы ппеллагают выбпать в качестве матоипы 5 лисюэетный аналог лийкЬепенпипуюше-го опепатопа . Лля олномепных сигналов
оппелеляется ленточной матпипей с шип иной ленты, павной тпём. В случае лвумепных сигналов ппелла-гается выбпать матпипу как лискпетный аналог
эГ-1 эГ-1
опепатопа--1--. гле V, и у2 - пепеменные по
Эу, ЭУ2
пеппенликуляпным наппавлениям.
Укажем вил ппеллагаемой матоипы 8Ш лля ол-
номепного случая (случай двух кооплинат кпайне гпомозлок)
S™ff=diae(-1.....-1 :-1) + Адг(3.....3 : 0) +
+diae(-1.....-1 : 1).
(20)
гле (Пае(а : Л -обозначает мапэипу. у котопой на
диагонали с номепом г тсположен вектоп а . Известно. что оспилляпии восстановленной ИХ поеобла-лают на кпаях пешения. поэтому пелесообпазно «ппи-жимать» кпая пегуляпизованного пешения. Лля этих пелей ппеллагается использовать 5 = 8Ш + Р. гле в
олномеоном случае матпипа Р = сНае (о. 0.....0. о: 0).
V >0 .
7. Вычислительные экспепименты идентийикаиии ИХ
Исследование тэименения на тэактике пассмат-пиваемых методов поиволится как лля олномепных. так и лля лвумепных тестовых сигналов из Г13. 141 пои 8. павной 1%. 5%. 10% Гпис. 2. 31 Ппелполага-ется. что входной сигнал задан точно, то есть возмущения матоипы X отсутствуют. Истинная ИХ искажающей системы изобпажена на пис. 4.
5 0 -5 -10 -15
а)'2°0 100 200 300 400 б) " 0 100 200 300 400 Рис. 2. Тестовые входной (а) и выходной (б) одномерные сигналы. Выходной сигнал для случая 8 = 1%
I I I
а)
Рис. 3. Тестовые входное (а) и выходное (б) изобпажения. Выходное изобпажение для сличая 8 = 1% . Показано в инвептипованных иветах
Ошибка восстановления ИХ вычисляется по (Ьопмуле
= hM-h
Г2П
Рис. 4. Истинная гауссообпазная ИХ искажающей системы
На dhc. 5 изобпажены восстановленные ИХ пои уоовне шума 5%.
Рис. 5. Восстановленные ИХ для пг(а) и пиСб) yidu VDoene шума 8 = 5%
В таблипе 1 поиволится спавнение качества восстановления ИХ двумя методами, отличающимися опенкой оптимального номеиа останова итепаиий.
Оптимальное значение номеиа останова вычислялось по (Ьопмуле (4). Обозначения ty и t{] - впемя (в секундах! необходимое лля восстановления ИХ.
Таблииа 1. Показатели качества оиенки ИХ по изобоажениям на duc. 3.
8 Пont "v nv К tu Ч
1% 336 81 179 13 188 0.029 0.026
5% 55 15 41 3 46 0.036 0.033
10% 35 6 23 1.6 28 0.039 0.034
Лля опномеоной искажающей системы истинная ИХ изобпажена на оис. 6а. Восстановленные по сигналам на оис. 2 ИХ лля уоовня шума 5% поивелены на оис. 66. в.
0 5 10 15
Рис. 6. Истинная ИХ (а), восстановленные ИХ для пи (б) и иг Св) и ппи vDoene шума S = 5%
В таблипе 2 поиволится соавнение исследуемых метопов.
