CC BY
2
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2024 Управление, вычислительная техника и информатика № 66
Tomsk State University Journal of Control and Computer Science
Научная статья УДК 519.2
doi: 10.17223/19988605/66/6
Оценка длительности мертвого времени в рекуррентном обобщенном полусинхронном потоке событий с продлевающимся мертвым временем
в особом случае
Людмила Алексеевна Нежельская1, Илья Денисович Степаненко2
12 Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск, Россия
1 ludne@mail.ru
2 97step@mail.ru
Аннотация. Исследуется дважды стохастический обобщенный полусинхронный поток событий с двумя состояниями, функционирующий в условиях продлевающегося мертвого времени фиксированной длительности. Рассматривается особый случай задания параметров потока. Разработан алгоритм оценивания длительности мертвого времени, основанный на методе моментов. Приводятся результаты статистических экспериментов, поставленных на имитационной модели потока, и анализ полученных значений оценок.
Ключевые слова: обобщенный полусинхронный поток событий; продлевающееся мертвое время; плотность вероятности; особый случай здания параметров потока; совместная плотность вероятности; условия рекуррентности; преобразование Лапласа; метод моментов; оценка длительности мертвого времени.
Для цитирования: Нежельская Л.А., Степаненко И.Д. Оценка длительности мертвого времени в рекуррентном обобщенном полусинхронном потоке событий с продлевающимся мертвым временем в особом случае // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 66. С. 55-68. doi: 10.17223/19988605/66/6
Original article
doi: 10.17223/19988605/66/6
Estimation of dead time duration in recurrent generalized semi-synchronous flow of events with prolonged dead time in a singular case
Lyudmila A. Nezhel'skaya1, Ilya D. Stepanenko2
12 National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation
1 ludne@mail.ru
2 97step@mail.ru
Abstract. In this paper we investigate a generalized semi-synchronous flow of events with two states and which is related to the class of double stochastic flows. Its functioning takes place in conditions of prolonged dead time of fixed duration. We consider a special case of flow parameters. An algorithm for estimating dead time of fixed duration based on the method of moments is being developed. The results of statistical experiments set up on the flow simulation model and the analysis of the obtained estimation values are presented.
Keywords: generalized semi-synchronous flow of event; prolonged dead time of fixed duration; probability density; special case of building flow parameters; joint probability density; flow recurrence conditions; Laplace transform, method of moments; estimation of the dead time duration.
For citation: Nezhel'skaya, L.A., Stepanenko, I.D. (2024) Estimation of dead time duration in recurrent generalized semi-synchronous flow of events with prolonged dead time in a singular case. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 66. pp. 55-68. doi: 10.17223/19988605/66/6
© Л.А. Нежельская, И.Д. Степаненко, 2024
Введение
Математические модели сетей и систем массового обслуживания (СеМО, СМО) широко применяются для исследования и описания поведения различных физических, экономических, технических и других объектов и систем. Случайные входящие потоки запросов (событий, заявок) являются одним из основных элементов исследуемых СеМО и СМО [1].
На протяжении последнего столетия в качестве основной модели входящего потока рассматривался простейший (стационарный пуассоновский) поток запросов. Однако начиная с конца XX в. в силу интенсивного развития телекоммуникационных систем и сетей, разнородности передаваемых данных и их взаимной корреляции модель стационарного пуассоновского потока запросов перестала адекватно описывать реальные потоки запросов в таких системах и сетях. Таким образом, требования практики послужили стимулом к возникновению дважды стохастических потоков событий (коррелированных потоков), представляющих собой новую математическую модель реальных информационных потоков, наиболее адекватно учитывающую их коррелированный характер [2-4].
Дважды стохастические потоки делятся на два класса: к первому классу относятся потоки, сопровождающий процесс которых есть непрерывный случайный процесс [5, 6]; ко второму - потоки, сопровождающий процесс которых есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным (произвольным) числом состояний [7-10].
Большинством авторов работ по теории массового обслуживания (ТМО) исследуются математические модели потоков событий, когда все события потока доступны наблюдению. В реальности же зарегистрированное событие может создать период мертвого времени для регистрирующего прибора (период ненаблюдаемости) [11], в течение которого другие события потока становятся недоступными для регистрирующего прибора (теряются).
При этом регистрирующие приборы могут быть как с непродлевающимся, так и с продлевающимся мертвым временем. Мертвое время можно рассматривать как искажающий фактор при решении задач оценивания состояний [12] и параметров [13-16] дважды стохастических потоков событий. Для установления средних потерь событий, возникающих из-за наличия мертвого времени, требуется оценить его длительность.
В работе [14] получены явные виды плотности вероятности длительности интервалов между событиями в обобщенном полусинхронном потоке, функционирующем в условиях непродлевающе-гося мертвого времени фиксированной длительности, в общем и в особом случаях соотношения параметров. Приведенные теоретические результаты позволили решить задачу оценивания длительности мертвого времени в обобщенном полусинхронном потоке с непродлевающимся мертвым временем методом моментов и методом максимального правдоподобия [15].
Настоящая статья является непосредственным продолжением исследований обобщенного полусинхронного потока, функционирующего в условиях продлевающегося мертвого времени фиксированной длительности (далее — поток), начатых в статьях [17, 18]. Методом моментов решается задача оценивания длительности мертвого времени в рекуррентном потоке для особого случая соотношения параметров потока.
