CC BY
29
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 17. Выпуск 3.
УДК 514.174.5
ОЦЕНКА ЧИСЛА Р2^РАЗБИЕНИЙ ПЛОСКОСТИ НА ПОЛИМИНО ЗАДАННОЙ ПЛОЩАДИ1
А. В. Шутов (г. Владимир), Е. В. Коломейкина (г. Москва)
Аннотация
В работе рассматривается задача о числе р2-разбнений плоскости на полимино заданной площади. Полимино представляет собой связную фигуру на плоскости, составленную из конечного числа единичных квадратов, примыкающих друг к другу по сторонам. В настоящее время активно исследуются различные перичислительные комбинаторные задачи, связанные с полимино. Представляет интерес подсчет числа полимино определенных классов, а также подсчет числа разбиений конечных фигур или всей плоскости на полимино определенного типа. Разбиение называется р2-разбиением, если любую фигуру разбиения можно перевести в любую другую фигуру параллельным переносом или центральной симметрией, причем это преобразование переводит все разбиение в себя. р2-разбнения являются частным случаем правильных разбиений плоскости. Пусть t(n) - число р2-разбиений плоскости на полимино площади n, решетка периодов которых является подрешеткой решетки Z2. Доказано, что справедливо неравенство C^2n < t(n) < C2n4(2.68)n. При доказательстве нижней оценки использована явная конструкция, позволяющая построить требуемое число р2-разбиений плоскости. Доказательство верхней оценки основано на критерии Конвея существования р2-разбиений плоскости, а также на теории самонепересекающихся блужданий на. квадратной решетке. Ранее аналогичные результаты были получены авторами в задаче подсчета числа решетчатых разбений плоскости на полимино заданной площади, а также в задаче подсчета числа решетчатых разбиений плоскости на центрально-симметричные полимино.
Ключевые слова: разбиения, правильные разбиения, кристаллографические группы, p2-разбиения, полимино, самонепересекающиеся блуждания.
Библиогафия: 28 названий
THE ESTIMATION OF THE NUMBER OF P2^TILINGS OF A PLANE BY A GIVEN AREA POLYOMINO
A. V. Shutov, E. V. Kolomeykina
Abstract
p2
A polyomino is a connected plane geometric figure formed by joining one or more unit squares edge to edge. At present, various combinatorial enumeration problems connected to the polyomino are actively studied. There are some interesting problems on enuneration of various classes of polyominoes and enumeration of tilings of finite regions or a whole plane by
p2
translation or the central symmetry, and this transformation maps the whole tiling to itself. p2 t( n) p2
by a n-area polyomino such that the lattices of periods of these tilings are sublattices of Z2. It is proved that following inequality is true: Ci2" < t(n) < C2n4(2.68)n. To prove the lower
1 Работа выполнена при частичной поддержке РНФ, грант N 14-11-00433.
bound we use the exact construction of required tilings. The proof of the upper bound is based on the Conway criterion of the existence of p2-tilings of a plane. Also, the upper bound depends on the theory of self-avoiding walks on the square lattice. Earlier similar results were obtained by authors for the number of lattice tilings of a plane by a given area polyomino (it's more simple type of a plane tilings by polyomino), and for the number of lattice tilings of the plane by centrosimmetrical polyomino.
Keywords: tilings, regular tilings, crystallographic groups, p2-tilings, polyomino, self-avoiding walks.
Bibliography: 28 titles.
1. Введение
Полимино, как известно, представляет собой фигуру на плоскости, составленную из конечного числа единичных квадратов (клеток), которая сильно связна, то есть из любой клетки в любую другую клетку этого полимино можно попасть, переходя по общим сторонам смежных клеток.
Пример полимино изображен на рис. 1.
Это понятие и сам термин полимино были введены в 1953 году С. В. Голомбом [9], [22], и с тех пор привлекли внимание как любителей занимательной математики, так и профессиональных исследователей всего мира.
