CC BY
215
УДК 621.311.016
ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО НЕКВАДРАТИЧНЫМ КРИТЕРИЯМ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ В ФОРМЕ РАВЕНСТВ
М.В. ХОХЛОВ
Институт социально-экономических и энергетических проблем Севера
Коми НЦ УрО РАН, г.Сыктывкар
Представлены численные методы оценивания состояния электроэнергетических систем по неквадратичным критериям с учетом ограничений в форме равенств. Показано, что задача эффективно решается методами функции Лагранжа, модифицированной функции Лагранжа и расширенной системы Хач-тела. Приведены результаты экспериментальных исследований разработанных методов на стандартных тестовых схемах электроэнергетических систем.
Ключевые слова: электроэнергетическая система, оценивание состояния, неквадратичный критерий, ограничения типа равенств
M.V. KHOKHLOV. NONQUADRATIC CRITERIA BASED POWER SYSTEM STATE ESTIMATION WITH EQUALITY CONSTRAINTS
Solution techniques for nonquadratic criteria based power system state estimation subject to equality constraints are presented. It is shown that the problem is effectively solved using Lagrangian method, augmented Lagrangian method and Hachtel’s augmented matrix method. Numerical results are given for standard test power systems
Key words: power system, state estimation, nonquadratic criteria, equality constraints
Решение аналитических задач оперативного контроля и управления электроэнергетическими системами (ЭЭС) возможно лишь при наличии оперативной модели ЭЭС, формируемой в темпе процесса по данным измерительной информации о положении коммутационной аппаратуры и значениях параметров режима. Эта модель необходима для анализа надежности ЭЭС, оптимизации и коррекции режимов, проведения различных имитационных расчетов, связанных с проверкой различных прогнозируемых ситуаций и т.д. Ключевым этапом построения оперативной модели ЭЭС является оценивание ее состояния, подразумевающее нахождение статистических оценок параметров режима, удовлетворяющих некоторому критерию качества. Выбор критерия определяется предположениями о вероятностных свойствах и характеристиках ошибок измерений, неизбежно присутствующих в исходной информации. Традиционно в качестве критерия качества оценок используют минимум суммы взвешенных квадратов невязок измерений, полагая, что ошибки следуют нормальному закону распределения. Благодаря удобным для использования методов минимизации вычислительным свойствам квадратичной функции эта постановка получила самое широкое развитие в работах как отечественных, так и зарубежных исследователей [1-3].
В Отделе энергетики ИСЭиЭПС Коми НЦ УрО РАН разрабатываются методы оценивания состояния ЭЭС по неквадратичным критериям. В отличие
от оценок наименьших квадратов, неквадратичные оценки обладают важным с практической точки зрения свойством робастности [4]: они малочувствительны к нарушениям исходных предположений о распределении ошибок, в том числе к появлению больших непредсказуемых ошибок, возникающих в результате отказов элементов или сбоев в системе сбора и передачи измерительной информации. Вместе с тем, вычислительные свойства задачи существенно отличаются от свойств задачи с квадратичным критерием. В работе [5] был представлен численный метод, демонстрирующий высокую скорость и надежность сходимости вычислительного процесса минимизации неквадратичной функции невязок измерений, основанный на модификации метода Ньютона и применении процедуры расчета оптимального шагового множителя. В данной работе выполнено развитие метода для решения задачи оценивания состояния ЭЭС с ограничениями в форме равенств.
Введение в задачу ограничений в форме равенств вызвано наличием в информации о режиме функционирования ЭЭС детерминированных компонент, таких как нулевые инъекции транзитных узлов. В этих узлах нагрузка и генерация отсутствуют. Таким образом, значения активной и реактивной мощности в них тождественно равны нулю, р{ = о , Qi = 0 . Большое количество ограничений-равенств возникает при разворачивании расчетной схемы ЭЭС до уровня коммутационных схем отдельных станций и подстанций, связи соединений в
которых имеют сопротивление либо ноль (выключатель замкнут), либо бесконечность (выключатель разомкнут). Моделирование таких связей в задаче оценивания состояния ЭЭС соответствует заданию тождеств Аи,- = 0 , А5- = 0 в первом случае и Р- = 0 ,
Qij = 0 во втором, где АЦ- и А5- - разность модулей и фаз напряжений по концам связи /-/, Р и QУ■ -
перетоки активной и реактивной мощности через выключатель [6].
