Оценка качества решений оптимизационной задачи на графах с интервальными параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.68(001.4)

ОЦЕНКА КАЧЕСТВА РЕШЕНИЙ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Г.Л.Козина, Р.К.Кудерметов

Описываются множества решений оптимизационной задачи об остовных деревьях с интервальными параметрами. Предложен подход к оценке оптимальности решений этих множеств.

Досл1джуються множини розв'язтв оптим1зацшно1 задач1 про остовт дерева з ттервальними параметрами. Запропоновано тдх1д до оцтки оптимальност1 розв'язтв цих множин.

The solution sets of optimization spanning tree problem with interval parameters are described. The approach to an estimation of solution optimality is offered.

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование ряда практических задач может сводиться к построению остовных деревьев в неориентированном графе. К такой задаче можно отнести, например, задачу прокладки кабеля между рабочими станциями компьютерной сети. Очевидно, что здесь рабочие станции можно представить вершинами графа, а участки кабеля ребрами. Естественно, при этом рождается цель найти самое короткое кабельное соединение. Решением этой задачи будет минимальное остовное дерево. Однако, в реальности при решении этой задачи возникает ряд трудностей, связанных с неопределенностью размещения рабочих станций, невозможностью прокладки кабеля по некоторым маршрутам, т.е. длина участков кабеля может колебаться в некоторых пределах и возникает множество вариантов прокладки. Задача состоит в поиске минимального соединения в условиях неопределенности [1 ], которая заключается в интервальной природе участков этого соединения. В статье предложен подход к оценке оптимальности решений (вариантов), получаемых для подобного рода задач.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим оптимизационную задачу на остовных деревьях (кратчайшей связующей сети) на графе с интервальными параметрами [2-4].

В произвольном графе О веса ребер оценены с помощью интервалов, т.к. заранее неизвестны их точные значения. Другими словами, каждому ребру графа сопоставлен интервальный вес - интервальная оценка реально существующего веса (например, время в пути, стоимость и т.п.). В задаче о минимальном остовном дереве допустимыми решениями задачи являются все остовные деревья графа О .

Связный граф без циклов, содержащий все вершины графа О , называется остовным деревом графа О .

Каждому остовному дереву х = (V, Ех) графа О сопоставим его интервальный вес С(х) как сумму интервальных весов ребер [5], входящих в данное дерево:

С(х) = £ С(е) = £ [ С(е), С(е), ] =

е е Е^ е е Е„

X C(е), X C(e)

■е е ET е е E„

= [cx(x), c2(x)]; (1)

Cj(x) = X C(e); C2(x) = X C(e) •

e е E e е E„

(2)

Таким образом, каждому допустимому решению соответствует определенный интервал, который является оценкой значения целевой функции для данного решения.

Классическая (вещественная) постановка задачи о поиске минимального остовного дерева состоит в том, чтобы найти среди всех остовных деревьев такое, которое имеет минимальный вес, т.е. минимальную сумму весов ребер дерева. В процессе поиска сравниваются веса всех допустимых решений, и среди них находится минимальное (по весу) дерево.

В интервальной постановке этой задачи сравнивать непосредственно интервальные оценки значений целевой функции нельзя, однако, можно ввести порядок на множестве интервалов этих значений. Для этого введем понятие паретовского оптимума [2].

Определение 1

Решение у с целевой функцией С (у) = [ С1(х), С2(х)] "лучше" решения х с целевой функцией С(х) = [С1 (х), С2(х)] , если выполняются неравенства

С1(у)< С1(х) и С2(у)< С2(х), причем, хотя бы одно из этих неравенств строгое.

Определение 2

Решение х называется паретовским оптимумом, если для него не существует "лучшего" решения.

Множество паретовских оптимумов называется паре-товским множеством решений Р . Поскольку существуют несравнимые решения, то невозможно изначально какое-то одно решение назвать оптимальным.

Интервальная постановка задачи, вообще говоря, подразумевает множественную природу ее решения. Тем не менее, в реальности чаще всего необходимо из этого множества выбрать только одно решение.

Итак, примем как один из вариантов определения решения интервальной задачи паретовское множество

решений. Паретовские оптимумы являются результатом оценки решения в целом - сразу по всем возможным значениям весов ребер графа.