Большой вклад в популяризацию математических задач, связанных с полимино, внес М. Гарднер, который в своей рубрике "Математические игры"в журнале Scientific American опубликовал серию статей, обсуждающих эти проблемы, а затем включил соответствующие главы в свои книги [18]- [21].
Одной из основных задач было определение числа an всевозможных полимино (разных с точностью до трансляции) заданной площади n и числа bn всевозможных типов полимино (разных с точностью до движения — трансляций, поворотов, отражений), состоящих из заданного числа клеток. Легко понять, что bn < an < 8bn. Кларнер доказал [11] существование отличной от нуля константы роста а = fyOn = limn^^ nbn, что означает экспонен-
циальный характер роста чисел an и bn. Сейчас доказано, что а > 4 [2] и а < 4,65 [12]. В работе [10] вычислены точные значения an для n < 56.
an bn
сы полимино особого вида, для которых такие оценки возможны. Подробный обзор работ по подсчету числа классов полимино можно найти в [3].
Одной из самых важных и пока не решенных задач, связанных с полимино, является нахождение необходимого и достаточного условия существования разбиения плоскости на заданные полимино. В работе [21] найдены все классы полимино, разбивающие плоскость, с числом клеток n < 7. Позднее для n < 9 аналогичное исследование было проведено в [16]. В работах [15] и [14] для всех полимино площади ncn < 14 и n < 25 соответственно найдены периодические разбиения плоскости на данное полимино с минимальным числом клеток в фундаментальной области решетки периодов или доказано отсутствие периодических разбиений на заданное полимино.
Хорошо известно, что задача о существовании алгоритма, позволяющего установить, существует ли разбиение плоскости из данного конечного набора фигур-прототайлов, тесно связана с задачей о существовании непериодичекого разбиения из заданного набора прототайлов. Амман, Грюнбаум и Шепард [1] показали, что существует набор из 3 полимино, разбивающих плоскость только непериодически. Как следствие, ими было показано, что задача об определении того, существует ли разбиение плоскости на полимино из заданного набора, алгоритмически неразрешима. Неизвестно, является ли алгоритмически разрешимой задача о
существовании разбиения плоскости на заданное полимино. Это связано с тем, что в настоящее время неизвестно, существует ли полимино, разбивающее плоскость только непериодически.
Поскольку мы не можем решать общую задачу, связанную с разбиениями на полимино, возникает задача об изучении разбиений отдельных типов, простейшими из которых являются решетчатые разбиения.
Определение 1. Разбиение называется решетчатым, если любую фигуру разбиения можно перевеет,и в любую другую фигуру параллельным переносом, причем это преобразование переводит все разбиение в себя.
Без ограничения общности можно считать, что все вершины полимино являются точками целочисленной решетки Z2. Можно доказать, что любое решетчатое разбиение плоскости топологически эквивалентно (гомеоморфно) одному из двух разбиений, а именно: правильному разбиению плоскости на квадраты или на правильные шестиугольники. Пусть п — площадь полимино, то есть полимино состоит из п квадратов площадью 1 квадратная единица каждый. Возникает задача подсчитать число Т(п) решетчатых разбиений плоскости на полимино заданной площади п, решетка периодов которых является подрешеткой Z2. Числа Т(п) для п
рассмотрена задача подсчета числа решетчатых разбений плоскости на полимино заданной площади с заданными решетками. Задача о числе решетчатых разбиений плоскости на полимино заданной площади, топологически эквивалентных правильному разбиению плоскости на квадраты, рассмотрена в работе Брлеко и Фросини [4]. Кроме того в работе [8] был предложен алгоритм сложности 0(п2) позволяющий определить, порождает ли полимино площади п решетчатое разбиение плоскости. Позднее данный алгоритм был усовершенствован в работе [5].
Т(п)
п
Z2, верна следующая оценка
Позже в работе [28] было показано, что для числа Тс(п) решетчатых разбиений плоскости
п
Следующим по сложности после решетчатых разбиений являются правильные разбиения плоскости.