1. Математическая модель потока. Постановка задачи
Изучается дважды стохастический обобщенный полусинхронный поток событий, сопровождающий процесс которого является кусочно-постоянным принципиально ненаблюдаемым случайным процессом Х(г) с двумя состояниями [12]: если Х(г) = , то имеет место первое состояние (^) процесса Х(г) (потока), если Х(г) = А2,то второе состояние (Б2) процесса Х(г) (потока), где А1 >Х2 > 0. В течение временного интервала, когда Х(г) = Аг-, имеет место пуассоновский поток событий с параметром А, г = 1,2. Переход из первого состояния процесса Х(г) во второе (^ ^ £2) возможен только в момент наступления события, при этом переход осуществляется с вероятностью р (0 < р < 1);
с вероятностью 1 — р процесс ) остается в первом состоянии. Длительность временного интервала, на котором значение процесса Х(() = - участка стационарности процесса ) в первом состоянии — случайная величина с экспоненциальной функцией распределения /<1(г) = 1 — е~, £ > 0 [19]. Длительность пребывания процесса ) во втором состоянии распределена по экспоненциальному закону ¥г(г) = 1 — е-"2', £>0. Переход из второго состояния процесса Х(() в первое состояние (^ ) может осуществляться в произвольный момент времени, не связанный с моментом наступления события потока. При переходе процесса £) из второго состояния в первое инициируется
с вероятностью 5 (0 < 5 < 1) дополнительное событие в первом состоянии (т.е. сначала осуществляется переход, а затем инициируется дополнительное событие). При этом блочная матрица инфинитези-мальных характеристик процесса ) принимает вид [19]:
D
-А,
0
(1 -§)а,2 -(А 2 +«2)
(1- р)\ РА1
Sa7
Do D1
Элементами матрицы ^ являются интенсивности переходов процесса £) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы Б0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления событий. Диагональные элементы матрицы Б0 — интенсивности выхода процесса £) из своих состояний, взятые с противоположным знаком.
Обобщенный полусинхронный поток событий рассматривается при его неполной наблюдаемости, т.е. когда не все события потока доступны наблюдению. Каждое зарегистрированное в потоке событие порождает период ненаблюдаемости фиксированной длительности Т (мертвое время), другие события, произошедшие в этот период, недоступны наблюдению (теряются). Хотя события и не наблюдаются в течение периода мертвого времени, каждое из них вызывает продление периода ненаблюдаемости на ту же величину Т. Следующее наблюдаемое событие регистрируется после окончания последнего периода ненаблюдаемости и снова порождает период мертвого времени длительности Т. Таким образом, общий период ненаблюдаемости является случайной величиной.
Рис. 1. Реализация обобщенного полусинхронного потока с продлевающимся мертвым временем
фиксированной длительности T Fig. 1. Realization of Generalized semi-synchronous flow with an extended dead time of fixed duration T
На рис. 1 показан пример одной из возможных реализаций процесса t) и наблюдаемого потока, где 1, 2 - состояния случайного процесса А(t) = А, i = 1,2; черные точки - ненаблюдаемые
события; ^ - значения периодов ненаблюдаемости потока; Ц, /2 ,••• - моменты наступления событий в наблюдаемом потоке.
Утверждение 1.1. Для обобщенного полусинхронного потока событий сопровождающий случайный процесс /) является марковским [19].
Утверждение 1.2. Моменты наступления событий ^, г2,•••,Ц,••• в обобщенном полусинхронном потоке порождают вложенную цепь Маркова )} [19].
В [18] уравнение моментов для оценивания длительности мертвого времени в рекуррентном обобщенном полусинхронном потоке событий, функционирующем в условиях продлевающегося мертвого времени фиксированной длительности Т, выводится для общего случая соотношения параметров Х1—Х2—^2 ^0 (иначе имеет место деление на ноль). Случай ^ — Х2 — а2 = 0 требует отдельного исследования.
Цель данной работы заключается в получении и решении уравнения моментов для оценивания длительности мертвого времени в особом случае соотношения параметров Х1—Х2—а2= 0, а также проведении на имитационной модели статистических экспериментов для установления стационарного режима и выявления качества полученных оценок.
2. Вид плотности вероятности длительности интервала между соседними событиями в потоке
Рассматривается стационарный режим функционирования обобщенного полусинхронного потока событий в условиях полной наблюдаемости, Т = 0.
Обозначим хк = — ^, к = 1,2_ - значение длительности к-го интервала между соседними событиями потока, р(хк) — плотность вероятности длительности к-го интервала между соседними событиями в рассматриваемом потоке. В силу стационарного режима функционирования потока р(тк) = р(т) для всех к = 1,2^„, т> 0 . Поэтому без ограничения общности момент наступления события ц можно положить равным нулю, т.е. момент наступления события есть т = 0 .
