Оценка экономической эффективности перехода к достижимому потенциалу Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

№3(15)2009

С. А. Айвазян, М. Ю. Афанасьев

Оценка экономической эффективности перехода к достижимому потенциалу1

В развитие концепции стохастической границы приводятся оценки ожидаемого увеличения объема производства при переходе к достижимому производственному потенциалу. Прогнозируется ожидаемый экономический эффект мероприятия по повышению эффективности производства. Приводится распределение экономического эффекта, позволяющее анализировать риски, связанные с реализацией мероприятия.

1. Граничный и достижимый производственные потенциалы

Для описания зависимости результатов производственного процесса от объемов основных факторов производства будем, как в [Айвазян, Афанасьев (2007)], [Афанасьев (2006)], использовать классическую производственную функцию Кобба—Дугласа вида:

Р, = ехр{3 оН? %3 2,

где Р, — объем производства /-го объекта, / =1, ..., N за фиксированный период времени (год, месяц);

I, — объем использованных при этом трудозатрат; К, — объем основных фондов на /-м объекте; 30, 31, 32 — параметры производственной функции.

Иногда в эту функцию включают и другие факторы, влияющие на объемы производства. Такой вид производственной функции характерен для детерминированного описания производственного процесса без учета воздействия неизбежно присутствующих случайных факторов.

Для того чтобы учесть результаты случайных воздействий на процесс производства, используют стохастическую производственную функцию

Р, = ехр{3 о Н31К,32ехр{е,}, (1)

где е, — случайная величина, характеризующая результат случайных воздействий на объем производства /-го объекта (так что здесь и далее Р/ — случайная величина).

Прологарифмировав выражение (1), получим линейную зависимость

1пР/ = 3 о + 3 М, +3 21пК/ +е;.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 07-07-00 219а).

i

IS §

о

га *

a га

8

&

с

3 §

0 X <8 3

1

«I

|е

«5

г о

№3(15)2009 ^

Обозначим lnp через y,, inL, — через x•1, inK, — через x•2), логарифмы значений остальных возможных факторов обозначим через xj3),...,x•p' (если же они не наблюдаются,

то полагают xj3= 0,..., xjp' = 0). Тогда наша модель примет вид:

p

yi = ß о + £ß ix (') + £,.

j=i

Концепция стохастической граничной производственной функции [Meeusen, van den Broeck (1977)], [Aigner, Lovell, Schmidt (1977)] основана на разделении всех случайных воздействий на «систематические», оказывающие сбалансированное («разнонаправленное») воздействие на результат производственного процесса сопутствующих факторов, и «несистематические», приводящие к снижению результатов и появлению неэффективности. Соответственно случайная составляющая производственной функции разделяется на две компоненты:

£, = V,-U,,

где V, — случайная величина, характеризующая влияние на 1-й объект множества факторов, вызывающих систематические воздействия, поэтому в рамках модельных допущений можно считать, что V, имеет нормальное распределение с нулевым средним значением

Г

з г X

«I

1

с

и постоянной дисперсией, т.е. V, еЛ/(0; ст.

и, — неотрицательная, независимая от V, случайная величина, характеризующая влияние факторов неэффективности на объем производства /-го объекта.

Модель

| Р, = ехр|(3 о + £ 3¡х('> + V, - и, | (2)

описывает случайную величину, характеризующую фактический объем производства /-го объекта. Если исключить из производственного процесса все факторы неэффективности, то в силу неотрицательности распределения и, данный объем производства повысится до уровня

РГ = ехр|( о + £( ¡хУ> + V, |. (3)

Описанную таким образом зависимость результата производственного процесса отзна-чений основных производственных факторов при исключенном воздействии факторов неэффективности принято называть граничным производственным потенциалом. '3 Техническую эффективность /-го объекта, характеризующую отличие фактического результата производства от потенциально возможного, определяют по формуле

г 3

I ТЕ, == ехр{-и,}.

§ ' рРОГ Г1- "

Заметим, что ТЕ, является случайной величиной, с вероятностью 1 принимающей значения из интервала (0;1] (т.е. плотность распределения ТЕ, имеет носитель (0;1]), так как 0 < Р, < Р,ор в силу и, > 0. Именно величины ТЕ, представляют ключевой экономический ин-

44

^-

- т3(15)2009

л/2кст »Ф

а*

2 ' 2 а а

где а2 = а2и + а^.

