CC BY
7ОЦШЮВАННЯ ЗАВДАНЬ ДЕРЖАВНО1 ЩДСУМКОВО1 АТЕСТАЦП З МАТЕМАТИКИ З1 ЗМ1СТОВО1 Л1НП Р1ВНЯНЬ ТА НЕР1ВНОСТЕЙ У КОНТЕКСТ1 ВПРОВАДЖЕННЯ КОМПЕТЕНТН1СНОГО П1ДХОДУ ДО НАВЧАННЯ
В.В.Ачкан, старший викладач, Бердянський держ. педумверситет, м. Бердянськ, УКРА1НА
У статтi розглянуте питания актуальuостi та доцiльuостi удосконалення методики навчання учшв розв'язуванню рiвнянь та нерiвностей у кура алгебри г початюв аналiзу та оцтювання результатiв цього навчання в умовах впровадження компетентшсного тдходу; наведем методичш рекомендаци щодо оцтювання розв 'язування основними методами завдань третьог частини зi зм^тово'г лШг рiвнянь та нерiвностей державног тдсумково'г атестаци з математики.
У контекст! реформування математич-но! освгги, побудови особиспсно ор1енто-вано! системи математично! шдготовки, важливого значення набувае впровадження компетентшсного тдходу в оргатза-щю навчання та оцшювання його результата.
Загальн теоретичш положення щодо реашацл компетентшсного п1дходу в освт розглядаються в роботах Н.М.Б1бш: [2], 1.Г.Ермакова [2], О.В.Овчарук [2], А.В.Хуторського [9] та ш
Впровадженню компетентнгсного тд-ходу у математичну освггу присвячет роботи Л.ГЗайцево! [3], С.А.Ракова [8], О.В.Шавальово! [10], поняття компетентности знайшло свое вщображення у програм1 12-р1чно! школи з математики (у роздал "Старша школа") [5] та у загальних критер1ях оцшювання навчальних досяг-нень учшв у систем! загально! середньо! освгги [6], як впроваджен Мштстерством освгги та науки Укра!ни в 2008 роцг Наступним кроком впровадження компе-тентшсного тдходу до навчання математики повинна стати конкретизащя розроб-лених загальних шдходав до р1вня змгсто-вих лшш у основнш та старшш школт
Одшею з основних змшгових лшш шкшьного курсу алгебри 1 початкв
анал1зу е лшш р1внянь 1 нер1вностей, яка мае розгалужену систему внутр1шньо-предметних зв'язкiв з шшими лшшми курсу. Тому традицшно р1вняння 1 нерш-носл широко представлен в завданнях державно! пдсумково! атестаци та зовнш-нього незалежного оцшювання з математики. Але результати виконання цих завдань в останн1 роки суттево попршилися (нап-риклад, п1д час зовшшнього незалежного оцшювання (ЗНО) 1 в 2007, 1 в 2008 роках учням пропонувалася практично одна 1 та ж найпроспша логарифм1чна нер1вшсть (1о§0д 10 < 1о§0д X та ^,5 5 < 1о§0 5 х вщиовщно), яку виконали тшьки 16%-17% учшв). Це робить актуальною проблему визначення 1 обгрунтування можливосп удосконалення методики навчання учшв розв'язуванню р1внянь та нер1вностей у курс алгебри 1 початйв анал1зу та оцшювання результапв цього навчання. Одним 1з можливих шлях!в 1! вир1шення е впровадження компетентшсного тдходу до навчання, що передбачае адекватш змши у систем1 оцшювання навчальних досягнень. Адже, як зазначено у [6], визначення р1вня навчальних досягнень учшв е особливо важливим з огляду на те, що навчальна даяльшсть у кiнцевому
п1дсумку повинна не просто дати суму знань, вмшь та навичок, а сформувати компетенттсть як загальну здатшсть, що базуеться на знаниях, досвщ та данностях особистостi.
