CC BY
63
А. И. Зиппа
ОЦЕНКА КРИТИЧЕСКОЙ НАПРЯЖЁННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Введение. Напряжённость электрического поля, при которой становится возможным спонтанное рождение пар частица—античастица, называется критической. Обозначим её через Ео и будем для определённости говорить об электрон-позитронных парах. Простую, но грубую оценку значения Ео можно получить, если предположить, что в таком поле на комптоновской длине волны возникает разность потенциалов порядка энергии пары [1]:
Здесь е — элементарный заряд; Н — постоянная Планка; с — скорость света; т — масса электрона. Подстановка численных значений е, Н,с и т даёт Ео ~ 1016 В/см.
Для описания процессов рождения частиц во внешнем — электромагнитном и гравитационном — поле и предсказания порога и скорости рождения применяются методы различного уровня сложности. В одночастичном представлении рождение электрон-позитронной пары можно трактовать как туннельный переход электрона из «моря Дирака» в состояние с положительной энергией [2]. Вследствие многочастичного характера задачи наиболее корректными и точными являются методы квантовой теории поля [3, 4]. В работах [5, 6] развивается подход на основе кинетических уравнений.
Согласно квантовой теории поля рождение частиц возможно при любой ненулевой напряжённости электрического поля. Вероятность образования пар в единице объёма за единицу времени равна [3]:
В представляемой работе предлагается «гидродинамическая» модель спонтанного рождения частиц в потенциальном поле. Рассматривается частный случай потенциального поля — однородное электрическое поле.
Исследование одномерного стационарного уравнения Клейна—Фока—Гордона показывает, что в дисперсионное соотношение, связывающее энергию и импульс частицы, входит, помимо классических, «квантовое» слагаемое, которое обращается в нуль в пределе Н ^ 0. Это приводит к тому, что в сильном электрическом поле энергия, необходимая для рождения пары, становится отрицательной, а процесс рождения частиц — экзотермическим.
Предлагаемая модель является точной в том смысле, что при получении уравнений не вводятся какие-либо упрощения. Её достоинствами являются наглядность оценки порога рождения, использование лишь вещественных функций координаты, недостатками — одномерность, одночастичный характер, применимость лишь для изучения потенциального поля, отсутствие предсказаний скорости рождения пар.
Представление о квантовой частице как об «обычной» классической частице, на которую действуют дополнительные квантовые факторы, исчезающие при Н ^ 0, развивалось в работах разных авторов. Известно, что уравнение Шрёдингера эквивалентно
© А. И. Зиппа, 2011
системе уравнений для плотности и скорости некоторой «квантовой жидкости» [7-10]. Этот факт был положен в основу гидродинамической интерпретации квантовой механики, или механики Бома, в которой скорость «квантовой жидкости» отождествляется со скоростью самой частицы. При выводе уравнений движения в механике Бома используется представление волновой функции частицы в форме
iS
Ф = Rex р —, (1)
п
где R и S — функции координат, а плотность и скорость определяются соответственно
р = R2 и v = VS/m.
Подстановка (1) в нестационарное уравнение Шрёдингера приводит к уравнению непрерывности для р и уравнению для v, сходному по форме с уравнением движения идеальной жидкости, или уравнением Эйлера, в которое помимо классической потенциальной энергии входит «квантовый потенциал Бома» [11]. Таким образом, квантовая частица движется под действием классической силы и силы квантовой природы, исчезающей при П ^ 0. Предлагалась также гидродинамическая интерпретация уравнения Клейна—Фока—Гордона [12] и уравнения Дирака [13]. В релятивистском случае плотность и скорость определяются более сложным образом, чем в классическом, вследствие чего страдает наглядность и эвристическая ценность, присущая подобной интерпретации. Определенное преимущество появляется при исследовании одномерных стационарных уравнений квантовой механики. В этом случае для описания частицы достаточно одной вещественной величины — импульса или длины волны, а плотность можно исключить из рассмотрения.
Уравнение для длины волны. Рассмотрим одномерное стационарное уравнение Клейна—Фока—Гордона для частицы с полной энергией E, движущейся в потенциальном поле V(х):
(E-V (x))2 Ф + П2с2Ф" = т2с4Ф.
«Штрих» означает дифференцирование по переменной х. Уравнение для античастицы отличается знаком потенциальной энергии V (х).