Теорема 2. Плотность вероятности длительности интервала между соседними событиями в обобщенном полусинхронном потоке событий в особом случае ^ — Х2 — а2 = 0 имеет вид [14]:
р(т) = [\ — я2(0)а2(1 — 5)(1 — V)], т> 0, я2(0) = —-рХ1 (1)
рАх + а2 — ра2 (1 — о)
3. Вид совместной плотности вероятности длительностей двух смежных интервалов и условия рекуррентности
Рассмотрим два соседних временных интервала /2) и (/2, /3) со значениями длительностей интервалов т = Ь — Ч и т2 = Ц — /2 соответственно, т > 0, т2 > 0, поскольку в силу стационарного режима функционирования потока расположение одного интервала (/к,/к+1), к = 1, 2,,„ либо двух смежных интервалов (/к, г), г, 2 ) между моментами наступления событий потока ^, /2,,,,, ^,,„ на временной оси может быть произвольным. При этом совместная плотность вероятности есть р(т, т2 ), 0, т2 > 0 .
Теорема 3. Обобщенный полусинхронный поток событий является коррелированным, и совместная плотность вероятности длительностей смежных интервалов для особого случая — Х2 — а2 = 0 (Т = 0) имеет вид [14]:
( _ л х\ Л
POï, = P(Tl)P(T2> +
pa2(1 -8)
pX1 + a2 - pa2 (1 - 8)
х(а2-^(1 -р)-ра2(1 -5))[1 -Х1т1 ][1 -Х^Х1+Хз), т > 0, т2 > 0, (2)
гдер(т1) и р(т2) определены в (1) для т = тк, к = 1,2.
Рассмотрим случаи, когда поток становится рекуррентным. Анализируя выражение (2), можно выделить случаи факторизации совместной плотности р(т1; т2) = р(т1)р(т2) :
1) 5 = 1, и из (1) находим р(т) = х1е, т> 0;
2) а2-Х1(1 - р) - ра2 (1 -5) = 0, р ф 1, тогда из (1) р(т) = [Х1 - ра2(1 -5)(1 -V)] е~%1%, т> 0. Для р = 1 из второго условия факторизации вытекает, что 5 = 0. Тогда р(т) определяется формулой (1) и имеет вид: р(т) = [Х1 -а2(1 -Х1т)]е"^1Т, т > 0. Исследуемый поток становится рекуррентным полусинхронным потоком событий [20].
4. Преобразование Лапласа плотности вероятности длительности интервала между событиями в наблюдаемом потоке
Пусть ^ - значение случайной величины % - длительности общего периода ненаблюдаемости в рекуррентном обобщенном полусинхронном потоке событий, функционирующем в условиях продлевающегося мертвого времени фиксированной длительности Т. Последовательность моментов наступления событий в наблюдаемом потоке Ц,г2,... порождает вложенную цепь Маркова {^(¿к)}, и
рекуррентность наблюдаемого потока сохранится.
Для нахождения преобразования Лапласа («) плотности вероятности общего периода ненаблюдаемости воспользуемся следующей теоремой.
Теорема 4.1. Преобразование Лапласа («) плотности вероятности значений длительности
общего периода ненаблюдаемости в рекуррентном дважды стохастическом потоке событий, функционирующем в условиях продлевающегося мертвого времени, имеет вид [21]:
г- -1—1
Фо(ПГ "
g* (s) =- esT
Т
1 -1 e~sxp(x)dx о
(3)
со Т
где ф0(Г) = | p(x)dx — 1 - | p(x)dx - функция Пальма - вероятность того, что на интервале (0,Т) сот о
бытие потока не наступило; р{х) - плотность вероятности длительности интервала между соседними событиями в рекуррентном потоке.
Следствие теоремы 4.1. Математическое ожидание определяется в виде:
1 т
Щ = (s) U = Т + —— J xp(x)dx. (4)
ФоСОо
Далее будем использовать условие рекуррентности (1 - р) = а2 - ра2 (1 - 5) , 0 < p < 1. Для исследуемого потока справедлива теорема.
Теорема 4.2. Преобразование Лапласа g* (s) плотности вероятности общего периода ненаблюдаемости в рекуррентном обобщенном полусинхронном потоке событий, функционирующем в условиях продлевающегося мертвого времени, в особом случае — А2 - а2 = 0 имеет вид:
„ ф0(Т^ ^ - Ра2 (1 -5) ра2 (1 -5)^1
g *(s) = [1 v+S +
(5)
^ - Р а2 (1 -5) + Ра 2 (1 -5)^1 ((A1 + s)T + 1) A1 + s s)2 V ;
+
+s)T
где Фо(Т) = e"AT (1 + ра2(1 -5)T) .
Доказательство. Переобозначив в (3) р{х) на р{х) и подставляя в (3) явный вид р(х), выписанный в разделе 3 с учетом второго условия рекуррентности, находим
Т Т т
1 - I е~яхр(х)йх = 1 - I (А - ра2 (1 - 5))е'^+^йх - | ра2 (1 - 5)А1хе_( А1+я)хйх =
0 0 0
= , . А1 - Ра2(1 -5)/-(V s)T - Л + Ра2(1 -5)А1/(А + „)т + ,4 -0-1+*)Т - Ра2(1 -5)А1 . =1 + А + я (е -1)+ (А + я)2 (+ +1) е - (Х1+ я)2 '
да да да
ф0 (T) = J p(x)dх = J (^ - pa2(1 - ô))e~Xlzdx + J pa2 (1 - zdx =
TT T
Л -pa2(1 -Ô) e-^iT + P^zR(Ä1T + 1)e"^iT = e"^ (l + pa2(1 -ô)T).
(6)
А А^
Выполнив несложные преобразования в (6) и подставив в (3), получим (5). Теорема доказана.
