CC BY
38
УДК 519.21:502.3
ОЦЕНКА ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ БЕЗОПАСНОСТИ АТМОСФЕРНОГО ВОЗДУХА НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА
Т. В. Гавриленко, О. В. Адмаев
ESTIMATION OF ATMOSPHERIC AIR ECOLOGICAL SAFETY ON THE BASIS OF KOLMOGOROV EQUATIONS SOLUTION
T. V. Gavrilenko, O. V. Admaev
Рассматривается математическая модель прогноза состояний атмосферного воздуха. Система разбивается на пять дискретных состояний, характеризующихся интегральным показателем загрязнения. Система моделируется ориентированным графом, вершины которого соответствуют состояниям воздушной среды, а стрелки - возможностям перехода из одного состояния в другое. Граф описывается системой из пяти обыкновенных дифференциальных уравнений Колмогорова, решение которой находится численно методом Рунге-Кутта четвертого порядка при заданных начальных условиях. Расчеты показали, что система достаточно быстро выходит на стационарный режим независимо от вида начальных условий для вероятностей состояний воздушной среды.
The mathematical model of atmospheric air states prognosis is examined. The system is broken up into five discrete states, characterized by the integral index of contamination. The system is designed by the oriented graph, whose tops correspond to the states of air environment, and the pointers - to the possibilities of transition from one state into other. A count is described by the system of five common Kolmogorov differential equations that can be solved numerally with Runge-Kutt method of fourth order at the set initial conditions. Calculations showed that the system passed to the stationary mode rather quickly, regardless of the type of initial conditions for the air environment states probabilities.
Ключевые слова: Марковский процесс, уравнения Колмогорова, состояние атмосферного воздуха.
Keywords: Markov process, Kolmogorov equations, state of atmospheric air.
Оценка состояния воздушной среды больших городов представляет собой актуальную задачу. Методики прогноза базируются на различных математических моделях, использующих как аппарат дифференциальных уравнений, так и вероятностно-статистические методы. В данной работе для прогноза состояний воздушной среды города рассматривается математическая модель, основанная на однородных марковских случайных процессах.
Пусть атмосферный воздух в исследуемом районе города представляет собой систему Б^), принимающую в момент времени t какое-либо из П возможных состояний Sl, 82, ..., sn. Случайный процесс, протекающий в системе с дискретными состояниями 8], 82,..., 8П, будем считать Марковским. Это означает, что для любого момента времени to вероятность каждого из состояний системы в будущем (при t > О зависит только от её состояния в настоящем ^^0) и не зависит от её поведения в прошлом
0 < О [1].
В настоящее время для оценки загрязнения атмосферного воздуха используется интегральный показатель - индекс загрязнения атмосферы, рассчитываемый по пяти наиболее значимым ингредиентам:
ИЗА5 = £ д',
и
где
2
д. = ' ,
2
ІІПДК.І
2' - концентрация '-го вещества в конкретный срок наблюдений, 2щк,' - его предельно допустимая концентрация. Например, для г. Красноярска наиболее значимыми ингредиентами считаются: бенз/а/пирен, взвешенные вещества, формальдегид, диоксид азота и оксид азота. Их предельно допустимые концентрации и класс опасности приведены в табл. 1 [2, 3].
Таблица 1
Характеристики веществ, учитываемых в индексе загрязнения атмосферы
Вещество ПДК максимально разовая, мг/м3 ПДК среднесуточная, мг/м3 Класс опасности
Бенз/а/пирен - 0,1-10-5 1
Формальдегид 0,035 0,003 2
Взвешенные вещества 0,5 0,15 3
Диоксид азота 0,2 0,04 2
Оксид азота 0,4 0,06 3
Кроме показателя ИЗА5 загрязнение атмосферного воздуха можно оценивать по зависимости
С = 5 X Чг . (1)
5 г=1
Показатель (1) является более удобным, т. к. он представляет не сумму средних значений концентраций веществ, как ИЗА5, а среднюю концентрацию всех наиболее значимых веществ. Это позволяет оценить во сколько раз среднее значение этих веществ превышает их ПДК [4].
В зависимости от значения показателя ИЗА5 (или С) выделяют пять состояний атмосферного воздуха, соответствующих различным степеням его загрязнения [4]. Характеристики состояний приведены в таблице 2.
Таблица 2
Классификация состояний воздушной среды
Состояние Обозначение Загрязнение воздушной среды Показатель ИЗА5 Показатель С
1 Малое Менее 5,0 Менее 1,0
2 §2 Умеренное От 5,0 до 7,0 От 1,0 до 1,4
3 Єв Высокое От 7,0 до 14,0 От 1,4 до 2,8
4 Є4 Очень высокое От 14,0 до 21,0 От 2,8 до 4,2
5 Є5 Экстремально высокое Более 21,0 Более 4,2
Таким образом, систему Б(ґ) можно представить в виде ориентированного графа, вершины которого соответствуют состояниям воздушной среды (п = 5), а стрелки - возможностям перехода из одного состояния в другое (рис. 1).