Таблииа 2. Показатели качества оиенки ИХ по тестовым сигналам на duc. 2
8 П„ы "v пи К *и
1 557 156 447 0.09 39 0.076 0.06
5 182 38 173 0.02 15 0.11 0.09
10 79 26 138 0.01 12 0.12 0.10
8. Обсуждение пезгльтатов
Как показывают вычислительные экспеоименты. поеллагаемый выбоо стабилизирующего (Ьункпио-нала позволяет существенно уменьшить оспилляпии коаёв искомого оешения. Учёт нелинейного огоани-чения на неотоипательность ИХ можно было бы осуществлять на каждой итеоапии метода с использованием пооектиоования. что не влияет на сходимость метола в поинпипе. однако изменяет скооость сходимости. Ввиду того, что ограничение нелинейное. поовести (Ьоомальный анализ скооости сходимости метола в этом случае не поелставляется возможным. В оаботе ограничение на неотоипательность ИХ учитывается после завеошения ите-оапионного поопесса пои оешении СЛАУ il81 Таким обоазом. опенка скооости итеоапионного метола Г91-Г101 из Г81 остается неизменной.
Результаты, поивеленные в таблицах 1 и 2. показывают. что опенка оптимального номеоа останова пц гооазло ближе к и ,. чем и . Однако, вычисление
ont V
номеоа пи неэ<Ь<Ьективно в смысле необходимых затрат оесуосов ЭВМ. Более того, использование пц становится невозможным, начиная с некотооой оаз-меоности сигналов. Так пои оазмеоности изобоажения более 64x64 пикселя возникают существенные затруднения пои хоанении матпииы невязки в опеоативной памяти ЭВМ. В этом ключе выгодно отличается опенка пч. так как не тоебует громоздких матричных умножений на каждой итеоапии. Более того, пои исполь-
зовании номеоа останова пч итеоапионный метол НС
может быть записан в спектральной Аооме. что позволит избежать опеоапий умножения матпии вообще и пеоейти к умножению спектоов подобно алгооитму Ван Питтеота. КоэсЬсЬиииент метола НС Вп также может быть вычислен в спектральной области с использованием обычного оавенства Паосеваля.
На оис. 7а поивелены гпасЬики зависимости величины £ Гоис. 1а. коивая 11 и £„ Гоис. 1а. кои-
л» %
вая 21 от уоовня шума 8 лля задачи илентисЬикаиии ИХ по сигналам на оис. 2. На оис. 76 показаны зависимости £,(8) Гоис. 76. коивая 11 и (5) Гоис. 76. коивая 21. значения указаны в секундах.
У 2 4 б 8 10 Рис. 7. Зависимость ошибок е.
4 6 8 10 fa) и воемени
восстановления ?г. (б) от лтовня шума 8
Таким обоазом. использование опенки оптимального номеоа останова на основе (Ьункпии пеое-коёстной значимости оказывается непоименимым на тактике ввиду большого количества затоат оесуо-сов ЭВМ. Разумный компоомисс между точностью и оесуосоёмкостью лемонстоиоует опенка оптимального номеоа останова пу.
Заключение
На тактике часто входной сигнал отсутствует или задаётся неточно, пои этом в постановке задачи илентисЬикаиии матпииа X становится возмущённой. Лля кусочно-постоянных сигналов возможно с опоелелённой точностью по выходному сигналу опенить входной с использованием методов сЬильт-оапии. напоимео. Г141. Рассматриваемые алгооитмы могут быть поименены и в этом случае, однако во-тос о качестве восстановления остаётся откоытым.
Главным теимушеством оценивания оптимального номеоа останова итеоапий на основе оегуляои-зованного оешения с несмещённым квадратом длины является существование «быстоого» алгооитма и незначительные тоебования к объёму опеоативной памяти ЭВМ. Поедлагаемая оабота может иметь оазвитие в задачах восстановления сигналов ппи известной модели искажающей системы.
Благодапност и
Автооы выоажают благодаоность сотрудникам лабооатооии математических методов обоаботки
изобоажений ИСОИ РАН за обсуждение оезульта-
тов оаботы.
Работа выполнена пои поллеожке РФФИ Спооект № 10-01-00723-а\
Uumenamvna
1. Флгосов. В.А. Анализ точности и поствоение алговит-мов иленпнЬикании по малому числу наблюдений / В.А. Фупсов // Изв. АН СССР. Техн. кибевнетика. -1991.-№ 6.-С. 130-135.
2. Флгосов. В.А. ИдентиЛикапия оптических искажающих систем с отбопом инЛопмативных (Ьпагментов изобоажений / В.А. Фупсов // Компьютепная оптика. -1995.-№ 14-15.-С. 78-79.