Методы учета ограничений, излагаемые ниже, следуют подходу, основанному на использовании множителей Лагранжа. Эти методы хорошо себя зарекомендовали для решения задачи оценивания состояния ЭЭС по критерию наименьших квадратов [7, 8] и могут быть эффективно применены при использовании неквадратичных критериев. Представленный материал ограничен рассмотрением неквадратичного критерия Хьюбера. Обобщение на другие критериальные функции, имеющие непрерывную кусочно-линейную функцию производной, не представляет труда.
Формулировка задачи
Для известных топологии и параметров расчетной схемы ЭЭС модель измерения имеет вид:
У = у(х) + £ ,
где у - да-мерный вектор измерений, состоящий обычно из измерений перетоков активных Р- и реактивных Qi-j мощностей по связям, активных Р, и реактивных Qi мощностей нагрузки и генерации, модулей напряжений на шинах и др.; х - п-мерный вектор истинного состояния ЭЭС, в качестве компонент которого обычно рассматривают составляющие комплексов напряжений, а также перетоки мощности через выключатели; у(х) - да-мер-ная нелинейная векторная функция зависимости измеряемых параметров от вектора состояния х; £
- да-мерный вектор ошибок, обусловленных погрешностью измерительных трансформаторов, преобразователей, возникновением помех в каналах передачи и пр. Ограничения в форме равенств представляются в виде множества уравнений вида: с(х) = 0 ,
где с(х) - 5-мерная нелинейная векторная функция.
Задача оценивания состояния ЭЭС заключается в нахождении оценок состояния вектора X , который минимизирует неквадратичную функцию взвешенных невязок измерений и удовлетворяет ограничениям с(х) = 0 , т.е.
минимизировать 2 р
,=1
У,
а
при ограничениях с(х) = 0, (2)
где а, - среднеквадратичное отклонение ожидаемой ошибки ,-го измерения; р() - неквадратичная функция Хьюбера:
(1)
р(г ) =
—, при Г ^ а,
г| • а - а2/2, при |г| > а,
(3)
где а > 0. В общем случае слагаемые под знаком суммы, как и аргументы функции (3), могут иметь различные весовые коэффициенты, улучшающие робастные свойства оценки в условиях неоднородности параметров сети и неравноточности измерений [4].
Решение задачи осуществляется итеративным путем. Переход к очередному приближению вектора состояния в соответствие с вычислительной формулой
хк+1 = хк + ЧРк, (4)
где к - номер итерации, включает нахождение направления поиска рк и длины шага %, с которым надо двигаться вдоль этого направления.
Расчет направления поиска
Рассмотрим три варианта определения направления рк , когда задача оценивания состояния ЭЭС содержит ограничения в форме равенств. Все они приводят к различным системам линейных уравнений относительно рк .
Метод функции Лагранжа. Для задачи (1-2) введем функцию Лагранжа
L(xЛ)=^Z р(г, (х)) - ХТс(х),
,=1
где X - вектор множителей Лагранжа,
г, (х)=(у, - у, (х))/а, . Тогда необходимые условия
оптимальности задачи записываются в виде условий Куна-Таккера:
^ = -HTR-1/2¥{r)- СТХ = 0, дх
— = -с(х) = 0,
дХ
(5)
где Н = ду(х)1 дх и С = дс(х)/дх - матрицы Якоби уравнений измерений и ограничений соответственно, R = diag{а2) - дисперсионная матрица ошибок измерений, у/(г) = [^(г1),...,^(гт)]Т - вектор-функция, образованная из функций у/(г, ) = р'(г,)
Для решения системы нелинейных уравнений
(5) применим модифицированный метод Ньютона
[5]. Линеаризуем (5) в окрестности текущей точки
хк, полагая, что матрицы Якоби в процессе линеаризации постоянные, т.е. Н (хк + рк)« Нк и
С(хк + Рк)~ Ск :
У(хк + Рк)~ У(хк) + НкРк ,
Лг (хк+Рк))~ Лг (хк)) - о^1,2нкРк,
с(хк+Рк)~ с(хк)+СкРк, где Б = diag(~(г))« diag(р”(r)) и получим систему линейных уравнений
' Нвг^ЪкН к 1 о Рк 1 3 г2 7
Ск 0 _- Хк+1. _ - с(хк) .
