Оценка функции автокорреляции в виде линейной комбинации экспонент Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.25 (550.831.05)

ОЦЕНКА ФУНКЦИИ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ В ВИДЕ ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИИ ЭКСПОНЕНТ

И.Г. Устинова, Е.Г. Пахомова

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Рассмотрена аппроксимация автокорреляционной функции в виде линейной комбинации экспонент. На примерах показательной и показательно-косинусоидальной автокорреляционных функций показана возможность такой аппроксимации.

Ключевые слова:

Автокорреляционная функция, сейсмические данные, обработка сейсмической информации.

Key words:

Autocorrelation function, seismic data, processing of seismic data.

Функция автокорреляции Я[т] стационарного случайного процесса является одной из его важнейших характеристик второго порядка [1], так как позволяет решать следующие практические задачи:

1) оценивать корреляционные свойства сигналов и помех;

2) производить расчеты весовых функций и частотных характеристик оптимальных фильтров, базирующихся на знании автокорреляционной функции (АКФ) сигналов и помех [2];

3) оценивать разрешающую способность сейсмической записи [3].

Часто для оценки функции автокорреляции приходится использовать короткие отрезки сейсмических записей, поэтому вопрос о точности оценивания автокорреляционной функции имеет большое практическое значение. В данной статье рассмотрена возможность представления любой автокорреляционной функции в виде линейной комбинации экспонент.

Постановка задачи

Рассмотрим некоторый случайный процесс с функцией автокорреляции Я[т]=М[х(^х^+т)], значения которой могут быть представлены в виде

RM -XetNt (т) + п(т)

где %(т) - некоторые известные функции аргумента т, причем интегралы

(rypj(r)dт, IЩ[т]щ (т)dr, i, j - l,

N

известных параметров вк, &=1Д будем исходить из условия минимума ошибки аппроксимации:

!

Щ[т] -Х0 кук (т)

dr ^ min. (3)

е t

Продифференцировав (3) по неизвестным параметрам вк, к=р,Ы, получим систему N уравнений с N неизвестными:

(1)

(2)

сходятся, вк, k=1,N- неизвестные параметры, а п(т) -случайные добавки, которые представляют собой независимые, одинаково распределенные случайные величины с М[п(т)]=0 и 5[п(т)]=а2. Задача состоит в построении оценки Я [т] функции Я[т].

Решение задачи

Будем искать оценку автокорреляционной функ-

Щ[т] -Хв t(Pt(т) t-1

N

r[t] -Хв (т)

. t-l .

N

r[t] -Хв tNt(т)

pl(j)dr - 0, q2(T)dT - 0,

(Pn(r)dr- 0,

из которой получаем систему в виде:

N

Хвt jvt(ФАт^т- JЩ[фi(t)dr,

k-l о 0

N

Xеt \nt(т)(р2(т)с1т- JЩ[ф2(т)dт,

X-

k-l 0

...,

N

X0 jNk WNn (т)(!т- J Щт^ (т)(!т. (4)

. t-l 0 0

Введем обозначения:

+» -+» +»

$ф1(т)р2(т)Л ... jvi(r)VN (т)<1т

0 0 0

j ^(тШт)^ \&(т¥т ■■■ In2(т )nNn(т )<1т

Y -

jNN (тШт)^ jNN (Ф2(т)^ ••• j^W*

0 0 0

в - 01 в2 ... Bn]t,

+» +» +»

j Щ[т]^(т ^т j Щ[т]N2(т)dт ... j R^Nj^ (т^т

N

ции в виде: Щ[т] - ХвtNt(т). Для нахождения не- тогда система (4) м°жет бытъ записана в виде

2

0

t-l

T

t-l

Хв = У,

(5)

откуда получаем вектор оценок неизвестных параметров

ё = х-1у. (6)

Частный случай

Рассмотрим семейство автокорреляционных функций Як[т]=9квкт, к=1,2,3,..., т. е. <рк(т)=в~кт.

Утверждение. Любую автокорреляционную функцию Я[т], стремящуюся к нулю при т-^да (что справедливо для физических приложений), можно аппроксимировать по методу наименьших квадратов линейной комбинацией экспонент [4]:

= Xвкв

(7)

Так же как и при нахождении неизвестных параметров формулы (1) для нахождения коэффициентов вк, к=ррразложения (7) будем исходить из условия минимума ошибки аппроксимации (3), которое приводит к системе

I

*м -£® ,е-

к= 1

N

Я[Т] -X®кЄ~

■ е 'йт = 0,

• е-2Ч т = 0,

■ е-т = 0,

Я[т] -X®ке

_ к=1

из которой получаем, вычислив несобственные ин-

+ю

тегралы вида |е-(к+')гйт, і = 1, N, систему

= [ Я[']е~N ч т, к к + N 1 [ ] ,

т. е.