Следствие теоремы 4.2. Математическое ожидание общего периода ненаблюдаемости в рекуррентном обобщенном полусинхронном потоке событий, функционирующем в условиях продлевающегося мертвого времени, в особом случае А - А2 - а2 = 0 имеет вид:
щ = (а (1 - ф0 (Т)) + ра2 (1 - 5) (1 - )), (7)
где ф0(Т) определена в (5).
Доказательство. Используя следствие теоремы 4.1 и вычислив производную от g£(я), определенную в (5), в точке 5 = 0 , по формуле (4) получим (7). Следствие теоремы доказано.
Рассмотрим временной интервал , 1), значение длительности которого есть хк = - ^ . Введем в рассмотрение случайную величину цк - длительность интервала между моментом окончания общего периода ненаблюдаемости и моментом наступления следующего события в наблюдаемом потоке tk+1. Тогда справедливо равенство цк =хк -£к для значений случайной величины %, к = 1,2,... Так как в данной работе рассматривается рекуррентный поток, то тк, к = 1,2,... - независимые случайные величины, поэтому равенство можно переписать в виде: ^ = х - £; индекс к опущен в силу произвольного расположения интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке на временной оси. Случайные величины £ и ^ являются зависимыми. Тогда плотность вероятности длительности интервала между соседними событиями в рекуррентном обобщенном полусинхронном потоке примет вид:
Р(х) = }р(£)р(л I £)й£ = IР(£)Р(х - £ | £)й£ (8)
0 0
Получим преобразование Лапласа gх (5) плотности вероятности р(х) .
Теорема 4.3. Преобразование Лапласа gт (я) плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в рекуррентном обобщенном полусинхронном потоке с продлевающимся мертвым временем в особом случае задания параметров А - А2 - а2 = 0 имеет вид:
gх (я) = --—Г^-т ( А12 (я + рА1 + а2) g£ (я) - 5 ( ра2 (1 - 5) )2 g£ (я + рА1 + а 2)), (9)
(я + А1) (рА1 +а2) ^ '
где g£(я), g£(я + рА1 +а2) определены в (5) для аргументов я и я + рАх+а2 соответственно.
Доказательство. Пусть х = 0 - момент наступления события в наблюдаемом потоке. Рассмотрим интервал (0, х) = (0, £ + "л) . Зафиксируем £ . Введем вероятности ру (х - £) - условные вероятности того, что на интервале длительности ^ = х - £ не наступит событий наблюдаемого потока и в момент времени х = £ + ^ значение процесса А(£ + = А у при условии, что в момент времени х = £ значение процесса А(£) = , I, у = 1,2.
Соответствующие р^ (т- имеют вид:
рп(т-^) = е"^, р12(т-^) = 0, р22(т-^) = е^Л р21 (т - = (1 - 5)а2 (т - х"5), т > Имеем р (т - = рг1 (т - + рг-2 (т - - условная вероятность того, что на интервале т) событий наблюдаемого потока не произойдет при условии, что в момент времени т = значение процесса Х(^) = Хг-, г = 1,2. Тогда условная плотность вероятности значения длительности интервала т) (без наступления событий на этом интервала) по определению есть р (т - = -р'(т - г = 1,2. С учетом (10) имеем
А(т-$) = р2(Т-^) = [Х +а2(1 -5)(Х1(Т-^)- ^е"*1, х>^. (11)
Условную плотность р(т - | в формуле (8) представим в виде:
р(т-51 £) = р1(т-^)^1(т = ^ | $ + р2(т-^)^2(т = ^| £), (12)
где тсг- (т = | - условные вероятности того, что в момент времени т = ^ значение процесса Х(т = = , г = 1,2, при условии, что в момент времени т = 0 событие наступило и наступило мертвое время длительности ^.
Вероятности (т = | по своему смыслу совпадают с вероятностями п 1 (Т), г = 1,2, определенными в [14], в которых вместо периода ненаблюдаемости Т следует рассматривать ^:
MS) = = ^ I S) = Л2 -[Л2 -Л2(01 S)]
-( +Й2) S
pXj +я2 (X (1 - p) -а2 + P« (1 -5)) _1 - e-(pX1 + а2 )S
X - (X (1 - p) - а2 + pa2 (1 - 5)) 1 _ e-(pX1 +а2 )S
(14)
^2 (0 I S) =............H , (13)
^(t=SIS)=i-™2(X=S i S), ^2 = ,pX .
+«2
Подставляя (11) и (13) в (12), с учетом условия рекуррентности Х1 (1 - p) = а2 - pa2 (1 - 5) находим
p(T-s|S) = 0, о<x<S; р(т - S | S) = - (S)«2 (1 - 5)(1 - X (т - S))eX-S), т > S
где MS) = Л P + pa2(1 -5)e"(pX+«2)S" .
pX1 + a2 L J
Преобразование Лапласа плотности p(x) с учетом (8) примет вид:
да дат да да
£т= Jp(x)dт = Je~sXip(S)p(x-S | S)dSdx = Jp(S) Je""p(x-S | S)dSdx. (15)
0 0 0 0 S
Подставляя в (15) выражение (14) и проделывая необходимые трудоемкие преобразования, приходим к (9). Теорема доказана.
