CC BY
53
УДК 69.059.4
В.С.Уткин, О.С.Плотникова
ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ НЕПОЛНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ
Вологодский государственный технический университет
The technique of reliability estimation based on the possibility theory with the limited statistical information about the basic parameters of the limiting state mathematical model is considered. The scratch method is used to determine the statistical information about the material strength. By means of this method it is possible to determine material breaking point using the non-destructive method directly in the construction.
Одним из важнейших показателей качества конструкций во многих случаях является уровень их безопасности. Мерой безопасности конструкций является надежность. Необходимость в проведении диагностики и оценке несущей способности и безопасности конструкций подтверждается тревожной информацией об их состоянии в мире. Так, на Украине более 30 тысяч мостов построено до 1961 г. при их расчетном сроке службы до 30-40 лет. Более 80% из них не отвечают требованиям грузоподъемности [1]. В России обстановка примерно такая же.
Для оценки надежности любой конструкции требуется статистическая информация о случайных параметрах системы и воздействий. Объем и точность этой информации считаются полными, если по ней можно выявить законы (функции) распределения случайных величин и с достаточной точностью оценить параметры распределений. К сожалению, на практике информация часто неполная или неточная. В таком случае применение методов определения надежности, построенных на теории вероятностей и математической статистики, становится некорректным, а с точки зрения использования их для оценки безопасности — недопустимыми. При неполной (ограниченной) информации о случайных параметрах анализ их проводится на основе теории возможностей [2].
По данной теории нечеткая переменная (в терминах теории возможностей) характеризуется одновременно двумя 1(Æ) функциями распределения возможностей, а также их параметрами. При этом если вероятность как мера надежности оценивает частоту того или иного исхода регулярного стохастического эксперимента, то возможность как мера надежности оценивает относительную потенциальность реализуемости исходов единичного эксперимента [3]. На рис.1 в качестве примера приведены в графической форме две функции распределения возможностей, характеризующих нечеткую переменную X (скажем, прочность материала или состояние конструкции) при различных значениях нагрузки х.
Рис.1. Функции распределения 1 и О нечеткой переменной X; а — «среднее» значение нечеткой переменной
Из рис.1 видно, что R + Q >1 (в отличие от теории надежности на основе теории вероятностей, где P + Q =1). По содержательному смыслу при оценке безопасности от возрастающей нагрузки x назовем функцию распределения Q возможностью отказа, а R — возможностью безотказной работы. Криволинейные участки этих функций, как правило, описываются одной математической моделью, например в виде
П x (x) = exp{- [( x - a )/с]2 } (*)
где a = 0,5(xmax + x mm); с = 0,5(xmax - xmm )/V- ln а, а — уровень среза (ш. рис.1) или
уровень риска (а е [0,1] ). Эта модель нашла широкое применение на практике [4]. Значением а задаются. Рекомендации по принятию того или иного значения а можно найти в работе [5]. Для оценки надежности конструкций необходима статистическая информация (хотя бы неполная) о системе (о прочности) и о воздействиях (о нагрузке), а также математическая модель предельного состояния. Параметры функции распределения возможностей нечетких переменных (прочности и нагрузки) могут быть разными, но в (*) параметр с должен определятся при одном и том же значении а .
На рис.2. показаны функции Q и R отдельно для прочности ()и нагрузки ( п2 ). При а > а принимают возможность безотказной работы R = 1. Возможность отказа
характеризуется значением а*, которое находится на уровне пересечения функций и п2
(см. рис.2). Если нагрузка и прочность описываются несколькими параметрами (нечеткими переменными) каждая, то для оценки надежности применяется принцип обобщения Л. Заде [1,2]. Методика оценки надежности конструкций при различных ситуациях рассмотрена в работах В.С.Уткина.
Рис.2. Функции распределения прочности П и нагрузки п2
Покажем сущность применения методики оценки надежности с использованием принципа обобщения Заде на примере металлического элемента по условию прочности. Рассмотрим статически определимую однопролетную балку постоянного сечения, нагруженную по всей длине равномерно распределенной нагрузкой. Известно, что модель предельного состояния по условию прочности в детерминированной постановке имеет вид: q■ l2/s-Wx <aT, где q — нагрузка; l — длина балки; W — момент сопротивления; cT — предел текучести.
Балку следует рассматривать как систему с последовательным соединением n элементов (участков балки длиной Д1 ^ 0 ). Надежность балки как системы характеризуется значениями Rc = min{ Ri } и Qc = max { Qt }, i = 1,2,3,...,n, где Ri и Qt — характеристики
надежности i-го элемента балки длиной Д1. Если принять l = 6 м (детерминированной), то
математическую модель предельного состояния балки при нечетких переменных ~ , стТ и
Wx можно записать в виде ~• l2 /8• 1~х < aT.
