CC BY
25
УДК 624.011.2
М.В. Колобов - аспирант, инженер E-mail: nnn miha@mail.ru
Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет
ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ СЖАТО-ИЗГИБАЕМЫХ СОСТАВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЕРХНЕГО ПОЯСА ДОЩАТЫХ ФЕРМ ПОКРЫТИЯ С СОЕДИНЕНИЯМИ НА МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ЗУБЧАТЫХ ПЛАСТИНАХ
АННОТАЦИЯ
Приводится решение задачи об определении вероятности неразрушения (надежности) сжато-изгибаемых составных дощатых элементов на металлических зубчатых пластинах.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: металлические зубчатые пластины, надежность, вероятность отказа, напряжение, композиции гауссовских распределений.
M.V. Kolobov - post-graduate student, engineer Nizhegorodskiy State University of Architecture and Engineering
ESTIMATION OF RELIABILITY OF COMPRESSED-BENT COMPONENTS OF THE TOP BELT OF BOARD FARMS OF THE COVERING WITH CONNECTIONS
ON METAL NAIL PLATES
ABSTRACT
The decision of a problem on probability definition undestruction (reliability) of compressed-bent compound board elements on metal nail plates is resulted.
KEYWORDS: metal nail plates, reliability, probability of refusal, pressure, compositions gauss distributions.
Наиболее распространенными несущими конструкциями покрытия из досок с соединениями на металлических зубчатых пластинах (МЗП) являются треугольные фермы. Для изготовления ферм используются пиломатериалы хвойных пород древесины толщиной 40...60 мм и шириной 100... 150 мм. Пиломатериалы шириной свыше 150 мм уже сейчас являются дефицитным материалом. Поэтому для увеличения высоты поперечного сечения верхнего пояса таких ферм они выполняются составными, как правило, из двух досок шириной 100.150 мм, соединенных по длине пояса металлозубчатыми пластинами.
Элементы верхнего пояса таких ферм работают от совместного действия продольной сжимающей силы N и изгибающего момента M. Сжимающее усилие N в наиболее напряженной
опорной панели верхнего пояса треугольных ферм пролетом Z, загруженных равномерно
распределенной нагрузкой интенсивностью q, может быть определено по формуле:
N = y.-q-^, (1)
n ■ sina
где у - множитель, зависящий от числа панелей n [1] (например, для n = 4 у = 1,5, а для n = 6 -у = 2,5 ); a - угол наклона верхнего пояса.
Для дощатых ферм на МЗП пролетом Z = 9.12 м с целью уменьшения расхода древесины на элементы решетки и количества узловых соединений число панелей n = 4.
Расчет на прочность сжато-изгибаемых составных деревянных элементов на МЗП может быть выполнен по формуле [2]:
N M д (2)
----+1,1 ■ — < R, (2)
F W
нт '' нт
где Fнт и Жт - соответственно площадь и момент сопротивления расчетного сечения нетто; Яс -расчетное сопротивление сортной древесины при сжатии; Мд = М / X - изгибающий момент от
действия поперечных и продольных нагрузок, определяемый из расчета по деформированной схеме; X - коэффициент, учитывающий дополнительный момент от продольной силы:
л 2
1 пр N
Х = 1-------р----------, (3)
3000 Fбр • яс
где 1пр =1-|! - приведенная гибкость составного элемента [3]; 1 = /п / 0,289 • к ; /п - длина панели
верхнего пояса; к - высота сечения пояса; т = л[Кж - коэффициент жесткости [3, 4].