В качестве оценки величины ТЕ/ используют [ВаНеБе, СоеШ (1988)] ожидаемое (среднее) значение условного распределения экспоненты неэффективной составляющей

1-Ф 1

Е(ехр—и1 е/ ) =-т^^»-ехр]—~/ + - а2 [. (5)

фГ~/1 I 2 '

а»— / а*

$

8 <в '3

Ч V.;

терес на этапе получения результатов после практического применения модели. Однако $ при оценивании технической эффективности может возникнуть затруднение, обусловлен- § ное способом построения модели, в частности, связанное с тем, что случайные величины и/ ненаблюдаемы, а значит, получить их численные реализации на практике невозможно. Вы- д ходом из данного положения представляется правильный (в зависимости от конкретной § экономической ситуации) подбор характеристик распределения случайной величины и/ (например, матожидания, дисперсии, моды и т.д.), методы получения оценок которых на текущий момент известны. Введя в модель адекватную и удобную для оценок параметризацию распределения случайных величин и/, переходят к анализу характеристик случайной величины ТЕ/.

Введение в модель факторов неэффективности. В соответствии с [ВаНеБе, СоеШ (1988)] будем рассматривать и/ как независимую от V неотрицательную случайную величину, имеющую усеченное в нуле нормальное распределение (с математическим ожиданием бг/ и дисперсией а2и), характеризующую результаты воздействия на производственный процесс /-го объекта всей совокупности факторов, снижающих его эффективность, т.е.

и/ е N + (б7/, аI),

где бг/ — функция неэффективности или модель, характеризующая воздействие факторов неэффективности г-, = (1,г(1),г(2),...,г(т)) на объем производства /-го объекта; б = (б 0, б 1,..., б а,..., б т) — подлежащий статистическому оцениванию вектор коэффициентов функции неэффективности.

Функция плотности ((и/1е/) условного распределения случайной величины и/ (при условии, что остаток е принял значение, зафиксированное на уровне е/) есть [КитЬЬакаг, 1_оуе!1 (2004)]

^|е.) =-^ехЛ-^—(4)

где Ф(-) — функция стандартного нормального распределения, т. е. условное распределение случайной величины и/ (при условии е = е/) является усеченным в нуле

.,+ 2ч ~ бг/а2 — е / а2 а },а1 нормальным распределением N + (~/, а2) с параметрами ~/ =-2-, а2 = -

№3(15)2009 ^

Модель (3) граничного потенциала достаточно удобна для оценки эффективности производства. Однако она допускает усовершенствование, которое позволяет приблизиться к реальности при описании потенциального объема производства. Идея этого усовершенствования состоит в разделении факторов неэффективности на управляемые и неуправляемые и учете целенаправленного воздействия на управляемые факторы неэффективности [Афанасьев (2006)]. В качестве максимума производственных возможностей (т. е. таких, при которых неэффективность максимально устранена путем воздействий на управляемые факторы неэффективности) рассматривается случайная величина

РГ5 = ехр|(3о + £(¡х(]) + V, -5,(6)

Здесь случайная величина 5, >0 интерпретируется как «остаточная неэффективность», обусловленная воздействием на производственный процесс только неуправляемых факторов неэффективности.

Соответствующий модели (6) производственный потенциал, «освобожденный» от управляемой неэффективности, в работе [Айвазян, Афанасьев (2007)] получил название «достижимый производственный потенциал». Достижимый производственный потенциал по экономическому смыслу, вкладываемому в это понятие, занимает промежуточное положение между фактическим объемом производства (2) и граничным производственным потенциалом (3). Введение понятия «достижимый производственный потенциал» и построение соот-е^ ветствующей модели представляют интерес при прогнозировании результатов воздействия на факторы неэффективности. В качестве результата такого воздействия может рассматриваться прогнозируемый объем производства, который соответствует модели (6) достижимого потенциала, построенной по результатам фактических наблюдений за производствен-

0 з г х ш

1

с

§ ным процессом. Вообще говоря, этот прогнозируемый объем производства с некоторой ве-

I §

§

о

»о *

а

роятностью может быть ниже фактического объема производства, что не противоречит экономическому смыслу данного понятия, так как воздействие на факторы неэффективности с целью устранения их влияния на производственный процесс не обязательно приводит к позитивному результату. Переход от и, е N + (8г,,ст2и) к остаточной неэффективности § происходит в результате воздействия на факторы неэффективности (г(1),...,г(т)), определяющие значение функции 8г,, получившей название «функция неэффективности». Параметры 80,81,..., 8т этой функции оценивались в [Афанасьев (2006)] и ряде других работ. Случайная величина и,, характеризующая функцию неэффективности, имеет неотрицательное усеченное в нуле нормальное распределение