Но существует и другой подход к определению решения оптимизационной задачи на графах с интервальными параметрами [4]. А именно, вводится понятие реализации весов ребер графа, т.е. выбор вещественных значений весов внутри заданных интервалов.

Для каждой реализации описываемая задача становится вещественной, и для нее возможен выбор минимального значения целевой функции.

Определение 3

Решение называется слабым, если оно оптимально при некоторой реализации ребер графа О .

Множество всех слабых решений обозначим через W. Вторым вариантом определения решения интервальной оптимизационной задачи является множество слабых решений W ={Хр XI}, где I - число слабых решений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Теорема 1 [3]

Паретовское множество решений является подмножеством множества слабых решений: Р с W.

Доказательство

Пусть X - паретовский оптимум, т.е. X е Р . Докажем, что х е W.

Возьмем следующую реализацию ^ весов ребер графа О : ребрам, принадлежащим дереву х, припишем веса, соот-ветствующие их нижним границам, а всем остальным ребрам графа - веса, соответствующие их верхним грани-$ С(е), е е Ех

цам: с^(е) = <_ Тогда с^(х) = Vс^(е)=с1(х).

" С(е), е £ Ег. % 1

х е е Ех

Покажем, что при этой реализации весов ребер графа выбранное паретовское решение х е Р является минимальным и, следовательно, принадлежит множеству слабых решений W. Предположим противное. Пусть существует решение х ' , имеющее меньший вес при выбранной реализации: с ^х ') < с^х ) = ср(х). Т.к. при любой реализации ^ выполняется неравенство Ср(х') < с^(х') то отсюда следует, что

Ср(х')< Ср (х). (3)

Кроме этого,

С^(х') = V С( е) + V С( е )< V С( е) +

+ V С (е) = с8{х)

е е Ех \ Ех Отсюда

V С(е), получим

е е Ех'° Ех

с2 (х )< с2( х)

(6)

Неравенства (3) и (6) противоречат паретовской оптимальности решения х. Найденное противоречие доказывает теорему.

Целью данной статьи является найти оценку качества решений, составляющих множество слабых решений W.

Для каждого слабого решения существует реализация, при которой это решение является оптимальным. Но интуитивно понятно, что для одного решения таких реализаций будет "много", а для другого "мало", т.е. одни решения более возможны, чем другие.

Введем понятие вероятности оптимальности слабого решения. Множество всех реализаций параметров обозначим через Q .

Очевидно, что

Q = С1 х С2 х...х Ст с Я™ ,

(7)

где - интервальный вес ребра с номером I, I = 1, т ; символ х означает прямое (декартово) произведение множеств; Ят - т-мерное вещественное пространство. Таким образом,

Q = {с = (ср, с^..., ст)|(с,- е С)}

(8)

Обозначим через Qk множество реализаций, при

которых слабое решение х^, к = 1,1, является оптимальным. Очевидно, что

и Qk = Q.

к = 1

(9)

(4)

V С(е)< V С(е) . (5)

е е Ех\Ех е е Ех\Ех Добавляя к обеим частям последнего неравенства

Обозначим через Qк множество внутренних точек множества Qk . Справедлива следующая теорема.

Теорема 2

Если все веса ребер графа строго интервальны, т.е. С(е) - С(е) > 0 , то множества Qi и Qj могут пересекаться только по границе для любых двух , ф] , т.е.

а, о = 0. (10)

Доказательство

Пусть при , ф} утверждение теоремы не выполняется, т.е. Qi о Qj ф 0 . Тогда существует некоторая реализация ^ весов ребер графа О, при которой оптимальными

будут два решения х, и х} : с^ е Qi о Qj . В этом случае вес решения х, будет равен весу решения х,:

е е Ех° Ех е е Ех\Ех

е е Ех 0 Ех

94

1607-3274 "Рад1оелектрон1ка. 1нформатика. Управл1ння" № 2, 2002

•S(xi) = X cS(e) + X cS( е) = X cS(e) + X cSe)

r,Si„\ =

e е Ex n Ex e eEx\Ex eeEx nEx eeEx\Ex i j i j i j j i

= cS (x,) .