Важливим видом оцднювання навчаль-них досягнень учтв е державна пгдсумкова атестадая (ДПА) з математики. З 2007/2008 навчального року ДПА е обов'язковою для всгх учшв 11 класГв (кр1м учн1в гумаш-тарних класГв), що не виявили бажання брати участь у зовтшньому незалежному оц1нюванн1 (ЗНО) з математики. А зважаючи на те, що у 2008 рощ деякг ВНЗ, у яких ратше гснували вступт юпити з математики, не вимагали сертифжату ЗНО з математики, можна висунути припущен-ня, про певне зменшення з часом кiлькостi учшв, якг беруть участь у ЗНО, вщповщно збiльшення кiлькостi старшокласникiв, що зобов'язат будуть проходити ДПА. Ана-лiз завдань ДПА свiдчить про те, що у кожшй iз чотирьох частин збiрника [4] присутт завдання, як! безпосередньо пов'язаиi зi змiстовою лiиiею рiвняиь та нершностей. Та не для всiх подабних завдань наведенi рекомендаций щодо гх оцiиюваиия.
З оцiиюваииям завдань першог та дру-гог частини збiрника [4] проблем у вчителя не виникае, осюльки вiд учиiв вимагаеться лише вибрати правильну вiдповiдь iз за-пропонованих (перша частина) або навести вiдповiдь самостгйно (друга частина), не записуючи жодних мiркуваиь, що привели до даег вiдповiдi. При цьому в збiрнику [4, Кн.1, с. 3 - 6] наведено чгткг рекомендаций щодо кiлькостi балш, якг отримують за правильне виконання завдань першоГ, дру-гоГ, третьог' та четвертог' частин учн! загальноосвгттх, профiльиих класГв та класiв iз поглибленим вивченням математики. Але при оданювант завдань третьог та четвертоГ частини виникае питання щодо розподалу балiв п1д час розв'язуван-ня учнями завдань. Адже, як зазначалося у [1], до правильно!' вiдповiдi при розв'язу-ваииi рiвияния (нерiвностi або системи) можна прийти к1лькома загальними методами (для рiвиянь - це рiвносильнi пере-
творення, використання рiвиянь-наслiдкiв, використання властивостей функцщ; для нерiвностей - рiвносильнi перетворення та метод iнтервалiв; для систем рiвнянь -рiвносильнi перетворення та використання систем-наслГдкгв). У збiрнику [4, Кн.1] наведено приклади оцiнюваиия типових задач третьог та четвертог частини, але зi змштово'г лшп рiвияиь та нерiвностей надано лише два приклади iз схемами оцшюваиня розв'язаних методом рГвно-сильних перетворень тригонометричного рiвняиия та логарифмГчш'г' нерiвностi.
Як оцшювати вчителю да та шш! завдання, якщо учень вибрав шший метод розв'язування? Вадповщ на це питання й присвячена дана стаття. Ми наведемо схеми оцшювання завдань третьог частини зГ змштово'г лшгг рiвняиь i нерiвностей уама вищезазначеними загальними методами розв'язування рГвнянь, нерГвностей та гх систем (нами розроблеш схеми оцiиюваиня найбшьш типових завдань четвертог частини, проте це питання вимагае окремог уваги).
Якщо розв'язаиия рГвняння, нерГвносп чи системи рiвняиь будь-яким методом вдаеться розбити на чотири лопчних кроки, то, як правило, за правильне виконання кожного Гз цих крокгв учень отримуе один бал. Якщо ж запис розв'язання прикладу якимось методом мютить бГльше чотирьох логГчних крокгв, то доводиться гх об'еднувати в групи, Г за правильне виконання двох (а шода Г трьох крокгв) виставляеться один бал. Можлива й шша ситуация: запис розв'язання мГстить два або три лопчш кроки. У такому випадку якгсь Гз цих крокгв доводиться оцшювати двома, а то й трьома балами. Як правило, да лопчт кроки несуть велике змГстовне навантаження, Г тому бали можуть розподшятися нерГвномГрно.
Розглянемо на конкретному приклада розв'язання рГвняння трьома методами та наведемо загальну схему оцшювання розв'язання рГвнянь кожним Гз цих методав (табл.1).
Розв'яжгть рiвняиия
1сВз(* - 3) + 1о§з(* -1) = 1 [4, Кн.2].