& с

3 §

0 X <8 3

1

«I

■е-■ея»

'3 §

3

г

0

1

£

г о

5, е N + (8г, -а,, ст2и),

где

тах

г! + Дг, е С/

тт

£ 8 * Дг (*): £ с,* ( г (*), Дг (* ))<С/[, (7)

к=1 к=1 }

где Дг, = (Дг(1),..., Дг(т)) — возможные изменения значений факторов неэффективности, характеризующих ,-й объект;

в, — некоторая т-мерная область, определяющая множество всех допустимых значений факторов неэффективности в рамках управляющих воздействий на функционирование ,-го объекта;

46

^-

- m3(15)2009

ск(7(к), Аг(к— функция, описывающая размер финансовых затрат, требуемых для из- $ менения значения к-го фактора неэффективности для /-го объекта на величину Аг(к); § СI — затраты на повышение эффективности производственного процесса /-го объекта.

Заметим, что если в результате решения задачи (7) получим о, = 0, то это означает отсутствие возможностей уменьшения неэффективности путем воздействий на управляемые факторы неэффективности. Как уже было сказано, Б, е N + (бг, —о,-, ст2и), так что

1 „..Л (Б —^ I)21

л/2кст иФ

где v i =6z/ - ai.

f(Si ) =-1—exPi -, 2

" I 2oU

V±

Ou

1-Ф

E (exp{-S/ }) =-

оU -Ц/

о U

Ф

V/

exp|-^/+ -2 о U[". (8)

47

S

s;

<s '3 4

Техническая эффективность достижимого потенциала относительно граничного оцени-

ppotS

вается величиной TES = 1 pot = exp{-S/}. Это — оцениваемая относительно граничного

потенциала (3) техническая эффективность объема производства, который прогнозируется в результате воздействия на факторы неэффективности. В качестве меры технической эффективности прогнозируемого объема производства можно использовать ожидаемое значение E(exp{-S/}) безусловного распределения случайной величины exp{-S/}. С учетом (4) и (5) имеем:

Ксти

2. Экономическая эффективность перехода к достижимому потенциалу

Значительный интерес представляет оценка экономической эффективности мероприятия, направленного на развитие производства. В качестве прогнозируемого результата такого мероприятия можно рассматривать объем производства, соответствующий достижимому потенциалу. Моделью мероприятия по управлению /-м объектом является М = {в,, С,}, где в, — множество допустимых значений факторов неэффективности в результате реализации мероприятия;С/ — затраты на реализацию мероприятия. Для оценки мероприятия будем использовать методику оценки эффективности инвестиционных проектов [Виленский, Лившиц, Смоляк (2008)]. Предположим, что мероприятие реализуется за один шаг. Рассмотрим два подхода к определению экономической эффективности.

Подход 1. Приращение объема производства в результате реализации мероприятия определяется как разность АР, = Р^ — Р,. Здесь объем производства Рро'Б, соответствующий достижимому потенциалу, определяется по формуле (6). Случайная величина Р, определяется формулой (2) и характеризует объем производства, прогнозируемый в случае, если мероприятие не проводится и управляющие воздействия на факторы неэффективности отсутствуют. Тогда

№3(15)2009 ^

ДР, = ехр^З0 + £ 3хС»|[ехр{ V, - 5,} -ехрМ -и,}].

Так как случайные величины V, и 5-, независимы, и случайная величина ехр{V,} имеет логарифмически нормальное распределение, ожидаемый рост объема производства определяется величиной

Е(ДР, ) = ехр|( 0 + ¿3 ¡х(1 ^(ехрМ - 5,})-Е(ехр{ V, - и,})] =

= ехр^р 0 + £ 3]Х(1 ) |[Е(ехр{V, })Е(ехр{-5,}) -E(exp{V}, )Е(ехр{-и,})] = = ехр|(0 + £ 3¡х(1 ) + 0,5ст2|[Е(ехр{-5,}) -Е(ехр{-и,})],

где Е(ехр{-5,}) определяется по формуле (8), а

Сст и - 8г,

1-Ф г

Е(ехр{-и,}) =-—^ехр{-8г, +1 ст2и к (9)

Ф

8г ,

ст и

2

I? Подход 2. Приращение объема производства определяется как разность Д~ = РР°а -

| где Р, — объем производства, прогнозируемый при ожидаемом (среднем) уровне эффектив-

| ности, соответствующем наблюдаемому объему производства, и случайном воздействии

= прочих сопутствующих факторов, т. е.

| ~ = ехр0 + ¿3] • х(1' ^-ехр{ V}, • Е(ехр{-и, }| Р,).