Теорема 4.4. Математическое ожидание длительности интервала между соседними событиями в рекуррентном обобщенном полусинхронном потоке, функционирующем в условиях продлевающегося мертвого времени, в особом случае ^ - Х2 - а2 = 0 имеет вид:
2 1 ( pa2(1 -5) )2
Мт = M + т-----+ -\ gS (pX1 +«2), (16)
X1 pX1 +а2 X12(pX1 +а 2)
где функция g s ( pX1 + а2) определена в (5) при s = pX1 + а2, ME, определена в (7).
Доказательство. Используя следствие теоремы 4.1, заменив S на т и вычислив производную
от g (s) по s , определенную в (9), в точке s = 0 по формуле (4) получим (16). Теорема доказана.
5. Уравнение моментов для оценки длительности мертвого времени
В данном разделе работы выписывается уравнение моментов для оценивания длительности мертвого времени T.
1 n
Введем статистики Cm = —~Еткт, где хк = - ^ - значение длительности интервала (tk, j) .
Пк=1
Зафиксируем параметры потока Аь А2, а2, р, 5. Для оценивания величины T достаточно первого момента. Тогда уравнение моментов, позволяющее оценить длительность мертвого времени T, имеет вид: Мт = C, где статистика C (выборочный момент) при большом n стремится к теоретическому начальному моменту первого порядка Мт [22]. С учетом (5), (7) и (16) уравнение моментов принимает вид:
g 1 (1 + Ра22(1 ~Ь)Т) ( А (l - (1 + ра2 (1 - 5)T) e"AT ) + ра2 (1 - 5) (l - e"AT )) + A1
2 1 ( ра2 (1 - 5) )2 (1 + ра 2 (1 - 5)T ) e- A+рА+а2)Т
+---+ --——2---x (17)
A1 pA1 +а2 \2{р\+а2)
x[1 A12 + (A1 - ра2 (1 -5))(рА1 +а 2) (1 - g-(A1+рА1+а2)Т ) + ра2(1 -5)A1 рХх+а2)Т ]-1 = C
(А + рА+а2 )2 A1 + рА1 +а2
где 0 < Т ^Tmin, xmin = min xk, к = 1, n.
Решение уравнения возможно только численно. Пусть f (Т) - левая часть уравнения (17): Мт = f (Т). Покажем, что f (Т) является возрастающей функцией переменной Т, Т > 0. Имеем
1) дТ = 0) = рА1 +а2 > 0;
А1
2) lim f (Т)—
3) f (Т) =A1 + ра2(1 -5) р(Т) + (ра22(1 ^ + A(T), ) f А12Ф02(Т) р А12Ф02(Т)е2А1Т
= (ра 2 (1 -5)(А1 + рА1 +а2))2 х
А12( рА1 +а2)е( рА1+а2)ТВ 2(Т) x{(A1 + рА +а2)2ф0(Т)р(Т)е"(рА1+а2)Т -В(Т)(ф0(Т)(рА +а2) + р(Т))},
B(T) = (рА1 +а 2)(А1 + рА1 +а2) + А1(А1 + рА1 +а2)ф0(Т)е"(рА1+а2)Т + +ра2 (1 - 5)( рА1 + а2)(1 - +рА1+а2)Т), р(Т) = [А + ра 2(1 - 5)(АТ - 1)]e_AT, где ф0 (Т) определена в (5).
Исследуя функцию f (Т) , обнаруживаем, что f (Т) > 0, VT > 0.
Таким образом, уравнение (17) либо имеет единственное решение, либо решения не имеет. Если f (0) > С , тогда в качестве значения оценки естественно выбрать Т = 0 . Если f (0) < С , то:
а) либо корень уравнения (17) принадлежит полуинтервалу (0, xmin], тогда он и есть значение
искомой оценки Т (оценка T является состоятельной, поскольку выполнены условия теоремы о состоятельности оценок [23]);
б) либо корень уравнения (17) больше, чем xmin, тогда полагаем Т = xmin .
6. Численные результаты оценивания
Приведенные в настоящем разделе статистические эксперименты поставлены на имитационной модели обобщенного полусинхронного потока событий, функционирующего в условиях продлевающегося мертвого времени фиксированной длительности Т [17], для особого случая -Х2 -а2 = 0. Имитационная модель наблюдаемого потока построена с использованием традиционных подходов к имитации входящих потоков событий в СМО [24] и реализована на языке программирования С#.
Алгоритм оценивания:
1) при заданных значениях параметров Х2, р, 5, Т в течение Тт единиц времени осуществляется имитационное моделирование наблюдаемого потока, в каждой 7-й реализации находится последовательность значений т1,т2,...,тп и вычисляется статистика С1;
2) методом Ньютона находится корень уравнения (17);
3) N раз повторяя шаги 1) и 2), получаем значения оценок Т1,Т2,...,ТМ ;
4) рассчитываются выборочное среднее, выборочная вариация оценки длительности мертвого времени Т и процент отношения наблюдаемых событий ко всем событиям потока по формулам
\2 100 N О;
1 N Л
M(T) = -1 t , V(T) =
N ¿=1 N -1 i=i
1 N ^ ,2
— I (T - T)
-1 i=r '
p=1001
N ¡=1 о + щ
где о - количество наблюдаемых событий в реализации; щ — количество ненаблюдаемых событий в реализации; Т - значение длительности мертвого времени, известное из имитационной модели потока; N - количество реализаций.