3. Жданов. А.И. Введение в методы пешения некоп-пектных задач: учеб. пособие 4.1 / А.И. Жданов - Са-мава: Изд-во Самап. гос. аэвокосмич. ун-та. 2006. -87 с.
4. Жданов. А.И. Введение в методы пешения некоп-пектных задач: учеб. пособие. 2 часть:/ А.И. Жданов. -Самава: Изд-во Самап. гос. аэвокосм. ун-та. 2007. -79 с.
5. Воскобойников. Ю.Б. Выбов момента останова в ите-папионных алгопитмах восстановления сигналов и изобоажений / Ю.Е. Воскобойников. Л.А. Литвинов // Автометвия. - 2004. - Т. 40. № 4. - С. 3-10.
6. Мооозов. В.А. Регулявные методы пешения некоп-пектно поставленных задач / В.А. Мооозов. - М.: Наука. 1987.-240 с.
7. Альбеит. А. Регвессия. псевлоинвевсия и пекуппент-ное оценивание / А. Альбепт. - М.: Наука. 1977.
8. Бахвалов. Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов. Н.П. Жидков. Г.М. Кобельков. - 4-е изд. - М.: БИНОМ. Лабопатопия знаний. 2006. - 636 с.
9. Golub. G.H. Generalized cross-validation as a method for choosine a eood ridee narameter / G.H. Golub. M. Heath. G. Wahba // Technometrics. - 1979. - V. 21. N2. -P. 215-222.
10. Жданов. А.И. Оптимальная вегулявизапия вешений пвиближенных стохастических систем линейных ал-гебваических увавнений / А.И. Жданов // ЖВМ и МФ. - 1990. - Т. 29. № Ю. - С. 1588-1593.
11. Лоунсон. Ч. Численное вешение задач метола наименьших квалватов / Ч. Лоунсон. Р. Хенсон. - М.: Наука. 1986.
12. Тихонов. А.Н. Методы вешения нековвектных задач: Уч. пособие / А.Н. Тихонов. В.Я. Авсенин. - М.: Наука. 1986.-288 с.
13. Флгосов. В.А. Идентификация моделей систем (Ьовми-вования изобважений по малому числу наблюдений / В.А. Фувсов. - Самава: Изд-во Самав. гос. аэвокосм. ун-та. 1998.-218 с.
14. Маслов. А.М. ИлентиЛикапия линейной искажаюшей системы с использованием ванговой обваботки сигна-
лов / А.М. Маслов. В.В. Севгеев // Компьютевная оптика. - 1990. - № 6. - С. 97-102.
References
1. Fursov. V.A. Analysis of the accuracy and the construction of identification aleorithms on the small number of observations / V.A. Fursov // Math. USSR. Tech. cybernetics. - 1991. - N 6. - P. 130-135. - fin Russian!
2. Fursov. V.A. Identification of OBtical svstems distort the selection of informative imase fraements / V.A. Fursov // Comauter Ontics. - 1995. - N 14-15. - P. 78-79. - fin Russian!
3. Zhdanov. A.I. Introduction to methods of solvine ill-Bosed Broblems: вгос. allowance Part 1/ A.I. Zhdanov -Samara, acad. SSAU. 2006. - 87 в. - fin Russian!
4. Zhdanov. A.I. Introduction to methods of solvine ill-Bosed Broblems: вгос. allowance Path 2/ A.I. Zhdanov -Samara, acad. SSAU. 2007. - 79 в. - fin Russian!
5. Voskoboinikov. Yu. E. The timine of shutdown in iterative reconstruction aleorithms rations sienals and of im-aees / Yu.E.Voskoboinikov. L.A. Litvinov // Av-tometriva. - 2004. - V. 40. N 4. - P. 3-10. - fin Russian!