° Другими словами, математическое ожидание случайной величины ехр{ и,}, характери-

о зующей эффективность производства, вычисляется условно (при условии Р = Р,, или, что то же

= р =

самое с — с. гпе с. — 1п Р — 3 ~ — V*1 3 . • х(1))

& 1=1 С

3 £

| ва Р1, определяется по формуле (5) при с, =е,. Таким образом, ожидаемый рост объема

самое, с = с,, где с, = 1п Р -30 -£ 31 • х,(1)).

1=1

Условное среднее Е(ехр{-и,}|с,), соответствующее наблюдаемому объему производст-

производства определяется величиной

Е(Д~) = ехр {30 + £ 3ух(1) }[Е(ехр{ V,})Е(ехр{-5,}) -Е(ехр {V,})Е(ехр {-и,}| с,)] =

I

£ - ~ ( р ■е-

■ц 1 1=1

Л = ехр {3 0 + £31х(1) + 0,5 ст2 |[ Е (ехр{-5,})-Е(ехр {-и, }| ё,)].

О

ц

Экономическую эффективность мероприятия будем оценивать величиной дисконтиро-| ванного эффекта. Предполагается, что объемы основных производственных факторов не изо меняются. Затраты производятся в начале периода реализации мероприятия, т.е. С, = С0,. Тогда первому подходу соответствует денежный поток {ф0 = -С0,,ф 1 = с1ДР,}, второму

48

№3(15)2009

подходу — денежный потокф0 = —С0/, ф 1 = с1АР1, здесь С — цена продукта. Интегральный дисконтированный эффект от реализации мероприятия является величиной случайной

и определяется для первого подхода формулой 0/ =

ставка), а для второго подхода — формулой (р/ =

САР; 1 + а/

САР, 1 + а/

-С о/.

3 / =|а, + сти Ф"

г, Ф [8-7/ +Ф [—87/

, СТ и , СТ и

, / = 1,2,...,п;

б) сгенерированные наблюдения и 1, и 2,..., ип случайной величины и:

и/ =8-г/ + СТи -Ф

г! - Ф

8- 7/

СТ и

+Ф

-8- 7/

СТ и

, / = 1,2,..., п,

[0;1] наблюдения случайной величины = Еи(и);

I ■в-

— С0/ (где а1 — процентная д

Оценки математического ожидания интегрального дисконтированного эффекта задаются соответственно выражениями:

) СЕ (АР/) С и ) СЕ(Ар) С Е (0 / --С о/ и Е(0/ ) = —--С о/.

1 +а 1 +а

Зная распределения случайных величин Ар и Ар , можно построить распределения величин 0/ и 0/, что позволяет проводить анализ рисков, связанных с реализацией мероприятия.

Построим распределения случайных величин 0/ и 0/ методом имитации Монте-Карло. Для этого необходимо смоделировать методом Монте-Карло значения случайных величин Б,, и/, У и Wi. Генерирование выборочных значений х1, х2,...,хп случайной величины имеющей функцию распределения Е^(х), в каждом из четырех интересующих нас случаев производилось по следующей схеме.

Сначала генерируются независимые, равномерно распределенные на отрезке [0; 1] наблюдения г1,г2,...,гп случайной величины г| = Е^(£). Затем получаем сгенерированные независимые значения х1,х2,...,хп случайной величины £ по формуле

х , = Р(—1(г/), / = 1,2.....п,

где Е" (г) — функция, обратная к функции Е^(х) в точке Е^(х) = г.