©
Таблиця 1
Розв'язання piBHHHHH log3 (x - 3) + log3 (x -1) = 1 трьома загальними методами
Рiвносильнi перетворення Використання рiвнянь-настдктв Використання властивостей функцш
f x - 3 > 0 ОДЗ: \ ; [ x -1 > 0 f x > 3 1 г ;x > 3. [ x > 1 log3( x - 3)( x -1) = 1 За означенням логарифма (x - 3)( x -1) = 3; x2 - 4x = 0; x1 = 0; x2 = 4; x = 0 - не входить в ОДЗ. x = 4 -входить в ОДЗ. Вщповщь: 4. log3( x - 3)( x -1) = 1 За означенням логарифма (x - 3)( x -1) = 3; x2 - 4x = 0; x = 0; x2 = 4; Перевiрка: x = 0 - стороннш корiнь, осктльки log3(-3) не iснуe. x = 4 - коршь, осктльки log3(4 - 3) + log3 (4 -1) = 1; log3 1 + log3 3 = 1, log33 = 1; 1 = 1; Вщповщь: 4. Спробуемо пГдгбрати коршь. Починаемо з цглих чисел. Маемо * = 4 - коршь. Справдг, 1о§31 + 1о§3 3 = 1; 1о§31 ■ 3 = 1; 1о§3 3 = 1; 1 = 1. 1нших коренДв немае, оскГльки функидя /(*) = 1о§3( * - 3) + 1о§3( * -1) е зростаючою (як сума двох зростаючих функцш). ВГдповГдь: 4.
Наведемо схему оцГнювання розв'язання даного р^нян^ кожним Гз цих методгв.
Метод рГвносильних перетворень: ОДЗ зафгксовано й враховано - 1 бал; використання властивостей логарифма - 1 бал; використання означення логарифма -1 бал; розв'язання квадратного рГвняння -1 бал.
Метод використання рГвнянь-наслщ-кГв: використання властивостей логарифма -1 бал; використання означення логарифма -1 бал; розв'язання квадратного рГвняння - 1 бал; виконання перевГрки - 1 бал.
Метод використання властивостей функцГй: пГдбГр кореня - 1 бал; обгрунту-вання того, що рГвняння не мае гнших коренГв - 3 бали.
Розглянувши на конкретному прик-ладг схеми оцГнювання розв'язання рГвнянь трьома методами, наведемо узагальнеш схеми для оцiнювания певног групи завдань.
Метод рГвносильних перетворень: фгксування та врахуваиия ОДЗ оцшюеться одним балом; виконання кожного лопчно-го кроку, пов'язаного Гз використанням властивостей логарифмГчног, показниковог функцгг, алгебрагчних перетворень, замши змшно'г, розв'язуванням квадратного рГвняння, пгднесенням до степеня Г т. гн., оцшюеться одним балом.
Метод використання рГвнянь-наслгд-кГв: виконання кожного лопчного кроку, пов'язаного Гз використанням властивостей логарифмГчног, показниковог функцгг, алгебрагчних перетворень, замши змшно'г, розв'язуванням квадратного рiвияиия, пгднесенням до степеня Г т. Гн., оцшюеться одним балом; виконання перевГрки оцгнюеться одним балом.
1снуе група iррацiональиих рГвнянь [4, Кн.2, с. 71], [4, Кн.2, с. 97], [4, Кн.2, с. 171], [4, Кн.2, с. 197], розв'язання яких двома методами мГстить бДльше, нГж чотири логДчт кроки, Г схему оцГнювання яких ми наведемо як приклад оцГнювання розв'язання завдань у таких випадках.
Розглянемо розв'язання рГвняння
V* + 2 +л/ 3* - 2 = 4 [4, Кн.2] двома методами (табл.2).
Наведемо схему оцГнювання розв'язання подгбних прикладгв методом використання ргвнянь-наслГдкГв: Гзолювання одного Гз радикалГв, п^есення обох частин рiвняиия до квадрата та зведення подгбних членДв оцгнюеться одним балом; повторне пгднесення до квадрата та зведення подгбних члешв оцгнюеться одним балом; розв'язання квадратного рГвняння оцшюеться одним балом; виконан-
<s>
ня перев1рки та вщсдовання стороннього кореня ощнюеться одним балом.
