CC BY
1
УДК 519.23+519.245
ОЦЕНКА МЕТОДОМ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СТАТИСТИКИ КРИТЕРИЯ КОХРЕНА ДЛЯ ВЕТА-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Д. В. Бахарев, Д. А. Огурцов Научный руководитель - С. В. Ушанов
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газеты «Красноярский рабочий», 31
E-mail: ushanov_sv@mail.ru
Рассмотрены оценка методом статистических испытании статистики критерия Кохрена проверки гипотезы однородности дисперсии бета-распределенных случайных величин. Представлены результаты вычислительных экспериментов.
Ключевые слова: метод статистических испытании, критерии Кохрена, равномерное распределение, бета-распределение.
ESTIMATION OF THE COHREN CRITERION FOR BETA-DISTRIBUTED RANDOM VARIABLES BY SIMULATION OF STATISTICS
D. V. Bakharev, D. A. Ogurtsov Scientific Supervisor - S. V. Ushanov
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation
E-mail: ushanov_sv@mail.ru
We consider the estimation of the Cohren test for testing the hypothesis of homogeneity of variances of beta-distributed random variables using statistical tests. The results of computational experiments are presented.
Keywords: method of statistical tests, the Cochran criterion, uniform distribution, beta distribution.
При анализе экспериментальных данных возникает необходимость проверки гипотезы однородности дисперсий экспериментов. При одинаковой повторности экспериментов для проверки этой гипотезы применяется критерий Кохрена. Достоинством критерия является его простота. Расчетное значение получается делением максимальной дисперсии к сумме дисперсий экспериментов. Недостаток критерия - высокая чувствительность к отклонению распределения экспериментальных данных от нормального распределения [1].
В работе представлены результаты численных экспериментов по оценке статистики критерия Кохрена для случайных величин имеющих бета-распределение B(a, Р). Стандартное непрерывное равномерное распределение U(0, 1) является частным случаем бета-распределения при a = Р = 1.
Расчеты проводились методом статистических испытаний в системе MathCad при числе вычислительных экспериментов M = 150000 [2-5] для числа экспериментов n = 5, 10, 20 и числе повторений каждого эксперимента m = 2, 3, 4.
Секция «Прикладнаяматематика»
Результаты оценки статистики Кохреиа при n = 5, 10, 20, m = 4 для нормально распределенных (N) и бета-распределенных (Beta) случайных величин для а = Р =1 -равномерное распределение; а = 5, Р = 1; а = Р = 0.5; а = 1, Р = 3 - приведены на рис. 1.
На рис. 1 приведены полученные методом статистических испытаний оценки критических значений критерия Кохрена для 10%, 5% и 1%-ного уровней значимости для вета (Кб10%, Кб5%, Кб1%) и нормального (Kn10%, Kn5%, Kn1%) распределений для n = 10, m = 4.
U
Я о о.
с.
к
а х
6
Beta, п = 20 --- N. п = 20 Beta, n=L0
----N,n = 10
Beta, n = 5 N, n = 5 in 0.6
Критерий Кохрена
a = 1, p = 1 Кб10% = 0.253 Кб5% = 0.273 K6i% = 0.315 Кпю% = 0.338 Kn5% = 0.373 Кщ% = 0.447
0.7
i 1 '"У f* . * у * /
Г ( , t i 1 / f * t i /
1 1 1 1 1 / < I » 1 i f i / i j / / -Beta, n = 20 ---N,11 = 20 -
1 / г 1 t 1 ) 1 1 / i j i j t j / - Beta, n =10 4:n= 10 ieta, n = 5 N,n = 5 l
• 1 ' 1 1 У р J / ....
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Критерий Кохрена
a = 5, р = 1 Кб10% = 0.397 Кб5% = 0.439 Кб1% = 0.526 Кпю% = 0.338 Kn5% = 0.374 KnP/o = 0.447
а
е;
о fit о sx с
з
о.
к
>1 е
Beta, п = 20
---N, п = 20
-Beta, и =10
----N,n= 10
Beta, n = 5 N, n = 5 X
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Критерий Кохрена
а = 0.5, р = 0.5 Кбш% = 0.226 Кб5% = 0.242 Кб^ = 0.278 Кпю% = 0.338 Kn5% = 0.373 Кпш = 0.447
/ r
/ /'
/ i / t— — Beta, и = 20 ST, и = 20 Beta, ii=10 " 4,n= 10 ieta, n = 5 -4. n = 5 l
/ 1 / — —
J У / .... ]
0.1
0.2
0.3 0.4
0.5
0.6
0.7
Критерий Кохрена
а = 1, р = 3 Кб 10% = 0.339 Кб 5% = 0.371 Кб1% = 0.440 Кпю% = 0.338 Кп5% = 0.374 Кпш = 0.447
Рис. 1. Оценка статистики критерия Кохрена для бета-распределения (Beta) и нормального
распределения (N) при п = 5, 10, 20, m = 4
Интегральные функции бета и нормального распределения с равными математическими ожиданиями и дисперсиями для а = Р = 1; а = 5, Р = 1; а = Р = 0.5; а = 1, Р = 3 приведены на рис. 2.
1
0.8 0.6 0.4 0.2 0
1 1 Распределения:
— Норн, [альнс >е / / //
/
Уу jfs
✓ *
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Случайная величина <х = 1, р = 1
1.2
1
0.8 0.6 0.4 0.2 О
, +J 0 / / / + +*л
* J У JT t
г *■* р -V, аспре РТЯ делеь [ия:
+ / / / + -*-• Нормальное I I 1
Распределения: — Бета
•-* Нормальное
0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1,2 Случайная величина а = 5, р = 1
tf
f¿
! fi t f
i i jt Pac - KPT пред я елега 1я:
t*f ----Нормальное lili
-0.2 О
1
1.2
0.2 0.4 0.6 0.8 Случайная величина а = 0.5, р = 0.5
Рис. 2. Интегральные функции бета-распределения и нормального распределения с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Случайная величина а = 1, р = 3
Библиографические ссылки
1. Лемешко Б. Ю. Критерии проверки отклонения распределения от нормального закона: руководство по применению. - М.: Инфра-М., 2015. - 160 с.
2. Ушанов С. В., Огурцов Д. А. Оценка методом статистических испытаний статистики критериев Фроцини и омега-квадрат для смеси нормальных распределений // Сибирский журнал науки и технологий. 2019. Т. 20, № 1. С. 28-34.
3. Ушанов С. В., Огурцов Д. А. Оценка статистики критерия нормальности распределения Фроцини методом статистических испытаний в МАТНСАО. // Решетневские чтения. 2018. Т. 2. С. 171-173.
4. Ушанов С. В., Огурцов Д. А. Оценка статистики критерия нормальности распределения Фроцини методом статистических испытаний. // Актуальные проблемы авиации и космонавтики. 2017. Т. 2. № 13. С. 290-292.
5. Ушанов С. В., Огурцов Д. А. Оценка статистики критерия нормальности распределения омега-квадрат методом статистических испытаний. // Актуальные проблемы авиации и космонавтики. 2017. Т. 2. № 13. С. 293-295.
© Бахарев Д. В., Огурцов Д. А., 2020