Учитывая вид функций распределения ЕБ/ (3), ЕУ (у), Еи1 (и) и Ещ ^) (см. выше), получаем:

а) сгенерированные наблюдения з, в2,..., зп случайной величины Б:

8 <8 '3

V.;

где г/,г2,...,г! — сгенерированные независимые, равномерно распределенные на отрезке

в) сгенерированные наблюдения у 1, у 2,..., уп случайной величины У/:

у, = Сту-Ф"1 (-/'), / = 1,2,...,п,

где г/' г2", ..., г'п — сгенерированные независимые, равномерно распределенные на отрезке [0;1] наблюдения случайной величины г|" = Еу(у);

№3(15)2009 ^

г) сгенерированные наблюдения № 1 , № 2 ,... , № п случайной величины

№, = сту •Ф-1(г///), ,= 1,2,..., п,

где г'", г/' ..., гП' — сгенерированные независимые, равномерно распределенные на отрезке [0;1] наблюдения случайной величины г|'" = ^(№).

Тогда моделируемые значения р^ достижимого производственного потенциала Р?°а (1 = 1, 2,..., п) определятся формулой

р5 = ехр^3 0 + £3 Л1 |ехр{^ - 31}, 1 = 1,2,..., п,

моделируемые значения р^объема производства Р, — по формуле

р,1 = ехр-^30 + £¿3¡х\!)^|ехр{^1 -и1}, 1 = 1,2,..., п, а моделируемые значения р^ объема производства р — по формуле

p

р,1 = ехр{30 + £¿31х1' \ехр{№ 1 }Е(ехр{-и,}|р,), 1 = 1, 2,..., п.

Соответственно, моделируемые значения Др ^ приращения объема производства ДР/ е? определяются по формуле Др ^ = р5 -р,1, моделируемые значения Др приращения объема | производства Д/^ — по формуле Др, = р5 -р^. Наконец, моделируемые значения %

Л „ „ п , СДр,1

= случайной величины О, определяются по формуле % =--С0,, а моделируемые

1Г 1 + а1

§ ~ ~ , ~ СДр,

з значения % случайной величины О, — по формуле % =--С0,.

1 + а1

|

^ 3. Оценивание параметров и результаты компьютерного эксперимента

I П,,^,,,^ гл-^-,.,^т^г, 3. 3 3 К. К 8 ст2 ст2

й Оценка параметров ß0, ß 1,..., ßp, 8о, 81,..., 8m, сти, ст^ может быть получена методом максимального правдоподобия:

с

| (ß,8,СТ^,CTU) = arg mäix _ L(ß,8,ст^,ctU|y 1,..., yN,xb...,xN,Zi,Z2,...,zN),

2 ' ß, 8, ct2, ctU

X

Sä где L — функция правдоподобия;

| X,. = (1, x ,(1), x ,(2).....x ? >)T;

^ y, и z-, определены выше (, =1,..., N).

Оценка 0,определяется в результате решения задачи (7) при 8 = 8. | В примере, описанном в [Афанасьев (2006)], по N = 1093 наблюдениям за производствен-| ным объектом получены оценки 3, 8, ст2, ст и и проведен анализ мероприятия по управле-* нию факторами неэффективности. Учитывалось воздействие 15 факторов неэффективности, | из которых только 3 считались управляемыми. На рис. 1 ряд 1 (линия, огибающая снизу) со-о держит оценки эффективности Р(ехр{-и,}), полученные без учета управляющих воздействий на факторы неэффективности и упорядоченные по убыванию. Ряд 2 содержит оценки

50

№3(15)2009

эффективности £(ехр{—Б,}) для соответствующих наблюдений, полученные в результате построения модели достижимого потенциала с учетом управляющих воздействий на факторы неэффективности. Для тех наблюдений, для которых результаты решения задачи оптимального

(к)

управления (7) привели к изменению значений функции неэффективности ^8к7(

к=1

оценки возросли. Для тех наблюдений, для которых значение функции неэффективности не изменилось, оценки остались прежними.

Эффективность

Количество наблюдений Рис. 1. Оценки технической эффективности

Для одного из наблюдений, выбранного произвольно, при значениях параметров СТи = 0,79; СТУ = 0,4 и значении функции неэффективности 87/ = 1,175 методом Монте-Карло по п =3000 реализациям (см. выше) построено распределение случайной величины е/ = У — и/, где У/ еN(0;0,16), и/ еN + (1,175;0,624). На рис.2 приведена соответствующая гистограмма. Наличие неэффективности производства характеризуется асимметрией распределения и его смещением влево относительно моды.