Определение 2. Разбиение называется правильным,, если для, любых двух его фигур существует движение из группы симметрии этого разбиения, переводящее одну фигуру в другую и при этом все разбиение в себя.
Очевидно, что решетчатые разбиения являются частным случаем правильных разбиений. Правильные разбиения классифицируются по группам симметрии ячейки разбиения, которых всего 17 (кристаллографические группы). Решетчатым разбиениям соответствует группа р1, следующей по сложности является группа р2, порожденная решеткой и преобразованием центральной симметрии. Изучению разбиений, правильных относительно конкретных кристаллографических групп посвящен целый ряд работ. Например, в работах [6], [7] представлен компьютерный алгоритм перечисления правильных разбиений на полимино с конкретной кристаллографической группой р4 с ограничением на количество клеток в полимино.
Мы будем рассматривать р2-разбиения плоскости на гомеоморфные диску полимино. Также мы будем предполагать, что решетка периодов разбиения является подрешеткой целочисленной решетки Z2.
2П-3 + 2[ V1 < Т(п) < С(п + 1)3(2, 7)га+1.
(1)
С1(^2)га < Тс(п) < С2(п + 1)2(^2б8)га
(2)
Определение 3. Разбиение называется р2-разбиением, если любую фигуру разбиения .можно перевести в любую другую фигуру пара,лле.льным переносом или центральной симметрией, причем это преобразование переводит все разбиение в себя. Пример р2-разбиепия плоскости на полимино изображен на рис. 2.
Рис. 1. Полимино.
Рис. 2. Пример р2-разбиения.
В настоящей статье мы докажем следующее утверждение.
Теорема 1. Для числа, t(n) р2-ра,збиений плоскости на, полимино задан ной площади и, решетка периодов которых является подрешеткой решетки Z2; имеет место следующая оценка:
Ci2n < t(n) < C2n4(2.68)n (3)
2. Нижняя оценка на число р2^разбиений на полимино заданной площади
n
вательность w из нулей и единиц длины n — 1. Строим по ней ломаную следующим образом: 0 в последовательности соответствует сдвигу вправо, 1 в последовательности соответствует сдвигу вверх. Далее сдвигаем ломаную на вектор (—1; 1). Полученная ломаная с исходной не пересекаются. Дополняем эти две ломаные двумя "уголками"до образования полимино. Легко
n
для кода 010010
код ломаная полимино
Рис. 3. Пример образования полимино из кода.
В работах [26], [27] было показано, что все полимино, получаемые таким образом, дают решетчатые разбиения плоскости с решеткой периодов, порождаемой векторами (-1; 1) и (и; 1). Более того, среди данных разбиений имеется не менее С12п различных (появление константы С1 объясняется тем, что соответствующие разным последовательностям и> полимино иногда могут совпадать с точностью до движения).
Возьмем полимино /1 площади и, построенное по последовательности -ш. Пристыкуем к /1 полимино, полученное из него центральной симметрией относительно середины вертикального отрезка "правого уголка"в случае, когда последовательность и> заканчивается на 0, и
центральной симметрией относительно середины гризонтального отрезка "правого уголка", в случае, когда последовательность и заканчивается на 1(см. рис. 4). Полученное полимино /2
2п
Легко видеть, что если /1 соответствует последовательности и = ^1^2 . ..ип-1ип, то /2 может быть получено из последовательности и/ = w1w2 ...ип-1 ипипипип-1 ...и2и1. Сле-/2 /2 центрально симметричных копий /1, полимино /1 порождает р2-разбпенпе плоскости, что и дает нам нижнюю оценку
3. Верхняя оценка на число р2^разбиений на полимино заданной площади
Вместо площади будем теперь фиксировать периметр полимино. Обозначим через Ь'('р) число р2-разбиений плоскости на полимино полупериметра р. Данное определение корректно, так как периметр любого полимино четное число. р2
р2
р2
гда, граница полимино может быть разбита на 6 частей аЪсйе/ таких, что а переходит в й параллельным переносом, остальные части Ъ, с, е, / центрально симметричны, причем некоторые части могут быть пустыми. При этом, различны,м разбиениям границы полими-
р2
Разъясним геометрический смысл разбиения границы аЪсйе/. Граница полимино рассмат-
2р
нееамоперееекающуюея границу) с отмеченными точками. Точки нужны для того, чтобы мы
а Ъ с ( е /
а(
Ъ с е /
рий разбиения и позволяющие однозначно восстановить все разбиение по одному полимино
р2
(
а Ъ, с, е, /
ной симметричности, восстанавливается по половине этой ломаной. Пусть длины ломаных а, Ъ, с, й, е, / соответственно равны 1а, ¡ь, ¡с, ¿е и I/. Ясно, что 1а = ¡4- Кроме того, учитывая, Ъсе/
/2 /1
С12п < г(п).
