Оценка критерия обобщенной работы при оптимизации управления мехатронным объектом изменяемой структуры Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.3.078

Смирнов Ю.А. (кандидат технических наук, доцент кафедры «Электротехника и автоматика» Ростовского государственного строительного университета)

Гужев О.Ю. (аспирант кафедры «Электротехника и автоматика» Ростовского государственного строительного университета)

ОЦЕНКА КРИТЕРИЯ ОБОБЩЕННОЙ РАБОТЫ ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ МЕХАТРОННЫМ ОБЪЕКТОМ ИЗМЕНЯЕМОЙ СТРУКТУРЫ

В статье приводится математическая модель функционирования мехатронного объекта изменяемой структуры, описываемая предикатно-дифференциальными и предикатноразностными уравнениями. Выведено выражение для оценки или изменяемой части дискретного аналога критерия обобщенной работы при оптимизации управления мехатрон-ным объектом изменяемой структуры.

Ключевые слова: мехатронный объект изменяемой структуры, оценка критерия обобщенной работы, прогнозирующая модель, оптимальный алгоритм управления с прогнозирующей моделью, предикатно-дифференциальные уравнения, предикатно-

разностные уравнения.

1. Математическая модель функционирования мехатронного объекта изменяемой структуры. В терминах обобщенных функций (производных) математическая модель функционирования объекта изменяемой структуры может быть представлена в виде:

п т

х = 2 ап(г) ■ х +2 ъч (г) • и (11)

1=1 1=1

или в матричной форме

х = А(г) ■ х + В(г) ■ и, (1.2)

где х = [х1, х2,..., хп]Т - п - мерный вектор-столбец состояния объекта управления; и = [и1,и2,...,ит ]Т - т - мерный вектор-столбец управлений;

А(г) = (аи (г))п; В(г) = (ъг] (г)) (г =1 П;] =1 т).

Коэффициенты математической модели (1.1) объекта изменяемой структуры с течением времени имеют скачки, которые можно описать на понятии гибридной функции [1]. По определению, гибридная функция есть произведение некоторой числовой функции и функции предикат. Обозначим функцию предикат буквой Ь. Тогда описанием изменения коэффициента в (1.1) с учетом наличия V скачков может служить выражение:

N

аь (о=2 ьа& к) ■ ар(г) р=1,2,...,2у.=ю (13)

р=1

с условиями единственности

ьр (г, К)Щ+1«, V) = 0; (1.4)

и полноты

N

V ь р(г, V) = 1. (1.5)

р=1 -

Учитывая выражения (1.3)—(1.5), математическая модель функционирования объекта изменяемой структуры (1.1) может быть представлена в виде:

N п N т

х = 22 ьа (г, V )аг1р (г)х1 +22 4 (г, )Ъ1Р (г)и1 , (1.6)

р=1 1=1 р=1 1 =1

с условиями единственности Ьар (г,V)ЛЬар+1 (г,V) = 0; Ьр (г,)лЬ'р+1 (г,= 0;

и полноты V Lap (t, tv) = 1; V Lp (t, tv) = 1.

, p V 5 V / ^ ~p

p=l — p=\

В матричном виде в соответствии с (1.2) она запишется в следующей форме:

NN

Г A /> > \ л TB

X = I LA (t, V) Ar (t) x+1 LBp (t, tv) Bp (t )u (1.7)

p=l p=1

с соответствующими условиями единственности LAp(t,tv_)ALAp+i(t,tv) = 0; LBp(t,К)Щ+1(иg = 0;

N N

и полноты V LA (t, tv) = 1; V LBp (t, tv) = 1.

p=1 p=1 -

Математическая модель функционирования объекта изменяемой структуры вида (1.6) или (1.7) описывается предикатно-дифференциальными уравнениями. Для построения дискретной модели воспользуемся приближенным методом первых разностей [2]. Тогда в соответствии с (1.7) запишем

x[k +1] = LAp (t, tv )[ Ap (t )Ta +1 ]x[k ] + LBp (t, tv )TaBp (t )u[k \ (1.8)

Учитывая, что

Ap (t)To +1 = Фp[kl ToBp (t) = Gp [k],

LAp(t,tv) = Lф(k,kp), LBp(t,tv) = LGp(k,kp), запишем (1.8) следующим образом:

x[k +1] = Lф (k, kp )Ф p [k ]x[k ] + LGp (k, kp )Gp [k ]u[k ]. (1.9)

Так как количество интервалов [tp, t +1] равно 2v_ = N, то запишем сумму по всем p в правой части (1.9)

NN

x[k +1] = I Lф (k, kp )Ф p [k ]x[k ] +1 LGp (k, kp )Gp [k ]u[k l (1.10)

p=1 p=1

с условиями единственности Lф (k, kp )ЛLф+1 (k, kp+1) = 0; LGp (k, kp )ALGp (k, kp+1) = 0;

NN

и полноты V L (k, kp) = 1; V LGp (k, kp) = 1.

p=1 p=1

Уравнение (1.10) с соответствующими условиями единственности и полноты будет являться дискретной математической моделью мехатронного объекта. Эта модель представлена предикатно-разностными уравнениями.