Количество наблюдений

280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20

ч—гп

СЕ

-4,061222137 -3,063258798 -2,065295460 -1,067332121 -0,069368782 0,928594557

-3,562240468 -2,564277129 -1,566313790 -0,568350452 0,429612887

Распределение случайной величины

Рис. 2. Гистограмма распределения случайной величины е, = У, —У,

В результате решения задачи (7) построена модель достижимого потенциала и получена величина изменения значения функции неэффективности а/ = 0,69. При этом £ / = 1,175—0,69 = 0,485.

<8 '3

51

т

№3(15)2009

На рис.3 приведена гистограмма распределения случайной величины V, — Б,, где V, еN(0:0,16), Б, е N + (0,485:0,624).

Количество наблюдений

300

-3,662171311 -2,719292292 -1,776413273 -0,833534254 0,109344765 1,052223784

-3,190731802 -2,247852783 -1,304973764 -0,362094745 0,580784274

Распределение случайной величины

Рис. 3. Гистограмма распределения случайной величины е, = V —и,

Г

3

г X

«I

I

с

1Г

0

1

I §

о

»о *

а

»о

8 &

с

3 §

0 X <8 3

1

«I

■е-■ея»

'3 §

3

г

0

1 £

г о

При соответствующих данному наблюдению значениях ехр|(30 + ¡х,''| = 2420,40,

б = 1 (объем производства измерялся в стоимостном выражении), при значении процентной ставки а1 = 0,15 и затратах на реализацию мероприятия С, = 150, пользуясь первым подходом к определению экономической эффективности, получаем имитационную модель распределения случайной величины О,, приведенную на рис.4.

Количество наблюдений

-4162,9627845 -2067,3172609 28,3282628 2123,9737864 4219,6193101 6315,2648337

-3115,1400227 -1019,4944991 1076,1510246 3171,7965483 5267,4420719

Экономическая эффективность

Рис. 4. Гистограмма экономической эффективности (подход 1)

Оценка математического ожидания Е(О/) величины экономической эффективности мероприятия равна 194,540. Оценка стандартной ошибки: 971,732. Вероятность того, что случайная величина О, примет отрицательное значение, т. е. мероприятие не окупится, составляет 0,414.

р

№3(15)2009

При наблюдаемом объеме производства ~ = 518,88 и оценке ~; =—1,54 имеем Е(ехр{—и; }|~;) = 0,246. Пользуясь вторым подходом к определению экономической эффективности, получаем имитационную модель распределения случайной величины О;, приведенную на рис. 5.

Количество наблюдений

500 450 400 350 300 250 200 150 100 50

1

8 <8 '3

-1496,594441 -79,523494 1337,547452 2754,618399 4171,689345 5588,760292

-788,058967 629,011979 2046,082926 3463,153872 4880,224818

Экономическая эффективность

Рис. 5. Гистограмма экономической эффективности (подход 2)

Оценка математического ожидания £(О;) величины экономической эффективности мероприятия равна 551,12. Оценка стандартной ошибки: 740,96. Вероятность того, что случайная величина О; примет отрицательное значение, т. е. мероприятие не окупится, составляет 0,268.

Каждый подход к определению экономической эффективности основан на сравнении величин дохода, прогнозируемых в условиях, когда мероприятие не проводится и когда оно проводится. Если мероприятие проводится, то прогнозирование дохода осуществляется на основе модели достижимого производственного потенциала. Причем эта прогнозируемая величина дохода после проведения мероприятия совпадает для обоих подходов. Подходы отличаются тем, как прогнозируется величина дохода в условиях, когда мероприятие не проводится. Основным недостатком первого подхода является то, что он не учитывает наблюдаемый результат производственного процесса. Этот недостаток отсутствует у второго подхода, который учитывает как наблюдаемый результат производственного процесса, так и случайные воздействия сопутствующих производственных факторов. В то же время если отвлечься от содержательной интерпретации подходов к определению экономической эффективности, то представляется оправданным выбор как наименее рискованного того, который приводит к наименьшему значению оценки экономической эффективности мероприятия.

Построенные распределения случайных величин О; и О; можно использовать для оценки эффективности различных мероприятий на одном объекте. При сравнении эффективности мероприятий на разных объектах желательно учитывать эффект масштаба производства. Для этого величины О; и О; следует нормировать, разделив на объем производства соответствующего объекта. Причем в качестве объема производства удобно взять тот, который соответствует граничному потенциалу, так как он не зависит от воздействия факторов неэффективности.