Для установления стационарного режима и определения свойств найденных оценок проведены статистические эксперименты. В обоих статистических экспериментах параметры потока задаются с учетом выполнения условия - Х2 - а2 = 0 и условия рекуррентности А (1 - р) = а2 - ра2 (1 - 5) .
Первый статистический эксперимент поставлен с целью нахождения такой длительности времени моделирования, при которой устанавливается стационарный режим.
0,5
4,14 4,12 4,1 4,08 4,06 4,04 4,02 4
3,98
0,4 0,3 0,2 0,1 0
200 400 600 800 Время моделирования
Рис. 2. Выборочное среднее M (T) Fig. 2. Sample average M (T)
1000
200 400 600 800 Время моделирования
Рис. 3. Выборочная вариация V (T) Fig. 3. Sample variation V (T)
1000
13,2 13 12,8 12,6 12,4 12,2 12 11,8
Рис.
200 400 600 800 1000
Время моделирования 4. Процент наблюдаемых событий ко всем событиям потока P Fig. 4. Percentage of observed events to all flow events P
0
0
0
Зафиксируем параметры следующим образом: N = 100; Х1 = 0,6; X2 = 0,2 ; а2 = 0,4 ; 5 = 0,5; р = 0,5 ; Т = 4 . Варьируя значение времени моделирования от Тт = 100 до Тт = 1000 с шагом 50 ед. времени, получим результаты оценивания, представленные на рис. 2-4.
Из анализа численных результатов первого статистического эксперимента (см. рис. 2-4) следует, что стационарный режим функционирования исследуемого потока достигается при значении времени моделирования Тт > 800 ед. времени, так как выборочное среднее М (ТТ) стремится к постоянному значению.
Второй статистический эксперимент заключается в исследовании потока в условиях растущей длительности мертвого времени.
Зафиксируем первый набор параметров: N = 100; Х1 = 0,6; X2 = 0,2 ; а2 = 0,4; 5 = 0,5; р = 0,5 ; Т, = 800 ед. времени. Варьируя значение длительности мертвого времени от Т = 1 до Т = 3,5 с шагом 0,5 ед. времени, получим результаты оценивания, представленные на рис. 5-7.
3,5 3
2,5 2 1,5 1
0,5
0,5 1 1,5 2 2,5 3 Мертвое время
Рис. 5. Выборочное среднее M (T) Fig. 5. Sample average M (T)
3,5
0,012 0,01 0,008 0,006 0,004 0,002 0
0,5 1 1,5 2 2,5 3 Мертвое время
Рис. 6. Выборочная вариация V (T) Fig. 6. Sample variation V (T)
3,5
100 80 60 40 20 0
0,5
1,5 2 2,5
Мертвое время
3,5
Рис. 7. Процент наблюдаемых событий ко всем событиям потока P Fig. 7. Percentage of observed events to all flow events P
Зафиксируем второй набор параметров: N = 100; Xj = 1,6; X2 = 0,8; а2 = 0,8 ; 5 = 0,25 ; р = 0,8 ; T, = 800. Варьируя значение длительности мертвого времени от T = 1 до T = 3,5 с шагом 0,5 ед. времени, получим результаты оценивания, представленные на рис. 8-10.
Результаты статистических экспериментов, представленные на рис. 5 и 8, показывают, что выборочные средние значения оценок M(T) достаточно близки к истинным значениям T . Во втором статистическом эксперименте как для первого, так и для второго набора параметров потока наблюдается тенденция к увеличению выборочной вариации V(T) оценки T (см. рис. 6 и 9) при увеличении значения длительности мертвого времени T , что является естественным: с ростом длительности мертвого времени уменьшается общий период наблюдаемости, следовательно, оценивание происходит хуже.
1
3
3,5 3 2,5 2 1,5 1
0,5
0,5
1
1,5 2 2,5 Мертвое время
Рис. 8. Выборочное среднее M (T) Fig. 8. Sample average M (T)
3,5
0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0
0,5 1 1,5 2 2,5 3 Мертвое время
Рис. 9. Выборочная вариация V (T) Fig. 9. Sample variation V (T)
3,5
3
Процент наблюдаемых событий ко всем событиям потока
100 80 60 40
20 %
0 * • • •
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Мертвое время
Рис. 10. Процент наблюдаемых событий ко всем событиям потока P Fig. 10. Percentage of observed events to all flow events P
Процент наблюдаемых событий P для второго набора параметров при фиксированном T (см. рис. 10) меньше P для первого набора параметров при том же значении T (см. рис. 7), что также объяснимо: для второго набора параметров в каждом состоянии поток более интенсивный, чем для первого набора, что приводит к большим потерям наблюдаемых событий.
Заключение
В настоящей работе рассмотрен особый случай соотношения параметров - Х2 - а2 = 0 в рекуррентном обобщенном полусинхронном потоке событий, функционирующем в условиях продлевающегося мертвого времени фиксированной длительности Т. Для рекуррентного обобщенного полусинхронного потока событий получены преобразование Лапласа плотности вероятности общего периода ненаблюдаемости и преобразование Лапласа плотности вероятности длительности интервалов между соседними событиями в наблюдаемом потоке. С использованием преобразования Лапласа
получено уравнение моментов для определения значения оценки Т длительности мертвого времени Т. Аналитически доказана единственность решения уравнения моментов. Проведены статистические эксперименты на имитационной модели потока, показывающие приемлемое качество оценивания.