Таблиця 2
Розв'язання р1вняння л/х + 2 + •>/3х-2 = 4 двома методами
Р1вносильт перетворення Використання р1внянь-наслщк1в
Г х + 2 > 0 ОДЗ: \ ; |Зх-2 > 0 Пщнесемо обидв1 ч квадрата: 3х - 2 = 1 8л] х + 2 = 20 - 2 х. р1вняння повин 20 - 2х > 0. Гх >-2 > 2 2 ;х>-. х >- 3 3 астини останнього р1вняння до 6 - 8>/ х + 2 + х + 2; Для вс1х корешв останнього на виконуватися умова л/3х - 2 = 4 -V х + 2. Пщнесемо обидв1 частини р1вняння до квадрата: 3х - 2 = 16 - 8>/ х + 2 + х + 2; 8у/х + 2 = 20 - 2х. Ще раз пщнесемо обидв1 частини р1вняння до квадрата: 16( х + 2) = 100 - 20х + х 2; х2 -36х + 68 = 0; х = 34; х2 = 2.
Ще раз пщнесемо обидв1 частини р1вняння до квадрата: 16( х + 2) = 100 - 20х + х 2; х2 -36х + 68 = 0; х = 34; х2 = 2. х = 34 не задовольняе умов1 20 - 2 х > 0, отже е стороншм коренем. х = 2 входить в ОДЗ 1 задовольняе умови 4-Vх + 2 > 0 та 20-2х > 0, отже х = 2 - коршь. Вщповщь: 2. Перев1рка: л/34 + 2 + >/102 - 2 ф 4, отже х = 34 - стороннш коршь; >/2 + 2 + л/6-2 = 4; 2 + 2 = 4; 4 = 4, отже х = 2 - коршь. Ввдповщь: 2.
Наведемо схему ощнювання подобных приклад1в методом р1вносильних перетворень: фксування ОДЗ, додаткових умов та !х урахування (тобто вщсдовання стороннього кореня) ощнюеться одним балом; 1золювання одного 1з радикал1в, пщнесення обох частин р1вняння до квадрата та зведення подобних ощнюеться одним балом; повторне п1днесення до квадрата та зведення подобних ощнюеться одним балом; розв' язання квадратного р1вняння ощнюеться одним балом.
Перейдемо до питання ощнювання розв'язання нер1вностей. У зб1рнику [4, Кн.1] наведен загальт рекомендаций щодо ощнювання розв'язання нер1вностей методом р1вносильних перетворень. Але вини-кае питання щодо ощнювання розв'язання нер1вностей методом штервал1в. Розглянемо розв'язання нер1вносп [4, Кн.2]
1о§0,2 (х -1) +10§0,2 (х + 3) > -1 методом штервал1в.
Знайдемо ОДЗ: х -1 > 0 Гх > 1
^ { ^ X > 1.
х + 3 > 0 [ х >-3 Знайдемо нут функцп:
1о§0,2( х -1)+1о§0,2( х+3) = -1; 1ов0,2 ( х -1)( х + 3) = -1; ( х -1)( х + 3) = 5; х 2 + 2х - 8 = 0; х1 =-4 (не входить в ОДЗ); х2 = 2. Вщштимо нул1 на ОДЗ та розставимо знаки в пром1жках, на як розбиваеться ОДЗ (рис. 1).
1 2 х
Рис. 1. Розв'язування нер1вносп
1о§0,2 (Х - 1) + 1о§0,2 (Х + 3) > -1 методом штервал1в
Запишемо вщповщь: х е (1; 2].
Наведемо загальну схему ощнюван-ня розв'язання нер1вностей методом штервал1в: найчаспше знаходження ОДЗ нер1вносл ощнюеться одним балом; знаходження нул1в функцп за допомогою використання властивостей логарифм1ч-но!, показниково! функцп, алгебра!чних перетворень, замши змшно!, розв'язання квадратного р1вняння 1 т.ш. ощнюеться двома балами; вщшчання нул1в функцп на ОДЗ, розстановка знаюв на пром1жках, на
®
якГ розбиваеться ОДЗ, та запис правильног вадповщ оцшюеться одним балом.