(4)
Рис. 5. Восстановление разбиения плоскости но разбиению границы нолимино.
la + 1(lb + lc + le + lf )= p. (5)
Рассмотрим не имеющие самопересечений ломаные, вершины которых есть вершины квадратной решетки, а ребра направлены вертикально или горизонтально. Такие ломаные называются самонепересекающимися блужданиями (self-avoiding walks). Известно, что число m(l) самонепресекающихся блужданий длины l на квадратной решетке не превосходит C (e)(ß + e)1, где ß — так называемая константа, связности квадратной решетки [13]. Пусть mc(l) — число
l
полностью определяется своей половиной, которая также является самонепересекающейся. Таким образом, справедлива оценка
^ С m((l + 1)/2), l- нечетно; mc(l) < < п ,
[ m(l/2), /- четно.
Отсюда получаем, что
mc(l) < m((l + 1)/2) < C'(e)(ß + e)l/2 (6)
l
Исходя из сказанного выше, для числа t'(p) р2-разбиений плоскости на равные полимино p
t'(p) < ^ m(la)mc(lb)mc(lc)mc(le)mc(lf) < (7)
la +1 (lb+lc+le+lf )=P, la,lb,lc,le,l f >0
< C'(е) E (ß + e)la(ß + e)lb/2(ß + e)lc/2(ß + e)l^/2(ß + e)lf/2 < (8)
la + J (lb+lc+le+lf )=P, la,lb,lc,le,lf >0
< C'(e)
la + J (lb +lc+le+lf )=P,
(ß + e)la+1 (lb+lc+le+lf) < C'(e)(ß + e)p
E
1<
,lc,le,lf >0
la + J (lb+lc+le+lf )=P, la,lb,lc,le ,lf >0
a
< C''(e)(ß + e)p ■ p4.
(10)
Последняя оценка связана с тем, что
Е i
1а +1 (lb+lc+le+lf )=Р, la,h,lc,le,lf >0
является количеством решений линейного диофантова уравнения la + 1 (¡ъ + lc + le + ¡f) = Р их количество асимптотически эквивалентно 16p4 [25].
Итак, мы получили, что число р2-разбиений на полимино с полупериметром p не превосходит
t'(p) < C"(e)p4(ß + e)p. (11)
Осталось перейти к площади. Методом математической индукции легко получить нера-вество, связывающее площадь и полупериметр полимино: p < n + 1. Для получения верхней p2
оценку по p от 1 до n + 1:
n+1 n+1
t(n) < е t\p) < Е с "(Ф4о«+¿У-
p=i p=i
Заменяя последнюю сумму на интеграл /(П+1 C"(e)x4(ß + e)xdx и учитывая, что
/pax
x4eaxdx = (a4x4 - 4a3x3 + 12a2x2 - 24ax + 24),
получаем оценку
t(n) < C"'(e)n4(ß + e)n. (14)
В настоящее время лучшие доказанные оценки для ß имеют вид
2.625622 < ß < 2.679193. (15)
Ограничимся неравенством ß < 2.68, которое и доказывает теорему.
4. Заключение
p2
мино заданной площади. Эти оценки аналогичны полученным ранее авторами оценкам для числа решетчатых разбиений.