N а +да

к

X ~т~~— = | *Ме- р"а т.

(8)

(9)

к=1 к + р 0

Правая часть (9) есть преобразование Лапласа функции Я[т], тогда, используя свойство линейно-

сти

Хв к

----- является

к=1 к + Р

X®®ке кт, что и доказывает утверждение.

Пример 1

Согласно [5] в приложениях при анализе временных последовательностей часто применяются стационарные случайные процессы с показательной функцией автокорреляции

Я[т] = е , -да<т<+да, а> 0.

Мы рассмотрим АКФ представленного вида только для случая, когда 0<т<+да, т. е. Я [т]=е“т, а>0. В этой ситуации система (8) примет вид:

УN

1

в1 в 2

-------\-------+ ... + ‘ — ,

2 3 N +1 а +1

У N

1

®1 ®2

------1---------+ . .. +--------------=--------------.

3 4 N + 2 а + 2'

71 в2 в N

- +---------------+ ... + -

1

IN +1 N + 2 Введем обозначения:

Г 1 1

2 3

1 1

3 4

X =

2N а + N

1 ') ' N +1 1

(10)

N + 2

1

1

У =

а +1 1

а + 2 1

^а + N у

тогда (10) может быть записана в виде (5), а ее решение в виде (6).

Нахождение матрицы X-1 приведено в приложении, а сами элементы обратной матрицы имеют вид

_-1 (N +1)! • (N + ])! (-1) +и

а х

5 (N - г)! • (N - ])! г + ]

1___________1

Х И^(1-Х)!. • ^•и-Г)'!.

В частности для диагональных элементов:

-1

а .. =

" (N + і)!" 2 1 " 1 "

_(N - і)!_ 2і _і! ■ (і-1)!_

Заметим, что N следует выбирать исходя из заданной точности приближения е, используя тот

факт, что Я[0]=1 и, следовательно,

1 -X

< Е.

Рассмотрим а=1/2, е=0,05. Заданная точность до-

к=1

0

N

0

0

к=1

к=1

стигается при N=10, что представлено на рис. 1, а; при а=1,1 заданная точность достигается уже при N=2. На рис. 1, б представлен этот случай, когда N=9. Ситуация, когда aeN тривиальная и возможность аппроксимации Д[т] выражением (7) очевидна. Из приведенных рисунков видно, что аппроксимация показательной АКФ в виде линейной комбинации экспонент возможна даже при небольшом числе слагаемых.

Пример 2

На практике для описания формы автокорреляционной функции сейсмических колебаний часто используется показательно-косинусная АКФ

Щ[т] - в~ат cos т0т, -ж <т <+ж, а> 0,

где ю0 - видимый период колебаний, а a - коэффициент затухания. Рассмотрим данную функцию только для случая 0<т<+ж, т. е. В[т]=ват еот0т, a>0. В этом случае система (8) примет вид

Ol Ol

— + — +... + l З

Ol Ol

— + — +... + З 4

a +1

N +1 (a +1) + mo

O n a +1

N +1 (a +1) +o)o

N +1 N +1

■ +... + -

a + N

1N (a + N у +O0

Введя обозначения примера 1, получим данную систему в матрично-векторной форме (5), в которой

a +1

(a +1) + o0 cc +1

1

0

Y - (a +1) + m

a + N

(а + N) + ®о

Решение системы (5) доставляется выражением (6).

Как и в примере 1 рассмотрим случай, в котором а=1/2, е=0,05 и, добавив условие ю=1, заметим, что заданная точность достигается при N=7, что представлено на рис. 2, а; при а=1,1 заданная точность достигается уже при N=5. В этом случае можно сделать вывод аналогичный выводу примера 1, а именно: аппроксимация показательно-косинусной АКФ в виде линейной комбинации экспонент возможна даже при небольшом числе слагаемых.

Приложение

Пусть А=(ау) - матрица порядка п, элементы 1

которой имеют вид а.. = —

4 г + ] обратную матрицу А-1=(ау).

—. Требуется найти ее

Воспользуемся формулой А 1 = |—г • 8Т, где 8 -

IА |

матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы А. Поскольку А симметрическая, то 8Т=8 и, следовательно,

а

б

Рис. 2. Графики показательно-косинусной автокорреляционной функции и ее оценки: а) R[т]=e 1т/2)^т; б) R[т]=e ',п^т

где М^ - дополнительный минор элемента а.

