CC BY
9
УДК 517. 546
ОЦЕНКА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ПЛОЩАДИ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ © 2006 г С.В. Никитин
I.M.Milin's hypothesis about an estimation of the logarithmic area an univalent in an individual circle functions for a class of close-to-convex functions and for all class of a schlicht functions proves to be true at some private values of radius of a circle.
Пусть - класс регулярных и однолистных в круге \2\<1 функций с разложением
/(2) = г + с2г2 + к + Сп2п + к; обозначает класс
функций /(2) = 2 + С222 + ... + Сп2П + ... , регулярных и однолистных в 2\<1 и отображающих \г\<1 на выпуклую область; К - класс почти выпуклых функций,
2
т.е. функций f (z) = z + С2z +
регуляр-
f '( z)
ных в 2\<1, для которых Яе 2) > 0, с некоторой
функцией дэ(2) е 50. Классы 50 и К являются подклассами класса 5. Если /2)е5, то
log^M = ^ 2y„z"
(1)
2 п=1
где 2уп(п = 1, 2, ...) называются логарифмическими коэффициентами функции /(2).
Для любой регулярной в ¡2 <1 функции
Х к
g(2)= 2 Ск2 и любого г е(0,1) обозначим
к=0
M(r,g) =
max | g (z) |
I z |< r :
a(r,logg(z)) = JJ
g ( z)
log
g (z)
da = 4п 2k|Yk\ r к=1
2 2k
где ст(г,^-) - логарифмическая площадь функ-
2
ции g(2).
В [1] И.М. Милиным высказано следующее предположение: для любой /(2) е 5 и каждом г е(0,1) справедлива точная оценка логарифмической площади функции /(2)
1 a(r,log g«) < 2 log MirLfl
(2)
\2\<1, при отображении его посредством почти выпуклой функции, не имеет самопересечений. Обозначим 2= г в"?, /(2) =Явгв, Я(гиф)= Яи в(гъф)= 62. Воспользуемся формулой для вычисления логарифмической площади из [3]:
1 R
-J log—1 d02 = 2log
M (ri, f ) _ 1 jj d02dRi n K Ri
(3)
я ь г1 г1 « К
где г1=г2 е; г2=ге, е>0 и достаточно малое; К -кольцевое множество, дополняющее замкнутую внутренность Ь до круга радиуса М (г]/);
a(G) < ff dRde a(G)
max R Re'e eG
Из (3)
<JJ-
G
R
min R2
Re'^eG
(a(G)— площадь области G).
1 a(r,log^) < 2logMCf Л z ri
= 2log
M (r 2_g, f ) ,.2_s
(4)
Переходя в (4) к пределу при е—-0, получаем (2). Непосредственной проверкой убеждаемся, что для функций /(2) = 2(1 ±2)2 в (2) имеет место знак равенства.
Теорема 2. Для функции /(2)= 2+с222+... е5 с действительными коэффициентами сп (п=2,3,...) формула (2) справедлива для 0<г< ^г(с2, С3) < 1, где г(с2,с3) является корнем уравнения
8
(1 _ r 2)4
ln-
1
1 _ r
Ы _ 2r 2 2
c3 _-
2
(5)
Доказательство. Из (1) следует, что
zf ( z) ж k -= 1 +2 2kfkz . Отсюда получаем
f(z) k=1
k -k
Л 2 г~
со знаком равенства только для функций /2)=2 и
/(2)= 2(1 -в~'в2т)т (т=1,2,...), 0< в 2л.
В данной работе подтверждается предположение (2) для функций из класса К, для функций /(2) еБ с действительными коэффициентами при \2\<г, где
0<г< ^г(с2, С3) < 1 и для произвольных /(2) е5 при г =1.
Теорема 1. Для логарифмической площади функции /(2) еК при любом г е(0,1) справедливо неравенство (2). Знак равенства (2) достигается для функций _/(7)=2(1±2)_2.
Доказательство. Из геометрических свойств класса К [2] следует, что граница образа единичного круга
!• = ^ 22кГк(2к -2к) =~(2-2)2.