Отметим несколько нерешенных проблем, возникающих в связи с полученными оценками.
1) Явно вычислить значения t(n) для малых значений n, например для n < 20.
2) Устранить разрыв между полученными оценками сверху и снизу. В дальнейшем интересно было бы вычислить предел
lim ^t(n).
n—^^о
Некоторые вычисления из [23], [24] наводят на мысль о том, что значение данного предела равно 2, что делает особенно актуальной задачу улучшения верхней оценки.
n
p2
4) Получить оценки для числа разбиений плоскости на полимино заданной площади, правильных относительно других кристаллографических групп, например, относительно группы
(12)
(13)
p4. Здесь нужно заметить, что не все кристаллографические группы реализуются как группы симметрий разбиений плоскости на полимино. Это связано с тем, что разбиения плоскости на полимино не могут обладать поворотными симметриями порядков 3 и 6.
5) Перенести имеющиеся оценки для числа разбиений плоскости на полимино на случай разбиений плоскости на полигексы и полиамонды, а также разбиений трехмерного пространства на поликубы.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ammann R., Grunbaum В., Shephard G. Aperiodic tiles // Discrete and Computational Geometry 1991. Vol. 6, no. 1, P. 1-25.
2. Barequet G., Rote G., Shalah M. A > 4 // Algorithms - ESA 2015 Proceedings, Springer, 2015, P. 83-94.
3. Bousquet-Melou M., Brak R. Exactly solved models // Polygons, Polvominoes and Polvcubes. 2009. Springer. P. 43-78.
4. Brlek S., Frosini A., Rinaldi S., Vuillon L. Tilings by translation: enumeration by a rational language approach // The electronic journal of combinatorics. 2006. Vol. 13, R15.
5. Brlek S., Provencal X., Fedou J.-M. On the tiling by translation problem // Discrete Applied Mathematics. 2009. Vol. 157, no. 3, P. 464-475.
6. Fukuda H., Mutoh N., Nakamura G., Schattschneider D., A method to generate polvominoes and polviamonds for tilings with rotational symmetry // Graphs and Combinatorics. 2007. Vol. 23, Supplement 1, P. 259-267.
7. Fukuda H., Mutoh N., Nakamura G., Schattschneider D. Enumeration of polvominoes, polviamonds and polvhexes for isohedral tilings with rotational symmetry // Computational Geometry and Graph Theory - International Conference, KvotoCGGT 2007, Kyoto, Japan, June 11-15, 2007. Revised Selected Papers. Springer. 2008. P. 68-78.
8. Gambini I., Vuillon L. An algorithm for deciding if a polvomino tiles the plane by translations // RAIRO Theoretical Informatics and Applications. 2007. Vol. 41, no. 2, P. 147-155.
9. Golomb S.W. Checker boards and polvominoes // American Mathematical Monthly. 1954. Vol. 61. P. 672-682.
10. Jensen I. Counting polvominoes: a parallel implementation for cluster computing, Computational Science - ICCS 2003 Proceedings, Part III. Springer, 2003. P. 203-212.
11. Klarner D. A cell growth problems // Cand. J. Math. 1967. Vol. 19. P. 851-863.
12. Klarner D. A., Rivest R. L. A procedure for improving the upper bound for the number of n-ominoes // Canad. J. Math. 1973. Vol. 25. P. 585-602.
13. Madras N., Slade G. The self-avoiding walk. Springer, 1996. 427 pp.
14. Myers J. Polvomino, polvhex and polviamond tiling.
https://www.polyomino.org.uk/mathematics/polyform-tiling/. 2016
15. Rhoads G. C. Planar tilings and the search for an aperiodic prototile. PhD dissertation. Rutgers University. 2003.
16. Rhoads G.C. Planar tilings by polvominoes, polvhexes, and polviamonds // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2005. Vol. 174. no. 2, P. 329-353.
17. Schattschneider D. Will it tile? Try the Conway criterion! // Mathematics Magazine. 1980. vol. 53, no. 4, P. 224-233.