Анализ выполненных расчетов показал, что для двуслойных верхних поясов треугольных дощатых ферм с расчетной длиной панели /п = 2,5...3,2 м, когда краевое напряжение сжатия
О = Яс , коэффициент (3) имеет устойчиво постоянное значение, равное X = 0,76 . Тогда зависимость (2) может быть представлена в виде:
N М
----+ 1,45--------< . (4)
F W с
нтнт
Для сжато-изгибаемых элементов соотношение значений M и N характеризуется величиной эксцентриситета e = M/N . Воспользуемся величиной относительного эксцентриситета, представляющего отношение абсолютного эксцентриситета e к радиусу ядра сечения p = Wm / F^, т.е.:
e M F
m = - =----^ . (5)
P N WHT
С учетом (5) из (4) получим:
N
(1 + 1,45 ■ m) < Rc , (6)
или
F с
т
R ■ F
с т
N =-----------------. (7)
1 + 1,45 ■ m
Для прямоуголь ого попереч ого сече ия:
Тогда из (7) получим:
6 ■ b ■ h 6
m = e---------— = e ■ — . (8)
b ■ h h
Re ■ b ■ h1
N = ^---------------------. (9)
h + 8,7 ■ e
Поскольку верхний пояс ферм состоит из двух досок шириной к каждая, то к = 2 • ^ . Следовательн о:
= 4 • кс • Ь • к12 (10)
с 2 • к1 + 8,7 • е '
По формуле (10) может быть определена величина продольной сжимающей силы, воспринимаемая расчетным сечением сжато-изгибаемого элемента.
В этом случае условие прочности может быть представлено в виде:
N < Nс, (11)
где N - продольная сжимающая сила, определенная от внешних нагрузок.
Функциональная зависимость величин, входящих в выражение (11), может быть представлена выражениями:
N = Ф (я, г); (12)
Nс = Ф(Яс, Ъ,к1, е). (13)
В выражениях (12) и (13) величины я,г,Яс ,Ъ,к1 и е являются случайными. С учетом изменчивости величин, входящих в выражения (12) и (13), должно выполняться условие:
N + Ш < Nс + Д^, (14)
где ДN и ДNс - изменчивость величин N и Nс .
Известно, что изменчивость этих величин может быть описана законом нормального распределения [5, 6]. Тогда по теореме о композиции гауссовских распределений [композиция нормальных (гауссовских) распределений при любом числе слагаемых дает нормальное
распределение] величины ДN и Д^ симметричны и распределены по Гауссу [5].
Преобразуя (14), получим:
N - Nс < Д^ — ^ = #Д. (15)
В этом неравенстве левая часть является постоянной величиной, а правая случайной величиной Nд , характеризуемой отклонением действительных параметров от их расчетных значений.
Для определения среднеквадратического отклонения величин N и N с выполним дифференцирование выражений (1) и (10) по их случайным аргументам:
ЭN у • 2
— = —-------= Г1; (16)
Эя п • sina
ЭN у • а
= Г2; (17)
dz n • sina
dNc 4 • b • hi • (2 • hx + 8,7 • e)
ЭЯс 4 • к]2 + 34,8 • к1 • е + 76 • е2 3
^с = 4 • Яс • к12 • (2 • к1 + 8,7 • е) = Г . (19)
2 2 Г 4;
ЭЪ 4 • к1 + 34,8 • кх • е + 76 • е
ЭNс Яс • Ъ • к1 • (8 • к1 + 70 • е)
“Т = 2 2 =Г 5; (20)
Эк 4 • к12 + 34,8 • к1 • е + 76 • е
ЭN — 34 8•Я •Ъ•к}
с = _______________________->-т,о ^Ус и 'Ч_______________________________ = Г (21)
Эе 4 • к2 + 34,8 • к1 • е + 76 • е2 6
По теореме о композиции гауссовских процессов дисперсия Nд случайной величины Nд может быть определена по формуле: ) ) )
^ = NДN + Д^с , (22)
в которой значения дисперсий Nд^ и Nдус определяются из выражений:
Nд v = Г2 • а + Г2 • г ; (23)
NN = Г2 • Яс + г4 • Ъ + Г2 • к + Г2 • е. (24)
Л ~
Следовательно, среднеквадратическое отклонение N д случайной величины Nд определяется по формуле:
А
Кд = ^Г^ • я + г22 • Ъ + Г^ • Яс + Г^ • Ь + Г^ • И + Г^ • е. (25)
Дисперсии геометрических параметров пиломатериалов определены по данным исследований
ф ш ш
авторов, которые составили [7]: ъ = 73 -10— м ; Ь = 4,4 -10— м ; И = 7,7 -10— м . Дисперсия
)2
эксцентриситета е принимается равной е = (0,1 • р) , где р = Жнт / Fнт - ядровое расстояние
)2
сечения [8]. Дисперсия интенсивности нагрузки я составляет я = (^ • я) , где V = 0,3 -
коэффициент вариации интенсивности нагрузки [9]. Дисперсия сопротивления древесины Яс
равняется Я = (V • Я )2 , где VR = 0,2 - коэффициент вариации прочности древесины [9]. с Я с
Тогда вероятность отказа составного сжато-изгибаемого элемента на МЗП можно определить по формуле [5]:
Nс — N
V = 0,5 — 0,5 • Ф(—Л-----) = 0,5 — 0,5 • Ф(Г), (26)
N д
где Ф(^) - функция Лампласа.