Рис. 1. Граф, описывающий состояние атмосферного воздуха
Обозначим вероятность г-го состояния в момент t (вероятность события, состоящего в том, что в момент 1 система будет находиться в состоянии 81) как (£) = Р^(^) = si} . Очевидно, что для системы с дискретными состояниями в любой момент времени 1 сумма вероятностей состояний равна единице:
5
^ Pi () = 1,
так как в любой момент времени t события {5(0 = ^1}, {5(0 = $2}, ... , {5X0 = ^5} образуют полную группу несовместных событий.
Предполагаем, что переходы из состояния в состояние происходят под воздействием стационарных пу-ассоновских потоков событий. Вероятность перехода системы Б(ґ) из состояния si=S(t), в состояние Sj=S(t+At) за элементарный промежуток времени Аґ,
Рц(і) » Ху Аі,
где Х. - интенсивность пуассоновского потока событий, переводящего систему из в Тогда граф описывается системой из пяти обыкновенных дифференциальных уравнений Колмогорова [1]:
Ш = £ Р,т,-р.ііїЬі, , і-і,^5. (2)
аі у=1 у=1
Первая сумма в правой части уравнений системы (2) распространяется на значения ц, для которых возможен непосредственный переход из состояния в ^ (т. е. Лі ^ 0), а вторая - на значенияц, для которых
возможен непосредственный переход из si в Sj (т. е. Лі ^ 0).
Система (2) решается при начальных условиях:
Рі(°) = Р10; Р2(0) = р°; Рз(0) = (3)
= р°; Р4(0) = р°; Рб(0) = р°-
Оценка интенсивностей Хц производится по агрегированной информации в виде относительных частот состояний системы S(t) в каждый из моментов времени ґ. В этом случае выборочные наблюдения за состоянием атмосферы удовлетворяют стохастическому уравнению
5
у] (і + Аі) = ^ у. (іЛ + (і + А1), (4)
і=і
где Уі(ґ) - вектор наблюдавшихся частот появления состояния si (в момент времени ґ); у/ґ+Аґ) - вектор наблюдавшихся частот появления состояния Sj (в момент времени ґ+Аґ); и.(ґ+Аґ) - вектор случайных ошибок
[5].
При Аґ = 1 уравнение (4) перепишется в виде:
5
у.](1 + 1) = ^ у. (1Л + ] +1)- (5)
і=1
Интенсивности Хц определяются методом наименьших квадратов с ограничениями, так как обычные оценки по методу наименьших квадратов могут не удовлетворять условиям 0 < Л3- < 1, і,3 = 1,5 .
В данном методе требуется найти минимум квадратичной формы:
5
Е = V и и . =
1-і ] ]
5 ^ (6)
=Е (у. - ХЛ)'- (у. - ХЛ
ц=1
где
уі = У(1), Уз(2), ■■■,уз(Т)}
и = {из(1) из(2), ■■■, из
Л 3 = { Л 1 3 ю Л •о-» Л з Ь
У1(°) У 2 (0) ■■■ Уб(°)
Хз = У1(1) У2(1) ■■■ Уб(1)
У1(Т - 1) У2(Т - 1) ■■■ Уб(Т - 1)
Т - длина выборки.
| МАТЕМАТИКА
Среднеквадратическая ошибка аппроксимации интенсивностей Ау определяется по формуле:
Е и2 (*)/т
і=1
где и'() - компоненты вектора случайных ошибок, определяемые из уравнения (5),]'=1, В более под-
робном виде алгоритм нахождения минимума формы (6) изложен в [6, с. 1087 - 1090].
Применение изложенной методики проиллюстрируем на примере, в котором моделирование случайного процесса проводится с помощью пары независимых стандартных нормальных (т. е. гауссовских с нулевым средним и единичной дисперсией) случайных величин х1 и Х2, определяемых по формулам:
х1 = (— Ьпа1) со&(2ра2),
х2 = (—Ьп а
)/2
віп(2ра2),
где а1 и а2 - случайные равномерно распределенные величины из интервала от 0 до 1, генерируемые датчиком псевдослучайных чисел [7].
Каждая выборка представляет собой модель изменения средненедельного показателя С, в течение календарного года. Средние значения примем по среднегодовым показателям ИЗА5, пересчитанным по формуле (1). Среднегодовые значения ИЗА5, в г. Красноярске, наблюдавшиеся в период с 1997 г. по 2010 г., приведены на рис. 2 [2]. Коэффициент вариации принимается равным 0,32.
Рис. 2. Изменение индекса загрязнения атмосферного воздуха (ИЗА5) в г. Красноярске
В итоге было построено 14 реализаций случайного процесса изменений показателя С, один из которых (для данных 2010 года) приведен на рис. 3.