[/(2) ] 2'к=1 ' к=1 2 - 2
Оценим снизу модуль суммы правой части последнего равенства. На \2\=г имеем
2 kYk k=1
k a! 1
z _ z
z _ z
= Y + 4Y2Re z -
Y1 + 2Y2
ж zk _ zk
2 kYk-—
k=3 z _z
2 2
z _z
z _z
2 kYk
k=3
k 1
z _z
z _z
-Y1—4r| Y2I- 2k lYkIr1
k_1
k=3
Применив неравенство Коши к сумме получим
2 k2 | Yk | rk_1
k=3
2 kYk k=1
k 1
z _ z
z _ z
n
+ cnz + к
2
z
z|<r
2
c
-|У11 4г| у2|-| у к Ъгк-1 -у к | у к |2 гк-1 чк=3 к=3
Таким образом, для тех значений г>0, для которых
справедливо неравенство
X к3rk-1 •Xk|-1 <(-4r|r2|)2.
(6)
к=3
к=3
z/ '(z )
имеет только действительные корни на ок-
ружности z = r. Далее воспользуемся неравенствами
9 / /1
Xк|гк| rk < 8r(1 -r)-4,0 < r < 1, к=1
(7)
0 < r < 1.
(8)
и оценки сверху правой части
~ 3 к-1 1 + 4г + г2 у к5гк 1 =-—
к=1 (1 - г)4
этого равенства.
Неравенство (8) следует из [4] с использованием известной оценки модуля функции Кы)е8:
(1 + r)2 ' ' (1 - г'У
Применяя (7) и (8) к неравенству (6), учитывая, что
Yi = Y2 = -2(С3 -, и используя теорему 2 из [3],
получаем уравнение (5) и доказательство теоремы.
Покажем теперь, что неравенство (2) выполняется для произвольной однолистной функции из класса S при r=1.
Теорема 3. Для каждой функции fz) е S при r=1 справедливо неравенство (2). Знак равенства имеет
—10 —2
место для /0( z) = z(1 — e z) .
Доказательство. Для функций f(z) е SM , М>1, т.е. для ограниченных однолистных функций, удовлетворяющих условию f (z)| <M в |z| <1, неравенство (2)
доказано в [3]. Рассмотрим теперь случай неограниченных функций f(z) е S, для которых
lim[M (r, f )(1 — r )2] = 0.
r
Из [4] следует, что существует q>o е [0,2^), определяющее направление наибольшего роста функции
f(z), т.е. lim r
/(z) <-
ч2
где r=\z\.
/(rel(Pü) (1 - r)2 = a .
Образуем тождество:
X к
к=1
1 к
Гк - к4 к
2
r2к =
= X кГк\2r2к - 2Re Xnr2к$ + ln
к=1
9 о 1
■-X к\Гк\ r 2к - log к=1
к=1 / (r \)
1 - r2
(1 - r2)
-o-1V0
t0 = e
(9)
Обозначим Ф (r)= X к|ук\2r2к --UogM(r '/) .
2 r
к=1
Из (9) следует представление " |2..2к
Ф(г)= X к|Гк\ r2к - log
к=1
X 2, 1
X к Ук| rk < ь-—,
к=1 1 -V r
Неравенство (7) получается из равенства
+ log
^ (1 - r 2)
ние
^( - r'I
- X к
к=1
1к
Гк- 24
2
r 2к +
+Ylog
^ (1 - r 2 )
i m (, А
/ ( %
)
По теореме И.Е.Базилевича [5]
2
■
X к;
к=1
1 -
Гк --10 к
11 <- log-2 2
(10)
(11)
со знаком равенства для таких функций ДЫ), для которых —1— отображает Ы <1 на всю плоскость с ана-
I (ы)
литическим разрезом, выходящим из начала коорди-
2
■
нат. Из (11) следует, что ряд у к;
к=1
ся, а из [4],что существуют пределы
I)
1
Гк -~Т t0 к
сходит-
lim r ^ 1
(1 - r )2
= а lim M (r, /) = 1 / () = .
r ^ 1
Переходя к пределу при r ^ 1 в (10), получим
2
lim _ , ч X
1 Ф(г) = X к
r ^1 к=1
1
Гк -~Т t0 к
+ -2-loga. (12)
Из (12) и (13) следует утверждение теоремы 3. Знак равенства достигается для функций /д (z), так как для них а = 1 [4].
Литература
1. Милин И.М. Метрические вопросы теории функций. Киев, 1980.
2. Kaplan W. // Michigan Math. J. 1952. Vol. 1. № 2. P. 169185.
3. Милин ИМ.// Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1983. Т. 125. С. 135-143.
4. Милин И.М. Однолистные функции и ортонормирован-ные системы. М., 1971.
5. Базилевич И.Е. // Матем. сб. 1967. Т. 74 (116). Вып. 1. С. 133-146.
Ставропольский государственный университет
1 ноября 2005 г
2
r
z
r
r
r