53

№3(15)2009 ^

В результате получаем следующую оценку эффективности р в подходе 1 с учетом масштаба производства:

3

= О/ б(ехр{—5/}—ехр{—и}) С

' / —

рГ 1+01 Г, .А, (1)

ехр{( 0 + £(31Х (1) + V/

Г 1=1

= б(ТЕ5 -ТЕ/ ) — С0/ ехр{—V/}

1 + 01 ехр{(0 + £ 31Х(1)

Г 1=1

Ожидаемое значение эффективности равно:

б[Е (ехр{—5 /}) — Е (ехр{—и/})] С « Е (ехр{—V/})

Е (Р )/=■

1+ 01

р

ехр{ (0 +£( ¡х(1)

1=1

б[Е (ехр{—5/}) — Е (ехр{—и })] С «0,5^2

1 + 01 ехрЬ0 + £ р!Х<1)

г Г "

Величины Е(ехр{— 51}) и Е(ехр{—и/}) определяются по формулам (8) и (9) соответственно. | В подходе 2 получаем оценку

о с

1Г ~

| с = = б[ Е (ехр{—5/})—Е(ехр{—и }| е/)] С 0/0,5а2

Ц 1~/ = пР°( =

1 + 01 Г. р

| '' ехр{3 0 + £( ,Х(1)

Ожидаемое значение эффективности равно:

о I =

/О 11='

!с

0 »о

1

= Ыс )= б[Е(ехр{—5/})—Е(ехр{—и,}|е/)] Си0,5а^

£ Е(Р/ )= 1+0 Г р

1 1 + 01 ехр|( 0 + £ (1Х,(1)

3 Г 1=1

1

■е-■е-

Здесь величина Е(ехр{—и/}|е,) определяется по формуле (5). На рис. 6 и 7 приведены гистограммы случайных величин.

В заключение следует отметить, что для реализации мероприятия по управлению факторами неэффективности может потребоваться несколько шагов. Если все наблюдения проводят-

з

г

| ся в один момент времени, то остается предполагать, что прогнозируемое приращение про* изводства на каждом шаге реализации проекта такое же, как и на первом шаге. Если наблюде-| ния проводятся в различные моменты времени, то фактор времени может быть учтен о в производственной функции и при моделировании достижимого производственного потенциала.

m3(15)2009

Количество наблюдений

-2,451036128 -1,269259107 -0,087482086 1,094294935 2,276071956 3,457848977

-1,860147618 -0,678370597 0,503406424 1,685183445 2,866960466

Экономическая эффективность

Рис. 6. Гистограмма распределения экономической эффективности (подход 1) с учетом масштаба производства

Количество наблюдений

s

S3 <8 '3

-0,6677971530 0,0621512045 0,7920995620 1,5220479195 2,2519962770 2,9819446345

-0,3028229743 0,4271253832 1,1570737407 1,8870220982 2,6169704557

Экономическая эффективность

Рис. 7. Гистограмма распределения экономической эффективности (подход 2) с учетом масштаба производства

Список литературы

Айвазян С. А., Афанасьев М. Ю. Оценка мероприятий, направленных на управление факторами неэффективности производства II Прикладная эконометрика. 2007. №4(8). C. 27-41.

Афанасьев М. Ю. Модель производственного потенциала с управляемыми факторами неэффективности II Прикладная эконометрика. 2006. №4. С. 74-89.

Виленский П.Л., Лившиц В. Н, СмолякС.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов. Теория и практика. М.: Дело, 2008.

AignerD.J, Lovell C.A.K. and Schmidt P. Formulation and Estimation of Stochastic Frontier Production Function Models II Journal of Econometrics. 1977. №6. P. 21-37.

Baccouche R. Stochastic production frontier and technical inefficiency: A sensitivity analysis [Text] I Rafik Baccouche, Mokhtar Kouki II Econometric Reviews. Taylor and Francis Journals. 2003. Vol. 22. № 1. P. 79-91.

Battese G. E., CoelliT.J. Prediction of Firm-level Technical Efficiencies with a Generalized Frontier Production Function and Panel Data II Journal of Econometrics. 1988. Vol. 38. P. 387-399.

KumbhakarS., Lovell K. Stochastic Frontier Analysis. Cambridge U. P., 2004. P. 86.

Meeusen W. and van den Broeck, J. Efficiency Estimation from Cobb-Douglas Production Functions With Composed Error II International Economic Review. 1977. № 18. P. 435-444.

55