CC BY
54
Оценка и минимизация потерь помехоустойчивости многоканального обнаружителя в условиях неточности априорного задания параметров сигналов
Ключевые слова: многоканальное обнаружение, квазидетерминированный сигнал, отношение правдоподобия, помехоустойчивость, неточность априорных данных
Русанов В.Э.,
к.т.н., доц. МТУСИ [email protected]
Современная техника цифровой компьютерной обработки сигналов открывает возможности в создании сложных многоканальных радиосистем, используемых для радиосвязи, радиомониторинга. Априорная неопределённость данных об обрабатываемых сигналах не позволяет однозначно синтезировать алгоритм их оптимальной обработки. Многоканальный анализ сигналов позволяет варьировать параметры приёмного тракта в каналах, так чтобы алгоритм обработки в одном из них оказался приближенным к оптимальному. Влияние точности такого приближения на помехоустойчивость алгоритма обработки сигнала (отношение сигнал/шум в канале квазиоптимальной обработки), называемое устойчивостью этого алгоритма к неточности априорных данных [1], является предметом исследования данной работы.
Пусть многоканальный цифровой обнаружитель обрабатывает реализацию сигнала длительностью Т, представленную N мгновенными значениями, частота дискретизации которых выбрана согласно теореме отсчётов [2]. При анализе многоканального обнаружителя будем полагать, что в каналах вычисляется отношение правдоподобия для дискретной сетки возможных ожидаемых значений неизвестного параметра обнаруживаемого сигнала.
Отношение правдоподобия, вычисляемое в каналах обнаружителя для независимых отсчетов обрабатываемой
Т Т
реализации радиосигнала на интервале анализа __</<_
2 2
(этот интервал располагается в окрестности точки / = 0) при
усреднении по неизвестной равномерно распределенной начальной фазе (р(/ в задаче обнаружения может быть
заменено статистикой [3]:
Работа посвящена исследованию устойчивости алгоритма обнаружения квазидетерминированного сигнала к неточности априорного задания его параметров. В качестве объекта исследования рассматривался алгоритм вычисления отношения правдоподобия для квазидетерминированного сигнала, которое было усреднено по неизвестной начальной фазе. В качестве критерия оценки помехоустойчивости использовалось отношение параметров распределения статистики решающего правила, связанной монотонной зависимостью с усредненным отношением правдоподобия (параметров обобщенного закона Релея). Получены соотношения между длительностью обрабатываемого блока отсчетов оцифрованной реализации сигнала и шагом дискретной сетки параметров настройки каналов квазиоптимального обнаружения, обеспечивающие максимальное отношение параметров релеевского распределения статстики обнаружения. Полученные результаты могут быть использованы для минимизации потерь помехоустойчивости при неточных априорных данных, а также при синтезе устройств многоканального обнаружения.
батываемой смеси сигнала и гауссова шума //(/.) на интер-Т 7' і
вале времени __</<_ (будем называть его интервалом
2 2
анализа): _у(/,) = Л сое УД/,) + «(/,) •
Здесь ЛсозЧ' (/, ) - обнаруживаемый сигнал.
Статистика /. распределена по обобщённому закону Релея с параметрами д аь-
2>(0/<ocos4/o('/)
Здесь ^совЧ'Д/,) и Л^іпЧ'Д/,) - опорные сигналы в каналах анализатора-обнаружителя; _>>(/.) - отсчеты обра-
'»-л-Ий‘й)
Согласно [3]:
а, = /и,
}«?{
S-v('.Ksin4'o(0
— — Zsin [ Vs (',) - V»(!,)} • ■■
Z-KO'4oc°s>M'/)
/-І .
2 „J.
T
2
«const- Jsin[^/X(/)-i//0(t)\dt
r
2
( * 1 ^ J \ "
"'і і X И'Мsin %> (',) j = —Zcos [ Vs (',) - n('/)] • ыa
T
2
~ const ■ f cos [ i//s (/,) -1//0 (/,)] dt
\
В результате подстановки полученных усреднённых сумм получаем:
1 ' Г 2 ’ Г '
а.-Ы 2Л'Ч Jcos(4'0(0-4'S(0)<* Г „ 2 . ► +• 2 }sin(yo(0-^,(/))^ Г . 2 ,
Параметр ег; определяется равенством [3]:
^2/. = ^ | £>(0 А Б'п У „(о| = ^ і +^
Д/ = —- интервал времени между соседними независимыми
N
отсчётами реализации у(г) ■
Исследуем свойства статистики Ь для простейшего случая обнаружения отрезка гармонического сигнала:
Ч»,(/() = 2яф, ; ¥„(/,) = 2*#, ;
В этом случае исследуемая статистика является модулем спектра обрабатываемой реализации с параметрами плотности вероятности:
м
а, =-
•sin(«V„r)
1 2 Д/лА/а
д/ = |у — ^ | - модуль разности частот обнаруживаемого
и опорного сигналов в канале спектроанализатора.