1) Найдем |А|. Введем следующее обозначение: |А|=А„,2 (п - порядок матрицы, 2 - знаменатель элемента ап).

Выполним следующую последовательность преобразований определителя Ап2:

а) вынесем из каждого столбца определителя Ап2 множитель, равный элементу первой строки этого столбца;

б) вычтем первую строку получившегося определителя из всех остальных строк:

Д.,2 =■

1 1 1 .. 1

1 1 1 1

3 4 5 " п + 2

1! 2 2 2 2

(п +1)! 4 5 6 " п + 3

1 - п 1 - п 1 - п 1 - п

п +1 п + 2 п + 3 2п

в) вынесем из каждой строки определителя множитель, равный элементу первого столбца этой строки;

г) вычтем первую строку получившегося определителя из всех остальных строк:

1! • 2!

___ • (-1)п-1 • (п -1)! Х

[(п +1)!]2 1

1

4

-1

5

1

2 5 _ 2 " 6

1

1 - п

п + 2 1 - п

0-

1

п + 3 1 - п

п + 2 п + 3 2п

д) вынесем общий множитель из каждой строки определителя и разложим определитель по элементам первого столбца:

1! • 2!

.!_2_• [(-1)п-1 • (п-1)!]2 Х

А ,2 =

[(п +1)!]2

1

5

1

6

1 5

1

1

п+2

1

п+3

1

п + 2 п + 3 п + 4

п+4

2п

Итак, выполнив действия а-д, получили:

А,? =

(п -1)! (п +1)!

1! • 2! • А,-1,4

Применим к определителю Ап-1,4 действия а-д и найдем:

(п -1)! ■ (п -2)!

1! ■ 2! ■ 3! ■ 4! ■ А

(п +1)! • (п + 2)!_

Продолжив этот процесс, получим формулу:

-|2

(п -1)! • (п - 2)! •...• (п- к)!

Аи,2 =

Тогда

Аи,2 =

(п +1)! ■ (п + 2)! ■...■ (п - к)!_ х1! ■ 2! ■...■ (2к)! ■ Аи-^+2.

(п -1)! ■ (п-2)! ■...■ (п-(п-2))! (п +1)! ■ (п + 2)! ■...■ (п + (п-2))! х1! ■ 2! ■ 3! ■...■ (2п-4)! ■ А22и-2,

(11)

где

А2,2

1

1

2п - 2 2п -1

1

2п

(2п -3)! ■ (2п -2)!

[(2п-1)!]2 ^ 2п.

2п -1 Таким образом,

2

(п-1)! ■ (п-2)! ■ ...■ (п-(п-1))!

А =

(п +1)! ■ (п + 2)! ■ ...■ (п + (п-1))!

х 1!■2! ■ 3!■

■ (2п-2)! ■^ = 2п

ПИп - к)!'

П =П( п + к)!_

2(и-1) і

■Пк! =

к=1 2п

(п - к)! ІІ (п + к)!

П

2) Найдем дополнительные миноры Му (где і<і). Имеем:

2 3 1 1 + І -1) 1 1+(І+1) 1 1 п +1 1

4 1 2 + І -1) 1 1 + (І +1) 1 п +1 1 п + 2 1

(і -1) +1 (і -1) + 2 1 і -1 + І -1 1 і -1 + І +1 1 (і -1) + (п - 1) 1 (і -1) + п 1

(і +1) +1 (і +1) + 2 1 і +1 + І -1 1 і +1 + І +1 1 (і + 1) + (п - 1) 1 (і +1) + п 1

п +1 1 (п -1) + (І -1) 1 (п -1) + (І -1) 1 2п - 2 1 2п -1 1

п +1 п + 2 п + (і - 1) п + (і +1) 2п -1 2п

Выполнив для определителя М^ действия а-д -1 раз, получим:

=

(п -1)! ■ (п - 2)! ■...■ (п - і +1)! (п +1)! ■ (п + 2)! ■...■ (п + і -1)! х1! ■ 2! ■... ■ (2і - 3) ■ (2 і - 2)! х

х (• +1) ■(• + 2) ■ — ■(І +і -1) х (І -1) ■(І - 2) ■ —■(І - і +1)

2

2

2

0

X

X

Х (г +1) • (г + 2)•...• (2г -1) • с =

(г -1) • (г - 2) • ... • 1

2

ттт(п - к)! \ =!( п + к)!