(11)

Если уменьшить вес ребра е е Ех_\Ех так чтобы

с^(е) - 5 е 21 п 22] , при некотором 5 > 0 , то при такой реализации весов равенство (11) нарушится:

X cS (e) + X ( e )< X (e) +

е Ex n Ex e е Ex \ Ex e е Ex n Ex

i j i j i j

+ X cS( e),

e е Ex.\Ex.

j i

(12)

и оптимальным станет только решение х{. Отсюда приходим к противоречию.

Введем меру !(•) на множестве подмножеств множества 2 по следующему правилу: для любого подмножества А с 2 мерой |(А) является т-мерный интеграл, равный

д(А) = JJJdx .

A

(13)

При т = 2 мера |(А) является площадью множества А , при т = 3 мера |(А) является объемом множества А .

Определение 4

Назовем величину P (x^) =

6k)

вероятностью опти-

|( 2)

мальности слабого решения х^, к = 1,1.

Покажем, что Р (хк) есть вероятность. Действительно, для Р(хк) выполняются свойства вероятности:

1. Р(хк)> 0, т.к. !(•)> 0 и |(2)> 0; Р(хк) < 1, т.к. |(2к)<|(2) при (к с 2 .

2. Если 2г п 2J = 0 , то |((г и 2]) = |(2г) +1(2]) и Р {х1 V х] } = Р (х{) + Р (х]) ,

где Р{хг V х,} есть вероятность того, что либо хг, либо г ] г

х] (г Ф] ) является оптимальным решением.

* I

\

u Qk

& к = 1 '

l

= X Qk).

к = i

3. X P (xk) = 1, т. К. Q) = д

к = 1

Таким образом, каждому слабому решению приписано некоторое число, которое может отражать качество этого решения. Чем больше вероятность оптимальности данного решения, тем оно предпочтительнее.

Каким же образом оценивать эту вероятность?

Авторами разработана программа IntGraph, позволяющая получать эти вероятности в режиме имитационного моделирования. Программа реализована для операционной среды Windows на языке Visual C++ v.6. Для хране-

ния данных о графах и рабочих массивов используется динамически выделяемая память. Графы представляются в программе как списки смежных вершин, а для поиска минимальных остовных деревьев применяется алгоритм Крускала [6]. В программе использованы функции работы с графами из библиотеки, размещенной на Web-сайте издательства "ДиаСофт", которые были адаптированы для среды программирования Visual C++ v.6. В программе реализован наглядный графический вывод результатов имитационного моделирования, т.е. представлено разбиение множества Q параметров задачи на множества Qk, соответствующие слабым решениям xk.

ПРИМЕР ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Входные данные для программы IntGraph задаются в виде текстового файла и имеют следующую структуру (рассмотрим конкретный пример):

4 6 2000

0 1 6 15

0 2 8 8

0 3 12 12

1 2 7 7

1 3 9 9

2 3 5 12

В первой строке указываются количество вершин и ребер графа, а также число итераций (прогонов) задачи при имитационном моделировании. В каждой следующей строке описываются ребра графа с помощью номеров вершин (первые две цифры) и их интервальные веса (следующие две цифры).

В программе на каждой итерации случайным образом генерируются вещественные веса ребер графа, принадлежащие соответствующим интервалам. Затем формируются слабые остовные деревья, которые обозначаются как x0, x1 и т.д., число реализаций, при которых соответствующие остовные деревья являются оптимальными, границы интервалов, реально принимаемых значений целевой функции, интервальные оценки целевой функции вероятности оптимальности для соответствующих деревьев, которые выводятся в качестве результата работы программы. Паретооптимальные решения отмечаются звездочками.

В рассматриваемом примере слабыми оказались четыре остовных дерева x0, x1, x2, x3:

x1 0 2 x0 0 2 x2 0 1 x3 0 1 12 12 12 12 2 3 1 3 2 3 1 3

x1 910 [20: 23] [20: 27] x0 638 [24: 24] [24: 24] x2 247 [18: 23] [18: 34] x3 205 [22: 23] [22: 31]

0.455 0.319 0.123 0.103

Для х1 из 2000 итераций в 910 случаях это дерево оказалось оптимальным, при этом значения целевой

функции реализовались в интервале [20: 23], априорная интервальная оценка целевой функции, получаемая по формуле (1), есть [20: 27], решение является паретоопти-мальным, вероятность оптимальности слабого решения х1 равна 0.455 (т.е 910/2000). Графический результат работы программы показан на рис. 1.