Рассмотрим отношение параметров обобщённого закона Релея, которое монотонно зависит от отношения сигнал/шум на выходе канала спектроанализатора-обнаружителя:
а, _________А______ 5т(лА/,7~) ________А______ 5т(лД/;,7’)
*** =Н?Н ^
Данное отношение имеет экстремумы по длительности интервала анализа Г, что иллюстрируется графиком на рис. 1.
В задаче оценки потерь помехоустойчивости за счёт расстройки по частоте актуальное значение имеет первый, наибольший максимум.
шипя
> V
\ j
\
\
\ /
I \ /
у
\ /
\ /
\ /
\ /
«ШЛ1 г
Рис. 1. График функции /(х) = бшх/\[х ■
Физически он объясняется взаимным влиянием двух противоречивых факторов. С одной стороны, параметр <7; уменьшается с увеличением времени интегрирования Г,
что повышает отношение сигнал/шум. С другой стороны, при частотной расстройке принимаемый и опорный сигнал с течением времени переходят в противофазное соотношение, и дальнейшая обработка приводит лишь к уменьшению отношения сигнал/шум на выходе канала обнаружения.
Найдём максимум этого отношения I по Т при заданО*
ном Д/^, приравняв его производную к нулю [4]:
d
с/Т
M/L cos (л&/аТ)^/т-----^=sin (®V»r)
_______________________2v7~
- = 0
Решение данного уравнения: лЛ/аТ = 1,1655 •
Таким образом, спектроанализатор-обнаружитель наилучшим образом обнаруживает гармонические сигналы строго определённой длительности. Критерий оптимума -максимальное отношение сигнал/шум для сигнала с частотой на границе полосы пропускания. Если для спектрального анализа используется алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) [2], расстояние между соседними спектральными составляющими равно: Af = ~ = 2Af- Тогда
лд^ т — HL — 1,5707 • Данный аргумент приходится на спад
кривой f(x) = sin х/ yfx (обнаруживаемый и опорный сигналы перешли в противофазное состояние), причём отношение сигнал/шум будет на 6% меньше максимума.
Чувствительность к неточности априорных данных, определяемая в данном случае как проигрыш в отношении сигнал/шум при частоте принимаемого сигнала на границе полосы канала обнаружения, для оптимизированного многоканального обнаружителя составляет 1 8%.
Рассмотренная задача обнаружения гармонического сигнала - простейший иллюстративный пример. Подобная задача решается и для случаев обнаружения сложных сигналов, в частности сигналов с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ). Такую модуляцию могут иметь сигналы, искаженные дисперсионной средой (ионосферные сигналы), радиолокационные сигналы с допплеровскими искажениями (например, отражения от линейно ускоряющегося объекта), ограниченные фрагменты узкополосных сигналов с плавным изменением частоты (отрезки сигналов излучения нестабильных генераторов).
Пусть частоты принимаемого и опорного сигналов в канале обнаружения изменяются по линейному закону:
™J&l = 2xfs(t) = 2x(fs+Vst). —j^- = 2nf0(t) = 2n(f0 + V0t)>
где: fs - значение частоты принимаемого сигнала в середине интервала анализа; f0 — значение частоты опорного сигнала в середине интервала анализа; Vs - скорость изменения частоты принимаемого сигнала на интервале анализа;
- скорость изменения частоты опорного сигнала на интервале анализа.