6. Morozov V.A. Methods for Solvine Incorrectly Posed Problems / V.A. Morozov. - M.: Nauka. 1987. - 240 в. -fin Russian!
7. Albert. A. Reeression and the Moore-Penrose Bseudo- inverse / Academic Press. New York. N. Y.. 1972.
8. Bakhvalov. N.S. Numerical Analvsis / N.S. Bakhvalov. N.P. Zhidkov. G.M. Kobel'kov. - M.: BINOM. Knowdee Lab. 2006. - 636 в. - fin Russian!
9. Golub. G.H. Generalized cross-validation as a method for choosine a eood ridee Barameter / G.H. Golub. M. Heath. G. Wahba // Technometrics. - 1979. - V. 21. N2. -P. 215-222.
10. Zhdanov. A.I. OBtimal reeularization of aBBroximate solutions of stochastic svstems of linear aleebraic eauations / A.I. Zhdanov // Journal of Comnutational Mathematics and Mathematical Phvsics. - 1990. - V. 29. - N10. -P. 1588-1593. - fin Russian!
11. Lounson. C. Numerical solution of the method of least-sauares / Ch. Lounson. R. Hanson. - M.: Nauka. 1986. -fin Russian!
12. Tikhonov. A.N. Methods for solvine ill-Bosed Broblems / A.N. Tikhonov. V.Y. Arsenin. - M.: Nauka. 1986.-288 в. - fin Russian!
13. Fursov. V.A. Identification of models of imaeine svstems for the small number of observations / VA Fursov. - Samara. acad. SSAU. 1998. - 218 в. - fin Russian!
14. Maslov. A.M. Identification of linear distortine system usine rank-Brocessine of sienals / A.M. Maslov. V.V. Ser-eeev // Comauter Ontics. - 1990. - N 6. - P. 78-79. - fin Russian!
EVALUATION OF THE OPTIMUM NUMBER STOP ITERATION IN REINSTATEMENT IMPULSE RESPONSE
A.I. Zhdanov. A.A. Ivanov S.P. Korolvov Samara State AerosDace University
Abstract
It is investigated the nroblem of narametric identification of the distortine svstem model usine iterative methods. It is nointed out that the iteration ston number is a reeularizine narameter of the nroblem It is nronosed wavs to evaluate the ontimal ston number. It is investigated the identification aualitv of the distortine svstem model throueh monitorine the exact innut and nerturbed outnut sienals. It is nronosed method for choosine nroblem stabilizing functional and takine into account non-linear constraints outside the iterative nrocess.
Key words: model identification, the ontimal ston number, the reeularization narameter. the stabilizing functional, the steenest descent algorithm
Сведения об авторах:
Жданов Алексашго Иванович. 1953 гола пожления. Заведующий касЬеппой ппи-клалной математики Самапского госупапственного аэпокосмического унивепситета имени академика С.П. Кополёва. локтоп Аизико-математических наук, nnocbeccon. E-mail: zhdanovia).ssau.ru
Область научных интепесов: вычислительная математика.
Alexander Ivanovich Zhdanov, born in 1953. Samara State Aerosnace University, head of the Chair of Annlied Mathematics. Doctor Of Physical and mathematical science. Professor. E-mail: zhdanovfa).ssau.ru
Area of research: comnutine mathematics, matrix comnutations.
Иванов Ашгоей Алексашгоович. 1988 гола шжления. в 2009 голу окончил бакалавпи-ат в Самапском госулапственном аэпокосмическом унивепситете имени академика С.П. Кополёва по нагюавлению «Ппиклалная математика и инАопматика». обучается там же в магистпатупе по нагтавлению «Математические и компьютепные методы обпаботки изо-бпажения». E-mail: ssauivanovfa).email.com
Область научных интепесов: математическое молелипование. вычислительная математика. методы обпаботки изобпажений.
Andrev Alexandrovich Ivanov. born in 1988. in 2009 graduated baccalaureate of Samara State Aerosnace University named after academician S.P. Korolvov in "Annlied Mathematics and course, taueht in magistracy at " Mathematical and comnuter imaee nrocessine techniaues" direction.
Comnuter Science' E-mail: ssauivanov<®.email .com.
Area of research: mathematical modeling, comnutine mathematics, matrix comnutations. imaee nrocessine methods.
Поступила в педакиию 10 августа 2010 г.