Список источников
1. Горцев А.М., Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. Томск : Изд-во
Том. ун-та, 1978. 208 с.
2. Вишневский В.М., Дудин А.Н., Клименок В.И. Стохастические системы с коррелированными потоками. Теория и приме-
нение в телекоммуникационных сетях. М. : Техносфера, 2018. 564 с.
3. Нежельская Л.А. Совместная плотность вероятностей длительности интервалов модулированного MAP-потока событий и
условия рекуррентности потока // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2015. № 1 (30). С. 57-67.
4. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Analytical investigation of a single-channel QS with incoming asynchronous event flow //
Automation and Remote Control. 2022. V. 83 (8). P. 1200-1212.
5. Cox D.R. The analysis of non-Markovian stochastic processes by the inclusion of supplementary variables // Proceedings of the
Cambridge Philosophical Society. 1955. V. 51 (3). P. 433-441.
6. Kingman Y.F.C. On doubly stochastic Poisson process // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1964. V. 60 (4).
P. 923-930.
7. Башарин Г.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов сетей связи. Ч. 1 //
Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1979. № 6. С. 92-99.
8. Башарин Г.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен расчёта фрагментов сетей связи. Ч. 2 //
Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1980. № 1. С. 55-61.
9. Neuts M.F. A versatile Markov point process // Journal of Applied Probability. 1979. V. 16. P. 764-779. doi: 10.2307/3213143
10. Lucantoni D.M. New results on the single server queue with a bath markovian arrival process // Communication in Statistics
Stochastic Models. 1991. V. 7. P. 1-46.
11. Апанасович В.В., Коляда А.А., Чернявский А.Ф. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте.
Минск : Университетское, 1988. 256 с.
12. Горцев А.М., Калягин А.А., Нежельская Л.А. Оптимальная оценка состояний обобщенного полусинхронного потока
событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 2 (11). С. 66-81.
13. Василевская Т.П., Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание длительности мертвого времени и параметров синхронного
альтернирующего потока с проявлением либо непроявлением событий // Вестник Томского государственного университета. 2004. № S9-2. С. 129-138.
14. Горцев А.М., Калягин А.А., Нежельская Л.А. Совместная плотность вероятностей длительности интервалов обобщенно-
го полусинхронного потока событий при непродлевающемся мертвом времени // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2014. № 2 (27). С. 19-27.
15. Калягин А.А. , Нежельская Л.А. Сравнение МП- и ММ-оценок длительности мертвого времени в обобщенном полусин-
хронном потоке событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2015. № 3 (32). С. 23-32.
16. Горцев А.М., Ниссенбаум О.В. Оценивание длительности мертвого времени и параметров асинхронного альтернирую-
щего потока событий с инициированием лишнего события // Вестник Томского государственного университета. 2004. № 284. С. 137-145.
17. Нежельская Л.А., Степаненко И.Д. Статистические эксперименты на имитационной модели обобщенного полусинхрон-
ного потока событий с продлевающимся мертвым временем фиксированной длительности // Труды Томского государственного университета. Сер. физико-математическая. 2021. Т. 306. С. 82-84.
18. Нежельская Л.А., Степаненко И.Д. Применение метода моментов для оценки длительности мертвого времени в рекур-
рентном обобщенном полусинхронном потоке событий с продлевающимся мертвым временем // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 62. С. 65-75. doi: 10.17223/19988605/62/7
19. Нежельская Л.А. Оценка состояний дважды стохастических потоков событий. Томск : Изд-во Том. гос. ун-та, 2020. 210 с.
20. Горцев А.М., Веткина А.В. Оценивание методом моментов параметра равномерного распределения длительности непро-
длевающегося случайного мертвого времени в рекуррентном полусинхронном потоке событий в общем и особом случаях // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2022. № 61. С. 47-60. doi: 10.17223/19988605/61/5
21. Нежельская Л.А. Оценка состояний и параметров дважды стохастических потоков событий : дис. ... д-ра физ.-мат. наук.
Томск, 2016. 341 с.
22. Шуленин В.П. Математическая статистика. Томск : Изд-во НТЛ, 2012. Ч. 1. 540 с.
23. Малинковский Ю.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Гомель : ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. Ч. 2:
Математическая статистика. 146 с.
24. Лифшиц А.Л., Мальц Э.А. Статистическое моделирование систем массового обслуживания. М. : Сов. радио, 1978. 248 с.
References
1. Gortsev, A.M., Nazarov, A.A. & Terpugov, A.F. (1978) Upravlenie i adaptatsiya v sistemakh massovogo obsluzhivaniya [Control
and Adaptation in Queuing Systems]. Tomsk: Tomsk University Press.
2. Vishnevsky, V.M., Dudin, A.N. & Klimenok, V.I. (2018) Stokhasticheskie sistemy s korrelirovannymipotokami. Teoriya iprime-
nenie v telekommunikatsionnykh setyakh [Stochastic Systems with Correlated Flows. Theory and Application in Telecommunication Networks]. Moscow: Technosphere.
3. Nezhelskaya, L.A. (2015) Joint probability density of the intervals' duration in modulated MAP event flows and its recurrence
conditions. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 1(30). рр. 57-67.
4. Gortsev, A.M. & Nezhelskaya, L.A. (2022) Analytical investigation of a single-channel QS with incoming asynchronous event
flow. Automation and Remote Control. 83(8). pp. 1200-1212.