(6)
Замена функции второй производной р”(г) неквадратичного критерия ее положительной аппроксимацией d (г) [5]:
2
d(r ) =
(7)
11, при |r| < a,
la- a/r, при |r| > a, где 0 < a < 1, обеспечивает несингулярность матрицы коэффициентов при неизвестных pk и lk+1 .
Заметим, что матрица коэффициентов в (6) симметричная, но знаконеопределенная. Это исключает возможность непосредственного применения
T
традиционных LDL -алгоритмов решения разреженных систем уравнений с предварительным символьным упорядочением, используемых при оценивании состояния ЭСС без ограничений, и требует применения специальных методов численной факторизации.
Метод модифицированной функции Лагранжа. Рассмотрим модифицированную функцию Лагранжа, расширенную за счет добавления квадратичного штрафа:
L(x, l) = 2 p(ri (x)) - lTc(x) +1 cT (x)R-Cx) ,
¿=1 2
где R-1 - положительная диагональная матрица штрафных коэффициентов. В этом случае система нелинейных уравнений имеет вид:
— = -HTR-1/2w(r) + CTR-1c(x)- CT Я = 0, dx
— = -c(x) = 0, dl W
линеаризация которой дает следующую систему линейных уравнений:
HTkR-1Dh + CTkR-lCk Ct
Ct
Ck
Pk - l
‘k+1,
HTR -/V(r (xk))- C[R-1c(xk)
- c(xk)
(8)
Обозначим Fk = h\r lDkHk + C-tRc1C- , тогда
матрица коэффициентов в (8) Kk =
Fk CT Ck 0
. Для
наблюдаемой ЭЭС Fk является положительно определенной матрицей, тогда как в методе функции Лагранжа она может быть вырожденной, если среди ограничений имеются критические по условию наблюдаемости ЭЭС. Эта особенность позволяет в полной мере использовать процедуры факторизации с предварительным символьным упорядочением, не опасаясь появления нулевых диагональных элементов в процессе численного разложения матрицы коэффициентов Kk . Запишем треугольную факторизацию
Kk = LDL в виде (индекс номера итерации опущен):
(9)
F CT ' L 1 0 "А 0 ' 1 L 1T L1 L3
C 0 _L 1 2 1 0 1 2 D2 1 0 1 3 T 2
L1D1L
L1D1LT3
D Lt
-2 D2 l2
Ц3 ВЦ Ц3 Б/ + L2 Б2 ¿2
откуда получаем выражения для вычисления факторов:
(10) (11)
F = LDL ,
C = l3d1LT ,
= ¿20212 . (12)
Поскольку F положительно определенная матрица, разложение (10) существует. Из (11) находим Ц = СЦ2В-х. После подстановки в (12) имеем
1зД4 = СЦ-ТД“1ДД“1Ц“1СТ = СЕ-ТП-1Е-1СТ = CF-Ст и, учитывая, что матрица С имеет полный строчный ранг (ее строки соответствуют нулевым инъекциям в различных узлах), заключаем, что разложение (12) также существует.
Метод расширенной системы Хачтела. Задача (1-2) может быть сформулирована в виде:
минимизировать £ р(г)
г=1
при ограничениях г = Р~12 (у-у(х)), (13)
с(х) = 0 . (14)
Составим функцию Лагранжа:
Ь(х,Х,^)='£ р(г) - ХТ с(х)- ¡7 {г- р12 (у - у(х))),
г=1
где Х и 7 - векторы множителей Лагранжа, соответствующие ограничениям (14) и (13), и запишем необходимые условия оптимальности задачи, вытекающие из условий Куна-Таккера:
'дЦ = г-р-12 (
дц
— = r-R 12 (y(x)- у)= 0,
^L=v(r)-р=0,
dr
— = HT R - V2,,+ CT l = 0,
dx
— = -c(x) = 0.