Представим волновую функцию в форме (1) и определим импульс частицы p и длину волны X:
р ее dS/dx, X ее
d/S/
Подстановка волновой функции в форме (1) в уравнение Клейна—Фока—Гордона с последующим разделением на вещественную и мнимую часть приводит к двум уравнениям для вещественных функций R и S:
2R'S' + RS" = 0, (2)
RII
(£ - V)2 + Гг с2— - с2(S")2 = ш2с4. (3)
R
Уравнение (3) можно трактовать как дисперсионное соотношение, связывающее энергию и импульс частицы, дополненное «квантовым» слагаемым.
Интегрируя (2), получаем
n const „ /- ,, s
Д" = , или R = const -\А. (4)
\S'\
После подстановки (4) в уравнение (3) последнее примет вид
— Н2с2Хк" — — Н2с2(Х')2 + [(£ — V)2 — т2с4]Х2 = 4л'?Н2с2.
Это уравнение — нелинейное. После дифференцирования по х и деления на 2к получаем линейное дифференциальное уравнение 3-го порядка для длины волны к(х):
^ К2<?\"' + [{£ - V)2 - т2с4}\' - (£ - X = 0. (5)
В предельном случае при Н ^ 0 уравнение (5) вырождается в уравнение первого порядка:
[{£ - V)2 - т2с4}\' -{£ -У)^\ = 0.
ах
Ему удовлетворяет «вырожденное» решение
2 пНс
X
yj{£ - V)2 - ш¥ ’
справедливое только при E-V ^ тс2.
В невырожденном случае, как показано ниже, E — V может обращаться в нуль и принимать отрицательные значения.
При аннигиляции пары частица-античастица в системе центра масс выделяется энергия EY = 2T + V— + V+ = 2(E — V), где T = E — V, V— — потенциальная энергия отрицательно заряженной, а V+ = —V— — положительно заряженной частицы. Точно такая же энергия 2(E — V) необходима для образования пары. Следовательно, при условии E — V ^ 0 процесс спонтанного рождения пар становится экзотермическим.
Однородное электрическое поле: общее решение. Рассмотрим уравнение (5) для однородного электрического поля. В этом случае потенциальная энергия частицы V = —eEx, где E = const — напряжённость электрического поля.
Перейдём от координаты x к безразмерной независимой переменной
E + eEx
t=------—.
тс2
Уравнение (5) принимает вид
1 d3 X 2 dX . . .
4^^ + ^_1)Л+а = °’ (6)
при этом вследствие однородности поля исчезает явная зависимость от координаты. В уравнение входит безразмерный параметр
тс
к =
23
Еп
Н\вЕ\ \Е\'
В предельном случае при к ^ уравнение (6) имеет «вырожденное» решение:
\= Х° , (7)
где ко = к/(тс) — комптоновская длина волны.
Уравнение (6) является антисамосопряжённым уравнением 3-го порядка [14], поэтому три его фундаментальных решения образуются перемножением двух фундаментальных решений уравнения 2-го порядка вида
¥^ + ^~1)у = 0-
Линейно независимые решения последнего уравнения выражаются через функции параболического цилиндра (или функции Вебера) [15, 16]:
Следовательно, общим решением уравнения (6) является функция
X = Є1
Т¥[^.у/2к
к
ТУ [1,-іу/2к
. (8)
Однородное электрическое поле: определение произвольных постоянных.
Решение уравнения (6) в предельном случае при k ^ известно, поэтому для определения произвольных постоянных О1, О2 и Оз следует воспользоваться асимптотикой функций Вебера при большом значении параметра.
Асимптотические разложения функций Вебера Ш были получены в работе [17] и приведены также в приложении к [16]. Ограничиваясь нулевыми членами разложения по малому параметру 1/к, имеем
Т¥(^,іу/2к
2 -і к і ехр( — \як) / л
---------^------- СОЗ (Щ+-
(¿2_1)3 V 4
(9)
\¥ ( -,-і^/2к.
8іп(^+|),
где
(10)
2±к 4 ехр(|л:А;)
(*2 - 1)*
/*£ _________
\ = I Л\А2 — 1.
Эти разложения справедливы при Ь > 1.
В левой части общего решения (8) в качестве к возьмём «вырожденное» решение (7), а в правой части в качестве функций Вебера возьмём их асимптотические выражения (10) и (11). Таким же образом сделаем замены для первой и второй производных «вырожденного» решения (7). Из трех полученных соотношений можно найти произвольные постоянные:
С\ = кп\/2/сехр ^ як^ , С<2 = 0, Сз
Хп\/2АІ ( 1 .