2(г-1)

П к! Х

к=1

Х (] + г -1)! • (] - г)! (2г -1)! с

(]-1)! • ]! (г -1)! • г! п-/,

где Сп-1 - определитель порядка п-1 следующего вида:

(г +1) + г (г +1) + (г +1)

(г +1) + (]-1) (г + 1) + (] + 1)

(г + 1) + (и-1) (г + 1) +

(г + 2) + г (г + 2) + (г +1)

(г + 2) + (] -1) (г + 2) + (] +1)

(г + 2) + (п -1) (г + 2) +

] + (г +1)

/ + (] - 1)

] + (/ +1)

] + (« -1)

(] + 1) + г (] + 1) + (г +1) (] +1)+ (]- 1) (]+1) + (] +1)

(п-1) + г (п-1) + (г +1) (п- 1)+ (]- 1) (п- 1) + (] + 1)

(] +1) + (п- 1) (] + 1) + п

1 1

2п-2 2п-1

1 1

2п-1 2п

п+г » + (г+1) »+ (]-1) » + (] +1)

Для определителя С— выполним действия а-д — раз и придем к результату:

с

(« - г)! • (« - ])!

(п - г -1)! • (п - г - 2)! • ...• (п - ] +1)!

(п + г)! • (п + ])! х(2/)! • (2г +1)! • .... (2]-2)! • (2]-1)!

(п + г +1)! • (п + г + 2)! • ...• (п + ]-1)!

(г +1 + }) • (г + 2 + ]) •... •2] _

(] - г')! '

1 1 1 1

(]+1)+(]+1) (] + 2) + 041) 0 + 1) + ( п-1) 04 Ц + п

1 1 1 1

(] + 2) + (] +1) 0 + 2) + 0 + 2) 0 + 2) + ( п -1) 04 2) + п

1 1 1 1

(п -1) + 0' +1) (п -1) + 0 + 2) 2п - 2 2п -1

1 1 1 1

п + 0' +1) п + 0' + 2) 2п -1 2п

или

С , =

(п - г)! • (п - ])! (п + г)! • (п + ])! ^ 1

П( п - к)! к П1( п + к)!

хПк! •

к=2г (]- 0! • (] + г)!

Следовательно,

п-],2]+2 •

М/] Ап-], 2]+2

тгт(п - к)! П(п - к)!

Ц(п + к)! 1к{п + к)!

х ^ к! П к! х

(п + г)! • (п + ])! * =1 *= 2г

.(] + г -1)! • (]-г)! (2г -1)!

1

(]-1)! • ]!

= А

п- ], 2]+2

(г -1)! • г! (] - г)! • (г + ])!

2

Х

гт(п - к)! П4(п - к)! ]=П(п + к)! !!(п + к)!

Х (п - г)! •(п - ])! Пк! Х

(п + г)! • (п + ])! к=1

1 1 1

(]-1)! • ]! (г -1)! • г! (г + ])

Согласно формуле (11)

А =

(п -1)! • (п - 2)! •_• (п- ])!

(п +1)! • (п + 2)! •...• (п + ])! х1! • 2! • _ • (2]-1)! • (2])!• Аи_]Л]+1.

Следовательно, при К] справедливы утверждения 1 (п + г)! (п + ])!

м1_

1А г + ] (п - г)! (п - ])! 1

Х---------------------,

(г -1)! • г! • (]-1)! ]!

(12)

М..

= (-!)г+^ГТГ=-

(-1)г+] (п + г)! (п + ])!

А г + ] (п - г)! (п - ])!

1

(г -1)! • г! • (]-1)!]!. (13)

3) И, наконец, рассмотрим дополнительные миноры М11. Выполнив для М11 действия а-д 1-1 раз, получим:

Мгг =

(п -1)! • (п- 2)! •...• (п- г +1)! (п +1)! • (п + 2)! •...• (п + г -1)!

х1! • 2! •... • (2г - 3) • (2г -2)! х

2

(г +1) • (г + 2) •...• (г + г -1)

(г -1) • (г - 2) •_• (г - г +1)

• А

^п-1,21 +2

Т^(п - к)! (п + к)!

Тогда

М± = 1

и I 2 г

2(г-1) •^ к!

к =1

(п + г)! _(п - г)!.

(2г -1)!

(г-1)! • г!

• А

1

[(г -1)! • г!]2

(14)

Но формула (14) получается из (12) при Ь=]. Следовательно, для любых элементов а матрицы А-1 справедливо равенство (13), т. е.

(-1)г+] (п + г)! (п + ])! у

а г; Х

г + ] (п - г)! (п - ])!