2. Изменяемая часть дискретного аналога критерия обобщенной работы. В [3,

4] А.А. Красовским предложен так называемый критерий обобщенной работы. Им введен в минимизируемый функционал дополнительный член, являющийся оценкой сигналов управления в оптимальной системе. Укажем выражение для определения оценки или изменяемой части Y (k, x[k ]) дискретного аналога критерия обобщенной работы.

На основании результатов связи метода функций Ляпунова с методом динамического программирования [5] оптимальное управление u [k] минимизирует функционал

М-1

I = V (у, x[ß\) +1L (k, x[k ]) + L2 (k, x[k ], u[k ]) +Y(k, x[k ])}, (2.1)

k=0

если существует положительно определенная функция Ляпунова-Беллмана V(k, x[k]), удовлетворяющая условиям:

V (k +1, x[k +1]) - V (k, x[k ]) + L (k, x[k ]) + L2 (k, x[k ], u[k ]) +

і (2.2)

+Y (k, x[k ])| u[k hSm=0; ' '

——— {V (k +1, x(k +1]) - V (k, x[k ]) + L, (k, x[k ]) + L2(k, x[k ], u[k ] +

Лі[к] (2.3)

+ Y(k, x[k]) }u[kИ[k]= 0.

Здесь Ьг(к,х\к]),Ь2(к,х\к],и\к])- положительно определенные функции, определяющие соответственно оценку координат объекта и оценку управлений с координатами объекта.

В соответствии с [6,7], разлагая функцию V (к +1, х\к +1]) в ряд Тейлора относительно вектора хм \к +1], определяемого моделью

хм \к +1] = А\к ]хм \к ],

запишем выражение

Мгк.-,ъ , ,.тГК1итпЖ(к +1, хм \к +1])

V(к +1, х\к +1]) = V(к +1, хм \к +1]) + ит \к]В \к] ' [к +1] +

Iит \кВ \к]*"у (к +1 хМ \к +1]) В\к],<

2 (скм \к +1])2

Подставляя (2.4) при и\к] = и\к] в условие (2.2), получим

^ (к +1, хм \к +1]) ~*хм\к + 1]

(2.4)

V (к +1, хм \к +1]) + ит \к ]Вт \к ] )Д/,П +

1 ~т к]вт {к] *^(к м1-хм \к2+1])

2 (*хм \к +1])2

+ -ит \к]Вт \к] 4 ’-1 2 ^ В\к]и\к] - V(к,х\к]) + (2.5)

+ Ь1(к, х[к ]) + Ь2(к, х[к ], и[к ]) + *¥(к, х[к ]) = 0.

Тогда учитывая, что положительно определенная функция V (к, х[к ]) при оптимизации управления по дискретному аналогу критерия обобщенной работы определяется уравнением

V (к +1, хм [к +1]) - V (к, х[к ] + Ь1 (к, х[к ]) = 0, из (2.5) получим изменяемую часть дискретного аналога критерия обобщенной работы в виде

Ч(к, х[к]) = -{~Т [к]ВТ [к](к + 1 х [к +1])

Ыхм [к +1]

(26)

1 ~ Т г 7 1 г>Т г 7 ~\Ы V (к + ~1, х \-к + 1] ог 7 "1~Г 7 Т Г / 7 Г7Т ~Г ( 1М

+-и [к]В щ— м„—^— В[к]и[к]+Ь2(к,х[к]и[к])).

2 (ых [к +1])

ЛИТЕРАТУРА

1. Терно О.Р. Гибридные функции - новый метод описания сложных систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1965. № 6.

2. Кузовков Н.Т., Карабанов С.В., Салычев О.С. Непрерывные и дискретные системы управления и методы идентификации. - М.: Машиностроение, 1978.

3. Красовский А.А., Буков В.Н., Шендрик В.С. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. - М.: Наука, 1977.

4. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. - М.: Наука, 1973.

5. Смирнов Ю.А., Тищенко Л.Г. Синтез дискретного алгоритма управления положением исполнительных органов объекта, описываемого логико-разностными уравнениями // Изв. ВУЗов. Приборостроение. 1984. № 6.

6. Смирнов Ю.А. Синтез оптимальной программы настройки параметров прогнозирующей модели объекта изменяемой структуры. Математические методы и технологии в технике: Сб. науч. тр. / Саратовский гос. университет. Саратов, 2008.

7. Смирнов Ю.А. Адаптивная система управления. Авторское свидетельство СССР №1464139, кл. О 05 В 13/02, 1987.