dl v ’
Система линейных уравнений, требующая решения на каждом шаге итерационного процесса (4), принимает вид:
D-1 RTl,2Hk 0 pk+1 D-lArk)
Е-^ -ii О 0 7 Е-^ Pk = 0
0 Ck 0 _lk+1 _ 1 £ 1
. (15)
Матрицу коэффициентов в (15) называют расширенной матрицей Хачтела. Заметим, что если преобразовать систему (15) путем исключения множителя 7к+1, она становится идентична системе
(6). Размерность (15) значительно выше, чем (6), однако обусловленность расширенной матрицы потенциально лучше, обеспечивая вычислительному процессу большую численную устойчивость. Это связано с тем, что в (15) отсутствует произведение
НТР~х5н , число обусловленности которого равно квадрату числа обусловленности матрицы
51/2р~ 1/2н .
Определение длины шага
При определении длины шага % в задаче оценивания с ограничениями значение целевой функции не может служить оценкой качества нового приближения как в [5]. Для оценки качества шага в
0
теории условной оптимизации используют функцию выигрыша ф(х), значения которой отражают (обычно конфликтующие) стремления к уменьшению целевой функции и соблюдению ограничений. Это достигается добавлением к целевой функции слагаемых, чьи значения в недопустимой области положительны и имеют смысл «штрафов» за нарушение ограничений. В качестве функции выигрыша здесь принимается следующая:
ф = £ р(г(х)) + Ц £\с(х) , (16)
1 =1 1 =1
где ц > 0 - параметр штрафа. Отличительная особенность абсолютной штрафной функции в том, что существует конечное значение Ц, такое, что для
любого ц>Ц любое решение х* исходной задачи является точкой минимума функции выигрыша [9]. По этой причине функцию выигрыша вида (16) называют точной. В [9] доказано, что нижняя граница
для параметра штрафа ц = |Х||ш = тах|л*|), где Х* -вектор множителей Лагранжа, соответствующий ограничениям с(х) = 0 в точке решения х* исходной задачи. Поскольку Х* заранее неизвестен, используется его оценка Хк+1 , получаемая на 1<-м шаге итерационного процесса. Таким образом, значение параметра штрафа ц в (16) задается как
Ц = д\Хк+Цш , (17)
где д > 1.
Шаг tk , обеспечивающий максимальное убывание функции выигрыша (16) вдоль направления рк , определяется в результате решения задачи одномерной оптимизации:
1к = а^ттф(/), (18)
t
где ф(0=ф(хк + Р)=£Р(Г(хк + Р))+Ц^|с(хк + Р|.
1=1 1 =1
Метод решения аналогичен предложенному в [5] и заключается в решении уравнения
ф'^) = К^3 + К^2 + К^ + К4 = 0 , (19)
кусочно-постоянные коэффициенты которого определяются по формулам:
К = 2 £ А2 ,
к2 = 3 Z 4 вг,
ieQ
K3 = z(24 Г (xk)+b2)+2a Ssgn(r (t))4 + 2^2>gr(ci (t
z'gQ z'gQ i=1
(20)
K4 =2 вггг (xk)+a 2 sgn(r (t ))Bi +^ 2 sgn(c (t ))b; ,
i'eQ i'gQ i=1
где Q = Q(t) = {l | r(t)< a} - множество индексов активных невязок измерений; Al, B{, A , B' - коэффициенты разложения функции невязок измерений
Г (t)= Г (xk + tPk) и ограничений c (t) = c (xk + tpk) в ряд Тейлора второго порядка, т.е. Г (t)= Г (xk) + Bit + A2t и c (t) = ci (xk) + B',t + A2t соответственно. При использовании в качестве компо-
нент вектора х действующих и мнимых составляющих комплексов напряжений, разложение для мощностей Р и Q точное.
Путем решения (2т + 5) квадратичных уравнений находим множество
г={*]1 г (хк+т]Рк )= ±а,г = 1,...,т;с (хк +т]Рк )=0,1=1,..,5} точек 0<г1 <г2,---,<% пересечения траектории поиска рк с границами областей, в которых коэффициенты (20) постоянны. Начиная с первой точки т1, проверяем значение производной ф'[т]-) и выделяем интервал [тг-1,т1 ], такой что ф'(т1 -1)<0 , ф'(т1 )>0 . Решением кубического уравнения (19) находим наименьший действительный положительный корень, который принимаем за искомый %. Если корень интервалу [т1 -1,т1 ] не принадлежит, значит, в точке происходит смена знака невязки одного из ограничений. В этом случае решением (18) является % =тг.