Интегрируя выражения для частот по t, получим фазовое рассогласование между этими сигналами в канале обработки:
Подставив это выражение для разности фаз опорного и принимаемого сигналов с ЛЧМ в канале обработки в формулу для параметра обобщённого закона Релея, получим:
AAJI
2 Т
■ і ' 2 г • ■
J Jcos[hc + ve3 + Jsin [we+we2]*/*
\ . 3 л
AA,,N
2Т
QU'.v)
и = 2лТ(/„-Л); у = лТ\Уч-У0)
Интегралы под корнем являются специальными функциями, определяемыми на основе интегралов Френеля [5]. Отношение параметров рассматриваемой статистики:
а,
Q(u,v)
const jT Q(u,v)
ТЕХНОЛОГИИ
Оптимальные соотношения для параметров обнаружения ЛЧМ при расстройке по частоте и скорости её изменения определяются из уравнения:
~[yfT-Q{0,v)] = 0
Решим данное уравнение в частном случае для оптимального v при « = 0. Численное решение уравнения vimm «6,6 • Заметим, что в другом частном случае v = 0 для расстройки только по частоте было получено решение и„„т ~ ■ А/], Т = 2,331 • Аналогичным образом можно чис-
ленно решить данное уравнение для других точек-экстремумов с координатами (j/,v). Получим геометрическое место точек оптимальных сочетаний параметров расстройки по частоте и скорости её изменения удовлетворяющих уравнению_^.|^^7'v)J = 0 (на Рис-2 - это жирная
кривая с надписью «Optimum», напоминающая эллипс). Полученная кривая оптимумов не совпадает с изолиниями v) = const ■ Параметр Т также для точек данной кривой не постоянен.
Для средней части полученного «эллипса» (при |v| < 5)
оптимальная длительность обработки реализации приблизительно постоянна (изменяется в пределах не более 10%). На верхнем и нижнем сегментах эллипса оптимальная длительность обработки существенно уменьшается по сравнению с её значением в средней части. Поскольку длительность обработки реализации для канала обнаружения является постоянной величиной, то достигнуть оптимума при |v| > 5 (то
есть для области больших значений расстройки принимаемого и опорного сигнала по скорости изменения частоты) не удастся. Поэтому на рис.2 верхняя и нижняя части «эллипса» заштрихованы как нереализуемые при Т = const. Средняя часть «эллипса» является геометрическим отображением оптимальной «полосы пропускания» канала обнаружения ЛЧМ сигнала по средней частоте и скорости её изменения (нормированные параметры и и v, соответственно). Отношение сигнал/шум на выходе канала, также как и вероятность обнаружения ЛЧМ- сигнала с расстройками в пределах этой полосы пропускания, будут не хуже соответствующих значений на границе полосы. А сами граничные значения сигнал/шум и вероятности обнаружения будут иметь экстремумы при выбранном оптимальном соотношении параметров максимальной расстройки в канале и длительности обработки реализации.
Параметры опорных ЛЧМ сигналов в каналах обнаружителя должны перекрывать область оприорной неопределён-ности обнаруживаемого сигнала. Геометрическая иллюстрация такого «перекрытия» состоит в размещении двумерных «областей пропускания» каналов на плоскости (u,v) согласно рис. 3.
Координаты центра каждого из «эллипсов» определяют параметры линейной частотной модуляции опорных сигналов, а именно: среднего значения частоты и скорости её изменения в соответствии с формулами, полученными ранее для нормированных значений: u — 1nTfa\ v = 7rT~V0-
Полученные оптимальные соотношения между длительностью обрабатываемой реализации и неточностью априорных данных о сигнале существуют не только для рассмотренных примеров, но и для других практических случаев. Они могут быть использованы для минимизации потерь помехоустойчивости при неточных априорных данных, а также при синтезе устройств многоканального обнаружения.
Рис. 2. Линия оптимума статистики обнаружения ЛЧМ-сигналов
V
неопределенности обнаруживаемого ЛЧМ-сигнала
Литература
1. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и ква-зикогерентный приём сигналов. — М.: Сов. радио, 1975. - 704 с.
2. Олпенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. Изд. 2-е, испр. — М.: Техносфера, 2007. — 856 с.
3. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. - М.: Сов. Радио, 1969. - 752 с.
4. Никольский С.М. Курс математического анализа. — М.: Физматлит, 2001. - 592 с.
5. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции, переводе немецкого, 2 изд. — М.: Наука, 1968. — 344 с.
Assessment of noise and loss minimization a multi-channeled inaccuracies in the detector setting a priori signals
Rusanov V.E.
The work is devoted to studying the stability of the detection algorithm of quasi deterministic signal to inaccuracies in a priori assignments of its parameters. Algorithm for computing the likelihood ratio for a signal quasi deterministic considered as an object of study, which was averaged over the unknown initial phase.