2
X
2 1 —
Ф(^) = , • }е 2 • йх. (27)
л/2 • р 0
Надежность (вероятность неразрушения) определяется из выражения:
Р = 1 — V. (28)
При определении начальной безотказности (надежности) введем в расчет математические ожидания нагрузки и прочности, оценкой которых могут служить нормативная нагрузка [10] и
временное сопротивление сортной древесины Я [9].
вр
Пример: Проверить прочность и определить надежность составной из двух досок ЬЧЬ1=44Ч94 мм опорной панели длиной 1 = 2,41 м верхнего пояса четырехпанельной треугольной фермы на МЗП пролетом 9 м («'па = 0,3557). Ферма загружена равномерно распределенной нормативной
нагрузкой интенсивностью ян = 2028 Н / м . Среднее значение коэффициента надежности по нагрузке у у = 1,38. Площадь и момент сопротивления расчетного сечения нетто верхнего пояса
составляют Fнт = 82,72 • 10—4 м2 и Жнт = 259 • 10 6 м3 . Ферма изготовлена из древесины сосны 2-го сорта (Яс = 13 МПа, Явр = 31 МПа).
Расчетная сжимающая сила (1):
N = ’-5 •2028-1'38-9 = 26554 Н
4 • 0,3557
Приведенная гибкость [3,4]:
Коэффициент X (3):
2 41
l = l • m =----------?----------1,23 = 54,6.
пР 0,289 • 0,188
X = 1 - 54,61___________265^________=o,76.
3000 82,72 -10-4 -13 -106
Изгибающие моменты в панели верхнего пояса от расчетной нагрузки (с учетом коэффициента надежности по ответственности здания [11]) я = 2484 Н / м, перпендикулярной скату:
М = 1803 Н • м; М = 2372 Н • м.
Проверка прочности по формуле (2):
26554
-4
+ 1,1 •
2372
6 =13 МПа = Rc.
,-о с
82,72 • 10 259 • 10
Прочность обеспечена.
Значения продольной сжимающей силы и изгибающего момента в опорной панели от действия нормативных нагрузок qн = 2028 Н / м и qH = 2484/1,38 = 1800 Н / м : Nн = 19242 Н и
Mн = 1302 Н • м.
Эксцентриситет e = Mн / NH = M/N = 0,068 м.
Величина продольной сжимающей силы N , воспринимаемой сечением (10):
N
4 • 31 • 106 • 0,044 • 0,0942
с 0,188 + 8,7 • 0,068
Значения дисперсий в формуле (25):
61838Н.
q = (0,3 • 2028)2 = 370150 (Н)2 ;
м
• -6 2 z = 73 • 10 6 м2 ;
Я = (0,2 • 31)2 = 38,44 (МПа )2;
Ъ = 4,4 • 10—6 м2 ; И = 7,7 -10—'6 м2;
. 259•10—6 2 —6 2
е = (0,1---------—-у = 9,8 • 10 6 м .