Таким образом, в рассмотренном примере в качестве окончательного оптимального решения целесообразно принять решение х^ имеющее наибольшую вероятность оптимальности при независимом изменении параметров задачи.

я

Щ 10 V Св

Е

= 8

4

Рисунок 1 - Разбиение множества 0 параметров задачи из рассматриваемого примера на множества 00' 01 ' 02 ' 03' соответствующие слабым решениям х0, х 1, х2, х3

Заметим, что действительные вероятности оптимальности решений имеют следующие значения: Р( 00 )=0.333,

Р( 01 )=0.444, Р( 02)=0.127, Р( 03 )=0.095, что подтверждает обоснованность применения имитационного моделирования при решении рассматриваемой задачи.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. - Изд-во МЭИ (СССР); "Техника" (НРБ), 1989. - 224 с.

2. Kozina G.L., Perepelitsa V.A. Spanning Trees Problem: Solvability and Computational Complexity // Interval Computations, 1.- 1994. - P.42 - 50.

3. Козина Г.Л., Семений Т.В. Выбор оптимальных маршрутов при неопределенном размещении объектов // Вюник Запор1зького державного ушверситету, 2001. - №1. - С. 40-44.

4. Yaman H. Karasan O.E. Mustafa O.P. Minimum Spanning The Problem with Interval Data, Bilkent University, Department of Industrial Engineering, Techical Report 9909, July, 1999.

5. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления: Пер. с англ. Г.Е. Минца, А.Г. Яковлева / Под ред. Ю.В. Матиясевича. - М.: Мир, 1987. - 356 с.

6. Хэфилд Р., Кирби Л. и др. Искусство программирования на С. Фундаментальные алгоритмы, структуры данных и примеры приложений. - К.:"ДиаСофт", 2001. - 736 с.

6 S 10 12 14 16 Интервальный вес ребра (fl. I)

Удк 004.9:681.32

ЗАДАЧА ПРОСАЧИВАНИЯ И НАДЕЖНОСТЬ ОДНОРОДНЫХ СТРУКТУР

Н.В.Лаходынова

Предлагаются оригинальные результаты, касающиеся теории просачивания, полученные при исследовании надежности однородных структур вычислительных систем.

Original results about percolation theory, achieved during the researching of safety of homogenous calculation structures, are proposed.

ВВЕДЕНИЕ

Теория просачивания исследует феномен просачивания (жидкости, газа, электричества, информации) в широком классе периодических графов. Основной вопрос теории просачивания: при каких минимальных вероятностях p - исправного узла и r -исправной связи в бесконечной однородной структуре данного типа существует бесконечный исправный кластер? Эти величины называются критическими.

Теория просачивания находит успешное применение в различных дисциплинах: физике, химии, биологии и теории вычислительных систем. В частности, в работах [1] ее результаты применялись для оценки пределов надежности однородных вычислительных структур и

систем (ОВС). Наши результаты о пределах надежности ОВС с точки зрения теории просачивания увидели свет в 1987-89 гг. Вскоре такие же публикации появились и в зарубежной литературе. Так в [2] ставится задача оценки предельных возможностей сетей связи параллельных ЭВМ, оцениваются величины кластеров и вероятности попадания узлов в главный кластер для различных периодических графов. Систематическое изложение теории просачивания и библиографию можно найти в [3]. В связи с тем, что теория просачивания в приложении к ОВС дает содержательные результаты, представляют интерес величины критических вероятностей для различных структур. Кроме содержательных результатов, касающихся однородных структур, попутно были разработаны новые методы определения порогов просачивания для практически важных конечных структур. Наряду с классической задачей просачивания исследовалась также смешанная задача и просачивание в структурах с согласием [6].

96

ISSN 1607-3274 "Радюелектрошка. 1нформатика. Управл1ння" № 2, 2002