Рис. 3. Модель реализации случайного процесса изменения показателя С В результате расчетов была получена матрица интенсивностей вероятностей перехода
т
0,487 0,169 0,344 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0 0,0
0,0 0,0 0,394 0,425 0,181
0,023 0,043 0,361 0,429 0,144
0,0 0,0 0,723 0,277 0
Подставляя значения элементов матрицы (7) в уравнение (2), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
= 0,023р4 - д (0,169 + 0,344),
ск
—р2 = 0,169р1 + 0,043р4 -р2,
Л
■ ^ = 0,344р1 + 0,361р4 + 0,723р5 -р3(0,425 + 0,181),
^ = р2 + 0,425р3 + 0,277р5 - р4 (0,023+0,043 + 0,361 + 0,144),
&
^ = 0,181 р3 + 0,144 р4 - р5(0,723+0,277). , Л
После преобразований данная система примет вид:
= -0,513 р1 + 0,023 р4,
2 = 0,169 р1 - р2 + 0,043 р4, йї
■ = 0,344 р1 - 0,606р3 + 0,361 р4 + 0,723 р5 йї
йр4- = р2 + 0,425р3 -0,571р4 + 0,277р5, йї
= 0,181 ръ + 0,144рА - р5.
Её решение находится численно методом Рунге-Кутта четвертого порядка при начальных условиях (3). Расчеты показали, что система выходит на стационарный режим. При этом время его достижения сильно зависит от выбора начальных условий. На рис. 4 приведены решения при различных начальных условиях: слева - прир(0)=0,2; 1=1, справа - прир;(0)=1;рг(0)=0; /=2,...,5. Вероятности наступления состояний загрязнения воздушной среды достигают значений р;=0,027; р2=0,031; р3=0,202; р4=0,615; р5=0,125 соответственно для малого, умеренного, высокого, очень высокого и экстремально высокого уровней загрязнения.
Среднеквадратическая ошибка аппроксимации интенсивностей Хц составила Є;=0,01; е2=0,03; е3=0,1; е4=0,24; е5=0,12.
Выводы
1. Наиболее вероятным состоянием системы является уровень очень высокого загрязнения атмосферного воздуха. Его вероятность составляет 0,615.
2. Вероятность состояний, характеризующихся малым и умеренным уровнем загрязнения, в рассмотренном примере пренебрежимо малы: р;=0,027 и р2=0,031.
3. Время выхода системы на стационарный режим существенно зависит от вида начальных условий.
4. Среднеквадратическая ошибка характеризуется большим разбросом значений от 0,1 до 0,25 и является максимальной для наиболее вероятного состояния.
| МАТЕМАТИКА Вероятность
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 0 0 1,и 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
Время Время
Рис. 4. Вероятности наступления состояний воздушной среды при различных начальных условиях Литература
1. Ветцель, Е. С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения [Текст] / Е. С. Вентцель,
Л. А. Овчаров. - М.: Наука, 1991. - 384 с.
2. Государственный доклад «О состоянии и охране окружающей среды в Красноярском крае за 2009 год»:
ежегодный отчет / М-во природ. ресурсов и лесн. комплекса адм. Красноярского края, Енисейс. упр. Федерал. службы по экол., технол. и атом. надзору, Упр. Федерал. службы по надзору в сфере природопользования по Красноярскому краю. - Красноярск, 2010. - 237 с.
3. Состояние загрязнения атмосферного воздуха города Красноярска [Электронный ресурс]. - Режим доступа: Ьйр://те1ео.кга8поуагек.ш/МониторинЮСАаЫ^227/РеГаи11.а8Рх.
4. Сверлова, Л. И. Научные основы современного подхода к оценке уровня загрязнения атмосферного воз-
духа городов [Текст] / Л. И. Сверлова // Успехи современного естествознания. - 2009. - № 7.
5. Ли, Ц. Оценивание параметров марковских моделей по агрегированным временным рядам [Текст] / Цунг-Чао Ли, Джордж Г. Джардж, Арнольд Зельнер; пер. с англ. под ред. Н. С. Райбмана. - М.: Статистика, 1977. - 221 с.
6. Адмаев, О. В. Использование марковских процессов для оценки экологической безопасности воздушно-
го пространства города [Текст] / О. В. Адмаев, Т. В. Гавриленко // Оптика атмосферы и океана. - 2010. - Т. 23. - № 12.
7. Пригарин, С. М. Методы численного моделирования случайных процессов и полей [Текст] / С. М. Пригарин. - Новосибирск: ИВМ и МГ СО РАН, 2005. - 259 с.
Информация об авторах:
Гавриленко Татьяна Валентиновна - кандидат технических наук, доцент кафедры «Автомобильные дороги и городские сооружения» Сибирского федерального университета, т. 8(391)247-72-52.
Gavrilenko Tatiana Valentinovna - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor а! the Department of Automobile Roads and City Constructions of Siberian Federal University.
Адмаев Олег Васильевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры эксплуатации железных дорог Красноярского института железнодорожного транспорта - филиала Иркутский государственный университет путей сообщения, т. 8(391)247-72-52, oadmaev@mail.ru.
Admaev Oleg Vasiljevich - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor at the department of Exploitation of Railways of Krasnoyarsk Institute of Railway Transport - Branch of Irkutsk State Transport University.