18. Гарднер M. Математические головоломки и развлечения. 2-е изд. М.: Мир. 1999. 447 с.
19. Гарднер М. Математические досуги М.: Мир, 1972. 496 с.
20. Гарднер М. Математические новеллы. М.: Мир. 1974. 456 с.
21. Гарднер М. Путешествие во времени. М.: Мир, 1990. 341 с.
22. Голомб С. Полимино М.: Мир. 1975. 207 с.
23. Малеев А. В. Алгоритм и компьютерная программа перебора вариантов упаковок полимино в плоскости // Кристаллография. 2013. Т. 58, вып. 5, С. 749-756.
24. Малеев А. В., Шутов А. В. О числе трансляционных разбиений плоскости на полимино// Труды IX Всероссийской научной школы "Математические исследования в естественных науках". Апатиты. 2013. Р. 101-106.
25. Нестеренко Ю. В., Галочкин А. П., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. М.: Издательство Московского Университета. 1984. 152 с.
26. Шутов А. В., Коломейкина Е. В. О числе решетчатых разбиений плоскости на полимино заданной площади // Труды XI Всероссийской научной школы "Математические исследования в естественных науках". Апатиты. 2014. Р. 147-152.
27. Шутов А. В., Коломейкина Е. В. Оценка числа решетчатых разбиений плоскости на полимино заданной площади // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т. 20, вып. 5, С. 148-157.
28. Шутов А. В., Коломейкина Е. В. Оценка числа решетчатых разбиений плоскости на центрально-симметричные полимино заданной площади // Моделирование и анализ информационных систем. 2015. Т. 22, вып. 2, С. 295-303.
REFERENCES
1. Ammann R. к Grunbaum В. к Shephard G. 1991, "Aperiodic tiles", Discrete and Computational Geometry, Vol. 6, no. 1, pp. 1-25. doi: 10.1007/BF02293033.
2. Barequet G., Rote G. k, Shalah M. 2015, "A>4", Algorithms - ESA 2015 Proceedings, Springer, pp. 83-94. doi: 10.1007/978-3-662-48350-3.
3. Bousquet-Melou M. к Brak R. 2009, "Exactly Solved Models", Polygons, Polyominoes and Poly cubes, Springer, pp. 43-78. doi:10.1007/978-1-4020-9927-4.
4. Brlek S., Frosini A., Rinaldi S. к Vuillon L. 2006, "Tilings by translation: enumeration by a rational language approach", The electronic journal of combinatorics, Vol. 13, R15.
5. Brlek S., Provencal X. к Fedou J.-M. 2009, "On the tiling by translation problem", Discrete Applied Mathematics, Vol. 157, no. 3, pp. 464-475. doi:10.1016/j.dam.2008.05.026.
6. Fukuda H., Mutoh N., Nakamura G. к Schattschneider D. 2007, "A method to generate polvominoes and polviamonds for tilings with rotational symmetry", Graphs and Combinatorics, Vol. 23, Supplement 1, pp. 259-267. doi: 10.1007/s00373-007-0719-y.
7. Fukuda H., Mutoh N., Nakamura G. к Schattschneider D. 2008, "Enumeration of polvominoes, polviamonds and polvhexes for isohedral tilings with rotational symmetry", Computational Geometry and Graph Theory - International Conference, KyotoCGGT 2007, Kyoto, Japan, June 11-15, 2007. Revised Selected Papers, Springer, pp. 68-78. doi:10.1007/978-3-540-89550-3^7.
8. Gambini I. к Vuillon L. 2007, "An algorothm for deciding if a polvomino tiles the plane by translations", RAIRO Theoretical Informatics and Applications, Vol. 41, no. 2, pp. 147-155.
9. Golomb S. W. 1954, "Checker boards and polvominoes", American Mathematical Monthly, Vol. 61, pp. 672-682. doi: 10.2307/2307321.
10. Jensen I. 2003, "Counting polvominoes: a parallel implementation for cluster computing", Computational Science - ICCS 2003 Proceedings, Part III, Springer, pp. 203-212.