Заметим, что число арифметических операций при расчете длины шага сокращается, когда функции С(х) линейные. В этом случае А = 0. Поэтому уравнения (2) для транзитных узлов при расчете в прямоугольных координатах эффективнее записывать в форме баланса активных и реактивных токов:
1а(и,и" ) = 0 , 1Г(и' и" ) = 0 .
Результаты численных экспериментов
Описание тестовых примеров. Характеристики четырех измерительных систем, сформированных для оценивания состояния четырех тестовых схем ЭЭС1, содержащих транзитные узлы, представлены в табл.1. Для каждой схемы состав измерений, обеспечивающий наблюдаемость ЭЭС, сгенерирован случайным образом. К значениям измеряемых параметров установившегося режима добавлены случайные ошибки, распределенные по нормальному закону ^ ^ N(),ст2). Для моделирования не-равноточности измерений, дисперсия ст2 каждого
Таблица 1
Характеристики тестовых примеров
Схема ЭЭС
Характеристика IEEE- 30 IEEE- 118 IEEE- 300 TVA- 444
Узлов/ветвей 30/41 118/179 300/411 444/560
Состав измерений:
Всего 109 487 986 1891
Инъекций P/Q 7/7 19/18 56/50 100/91
Перетоков P/Q 40/40 214/186 400/400 696/704
Напряжений U 15 50 80 300
Число нулевых инъекций P/Q 6/6 10/10 63/63 48/48
Число неверных измерений 5 20 35 72
1 Параметры сети и режима каждой тестовой ЭЭС приведены на сайте Отдела энергетики ИСЭиЭПС Коми НЦ УрО РАН http://energe.komisc.ru/
измерения была задана как псевдослучайное число из диапазона [0,25а2 2,25aUJ. Величина аи устанавливалась в зависимости от класса напряжения сети аи = ином/200 . Таким образом, в сети низкого напряжения значения дисперсий задавались меньшими, чем в сети высокого напряжения. Например, в схеме IEEE-300 для параметров режима сети
0,6 кВ дисперсии ошибок измерений а2 «(0,3 + 2) х 10~5,
тогда как в сети 345 кВ - а2 « 0,7 + 7 . К некоторым измерениям были добавлены случайные большие величины из диапазона + [10стг- 50а J, имитирующие грубые ошибки.
Описание реализации методов. Используем следующую мнемонику для обозначения численных методов, в которых нулевые инъекции транзитных узлов обрабатываются как ограничения в форме равенств: aL57 - метод функции Лагранжа; aLm - метод модифицированной функции Лагранжа; aH57 - метод расширенной системы Хачтела. Для сравнения рассматривается также метод, в котором нулевые инъекции транзитных узлов представляются как псевдоизмерения высокой точности (а2 = 10_8, i = и
вводятся в целевую функцию наряду с имеющимися измерениями. Обозначим его как aGN.
Для LDL -факторизации знаконеопределенных матриц линейных систем (6) и (15) методов aL57 и aH57 использовалась программа MA57 версии 3.2.0 библиотеки HSL 2004 [10]. Исследование в [11] различных математических пакетов, предназначенных для решения разреженных симметричных неопределенных систем, показало, что MA57 на сегодняшний день является одним из лучших как по быстродействию и точности, так и по устойчивости факторизации. Код программы предоставлен разработчиками библиотеки2.
Для разложения положительно определенных матриц, формируемых в методах aLm и aGN,
применялась стандартная LdL -факторизация. Предварительное упорядочение этих матриц, направленное на уменьшение числа ненулевых элементов в факторе L, осуществлялось с помощью программы AMD3 версии 2.0, реализующей приближенный алгоритм минимальной степени [12].
Следующие параметры использовались в расчетных исследованиях. Точка перегиба функции Хьюбера (3) а = 1,4. Параметр а модификации метода Ньютона (см.(7)) на к-й итерации ак = 0,5e ^2. Матрица штрафных коэффициентов модифицированной функции Лагранжа R~l = I х10_2. Коэффициент q в определении параметра штрафа (17) функции выигрыша q = 1,05 . Параметры настройки алгоритма МА57 - по умолчанию.