Пусть балка изготовлена из листов, сваренных в двутавр. По результатам измерения размеров балки вблизи средней части найдены значения Wx = {320,328,340} см3. Испытаниями образцов найдены стТ = {230,235,250} МПа. Установлена эксплуатационная нагрузка ~ЭК = {13,16,17} кН/м. При полученных данных и при а = 0,2 найдем аОт = 240 МПа,
са = 7,9 МПа, аа = 15 кН/м, са = 1,6 кН/м, аW = 330 см3, сК = 7,9 см3.
а • 8
Используем модель состояния балки для формирования функции У (у) = —-----------------------------------< —.
Кх •От I
Так как обратная функция пХ (х) из (*) имеет вид х = а ± с V- 1па, то для У(у) получим
аа - с *1 - 1п а 8
у = -,--------, ч--------------, < —. Здесь два неизвестных — у и а . Значением у
( + Сот^- 1п а)) - с№* 1п а) I
задаемся в виде у = 8/12. Обозначим в = V- 1па, отсюда а = е. Подставляя значения
(15 - 1,6В)103 8
параметров а и с, получим уравнение у =---------------------—1---------------------------- = —-, решая
(240 + 7,9в) • 106 (330 + 7,9в) •Ш-6 62
-в 2
которое относительно в найдем Рх =-0,985; в2 =-160; а из а = I в получим ах = 0,379;, а2 « 0. Принимаем наибольшее значение а = 0,379, тогда возможность отказа Q = 0,379, а необходимость безотказного функционирования N = 1 - 0,379 = 0,621. Надежность балки характеризуется интервалом [1; 0,621].
Для оценки надежности во многих случаях необходима информация о значении предела прочности материала или другой механической характеристики металла. Нами предлагается определять их косвенным методом по твердости металла, а твердость определять методом царапания. Метод царапания материалов с целью определения их твердости известен давно. Так, оценка твердости минералов и горных пород осуществляется методом царапания (шкала Мооса).
В 60-х годах активно проводились работы, направленные на определение микро- и макротвердости металлов методом царапания. Для сталей макротвердость определяли по формуле Нц = 4¥ / Ь2, где Г — усилие от индентора с алмазным наконечником на металл;
Ь — ширина царапины. В [6] рекомендуется принимать Г = 80 н. Однако в последующем интерес к методу упал, и нам неизвестны работы по его применению. Для определения остаточной несущей способности и надежности металлических конструкций приходится определять предел прочности металла. Для этого из конструкции вырезаются заготовки для образцов. Эти заготовки вырезают, как правило, из менее напряженных участков конструкции, допуская тем самым ошибку в оценке предела прочности для дальнейших расчетов конструкций на прочность и жесткость.
Применение метода царапания для определения твердости металла непосредственно в конструкции чрезвычайно заманчиво. По твердости металла Н ц из [6] можно определять
предел прочности металла конструкции по формуле ов = 0,32Н -160 (МПа).
Недостатком этого метода является неточность измерения ширины царапины из-за навалов, а также отсутствие переносных приборов для нанесения царапин на элементах конструкций. Нами разработаны устройство для нанесения царапины на металле конструкции и методика измерения ее ширины Ь.
Разработана также методика для математической обработки неточных измерений
в ограниченном количестве на основе теории возможностей [2].
Рассмотрим пример. По результатам испытаний металла методом царапания имеем множество значений ширины царапины Ь = {0,43;0,45;0,47} мм. По этим значениям получим множество значений твердости металла Н ц = {1731,1580,1449} МПа. Обработку данных проведем по методике, основанной на теории возможностей и функции (*) (при принятом значении а = 0,3).
а^ = 0,5(1731 +1449) = 1590 МПа; сНц = 0,5(1731 -1449)Д/- 1п 0,3 = 128 МПа. Примем Нц = 1500 МПа, так как Нц = 1500 МПа < аН = 1590 МПа, то Я = 1 (см. рис.1). Q = гс~ (1500) = ехр{-[(1500-1590)/128,5]2}= 0,602 и N = 0,398. Принятая твердость Нц =
1500 МПа характеризуется интервалом доверия [0,398;1]. Если считать, что нижнее значение уровня доверия мало, то следует уменьшить значение твердости металла. Примем Н ц = 1460 МПа. Тогда Я = 1, Q = 0,346 и N = 0,654. Интервал уровня доверия будет [0,654;1]. Соответственно предел прочности металла ов = 0,32 • 1460-160 = 307 МПа с обеспеченностью, определяемой интервалом [0,654;1].
1. Шимановский В. // Строит. газ. №1. 01.1999.
2. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. М.: Радио и связь, 1990. 288 с.
3. Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применение. М.: Эдиториал, 2000. 192 с.
4. Уткин B.C., Уткин Л.В. Определение надежности в строительных конструкциях. Учеб. пособие. Изд. 2-е, перераб. и доп. Вологда: ВоГТУ, 2000. 175 с.
5. Уткин В. С. // Строит. материалы. №8. 2004. С.35.
6. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов: В 2-х ч. Ч.2. Механические испытания. Конструкционная прочность. М.: Машиностроение, 1974. 368 с.