5. Cox, D.P. (1955) The analysis of non-Markovian stochastic process by the inclusion of supplementary variables. Proceeding
of the Cambridge Philosophical Society. 51(3). pp. 433-441.
6. Kingman, Y.F.C. (1964) On double stochastic Poisson process. Proceeding of the Cambridge Philosophical Society. 60(4).
pp. 923-930.
7. Basharin, G.P., Kokotushkin, V.A. & Naumov, V.A. (1979) On the equivalent substitutions method for computing fragments
of communication networks. Izvestiya ANSSSR. Tekhnicheskaya kibernetika. 6. pp. 92-99.
8. Basharin, G.P., Kokotushkin, V.A. & Naumov, V.A. (1980) O metode ekvivalentnykh zamen rascheta fragmentov setey svyazi.
[On the equivalent substitutions method for computing fragments of communication networks]. Izvestiya AN SSSR. Tekhnicheskaya kibernetika. 1. pp. 55-61.
9. Neuts, M.F. (1979) A versatile Markov point process. Journal of Applied Probability. 16. pp. 764-779. DOI: 10.2307/3213143
10. Lucantoni, D.M. (1991) New results on the single server queue with a bath Markovian arrival process. Communication in Statistics Stochastic Models. 7. pp. 1-46.
11. Apanasovich, V.V., Kolyada, A.A. & Chernyavsky, A.F. (1988) Statisticheskiy analiz sluchaynykh potokov v fizicheskom ekspe-rimente [Statistical Analysis of Random Flows in Physical Experiment]. Minsk: Universitetskoe.
12. Gortsev, A.M., Kalyagin, A.A. & Nezhelskaya, L.A. (2010) Optimal estimation of states of generalized semi-synchronous event stream. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 2(11). рр. 66-81.
13. Vasilevskaya, T.P., Gortsev, A.M. & Nezhelskaya, L.A. (2004) Estimation of dead time duration and parameters of synchronous alternating flow with manifestation or non-manifestation of events. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Uprav-lenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. S9-2. рр. 129-138.
14. Gortsev, A.M., Kalyagin, A.A. & Nezhelskaya, L.A. (2014) Joint probability density of the duration of intervals of generalized semisynchronous flow of events with non-lasting dead time. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 2(27). pp. 19-27.
15. Kalyagin, A.A. & Nezhelskaya, L.A. (2015) Comparison of MP and MM estimations of dead time duration in generalized semi-synchronous flow of events. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 3(32). pp. 23-32.
16. Gortsev, A.M. & Nissenbaum, O.V. (2004) Estimation of the dead time duration and parameters of the asynchronous alternating stream of events with initialization of an extra event. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 284. рр. 137-145.
17. Nezhelskaya, L.A. & Stepanenko, I.D. (2021) Statistical experiments on the simulation model of the generalized semi-synchronous flow of events with prolonging dead time of fixed duration. Trudy Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. fiziko-matematicheskaya. 306. pp. 82-84.
18. Nezhelskaya, L.A. & Stepanenko, I.D. (2023) Application of the method of moments for estimation of dead time duration in recurrent generalized semi-synchronous flow of events with prolonging dead time. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 62. рр. 65-75. DOI: 10.17223/19988605/62/7
19. Nezhelskaya, L.A. (2020) Estimation of States of Doubly Stochastic Flows of Events. Tomsk: Tomsk State University Press.
20. Gortsev, A.M. & Vetkina, A.V. (2022) Estimation by the method of moments of the parameter of the uniform distribution of the duration of non-transient random dead time in the recurrent semi-synchronous flow of events in general and special cases. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 61. рр. 47-60. DOI: 10.17223/19988605/61/5
21. Nezhelskaya, L.A. (2016) Otsenka sostoyaniy iparametrov dvazhdy stokhasticheskikh potokov sobytiy [Evaluation of states and parameters of doubly stochastic flows of events]. Physics and Mathematics Dr. Diss. Tomsk.
22. Shulenin, V.P. (2012)Matematicheskaya statistika [Mathematical Statistics]. Vol. 1. Tomsk: NTL.
23. Malinkovsky, Y.V. (2004) Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika [Theory of Probabilities and Mathematical Statics]. Vol. 2. Gomel: GSU.
24. Lifshits, A.L. & Maltz, E.A. (1978) Statisticheskoe modelirovanie sistem massovogo obsluzhivaniya [Statistical Modeling of Mass Service Systems]. Moscow: Sov. Radio.
Информация об авторах:
Нежельская Людмила Алексеевна - профессор, доктор физико-математических наук, заведующая кафедрой прикладной математики Института прикладной математики и компьютерных наук Национального исследовательского Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: ludne@mail.ru
Степаненко Илья Денисович - магистрант кафедры прикладной математики Института прикладной математики и компьютерных наук Национального исследовательского Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: 97step@mail.ru
Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Information about the authors:
Nezhel'skaya Lyudmila A. (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Institute of Applied Mathematics and Computer Science, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russia Federation). E-mail: ludne@mail.ru Ilya Denisovich Stepanenko (Master's Student, Department of Applied Mathematics, Institute of Applied Mathematics and Computer Science, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russia Federation). E-mail: 97step@mail.ru
Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию 29.11.2023; принята к публикации 05.03.2024 Received 29.11.2023; accepted for publication 05.03.2024