Оценивание состояния ЭЭС выполнялось в прямоугольных координатах переменных состояния.
Официальный сайт разработчиков библиотеки HSL -http://www.cse.scitech.ac.uk/nag/hsl/hsl.shtml 3Код программы АМЮ доступен на сайте разработчика проф. Т.Девиса http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/amd
В качестве начального приближения х0 использовался плоский старт V = ином, V = 0 . Уравнения (2) для нулевых инъекций транзитных узлов записывались в форме баланса мощностей. Итеративный переход (4) сопровождался коррекцией второго порядка [9]: хк+1 = хк + tkРk + Рк , где корректирую-
щая поправка pk
-- Cl Cc )^c(*k + tkPk). Критерием
останова служило выполнение условий
/ (хк-1)~ / (хк)
(1 + / (хк))
/(хк) - значение целевой функции на 1<-й итерации,
или
К4 - _е2 :
где
е1 = 10
-8
е2 = 10
6. Расчеты выполнялись на ПЭВМ класса Celeron 1.60 GHz.
Обсуждение результатов. Результаты исследования сопоставляемых методов на примере оценивания состояния тестовых ЭЭС представлены в таблицах 2-4. Их анализ показывает следующее.
Таблица 2
Обусловленность итерационных матриц, logio (cond)
Метод Схема ЭЭС
IEEE-30 | IEEE-118 | IEEE-300 TVA-444
aGN 11 12 13 17
aL57 4 4-5 6 8-9
aLm 4 4-5 6 8-9
aH57 3 3 5 7-8
1) Выделение уравнений фиксированных параметров режима (нулевых инъекций) в систему ограничений в форме равенств обеспечивает существенно более высокую численную устойчивость решения задачи оценивания состояния ЭЭС, чем их обработка в виде псевдоизмерений высокой точности. В последнем случае плохая обусловленность матрицы коэффициентов системы линейных уравнений (табл. 2) может приводить к потере точности вычисления направления рк и отказу вычислительного процесса, что наблюдается при оценивании состояния системы ^А-444 (табл.3).
Таблица 3 Число итераций сходимости методов
Метод
Схема ЭЭС
IEEE-30 IEEE-118 IEEE-300 TVA-444
aGN
aL57
aLm
aH57
12
10
10
10
14
15 15 15
отказ
19
17
19
2) Использование ограничений в задаче оценивания состояния ЭЭС не ухудшает скорость сходимости итерационного процесса. Число итераций сходимости всех методов практически одинаково (табл.3).
3) Основное различие между методами ^т, ^57 и аИ57 проявляется в вычислительной трудоемкости выполнения одного шага итерации, которая заметно выше, чем в методе aGN (табл.4).
Таблица 4
Заключение
Соотношение вычислительных характеристик методов
Метод Схема ЭЭС
1ЕЕЕ-30 | 1ЕЕЕ-118 | 1ЕЕЕ-300 | ТУА-444
Размер матрицы коэффициентов
aGN 59 х 59 235 х 235 599 х 599 887 x 887
aL57 71 x 71 255 x 255 725 x 725 983 x 983
aLm 71 x 71 255 x 255 725 x 725 983 x 983
aH57 180x 180 742 x 742 1 711 x 1 711 2 874 x 2 874
Число ненулевых элементов матрицы коэ( )фициентов
aGN 729 2 717 8 101 8 629
aL57 689 2 657 7 985 8 813
aLm 961 3 065 10 171 10 125
aH57 1 191 4 807 11 490 18 199
Число ненулевых элементов L-фактора
aGN 422 1 818 5 422 5 838
aL57 445 1 844 6 153 6 377
aLm 752 2 904 23 025 16 007
aH57 995 4 088 10 509 15 305
Время LDLT -разложения, мс
aGN 0,06 0,27 0,85 0,85
aL57 0,34 1,38 4,98 5,75
aLm 0,27 0,99 16,92 9,02
aH57 0,78 3,72 9,81 16,10
Причины увеличения времени счета различны. В методе ^т повышение трудоемкости обусловлено увеличением числа ненулевых элементов фактора L
из-за очень плотной матрицы , факторизуемой
в (12). В методах ^57 и аИ57 в связи с необходимостью выбора ведущего блока применяется реализуемая в МА57 динамическая факторизация. Это приводит к увеличению числа логических операций и числа операций работы с памятью.