11. Klarner D. 1967, "A cell growth problems", Cand. J. Math., Vol. 19, pp. 851-863. doi: 10.4153/CJM-1967-080-4.
12. Klarner D. А. к Rivest R.L. 1973, "A procedure for improving the upper bound for the number of n-ominoes", Canad. J. Math., Vol. 25, pp. 585-602. doi:/10.4153/CJM-1973-060-4.
13. Madras N. к Slade G. 1996, The self-avoiding walk, Springer, 427 pp. doi:10.1007/978-1-4614-6025-1.
14. Myers J. 2016, "Polvomino, polvhex and polviamond tiling", Available at: https://www. polvomino .org .uk/mathematics/polvform-tiling/
15. Rhoads G. C. 2003, Planar Tilings and the Search for an Aperiodic Prototile, PhD dissertation, Rutgers University.
16. Rhoads G. C. 2005, "Planar tilings by polvominoes, polvhexes, and polviamonds", Journal of Computational and Applied MathemMics, Vol. 174, no. 2, pp. 329-353. doi:10.1016/ j.jcam.2004.05.002.
17. Schattschneider D. 1980, "Will it tile? Try the Conway criterion!", Mathematics Magazine, Vol. 53, no. 4, pp. 224-233.
18. Gardner M. 1999, Mathematical puzzles and diversions, 2nd edition, Dover, 447 pp.
19. Гарднер M. 1966, New m,at,hem,atical diversions from Scientific American, Simon and Shuster, 496 pp.
20. Gardner M. 1974, Mathematical games from Scientific American, Simon and Shuster, 456 pp.
21. Gardner M. 1988, Time travel and other mathematics bewilderments, Freeman and Co., New York, 341 pp.
22. Golomb S. W. 1994, Polyominoes, 2nd edition, Princeton University Press, New Jercev. 196 pp.
23. Maleev A. V. 2013, "Algorithm and computer-program search for variants of polvomino packings in plane", Kristallografija, Vol. 58, no. 5, pp. 749-756. (Russian), translation in Crystallography Reports, 2015, Vol. 60, no. 6, pp. 986-992. doi:10.7868/S0023476113040140.
24. Maleev А. V. к Shutov А. V. 2013, "On the number of translational plane tilings by polvomino", Trudy IX Vserossiiskoi nauchnoi shkoly "Matematicheskie issledovaniya v estestvennyh naukah " (Proc. IX All-Russian scientfic school "Mathematical Research in Natural sciences"), Apatity, pp. 101-106.
25. Nesterenko Ju. V., Galochkin A. I. к Shidlovskij A. B. 1984, Vvedenie v teoriju chisel [Introduction in number theory], Izdatel'stvo Moskovskogo Universiteta, Moskow, 152 pp.
26. Shutov A. V. к Kolomevkina E. V. 2014, "On the number of lattice tilings of a plane by a given area polvomino", Trudy IX Vserossiiskoi nauchnoi shkoly "Matematicheskie issledovaniya v estestvennyh naukah"(Proc. IX All-Russian scientfic school "Mathematical Research, in Natural sciences"), Apatity, pp. 147-152.
27. Shutov A. V. к Kolomevkina E. V. 2013, "The estimation of the number of lattice tilings of a plane by a given area polvomino ", Modelirovanie i Analiz Inform,acionnyh, Sistem, (Modeling and Analysis of Information Systems), Vol. 20, no. 5, pp. 148-157.
28. Shutov A. V. к Kolomevkina E. V. 2015, "The estimating of the number of lattice tilings of a plane by a given area centrosvmmetrical polvomino", Modelirovanie i Analiz Inform,acionnyh, Sistem, (Modeling and Analysis of Information Systems), Vol. 22, no. 2, pp. 295-303.
Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Владимирский государственный университет имени А. Г. и Н. Г. Столетовых
Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана
Получено 12.06.2016 г.
Принято в печать 13.09.2016 г.