Розглянемо питання оцiиюваиня роз-в'язання систем рДвнянь. Наведемо розв'я-
р ' /1о§ *У
Розв язання системи <
IУ - 3*
|1оё*У + 41оёу * = 4 Г/1 зання системи < [4,
IУ - 3* = 4
Кн.2] методами ргвносильних перетворень та використання рiвняиь-наслiдкiв.
Таблиця 3
41о§ у* = 4
двома методами
4
Метод рiвносильних перетворень
Метод використання систем-наслщюв
ОДЗ:
x > 0
x Ф1 \logxy + 4logу x = 4, y > 0 [y - 3 x = 4;
I y ф 1;
log ж У + —4--4 = 0,
logx y
[ y - 3x = 4;
|log2 y - 4 log x y + 4 = 0, | (log x y - 2)2 = 0, [y - 3x = 4; [y - 3x = 4;
flogx y = 2, |y = x2 [y - 3x = 4; [y - 3x = 4; [y - 3x = 4; [ x = -1, _ f x = 4, f x = -1 |y = 3x + 4 f x = 4,
I у = 16.
x = -1, m y = 1 не задовольняють ОДЗ. Пара (4; 16) - розв'язок (x = 4 та y = 16 задовольняють ОДЗ). Вщповщь: (4;16).
або
-3x - 4 = 0,
або
y = 3x + 4; [y = 1, Пара (-1;1) не е розв'язком, адже m
Jlog ХУ + 4log yx = 4, IУ - 3x = 4;
log ж У + —4--4 = 0,
log x У
y - 3x = 4;
[log2 y - 4 log x y + 4 = 0, j(log x y - 2)2 = 0,
[У - 3x = 4; [y - 3x = 4;
flogxy = 2, [y = x2, [x2 -3x-4 = 0,
[У - 3x = 4; [y - 3x = 4; [y - 3x = 4;
f x = -1, « f x = 4, f x = -1,
< або < < або
IУ = 3x + 4, |У = 3x + 4; [y = 1,
f x = 4,
У = 16.
Перевiрка:
1)
flog 41 + 4log1(-1) = 4,
що неможливо,
y - 3x = 4;
отже пара (-1;1) не е розв'язком;
flog416 + 4logj6 4 = 4, [4 = 4, 2) < < отже пара
[16 - 3 • 4 = 4; [4 = 4,
(4;16) - розв'язок. Вщповщь: (4;16)._
На основД аналДзу отриманих розв'язань ми видглили наступн! схеми оцгнювання розв'язаиия заданог системи рДвнянь двома методами.
Метод ргвносильних перетворень: фгксування та врахуваиия ОДЗ оцшюеться одним балом; зведення логарифмДчного рГвняння до квадратного вГдносно логарифмГчног функщг оцшюеться одним балом; розв'язання отриманог в результат! цих перетворень системи оцшюеться двома балами.
Метод використання систем-наслДд-кГв: зведення логарифмДчного рГвняння до
квадратного вГдносно логарифмiчио'í фун-щп оцгнюеться одним балом; розв'язання отриманог в результат! цих перетворень системи оцгнюеться двома балами; вико-нання перевДрки оцшюеться одним балом.
Зазначимо, що наведен! критергг (схеми оцшювання) повинт бути вгдкритГ для учнДв, тому бажано пгд час урокгв систематизацгг та узагальнення ознайоми-ти з ними учнДв.
Вище наведет схеми оцгнювання зрозумДло не виргшують усДх труднощДв, якГ можуть виникнути у вчителя в процесГ перевДрки завдань третьог частини держав-
© Achkan V.
hoï пщсумково'1 атестаци 3i змгстово'1 лши р1внянь та нер1вностей. Проте, як засвщчи-ла практика проведения ДПА у низщ шкiл м. Бердянська, ïx застосування полегшуе роботу вчителiв у процеа перевiрки, сприяе об'ективностi та стандартизации оцшюваиия. Ознайомлення учнiв iз цими критер1ями сприяе чтгкому i свщомому розв'язуванню та оформленню розв'язання ними завдань зi змiстовоï лши рiвиянь та нерiвностей п1д час державно'1 тдсум-ково'1 атестаци, виявленню математичних компетентностей учиiв.