Из результатов сравнения следует, что при прочих равных условиях (обусловленность линейной подзадачи, скорость сходимости) метод ^57, основанный на функции Лагранжа, эффективнее метода аИ57, использующего расширенную систему Хачтела. Учитывая, что время решения треугольных систем пропорционально числу ненулевых элементов матрицы L, преимущества первого возрастают. Тем не менее, представляется, что применение расширенной матрицы, как имеющей лучшую обусловленность, обеспечивает более высокую надежность сходимости итерационного процесса при расчете схем с сильно неоднородными параметрами сети и неравноточными измерениями.
Метод ^т модифицированной функции Лагранжа использует типовой алгоритм факторизации е предварительным упорядочением, и это дает преимущество с точки зрения практической реализации. Наблюдаемое увеличение числа ненулевых элементов в процессе разложения (9), может быть преодолено разработкой более совершенных алгоритмов упорядочения, предназначенных для матриц такого типа.
В работе предложены численные методы оценивания состояния ЭЭС по неквадратичным критериям, обеспечивающие надежную и быструю сходимость вычислительного процесса. Это достигается за счет: 1) обработки детерминированных компонент исходной информации как ограничений в форме равенств; 2) модификации метода Ньютона при решении систем нелинейных уравнений; 3) использования разработанной процедуры оптимизации шага. Расчеты, выполненные на тестовых ЭЭС, показали, что лучшей численной устойчивостью обладает метод расширенной системы Хачтела. Менее трудоемким с точки зрения затрат машинного времени является оценивание состояния методом функции Лагранжа. Повышение вычислительной эффективности метода модифицированной функции Лагранжа связано с разработкой более совершенных алгоритмов упорядочения итерационных матриц.
Литература
1. Гамм А.З., Герасимов Л.Н., Колосок И.Н. и др. Оценивание состояния в электроэнергетике. М.: Наука, 1983. 320 с.
2. Monticelli A. State estimation in electric power systems - a generalized approach. Norwell, MA: Kluwer, 1999. 390 p.
3. Abur A. Power system state estimation: Theory and implementation. New York: Marcel Deccer, Inc., 2004. 330 p.
4. Хохлов М.В. Пороговые свойства робастного оценивания состояния электроэнергетических систем // Электричество, 2010. № 4. С.2-12.
5. Хохлов М.В. Модифицированный метод Ньютона для задачи оценивания состояния ЭЭС по неквадратичным критериям // Известия ВУЗов. Проблемы энергетики, 2008. № 1112/I. С.149-158.
6. Monticelly А. Modeling circuit breakers in weighted least squares state estimation // IEEE Transactions on Power Systems, 1993. Vol. 8. No. 3. P. 1143-1149.
7. Holten L., Gjelsvik A., Aam S., etc. Comparison of different methods for state estimation // EEE Transactions on Power Systems, 1988. Vol. 3. No. 4. P. 1798-1806.
8. Monticelli A. Electric power system state estimation // Proceedings of the IEEE, 2000. Vol. 88. No. 2. P.262-282.
9. Nocedal J, Wright S. Numerical optimization. New York: Springer Science+Business Media, LLC, 2006. 664 p.
10. Duff I.S. MA57 - A code for the solution of sparse symmetric definite and indefinite systems // ACM Transactions on Mathematical Software, 2004. Vol. 20. No. 2. P.118-144.
11. Gould N., Scott J., Hu Y. A numerical evaluation of sparse direct solvers for the solution of large sparse symmetric linear systems of equations // ACM Transactions on Mathematical Software, 2007. Vol. 33. No. 10. Article 10.
12. Amestoy P.R., Davis TA, Duff I.S. Algorithm 837: AMD, an approximate minimum degree ordering algorithm // ACM Transactions on Mathematical Software, 2004. Vol. 30. No. 3. P.381-388.