82,72 • 10-4
Значения частных производных (16)_(21) составили:
Г1 = 9,48 м ; Г2 = 2138 Н/м; Г = 0,002 м2; Г = 1,4-106 Н;
3 4 м
Г = 0,7-106 Н.
6м
Дисперсии (23) и (24) соответственно равны N^ = 33265862 (Н)2 и N^
Г = 1,16-106
5 м
= 177547120 (Н)2.
З)начение среднеквадратического отклонения, определенное по формуле (25), составит
N = 14519,4 Н .
Д
Тогда вероятность разрушения (отказа) (26) равняется:
V = 0,5 — 0,5 • ф(61838 —19242 ) = 0,5 — 0,5 • Ф(2,93) =
14519,4
= 0,5 — 0,5 • 0,9966 = 0,0017 (0,17 %).
Надежность (вероятность неразрушения) (28) составит:
Р = 1 — 0,0017 = 0,9983 (99,83 %).
Дисперсия продольной сжимающей силы, воспринимаемой
сечением
А
N
DNe = 177547120 (Н) , а среднеквадратическое отклонение NANe = 13324,7 Н. В этом случае:
* = 61838 = 3.2;
V:
Ne
-
19242 13324,7 61838 3,2 -1
д/0,32 + 3,22 • 0,215
0,215;
- 2,93.
2
с
Вероятность разрушения составит:
V = 0,5 — Ф(2,93) = 0,5 — 0,5 • 0,9966 = 0,0017 (0,17 %) .
Для повышения степени надежности составных сжато-изгибаемых элементов любой из серии
изготовленных дощатых ферм на МЗП необходимо усовершенствовать весь технологический процесс
изготовления и тем самым уменьшить изменчивость характеристик качества, а, следовательно, и
значение Nш . Если это по каким-либо причинам окажется невозможным, то необходимо увеличить
размеры поперечного сечения элементов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Отрешко А.И. Справочник проектировщика. Деревянные конструкции. - М.: Госстройиздат, 1957. - 262 с.
2. Цепаев В. А., Колобов М.В. Расчет сжато-изгибаемых составных элементов дощатых конструкций на податливых связях // Приволжский научный журнал, 2010, № 1. - С. 26-29.
3. Карлсен Г.Г., Большаков В.В., Касан М.Е., Свечинцкой Г.В. Деревянные конструкции. - М., - Л.: Госсройиздат, 1952. - 747 с.
4. Пособие по проектированию деревянных конструкций (к СНиП 11-25-80) / ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко.
- М.: Стройиздат, 1986. - 216 с.
5. Авиром Л.С. Надежность конструкций сборных зданий и сооружений. - Л. Стройиздат, 1971. - 215 с.
6. Цепаев В.А., Колобов М.В., Торопов А.С. Статистическая оценка распределения прочности составных деревянных балок на МЗП // Актуальные проблемы строительного и дорожного комплексов - 2009. Межвузовский сборник научных статей. - Йошкар-Ола, 2009. - С. 95-100.
7. Цепаев В.А., Колобов М.В. Изменчивость геометрических параметров пиломатериалов // Строительные материалы, 2010, № 1 - С. 61-63.
8. Райзер В.Д. Теория надежности в строительном проектировании. - М.: АСВ, 1998. - 304 с.
9. Знаменский Е.М. О совокупной оценке и нормировании уровня надежности деревянных конструкций по доминирующим факторам // Исследования в области деревянных конструкций: Сб. научн. тр. / ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко. - М., 1985. - С. 12-23.
10. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. - М.: Стройиздат, 1981. - 351 с.
11. Цепаев В.А., Колобов М.В. Нормирование уровня надежности соединений деревянных конструкций на металлических зубчатых пластинах по доминирующим факторам // Итоги строительной науки. Материалы V международной научно-технической конференции. -Владимир, 2009. - С. 37-42.