——ехр I --як
Следовательно, в однородном электрическом поле
к/ко = \/2к
ехр ( - як
Т¥(ї,іу/2к)
+
2
2
2
2
Результаты и обсуждение. Длина волны к вычислена при к = 0,2 + 20. Необходимые для расчёта функции Вебера W(a, x) либо взяты из таблиц [16], либо получены численным решением уравнения параболического цилиндра. При t > 0 длина волны монотонно убывает до нуля с ростом t = (E — V)/(mc2) и увеличивается с ростом параметра к.
На рис. 1 изображена зависимость t =
= (E — V)/(mc2) от относительного импульса p/(mc) = ко/к при разных значениях к.
Кривая к = ж соответствует «вырожденному» решению (7).
Кривые при конечных значениях параметра к не имеют пересечения с осью энергий, асимптотически приближаясь к ней, то есть при p = 0 всегда E — V < 0. Поэтому образование пар с нулевым импульсом должно наблюдаться также при малой напряжённости поля Е < Ео.
В сильном поле (при малых значениях к) энергия E — V становится отрицательной при конечном значении импульса.
Относительный импульс рождающихся частиц принимает значения от нуля до максимального pmax/(mc), соответствующего точке пересечения кривой с осью абсцисс.
Зависимость pmax/(mc) от 1/к = |Е|/Ео имеет точку перегиба вблизи E « Ео (рис. 2), в которой максимальный импульс рождающихся частиц резко возрастает.
p /(mc)
г max 4 J
Рис. 1. Зависимость энергии частицы от импульса и параметра к
Рис. 2. Зависимость максимального импульса рождающихся частиц от напряжённости поля
EE
Поскольку образование пар в электрическом поле — экзотермический процесс, то их аннигиляция должна сопровождаться поглощением энергии из окружающего мира.
Проведённое исследование позволяет сделать вывод, что спонтанное рождение частиц в электрическом поле является квантовым эффектом и было бы невозможно при П = 0.
Автор выражает благодарность Р. Б. Панину, А. М. Пучкову, В. А. Сергиенко и Ф. Ф. Валиеву за ценные советы и замечания.
Литература
1. МигдалА. Б. Качественные методы в квантовой теории. М., 1975. 335 с.
2. Rafelski J., Fulcher L. P., Klein A. Fermions and bosons interacting with arbitrarily strong external fields // Phys. Rep. (C). 1978. Vol. 38. N 5. P. 227-361.
3. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля: в 2 т. М., 1984. Т. 1. 448 с.
4. Tanji N. Dynamical view of pair creation in uniform electric and magnetic field // Ann. Phys. 2009. Vol. 324. N 8. P. 1691-1736.
5. Schmidt S., Blaschke D., Ropke G. et al. Non-Markovian effects in strong-field pair creation // Phys. Rev. (D). 1999. Vol. 59. N 9. P. 094005-1-094005-7.
6. Blaschke D. B., Prozorkevich A. V., Smolyansky S. A., Tarakanov A. V. Observable manifestation of an electron-positron plasma created by the field of an optical laser // J. Phys.: Conf. Ser. 2006. Vol. 35. P. 121-126.
7. Madelung E. Quantentheorie in hydrodynamischer Form // Z. Phys. 1927. Bd. 40. H. 3-4. S. 322-326.
8. Young L. A note on local momentum in wave mechanics // Phys. Rev. 1931. Vol. 38. N 9. P. 1612-1614.
9. Bohm D. A suggested interpretation of the quantum theory in terms of “hidden” variables. I // Phys. Rev. 1952. Vol. 85. N 2. P. 166-179.
10. Takabayasi T. On the formulation of quantum mechanics associated with classical pictures // Prog. Theor. Phys. 1952. Vol. 8. N 2. P. 143-182.
11. Wyatt R. Quantum dynamics with trajectories: Introduction to quantum hydrodynamics. N.-Y., 2005. 406 c.
12. Takabayasi T. Remarks on the formulation of quantum mechanics with classical pictures and on relations between linear scalar fields and hydrodynamical fields // Prog. Theor. Phys. 1953. Vol. 9. N 3. P. 187-222.
13. Takabayasi T. Relativistic hydrodynamics equivalent to the Dirac equation // Prog. Theor. Phys. 1955. Vol. 13. N 2. P. 222-224.
14. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1976. 576 с.
15. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М., 1979. 832 с.
16. МиллерДж. Таблицы функций Вебера (функций параболического цилиндра). М., 1968. 144 с.
17. OlverF. Uniform asymptotic expansions for Weber parabolic cylinder functions of large orders // J. Research NBS. 1959. Vol. 63B. N 2. P. 131-169.
Статья поступила в редакцию 5 апреля 2011 г.