Нагальним i важливим в умовах впроваджеиия компетентшсного щдходу у математичну освiту, на нашу думку, е роз-робка критерпв оцiнюваиня розв'язаиия учиями завдаиь третьо'1 та четверто'1 час-тин ДПА з шших змiстовиx лшш курсiв алгебри та початав аналiзу та геометри.
1. Ачкан ВВ. Формування процедурно1 компетентноат старшокласнитв у процеа вивчення ргвнянь та неровностей / В.ВЛчкан // ЗСпрник наукових праць Бердянського державнато педагогтого университету ^^œœimi науки). - № 4. -Бердянськ ЦЦПУ, 2007. - С. 138-144.
2. БШк Н.М. Компетентнкна oceima - eid meopiï до практики/ H.M.Eî6îk, 1.Г.Срлшков, OB. Овчарук - К: Плеяда, 2005. -120 с.
Ъ.ЗтщваЛ.1. Формування елементарно1 ма-mevamimoi компетентноат в dimeù старшого дошкшьного вгку: дне. ... канд. пед. наук: 13.00.08 /
- ., - 2005. - 215 .
4. Збгрнж завдань для державно1 тдеум-meoï атестацй з математики 11 клас: У 2 кн. / [М.1.Б^да, ОЯ.БЫтна, О.П.Вашуленко, Н.С.П^копенко]. -X.: Лмназ1я, 2008. - Кн. 1 - 224 е.; Кн. 2 - 224 с.
5. Навчальна програма з математики для загальнооевтна навчальних закладгв, 10 -12 класи (cmapuia школа) //Математика в школг, 2006. - № 3. - C. 3 -11.
6. НаказМОИ Укроти eid 05.05.2008№ 371. - [^жронний ресурс]. - Режим доступу: -www. mon. gov. ua/laws/MON_371 08. doc
7. Прокопенко КС. Методичш рекомендацй щодо проведения державшл nidcyMKoeoï атестаци з математики в 11 (12) класах загальнооевтна навчальних закласЯв у 2007/2008 навчалъномуpoifi / Н.С.П^копенко //Математика в школг. - 2008. -№ 3. - С. 3 - 5.
&.Раков С.А. Математична oceima: компе-тентшений nidxid з використанням 1КТ: / C. . . - .: , 2005. - 360 .
9. Хуторской А.В. Ключевые компетенции как компонент личностно ориентированной
/ . . // образование. - 2003. - № 2. - С. 58 - 65.
10.Шажльова О.В. Реал1зацш компетенттсного nidxody у математичнш тдготовц1 студентю медичних коледжю в умовах комп'ю-теризацй навчання: автореф. duc. на здобуття наук. ступеня канд. пед. наук: 13.00.02 "Teoprn i методика навчання математики' / О.В.Шава-лъова. - К, 2007. - 20 с.
Резюме. Ачкан В.В. ОЦЕНИВАНИЕ ЗАДАНИЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ИЗ СОДЕРЖАТЕЛЬНОЙ ЛИНИИ УРАВНЕНИЙ И
НЕРАВЕНСТВ В КОНТЕКСТЕ ВНЕДРЕНИЯ КОМПЕТЕНТНОСТНОГО ПОДХОДА В
.
методики обучения учеников решению уравнений и неравенств в курсе алгебры и начал анализа и 01(енивания результатов этого обучения в условиях внедрения компетентностного подхода; приведены метрические рекомендации относительно огрниванш решения основными методами заданий третьей части государственной итоговой аттестации из содержательной линии уравнений и неравенств.
Summary. Achkan V. THE EVOLUTIONAL TESTS OF STATE TOTAL ATTESTATION IN MATHEMATICS FROM THE CONTENT LINE OF EQUITATIONS AND INEQUALITIES IN CONTENT OF INTRODUCING THE COMPETENT APPROACH IN STUDYING. The matter of actuality and expediency of improving the teaching methodic to solve equitation's and inequalities in algebra course and beginning of analysis is considered In the article. The evaluation the results of this teaching on condition of introducing the competent approach is represented. Some methodical recommendations for evaluation the solution by means the basic methods the tasks of the third part of state total attestation from the content line of equitation's and inequalities are suggested.
Стаття представлена професором О.1.Скафою.
Надшшла до редакци 7.04.2009р.
©