1

----, ^г,].

(г -1)! • г! • (]-1)! ]! У

Выводы

1. На основе метода наименьших квадратов получена оценка автокорреляционной функции в виде_линейной комбинации функций %(т), k=1,N, удовлетворяющих условиям (2).

2. Обоснована возможность аппроксимации АКФ линейной комбинацией экспонент.

3. На примерах продемонстрирована возможность представления автокорреляционной функции в виде (7) с заданной точностью.

2

С

Х

2

Х

2

2

2

2

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Идрисов Ф.Ф., Устинова И.Г. Оценка функции корреляции стационарного случайного процесса при случайном числе измерений // Экономика, технология, предпринимательство. -Томск: Изд-во ТГПУ, 2000. - Вып. 1. - С. 75-79.

2. Устинова В.Н., Устинова И.Г. Дискретные иерархические системы в геофизике // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 320. - № 1. - С. 91-97.

3. Никитин А.А. Теоретические основы обработки геофизической информации. - М.: Недра, 1986. - 342 с.

4. Бендат Дж. Основы теории случайных шумов и ее применения. - М.: Наука, 1965. - 463 с.

5. Пугачев В.С., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. - М.: Наука, 1990. -642 с.

Поступила10.06.2013 г.

УДК 517

ОБОБЩЁННЫЙ G-ОПЕРАТОР КОМПЛЕКСНЫХ ПОРЯДКОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

В.А. Чуриков

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Вводится локальный G-оператор дифференцирования и интегрирования вещественной переменной комплексных порядков, который является обобщением d-оператора вещественных порядков на случай бесконечного количества локальных операторов, для которых выполняется принцип соответствия. Рассмотрены некоторые его свойства и частные случаи.

Ключевые слова:

G-оператор комплексного порядка, пространство коэффициентов, полиномы интегрирования, полиномы дифференцирования. Key words:

G-operator of a complex order, space of factors, Integration polynomials, differentiation polynomials.

Введение

В работе [1] был введён обобщённый вещественный локальный оператор дробного интегро-дифференцирования, но без учёта полиномов дифференцирования, или б-оператор, который представляет бесконечное множество локальных операторов дробного интегродифференцирования вещественных порядков вещественной переменной.

Обобщим б-оператор на комплексные порядки интегродифференцирования, действующие на степенные функции с комплексными показателями, следуя в основном [1]. Кроме того, в новый б-опера-тор, по сравнению с оператором из [1], внесены изменения, связанные с логарифмическими случаями.

6-оператор комплексных порядков

Определение. Оператор б’х будем называть обобщённым локальным оператором дифференцирования и интегрирования дробных комплексных порядков э=х+1у, X, X, 7=СОП8^ X, 7^0, дей-

ствующим над множеством степенных функций хч вещественной переменной х с комплексными показателями q=л+iv, /л, veK•' /л, у=со^

О-5х : х9 = К(—5, д; х)х9-5 + С(х);

О0 х: х9 = К (0, д; х) х9+0 + С0( х) = х9;

0°х: х9 = К(5, д; х)х9+* + С1 (х); 5 ^ —д;

О*х: х— = К(5, — 5; х) 1п5(х) + Сх(х). (*)

Рассмотрим важные частные случаи порядков интегродифференцирования в.

Если порядок нулевой, в=х=у=0, то это соответствует единичному оператору, который переводит функции самих в себя, что можно записать О0х=1.

Если порядок интегродифференцирования вещественный, s=Re(s)=x>0, а в равенствах (*) перед показателем порядка оператора в, стоит знак минус, то это соответствует оператору дробного дифференцирования вещественного порядка х, а если перед показателем порядка оператора стоит знак плюс, тогда это будет соответствовать оператору дробного интегрирования вещественного порядка х.

Когда порядок мнимый, 8=іІт(в)=іу; у>0, а в равенствах (*) перед показателем порядка оператора в стоит знак минус, то это будет соответствовать О-оператору дробного дифференцирования мнимого порядка у, а если значение мнимого порядка оператора со знаком плюс, то это будет О-оператор дробного интегрирования мнимого порядка у.

Если порядок интегродифференцирования комплексный, в=х+іТу X, 7>0, и перед ним стоит знак минус, то это соответствует дробному дифференцированию комплексного порядка в, а если знак плюс - дробному интегрированию комплексного порядка в.

В случаях, когда знаки у вещественной и мнимой части порядка интегродифференцирования различаются, т. е. в=-х+іу или в=х-їу, то такие порядки будем называть смешанными комплекс-